I " VALORI SEGNALETICI „ DELLA DISTRIBUZIONE E DEL MOVIMENTO DEI FENOMENI

CAPITOLO I.

Punto di " densità massima „ di un fenomeno.

fenomeno. Esempio : la lunghezza degli epigrammi di Marziale. — 12-13. Tra-duzione grafica di una distribuzione di frequenze. — 14. Come si venne al nuovo modo di guardare i fenomeni negli studi antropologici. — 15.

Di-stribuzione dei planetoidi tra Marte e Giove, e loro distanza " tipica , dal

Sole. — 16. Distribuzione, per punto di fusione, dei corpi semplici, e punto " t i p i c o , . — 17. Grandezze continue e discontinue. — 18. Formazione e scelta del " m o d u l o , di una distribuzione. Allargamento del modulo:

numero di linee nel disegno delle impronte digitali. — 19. Redditi annui, nel XVII secolo, delle cure francesi. — 20. Inconvenienti. Altezza delle statue greco-romane del Museo del Louvre. — 21. Forme tipiche nelle opere

d'arte e scostamento da esse. Distesa del componimento poetico in Orazio.

— 22. Distribuzioni con modulo disuguale. Imposta pagata dai Lombardi di Parigi nel XIII secolo. — 23. Spostamento del punto di inizio del

mo-dulo. Età di morte degli uomini illustri (età di calendario). — 24. Sposta-mento del punto di densità e auSposta-mento di osservazioni. — 25-26. Feno-meni che presentano il proprio punto di densità massima all'inizio stesso della distribuzione. Fenomeni del mondo inorganico (indici di rifrazione). Fenomeni economici (doti, mutui). Distribuzioni " sportive ,, o per abilità

nelle corse di ciclisti e di automobilisti. Contributo di tali nuove statistiche

alla psicologia sperimentale. — 27. Di altre categorie di distribuzioni per abilità sportive : nuoto, prove atletiche varie, tiro al bersaglio. Una distri-buzione per abilità mentale : classificazione in concorsi a cattedre.

§ 10. — Dopo avere con così brevi parole fatto cenno della natura e degli obbietti del metodo, si dovrebbe ve-nire a ciò che costituisce lo scopo essenziale della presente opera, e cioè alla dimostrazione della sempre maggiore

14 LA MISURA DELLA VITA

distesa che vanno acquistando le applicazioni del metodo statistico, specialmente in zone ancora poco esplorate del territorio delle scienze naturali e sociali, senza dimenticare di discorrere di qualche possibile applicazione nel campo del-l'arte.

Tuttavia si fa necessario, prima di entrare in tali argo-menti, il fermarsi a considerare, sia pure in modo rapido, e uno a uno, gli obbietti del metodo stesso, testé sommaria-mente indicati, il ragionare su qualche particolare, e porre ad esempi casi specifici.

§ 11. — E, primamente, se, dopo aver misurato nu-merosi esemplari appartenenti a una medesima varietà, o specie, o genere, compiremo una prima operazione, per trasformare la serie di misure ottenute, ossia la serie delle

frequenze, in una serie ordinata, secondo l'intensità del

ca-rattere esaminato, una serie ordinata che è comunemente detta " seriazione „ o distribuzione di frequenze, potremo cominciare a fissare qualche valore segnaletico della massa stessa, e quindi l'ordine. Tali distribuzioni sono anche chia-mate curve empiriche, e spesso, semplicemente, curve (sot-tintendendo tuttavia : empiriche), ma è migliore cosa la-sciare la parola curva alla designazione di tracciati continui, e non di spezzate, come queste che offrono le distribuzioni di frequenze.

Apriamo la raccolta dei dodici libri degli epigrammi di Marziale (tralasciamo la serie di distici sugli Spettacoli, che precede i dodici libri, e tralasciamo il XIII e il XIV libro, contenenti offerte di doni, per considerare soltanto il mate-riale, più importante, formato dai dodici libri), e fermiamoci a studiare la lunghezza degli epigrammi, che di assai varia di-stesa furono foggiati dal poeta. Si noti come questa lunghezza dell'epigramma, sia motivo che, a prima veduta .-futile, più volte preoccupò Marziale, e altri poeti ancora, del resto, a ragione di estetica e di efficacia. L'epigramma, come si sa, deve essere, per sua natura, brevissimo, o breve. Fu,

nel-PARTE PRIMA - CAP. I . PUNTO D I " DENSITÀ MASSIMA „, ECC. 15 l'origine, breve iscrizione metrica destinata ad accompagnare doni, o a porsi su tombe; poi divenne composizione letteraria, sempre breve, a sè: il pensiero ha da essere espresso in modo incisivo, e quando assume, l'epigramma, carattere di satira, maggior forza ricava dalla brevità la satira stessa. Ecco perchè Marziale risponde più volte, acremente, ai critici in-vidiosi che gli rimproverano di scrivere epigrammi troppo lunghi (I, 111; II, 77; III, 83, e anche VI, 65). Afferma che gli epigrammi hanno da essere brevi, per piacere (VIII, 29). Anzi, preoccupazione del medesimo genere il poeta mani-festa a proposito del numero di epigrammi che ha da conte-nere ogni libro: non siano troppi, per non tediare (II, 1; IV, 29, e anche IV, 91) (1).

Orbene, si fermi la nostra attenzione soltanto sugli epi-grammi in distici, acciocché sia il materiale, da questo lato,

(1) Che noi sappiamo, non è stata mai notata questa preoccupazione della " misura „ in MARZIALE. E però, ricordiamo qui i punti dell'opera sua a questo proposito. Nell'epigramma I, 111, dice al suo critico: Scribere me

quereris, Velox, epigrammata longa ? Certo, non scrivendo nulla, tu li

scrivi più corti. Il 77, II (In Cosconium) rammenta che, sovente, un solo epigramma di Marso riempie due pagine ; d'altro canto, quando da un epigramma nulla si può togliere, non potrà mai dirsi lungo l'epigramma:

Non sunt longa, quibus nìhil est, quod demere possis, ma i tuoi distici, o

critico, possono davvero dirsi lunghi! L'epigramma 83 del I I I libro ri-sponde violentemente alla solita accusa : XJt faciam breviora mones

epigram-mata, Cocles... Il 65 del VI libro dà a Tucca sdegnosamente il permesso

di saltare, nella lettura, gli epigrammi troppo lunghi, ma piena libertà avrà il poeta di scriverli: Conveniat nóbis-, ut fas epigrammata longa \ Sit

transire tibi; scribere, Tucca, mihi. Dirà, altrove : Disticha qui scribit, puto, vult brevitate piacere (Vili, 29). — Per quel che riguarda la

preoccupa-zione della soverchia lunghezza dei suoi libri, in II, 1, dice al lettore che il suo libro potrà tutto essere letto prima che il vino si faccia tiepido nella coppa... Eppure: Esse tibi tanta cautus brevitate videris? \ Hei mihi,

quam multis sic quoque longus eris! Ugualmente in IV, 29, ricorda che

quando gli epigrammi sono troppi, affaticano : Rara iuvant... | Hybernae

16 LA MISURA DELLA VITA

sufficientemente omogeneo (1). E si noti, di mano in mano che si procede nella lettura, il numero di distici componenti ogni epigramma. Disordinatamente si seguiranno le cifre; ma trasformando la serie di cifre così ottenuta, in una serie ordinata, o distribuzione di frequenze, e cioè domandandoci quanti epigrammi si trovano di 1 solo distico, quanti di 2, quanti di 3, e via di seguito, si otterrà la distribuzione di frequenze come nella Tabella I.

TABELLA I . Lunghezza degli epigrammi di Marziale.

(Epigrammi in distici, dei libri I-XII).

Numero dei distici componenti ogni e p i g r a m m a

N u m e r o di epigrammi composti d a l mimerò dei distici

qui a fianco ì 205 2 167 3 129 4 140 5 98 6 54 7 30 8 15 9 8 10 1 11 6 12 3 13 2 Totale . . . 858 epigrammi.

Basta scorrere con lo sguardo la distribuzione così com-posta, o meglio, la traduzione grafica che se ne può fare,

(1) Per i metri adoperati da MARZIALE, vedi LOD. PRIEDLAENDER, M. Va-lerti Martialis epigrammaton libri, mit erklaerenden AnmerTcungen, Leipzig,

PARTE PRIMA - CAP. I . PUNTO DI " DENSITÀ MASSIMA „ , ECC. 17 per vedere come la categoria più densa (" punto di densità massima „ della distribuzione del fenomeno) sia quella di un solo distico; sia dunque di epigrammi brevissimi; che più brevi non potrebbero farsi. Il 73 del II libro, il 98 del VII, e il 19 deirVIII libro, sono di un solo verso, ma qui, ove contiamo i distici, non potrebbero essere considerati tali epi-grammi di un solo verso. Si può dunque concludere con l'af-fermare che, in Marziale, la categoria tipica, o gruppo tipico, degli epigrammi è, per lunghezza, di un un solo distico, — fenomeno che la semplice media aritmetica non ci avrebbe rivelato.

Evidente immagine della diversa densità di frequenze (epi-grammi) in ogni classe considerata (di 1 distico, di 2 distici, di 3 distici, ecc.) si avrebbe se, disegnata una banda orizzon-tale, la si dividesse, per mezzo di linee verticali, in tanti rettangoli uguali, e in ognuno di essi si collocassero tanti punti quante sono le frequenze di ogni classe. Il primo ret-tangolo, così, conterrebbe 205 punti, il secondo 167, e via di seguito infino all'ultimo che ne raccoglierebbe soltanto 2. A primo colpo d'occhio, in tal modo, si vedrebbe ove cade la zona di densità massima del fenomeno, e in che modo degra-dano, o si succedono, le varie densità per le altre zone.

Orbene, questa zona che raccoglie il maggior numero di frequenze costituisce, per l'appunto, uno dei valori segnaletici della massa. E la classe, o categoria, tipica. Gruppo tipico, fu anche chiamato. Nel caso presente è la lunghezza di un distico. Da indicarsi anche col nome di moda, e precisamente moda empirica, — o punto di densità massima delle frequenze, — o, finalmente, tasso predominante (1).

(1) " Gruppo tipico „, da ENRICO MORSELLI, nella sua Critica e riforma del metodo in antropologia, in " Annali di Statistica „, Roma, 1880, pag. 4

dell'estratto: " gruppo tipico, sotto cui si ricovera il più gran numero di individui „, ripetendo ciò che aveva scritto nella precedente Memoria del 1875 sul Peso del cranio e della mandibola, in " Archivio per l'Antropologia „, anno V, fase. 2°, Firenze, 1875. Si noti che già il RETZIUS, misurando le

18 LA MISURA DELLA VITA

§ 12. — Una traduzione grafica di distribuzioni di fre-quenze del genere che stiamo trattando, si fa generalmente in modo diverso da quella che, testé indicata, va col nome di diagramma a punti. Si fa, per contro, di solito per mezzo

N= d;

Fig. 1.

Lunghezza degli epigrammi di Marziale (numero di epigrammi di 1 distico, di 2 distici, di 3 distici, ecc. Traduzione grafica della Tabella I).

di rette, collocando le classi su una linea orizzontale (linea delle ascisse) e innalzando sovra ognuno dei punti di tale linea che corrisponde ad ogni classe una perpendicolare (or-dinata) di altezza proporzionale al numero di frequenze che essa sta a rappresentare. In tali rappresentazioni (diagrammi a linee, o lineari) la categoria tipica del fenomeno, o moda empirica, giace sulla linea delle ascisse, ed è il punto su cui

lunghezze e le larghezze di 16 crani lapponi, si fermò a esporre i dati sotto forma di seriazione e sembrò, anzi, indicare la misura più frequente chiamandola, è vero, " media „, che è il nostro punto di densità massima. Edizione postuma tedesca, Ethnologische Schriften, Stockholm, 1864, in-folio, pagg. 16-17.

PARTE P R I M A - CAP. I . PUNTO D I " DENSITÀ MASSIMA „ , ECC. 19 cade la perpendicolare (ordinata) di maggiore altezza; quella, cioè, che esprime la maggiore densità delle frequenze e che si chiama ordinata massima. Si veda il diagramma lineare della figura 1, costruito come or si è detto. Le sommità di tutte le perpendicolari, tuttavia, sono riunite da una spezzata il cui andamento mostra in che modo decresce, o cresce, il numero di epigrammi di mano in mano che si passa dagli epigrammi di un solo distico, a quelli di due, di tre... di tredici (1).

(1) Ricordiamo qui, in poche parole, le elementari nozioni su cui si ba-sano tali rappresentazioni grafiche. La quantità y è funzione di x quando, assegnato un valore ad x, se ne trova uno corrispondente per y. Nella funzione, ad esempio, y= 10x-\-4, se x — Q, si a v r à » / = 4; sea; = l ,

Y ~ 2. t 7 6 5 4 » Ir 2 1 ~ 2. t 7 6 5 4 » Ir 2 1 • -7-6-5-4 -3 "2 -2--J -<l -s -e -7 ' i i 4 <, S 6 7 • •

Y,

si avrà y = 14 ; se x — — 1, si avrà y — — 6, ecc. Dato ciò, e chiamando

assi coordinate due rette XX, e YY, che si tagliano ad angolo retto nel

punto 0 ; chiamando, inoltre, coordinate di un punto qualsiasi del piano ove giacciono le assi coordinate, le due perpendicolari che si abbassano dal punto alle rette XX, e YY,, si avrà: aj date le coordinate di un punto, si può determinare tale punto in modo unico ; b) dato un punto, si possono determinare le sue coordinate in modo unico. La retta XX, è la linea, o asse, delle ascisse-, la retta YY, è la linea, o asse, delle ordinate. Così,

20 LA MISURA DELLA VITA

§ 13. — Il punto di massima densità su cui cade l'ordi-nata massima del nostro diagramma lineare è descrittivo della massa osservata, o segnaletico ; comincia esso già a dare caratteristica immagine del modo di comportarsi della massa, e quindi già comincia a svelare la regola. Si potrebbe, infatti, dire, e in certo senso, che il tipo vagheggiato da Marziale per la misura dei suoi epigrammi, era quello, brevissimo, di un sol distico. Di mano in mano che si richiede un sempre maggiore numero di distici, si fanno meno frequenti gli epi-grammi, con qualche anomalia in questo decrescere, tuttavia, su cui avremo più in là occasione di ragionare (vedi § 33). Infatti, si scoprono anche punti secondari di densità, o mode secondarie, o meglio laterali. Una, cioè, assai meno intensa

date le coordinate x — — 4 e y — —)— 3 , il punto da esse determinato sarà z. Dato, invece, il punto R, le sue coordinate saranno date dai valori su cui cadono le perpendicolari, e cioè da 2 per x e 3 per y. Come si vede, dei quattro quadranti, quello YOX, ha le ascisse e le ordinate positive; quello YOX ha le ascisse negative e le ordinate positive ; il quadrante X , 0 Y , ha le ascisse positive e le ordinate negative; quello XOY, ha le ascisse e le ordinate negative. Il quadrante YOX, è quello che di solito serve alle rappresentazioni grafiche delle distribuzioni di cui parleremo.

La traduzione grafica di una distribuzione di frequenze in diagramma, col metodo or ora indicato, per il quale le frequenze corrispondono agli y e le grandezze agli x (metodo delle coordinate cartesiane), può andare sotto il nome generico di poligono di frequenza. A seconda dei casi, gli y, ossia le frequenze, saranno tradotte graficamente sia con altrettante perpendico-lari (ordinate ; perpendicoperpendico-lari o ordinate che possono anche essere soppresse sostituendosi un punto alla sommità di ognuna di esse, e riunendo poi tutti i punti con una linea spezzata), sia con altrettanti rettangoli le cui basi riposino sulla linea XX,, sia, ancora, con altrettante ordinate che ca-dano sulla metà della base di ogni rettangolo che si sarebbe disegnato. — Vedi pratici e speciali suggerimenti, per queste forme di rappresentazioni, in W. PALIN ELDERTON, Frequency-curves and correlation, London, 1906, pag. 5-8; 0 . UDNY YULE, An introduction to the theory of statistics, London

(1910), pag. 75 e segg. ; A. L. BOWLEY, Elements of statistics, 3A ediz., London,

1907, pagg. 149 e seg. ; ma ogni trattato di metodologia statistica contiene

PARTE PRIMA - CAP. I . PUNTO DI " DENSITÀ MASSIMA „ , ECC. 21 della massima, per gli epigrammi di 4 distici, e un'altra, ancor meno intensa di questa, per gli epigrammi di 11 distici.

§ 14. — Un tal modo di esaminare i fenomeni è al-quanto diverso, come si vede, da quello che fu per lungo tempo comunemente seguito, e che ancor oggi è osservato da studiosi «he non siano specialisti del metodo statistico, quando si fermino a considerare fenomeni quantitativi. Nel " guardare „ un fenomeno quantitativo, cioè, ci si arrestava, o ci si arresta di solito, alla media aritmetica. Al contrario, invece di limitarci a dire che la lunghezza media di un epi-gramma di Marziale è di tre distici (2840 4- 858 = 3,3 come dal calcolo che si può eseguire sulla Tabella I), si cominci col rappresentare l'intera distribuzione del fenomeno per mezzo di una distribuzione di frequenze, e si cerchino la moda principale, o categoria tipica, e le mode laterali.

Nè si dimentichi che, nel campo di non poche ricerche, pur essenzialmente condotte con metodo statistico, ha dovuto passare molto tempo perchè gli studiosi si convincessero che tale modo di esame delle misure era di gran lunga preferi-bile al semplice enunciato della media. Non parliamo delle operazioni quantitative che si possono condurre nell'esame di documenti letterari, come si è or ora fatto per i distici del poeta latino, chè in tale campo vere e proprie applicazioni del metodo statistico furono sempre eccezionali, e per di più incomplete e grezze, ma alludiamo a territori di studio in cui il metodo statistico primeggia (1). A titolo di esempio basterebbe indicare quel che sia accaduto, su questo punto, in un ramo dell'antropologia ove tanto domina la misura, e cioè nell'antropometria.

(1) Non è forse senza interesse il notare che un simile " modo di guar-dare „ fu già accennato dal VOLTAIRE nel confrontare la mortalità degli uomini moderni con quella degli uomini dei tempi passati, ma egli rite-neva, a torto, quest'ultima più bassa della prima. In Essai sur les moeurs, Introduction, § 2, in fine.

22 LA MISURA DELLA VITA

Alla Société d'Anthropologie de Paris, soltanto il 16 aprile del 1863 si p r o p o n e , — dal Bertillon pére (Adolphe), — che il metodo della distribuzione di frequenze (sériatiorì) debba esser quello che ha da pre-siedere a ogni esame di misure antropologiche da trattarsi statistica-mente (1). Il B. dà esempio preso dalla distribuzione, per ampiezza del torace, dei soldati inglesi, tolto dal XIII volume del « Giornale medico di E d i m b u r g o », e ricorda i calcoli del Quetelet al proposito, fatti nelle Lettres sur la théorie des próbabilités (Bruxelles, 1846, p a g . 119). Infatti, le celebri, e tante volte citate, ricerche del Broca sul volume e la f o r m a del cervello, del 1861, non danno che le medie a r i t m e -tiche (per quanto fin dalla p r i m a edizione della Physique sociale del Quetelet, nel 1835, si dessero n u m e r o s e trattazioni di seriazioni per caratteri antropometrici) ; e parecchi anni dopo della richiesta del Bertillon, precisamente nel 1868, alla medesima Société d ' a n -tropologia, il Broca tornerà ancora a esporre i risultati delle sue misure sulla mandibola umana in semplici medie aritmetiche, seb-bene fiancheggiate dal valore massimo e minimo d ' o g n i g r u p p o (2). Il Le Bon si servirà in m o d o veramente esauriente, per primo, nel seno della Société d ' a n t r o p o l o g i a del « metodo seriale » nel 1879 (3). In Italia, soltanto nel 1880, e per opera del Morselli, si faceva, diremo così, popolare, nelle ricerche antropologiche, il metodo della seriazione, tanto da potersi dire spettare il merito al Morselli di avere, per la seconda volta, scoperto il « metodo seriale » stesso per quel che tocca le sue applicazioni all'antropologia (4). Infatti, la

So-(1) ADOLPHE BERTILLON, De la méthode dans Vanthropologie, in " Bull, de la Soc. d'Anthrop. de Paris „, 1863, pagg. 223-242, in ispecie pag. 234.

(2) PAUL BROCA, Sur le volume et sur la forme du cerveau, in " Bull, de la Soc. d'Anthrop. de P a r i s , , 1861, pagg. 139-204, e medesimo "Bul-letin „ del 1868, pag. 385. Non fa duopo ricordare che, in seguito, il Broca si servì largamente ed efficacemente del " metodo seriale „, ossia della espo-sizione dei dati in serie ordinata (sériation).

(3) GUSTAVE LE BON, Becherches anatomiques et mathématiques sur les lois des variations du volume du cerveau, etc., in " Revue d'Anthropologie „,

gennaio 1879, pagg. 27-104 e " Bulletin Soc. Anthrop. „, Paris, 1879, pagg. 110-114.

(4) E. MORSELLI, Critica e riforma del metodo in antropologia, in " An-nali di Statistica „, Roma, 1880, 178 pagine. Il Morselli aveva già appli-cato il metodo nel suo studio precedente : Sul peso del cranio e della

man-PARTE PRIMA - CAP. I . PUNTO DI " DENSITÀ MASSIMA „, ECC. 23

cietà italiana di Antropologia, e gli antropologi italiani, per lungo tempo non si fermarono a dare che le medie (e gli estremi) dei loro g r u p p i di misure craniche od altre. Il L o m b r o s o , nel 1874, sentendo la necessità di dar notizia della composizione interna, o distribuzione, del fenomeno, specie per eseguire i confronti, esamina la statura degli italiani nelle 16 Regioni, non con semplici medie, ma ponendo a fronte le stature piccole (— 1,54), le ordinarie, le straordinarie ( 1 , 7 0 - f ) ; l'inchiesta del Pagliani, nel 1876, sui dati antropometrici dei bambini, non dà alcuna distribuzione di frequenze, ma solo medie; e perfino l'inchiesta sulla etnologia italiana, condotta dalla Società italiana di Antropologia, non espone che una parte dei dati raccolti, in distribuzione di frequenze. Più ampia applicazione del « metodo seriale » ai dati antropometrici, per l'antropologia crimi-nale, farà invece il L o m b r o s o nella seconda edizione dell'Uomo

de-linquente, pubblicata nel 1878 (1).

Il « J o u r n a l of the anthropological Institute of Great Britain and Ireland », d'altra parte, per il Regno Unito, non vede che nel suo quarto volume, e cioè nel 1875, a p p a r i r e per la prima volta la

trat-dibola in rapporto col sesso, in " Archivio per l'Antropologia e l'Etnologia , ,

Firenze, 1875 (il volume dell' " Archivio , porta inesattamente la data 1876), voi. V, ove a pagg. 166 e segg. l'A. dà le frequenze dei pesi in " gra-dazioni di pesi , , come egli dice.

(1) C. LOMBROSO, Sulla statura degli italiani, ecc., in " Archivio per l'Antropologia e l'Etnologia ,, Firenze, 1874, voi. I l i , pagg. 374 e 399, e Comunicazione all'Istituto lombardo nel 1873. — L. PAGLIANI, Sopra alcuni

fattori dello sviluppo umano, ecc., in " Archivio „ citato, Firenze, 1876,

voi. VI, pagg. 160 e segg. — Materiali per l'etnologia italiana, ecc., pub-blicati da E. RASERI, in " Archivio „ cit., Firenze, 1879, voi. IX, pagg. 259