Operatori covarianti, operatori tensoriali irriducibili e teorema di Wigner-Eckart

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Alma Mater Studiorum · Universit`

a di Bologna

Scuola di Scienze

Dipartimento di Fisica e Astronomia Corso di Laurea in Fisica

Operatori covarianti, operatori tensoriali

irriducibili e teorema di Wigner-Eckart

Relatore:

Prof. Roberto Zucchini

Presentata da:

Tommaso Franzini

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Sommario

Lo scopo di questo lavoro `e quello di approfondire e formalizzare il concetto di rotazione ricavando il suo profondo legame con il momento angolare.

Nella prima parte verrà descritta l’evoluzione del concetto di momento angolare a partire dagli inizi del ’900 fino ad arrivare alla teoria di Dirac; in seguito verrà posta particolare attenzione a tre tipologie di operatori: gli operatori scalari, vettoriali e diadici simmetrici a traccia nulla, di cui verranno descritte le diverse proprietà sotto rotazione e le possibili operazioni con cui combinarli.

Nel secondo capitolo si passa a definire il concetto di operatore tensoriale irriducibile: ver-ranno esposte le diverse caratteristiche e verr`a dimostrato come `e possibile creare una relazione biunivoca tra i tre operatori covarianti per rotazione e particolari operatori tensoriali.

Questa generalizzazione al caso tensoriale `e di particolare importanza per la meccanica quantistica e ne verranno presentati due risultati fondamentali: il teorema di Wigner-Eckart e il teorema della proiezione, con relative applicazioni.

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Indice

1 Introduzione 1

2 Rotazioni, momento angolare e operatori covarianti per rotazione 14

2.1 Il legame tra rotazioni e momento angolare . . . 14

2.2 Operatori covarianti per rotazione . . . 25

2.2.1 Gli operatori scalari . . . 25

2.2.2 Gli operatori vettoriali . . . 27

2.2.3 Gli operatori diadici simmetrici a traccia nulla . . . 30

3 Generalizzazione degli operatori rotazionalmente covarianti 37 3.1 Gli operatori tensoriali . . . 37

3.2 Il legame tra operatori covarianti per rotazione ed operatori tensoriali . . 43

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Capitolo 1

Introduzione

Nel 1913 N. Bohr formulò una nuova teoria atomica, per cercare di spiegare la struttura discreta degli spettri atomici, correggendo la precedente teoria di E. Rutherford. Per fare ciò, prendendo spunto dall’idea di quantizzazione utilizzata da M. Planck nel suo lavoro sullo spettro di emissione di corpo nero, ipotizzò che le sole orbite permesse in un atomo fossero quelle che avessero un momento angolare dato da un multiplo intero della costante di Planck ~

ln= n~ n = 1, 2, 3, ... (1.1)

A partire da questo momento il concetto di momento angolare subir`a una serie di modifi-che nel corso degli anni, fino ad arrivare alla sua formulazione pi`u moderna con l’avvento della teoria di Dirac.

Nove anni dopo, nel 1922, i due fisici O. Stern e W. Gerlach dimostrarono speri-mentalmente l’idea di Bohr: facendo passare un fascio di atomi all’interno di un intenso campo magnetico non uniforme, osservarono che esso veniva deviato solo per alcuni an-goli, dimostrazione del fatto che la quantizzazione del momento angolare era reale. Per`o, pur dimostrando l’ipotesi, i risultati ottenuti non erano del tutto in accordo con la teoria, infatti, ripetendo l’esperimento utilizzando atomi di idrogeno allo stato fondamentale per

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cui non ci si aspettava di osservare deviazione, ci`o che venne rilevato furono comunque due fasci separati.

a b c

Figura 1.1: Tre possibili risulati dell’esperimento di Stern-Gerlach: (a) il risultato senza l’azione del campo magnetico, (b) il risultato con campo magnetico predetto dalla teoria classica, in cui gli atomi si distribuiscono in modo omogeneo tra due angoli, infine (c) il risultato osservato, (parzialmente) in accordo con la teoria dell’epoca: il fascio subisce deflessioni solo per alcuni angoli.

Per poter spiegare questi risultati fu necessario introdurre una nuova grandezza non presente nella fisica calssica: lo spin; per questo motivo il momento angolare totale di una particella `e esprimibile come

j = l + s (1.2)

dove l e s sono rispettivamente il momento angolare orbitale e di spin.

Secondo la teoria di Dirac della meccanica quantistica, ogni grandezza fisica misura-bile `e descritta da un operatore lineare autoaggiunto, definito su uno spazio di Hilbert i cui elementi sono descritti da ket |ψi, a meno di un fattore di fase. In meccanica classica il momento angolare orbitale `e definito come

l = x × p (1.3)

per cui, utilizzando il principio di corrispondenza posso esprimere l’operatore associato come

b

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doveq e_b p sono risprettivamente l’operatore posizione e impulso._b

Per quanto riguarda lo spin, è noto dalla teoria che, essendo un’osservabile, deve esistere un operatore ad esso associato s, ma questo non pu`_b o essere espresso in termini di grandezze classiche, essendo una proprietà puramente quantistica. Continua però a valere la relazione che definisce il momento angolare totale anche a livello operatoriale:

b

j = bl +s._b (1.5)

In analogia con il caso classico si vuole mantenere la proprietà che se un sistema è composto da più parti, il momento angolare orbitale è dato dalla somma dei momenti angolari delle parti, cioè

b

L =X

a

b

la. (1.6)

Estendendo questa propriet`a anche al momento angolare di spin si ottiene

b S =X

a

b

sa. (1.7)

Per cui il momento angolare totale di un sistema composto da pi`u corpi sar`a dato dall’equazione

b

J = bL + bS. (1.8)

Relazioni canoniche di commutazione

Il fatto che gli osservabili in meccanica quantistica vengano descritti da operatori lineari autoaggiunti su uno spazio di Hilbert, implica che la moltiplicazione tra due di essi in generale non sia commutativa: questa proprietà è la manifestazione matematica della profonda differenza tra meccanica classica e quantistica. Per studiare le proprietà di commutatività tra due operatori si definisce il commutatore:

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In particolare, per quanto riguarda le componenti del momento angolare orbitale valgono le relazioni [bli,qbj] = i~ X k ijkqbk, [bli,pbj] = i~ X k ijkpbk, [bli, blj] = i~ X k ijkbl_k. (1.10)

Dimostrazione. In virt`u dell’eq.(1.4) `e possibile scrivere le componenti dell’operatore bl come

bli =

X

jk

ijkbqjpbk (1.11) dove ijk`e il simbolo di Levi-Civita. Inoltre, facendo uso delle leggi di commutazione tra

le componenti dell’operatore posizione e impulso: [q_bi,bqj] = 0, [p_bi,bpj] = 0, [q_bi,bpj] = i~δijb1, (1.12) posso calcolare [bli,bqj] = [ X kl iklqbkpbl,qbj] = X kl ikl(bqk[pbl,qbj] + [qbk,bqj]pbl) =X kl

ikl(−i~δljqbkb1 + b0) = −i~ X k iklqbk= i~ X k ijkqbk (1.13) [bli,pbj] = [ X kl iklqbkpbl,pbj] = X kl ikl(bqk[pbl,pbj] + [qbk,bpj]pbl) =X kl ikl(b0 + i~δkjpblb1) = i~ X l ijlpbl= i~ X k ijkpbk (1.14)

(10)

[bli, blj] = [bli, X kl jklqbkpbl] = X kl jkl([bli,bqk]pbl+qbk[bli,bpl]) = =X kl jkl(i~ X m ikmbqmpbl+ i~bqk X m ilmpbm) = i~X kl X m (mikmjl− mjkmil)bqkpbl = i~X m mijmklqbkbpl = i~ X k ijkbl_k (1.15)

dove nel penultimo passaggio si `e usata la relazione X

m

(mikmjl− mjkmil− mijmkl) = 0 (1.16)

Le stesse relazioni vengono estese per analogia anche al caso dello spin: [_bsi,qbj] = i~ X k ijkqbk, [_bsi,pbj] = i~ X k ijkpbk, [_bsi,sbj] = i~ X k ijkbsk. (1.17)

Inoltre il momento angolare orbitale e di spin sono due osservabili indipendenti: questo implica che

[bli,bsj] = 0. (1.18) Utilizzando i risultati ottenuti, per quanto riguarda il momento angolare totale vale la relazione

[bji, bjj] = i~

X

k

(11)

Se si considera un sistema composto da un numero arbitrario di particelle [bLi, bLj] = i~ X k ijkLb_k, [ bSi, bSj] = i~ X k ijkSb_k, [bLi, bSj] = 0, [ bJi, bJj] = i~ X k ijkJbk. (1.20)

Come si `e osservato, tutti i momenti angolari descritti seguono le stesse leggi di commutazione, per cui si pu`o definire formalmente il momento angolare come l’operatore b j che soddisfa [bji, bjj] = i~ X k ijkbjk. (1.21)

In pi`u, dato che rappresenta un’osservabile, le sue componenti devono soddisfare

b

j_i†= bji. (1.22)

Si pu`o definire il quadrato del momento angolare

bj2 = bj2 = X

k

bj_k2, (1.23)

il quale commuta con le componenti bji

[bji, bj2] = 0, (1.24)

ed `e anch’esso autoaggiunto.

Dimostrazione. Utilizzando la legge di commutazione (1.21) e la definizione (1.23), [bji, bj2] = [bji, X k bj_k2] = X k ([bji, bjk]bjk+ bjk[bji, bjk]) = i~X k X j ikjbjjbjk+ bjk X j ikjbjj ! = −i~X jk ijk(bjjbjk+ bjkbjj) = 0 (1.25)

(12)

A questo punto, utilizzando la relazione (1.22) e la definizione (1.23), bj2† = X k bj 2† k = X k bj †2 k = X k b j_k2 = bj2 (1.26)

Torner`a spesso utile in seguito scrivere le componenti dell’operatore bj rispetto ad una base sferica orientata eα associata alla base ortogonale ei:

bj0 = bj3, bj±1 = bj1± ibj2 (1.27)

In questo caso le leggi di commutazione assumono la forma

[bj0, bj±1] = ±~bj±1 (1.28)

[bj±1, bj∓1] = ±2~bj0 (1.29)

mentre le relazioni di autoaggiunzione saranno

bj † 0 = bj0 (1.30) bj † ±1 = bj∓1 (1.31)

Dimostrazione. Utilizzando le relazioni (1.27) e le relazioni di commutazione (1.21) si ottiene [bj0, bj±1] = [bj3, bj1± ibj2] = [bj3, bj1] ± i[bj3, bj2] = i~(bj2 ∓ ibj1) = ±~(bj1± ibj2) = ±~bj±1 (1.32) Similmente [bj±1, bj∓1] = [bj1± ibj2, bj1∓ ibj2] = [bj1, bj1] + [bj2, bj2] ∓ 2i[bj1, bj2] = ±2~bj3 = ±2~bj0 (1.33)

(13)

Per quanto riguarda le relazioni di autoaggiunzione, utilizzando (1.22) b j_±1† = (bj1 ± ibj2)†= bj † 1∓ ibj † 2 = bj1∓ ibj2 = bj∓1 (1.34)

e allo stesso modo

bj † 0 = bj † 3 = bj3 = bj0 (1.35)

Utilizzando queste componenti, `e possibile esprimere il quadrato del momento ango-lare come

bj2 = bj±1bj∓1+ bj02∓ ~bj0 (1.36)

Dimostrazione. Utilizzando le definizioni (1.27) e le relazioni di commutazione (1.21) si pu`o calcolare bj±1bj∓1 = (bj1± ibj2)(bj1∓ ibj2) = bj12+ bj 2 2 ∓ i(bj1bj2−bj2bj1) = bj₁2+ bj₂2∓ i[bj1, bj2] = bj12+ bj 2 2 ± ~bj3 = bj2−bj₀2± ~bj0 (1.37)

Inoltre continuano a valere delle relazioni di commutazione analoghe alle (1.24)

[bj±1, bj2] = 0 (1.38)

(14)

Dimostrazione. Utilizzando la relazione (1.24) si ottiene

[bj±1, bj2] = [bj1± ibj2, bj2] = [bj1, bj2] ± i[bj2, bj2] = 0 (1.40)

allo stesso modo

[bj0, bj2] = [bj3, bj2] = 0 (1.41)

Teoria spettrale del momento angolare

Tenendo conto delle relazioni di commutazione descritte precedentemente si pu`o costruire un insieme massimale di operatori autoaggiunti commutanti utilizzando bj2 _{e b}_j

0. Per noti

teoremi della meccanica quantistica, questo implica che `e possibile definire una base di autoket simultanei per i due operatori.

In particolare si pu`o dimostrare che questi autoket comuni si organizzano in multiplet-ti caratterizzamultiplet-ti da un numero quanmultiplet-tico semintero j ≥ 0. Ognuno di quesmultiplet-ti mulmultiplet-tipletmultiplet-ti |j, mi contiene 2j+1 elementi, parametrizzati dal numero quantico m = −j, −j+1, ..., j− 1, j. Inoltre valgono le seguenti relazioni agli autovalori

bj2|j, mi = |j, mi ~2j(j + 1) (1.42) bj0|j, mi = |j, mi ~m (1.43)

e la relazione

bj±1|j, mi = |j, m ± 1i ~(j(j + 1) − m(m ± 1))1/2 (1.44)

Inoltre gli autoket soddisfano la relazione di ortonormalit`a

(15)

Somma di momenti angolari e coefficienti di Clebsch-Gordan

Spesso in fisica si ha a che fare con sistemi composti da un numero arbitrario di particelle e quindi ci si scontra con il problema della somma di momenti angolari. Se considero due particelle con momento angolare bj1 e bj2 rispettivamente, sono ovvie le relazioni

[bj1i, bj1j] = i~ X k ijkbj1k, [bj2i, bj2j] = i~ X k ijkbj2k, [bj1i, bj2j] = 0, (1.46)

dove l’ultima relazione segue dal fatto che le due grandezze sono indipendenti tra loro. Queste leggi di commutazione implicano che gli operatori bj₁2, bj10, bj

2

2 e bj20 formano un

insieme massimale di operatori autoaggiunti commutanti. Come chiarito in precedenza questo significa che esiste sempre una base di autoket simultanei per i quattro operatori che si organizzano in multipletti |j1, m1, j2, m2i caratterizzati da due numeri seminteri

j1, j2 ≥ 0 i quali contengono (2j1 + 1) × (2j2 + 1) elementi, identificati dai due numeri

quantici m1 e m2, i quali possono assumere i valori m1 = −j1, −j1 + 1, ..., j1 − 1, j1,

m2 = −j2, −j2 + 1, ..., j2− 1, j2 rispettivamente. Inoltre valgono le relazioni

Inoltre vale la relazione di ortonormalit`a

hj1, m01, j2, m02|j1, m1, j2, m2i = δm0

(16)

Il momento angolare totale `e definito come

b

J = bj1+ bj2 (1.54)

ed essendo un momento angolare soddisfa [ bJi, bJj] = i~ X k ijkJb_k, (1.55) e anche b J_i†= bJi. (1.56)

Dimostrazione. Utilizzando la definizione (1.54) e le relazioni (1.46) [ bJi, bJj] = [bj1i+ bj2i, bj1j + bj2j] = i~ X k ijkbj1k+ i~ X k ijkbj2k = i~X k ijk(bj1k+ bj2k) = i~ X k ijkJb_k (1.57) Per la relazione (1.22) b J_i†= bj_1i† + bj_2i† = bj1i+ bj2i = bJi (1.58)

Inoltre `e banale dimostrare che i quadrati bj2

1 e bj22 commutano con le componenti bJi,

cio`e

[ bJi, bj12] = 0, (1.59)

[ bJi, bj22] = 0. (1.60)

Per quanto appena detto, si deduce che anche gli operatori bj2

1, bj22, bJ2 e bJ0 formano

un insieme di operatori autoaggiunti commutanti. Questo significa che esiste sempre una base di autoket simultanei per i quattro operatori che si organizzano in multipletti |j1, j2, J, M i caratterizzati da tre numeri seminteri j1, j2, J ≥ 0 i quali contengono 2J + 1

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elementi, identificati dal numero quantico M , che pu`o assumere i valori M = −J, −J + 1, ..., J − 1, J . Inoltre valgono le relazioni

Inoltre vale la relazione di ortonormalit`a

hj1, j2, J, M0|j1, j2, J, M i = δM0_,M (1.66)

Se si considerano i |j1, m1, j2, m2i descritti in precedenza per un sistema di due

par-ticelle, allora `e possibile dimostrare che lo spazio E (j1, j2) generato da questi ket

am-mette una base composta dai ket |j1, j2, J, M i, dove M = −J, ..., J e J assume i valori

nell’intervallo |j1− j2|, ..., j1 + j2 una sola volta. La relazione

|j1 − j2| ≤ J ≤ |j1+ j2| (1.67)

`

e la controparte quantistica della relazione vettoriale classica ||j1| − |j2|| ≤ |J | ≤ |j1| +

|j2|.

Dato che in questo modo sono state trovate due basi diverse per lo stesso spazio, deve essere possibile esprimere gli elementi dell’una in termini di quelli dell’altra, cio`e:

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sono detti coefficienti di Clebsch-Gordan.

I fattori hj1, j2, m1, m2|J, M i sono soggetti a quelle che vengono chiamate regole di

selezione, le quali definiscono degli intervalli al di fuori dei quali i coefficienti si annullano e discendono dalle relazioni che legano tra loro i numeri quantici in gioco:

• Una delle tre relazioni deve essere valida, le altre discendono di conseguenza |j1− j2| ≤ J ≤ j1+ j2,

|J − j1| ≤ j2 ≤ J + j1,

|J − j2| ≤ j1 ≤ J + j2.

(1.70)

• Per quanto riguarda i numeri quantici m1, m2 e M

−j1 ≤ m1 ≤ j1,

−j2 ≤ m2 ≤ j2,

−J ≤ M ≤ J.

(1.71)

Inoltre valgono alcune relazioni che legano questi coefficienti delle quali verr`a fatto uso in seguito:

hj1, j2, m1, m2|J, M i M = (m1+ m2) hj1, j2, m1, m2|J, M i , (1.72)

da cui si deduce che un qualsiasi coefficiente di Clebsch-Gordan si annulla ogni volta che la relazione

M = m1+ m2 (1.73)

non viene soddisfatta. Inoltre vale che

hj1, j2, m1, m2|J, M ± 1i (J(J + 1) − M (M ± 1))1/2

= (j1(j1+ 1) − m1(m1∓ 1))1/2hj1, j2, m1∓ 1, m2|J, M i

+ (j2(j2+ 1) − m2(m2∓ 1))1/2hj1, j2, m1, m2∓ 1|J, M i

(1.74)

Si pu`o osservare che, fissando il valore di J , tutti i possibili coefficienti di Clebsch-Gordan si possono ottenere a partire da un unico termine hj1, j2, m1, m2|J, ±Ji e

(19)

Capitolo 2

Rotazioni, momento angolare e

operatori covarianti per rotazione

In questo capitolo verr`a descritta la teoria delle rotazioni ed in particolare come queste agiscono nei sistemi quantistici attraverso determinati operatori. Infine verranno descritti ed analizzati tre importati tipologie di operatori covarianti per rotazione: gli operatori scalari, quelli vettoriali e infine quelli diadici simmetrici a traccia nulla, analizzando anche le possibili operazioni tra di essi.

2.1 Il legame tra rotazioni e momento angolare

Prima di poter definire formalmente il concetto di rotazione, `e conveniente introdurre la nozione di gruppo astratto.

Definizione. Un gruppo astratto G = {g} `e una struttura algebrica dotata di un’opera-zione binaria • che soddisfa le seguenti propriet`a

• chiusura rispetto alla legge di composizione, la quale `e associativa

(20)

∀g1, g2, g3 ∈ G =⇒ (g1• g2) • g3 = g1• (g2• g3) (2.2)

• esistenza dell’elemento neutro

∃! e ∈ G t.c. g • e = e • g = g ∀g ∈ G (2.3)

• esistenza dell’inverso

∃! g−1 ∈ G t.c. g • g−1= g−1• g = e ∀g ∈ G (2.4) Definizione. Una rotazione è una mappa lineare definita su uno spazio vettoriale V dotato di prodotto interno con la proprietà di conservare la distanza tra due punti. Quest’applicazione è caratterizzata dall’azione di una matrice R sugli elementi x dello spazio

x0 = R · x (2.5)

tale che

|x0| = |x| (2.6)

Queste matrici di rotazione soddisfano le propriet`a (2.1)-(2.4) dove la legge di com-posizione `e data dall’usuale prodotto associativo tra matrici (·), infatti

• se considero due rotazioni R e S, il loro prodotto R · S è di nuovo una rotazione • La matrice identità 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione: R · 1 = 1 · R = R • per ogni rotazione R esiste una matrice indicata con R−1 _{tale che R · R}−1 ₌

R−1· R = 1

(21)

Ogni matrice di rotazione `e specificata univocamente da un angolo di rotazione ϕ e da un asse di rotazione indicato con il vettore unitario n, per cui conviene indicarla esplicitando questi due parametri

R = Λ(ϕ, n). (2.7)

Avendo introdotto questa nuova notazione, le propriet`a di gruppo possono essere riscritte:

• Per ogni rotazione Λ(α, j), Λ(β, k), la loro composizione sar`a data da una nuo-va matrice Λ(α, j) · Λ(β, k) = Λ(γ(α, β, j, k), m(α, β, j, k)) dove γ(α, β, j, k) e m(α, β, j, k) sono funzioni che dipendono dai parametri di rotazione α, β, j, k ed hanno una forma non banale, salvo alcuni casi particolari.

• La matrice identica `e data dalla rotazione di un angolo nullo, per cui 1 = Λ(0, n), con n vettore unitario arbitrario.

• La matrice inversa `e Λ−1_{(ϕ, n) = Λ(−ϕ, n) = Λ(ϕ, −n)}

Per un angolo infinitesimo δϕ, una rotazione infinitesima di un vettore x pu`o essere scritta

Λ(δϕ, n) · x = x + δϕn × x + O(δϕ2) (2.8)

Dimostrazione. Facendo riferimento alla fig.(2.1), `e possibile esprimere

x0 = x0_k+ x0_⊥ (2.9) dove

x0_k = xk = (x · n)n = nn · x (2.10)

(22)

x y z x x0 x0 k≡ xk x⊥ x0_⊥ n O N ϕ ϕ O x0_⊥ x⊥ ϕ

Figura 2.1: A sinistra vengono mostrati il vettore generico x e la sua rotazione R · x ≡ x0. A destra invece `e mostrata la proiezione dei due vettori sul piano xy

Utilizzando il risultato (2.10), il secondo termine `e dato da x0_⊥= x⊥cos ϕ + (n × x⊥) sin ϕ

= (x − xk) cos ϕ + (n × (x − xk)) sin ϕ

= x cos ϕ − nn · x cos ϕ + n × x sin ϕ

(2.11)

dove nell’ultimo passaggio si `e tenuto conto del fatto che n × nn · x = 0. Unendo i risultati (2.10),(2.11) secondo l’eq.(2.9), si ottiene

x0 = x cos ϕ + (1 − cos ϕ)nn · x + n × x sin ϕ (2.12) Considerando a questo punto una rotazione infinitesima di un angolo δϕ, posso sviluppare in serie di Taylor

sin δϕ = δϕ + O(δϕ2) cos δϕ = 1 + O(δϕ2) (2.13) Sostituendo queste approssimazioni nell’eq.(2.12) si ottiene

x0 = x − δϕx × n + O(δϕ2) (2.14)

(23)

da cui discende l’equazione (2.8).

`

E utile introdurre la matrice 3 × 3 ∗n cos`ı definita

∗ n =      0 n3 −n2 −n3 0 n1 n2 −n1 0      (2.15)

In questo modo `e possibile scrivere il prodotto vettoriale come il prodotto tra una matrice ed un vettore n × x = − ∗ n · x =      n2x3− n3x2 n3x1− n1x3 n1x2− n2x1      =      (n × x)1 (n × x)2 (n × x)3      (2.16)

Con questo procedimento si ricava l’espressione della matrice che descrive una rota-zione infinitesima di angolo δϕ attorno all’asse n

Λ(δϕ, n) = 1 − δϕ ∗ n + O(δϕ2) (2.17) Considerando una rotazione finita di un angolo ϕ attorno ad un asse n come la successiva composizione di rotazioni infinitesime si ottiene

Λ(ϕ, n) = lim

N →∞[Λ(ϕ/N, n)]

N _{= lim}

N →∞[1 − ϕ/N ∗ n]

N _{= exp{(−ϕ ∗ n)}} _(2.18)

In questo modo si dimostra quanto asserito in (2.7), cio`e che una generica rotazione, finita o infinitesima, `e completamente definita da due soli parametri: l’asse di rotazione n e l’angolo di rotazione ϕ.

Ogni sistema fisico s è rappresentato da ket normalizzati |ψi a meno di una fase moltiplicativa. Se R è una rotazione in grado di ruotare un generico stato da s a s0, allora è intuitivo pensare che il nuovo ket rappresentativo sia del tipo Rψ. Se questo è vero, significa che esiste una mappa agente sullo spazio di Hilbert in grado di realizzare questa rotazione

b

U (R) : |ψi 7−→ bU (R) |ψi ≡ Rψ

(24)

In pi`u viene richiesto che il nuovo ket sia normalizzato come quello iniziale dato che la probabilit`a complessiva deve conservarsi

R

ψRψ = hψ|ψi = 1 (2.20) Questo fatto implica che l’operatore bU (R) sia unitario, cio`e

b

U (R)†= bU (R)−1 (2.21)

Dimostrazione. Utilizzando la propriet`a (2.20) e la definizione (2.19) si trova che hψ|ψi =R_ψ

b1 = bU (R)

†

b

U (R) (2.23)

da cui deriva l’eq.(2.21)

Applicando due rotazioni consecutive R e S ad uno stato s si ottiene lo stato ruotato

S₍R_{s) =}S·R _{s, di conseguenza i ket saranno}

S(Rψ) = z(R, S, |ψi) S·Rψ (2.24)

dove z(R, S, |ψi) `e una fase non banale.

Utilizzando la definizione (2.19), a livello operatoriale l’equazione (2.24) diventa

b

(25)

a meno di una fase, `e possibile dimostrare il fatto non banale che ogni operatore bU (R) `

e esprimibile come ζ(R) bU (R), dove ζ(R) `e una fase che non cambia il significato fisico di bU (R). In questo modo posso fissare ζ(R) in modo tale che

b

U (R−1) = bU (R)−1 b

U (1) = b1

(2.26)

Tenendo conto del fatto che nell’espressione della rotazione infinitesima (2.17) δϕ compare sempre nella combinazione δϕn, l’operatore ad essa associato pu`o essere scritto nella forma

b

U (Λ(δϕ, n)) = b_{1 − i~}−1δϕn · bj + O(δϕ2) (2.27) dove bj `e un operatore generico. Per convenienza `_{e stato estratto il fattore −i~.}

`

E possibile dimostrare che l’operatore bj `e autoaggiunto e in particolare soddisfa la relazione di commutazione

[k · bj, l · b_{j] = i~(k × l) · b}j (2.28) per vettori k, l generici.

Dimostrazione. Calcolando l’operatore aggiunto e l’inverso ottengo b

U (Λ(δϕ, n))†= b_{1 + i~}−1δϕn · bj†+ O(δϕ2) b

U (Λ(δϕ, n))−1 = b_{1 + i~}−1δϕn · bj + O(δϕ2)

(2.29)

Dato che bU (Λ(δϕ, n)) `e unitario, si deduce che bj† = bj: questo implica che bj `e autoag-giunto.

Per ricavare la legge di commutazione si considerano le rotazioni Λ(δα, k) e Λ(βϕ, l). Allora, applicando (2.17),

Λ(δα, k)−1Λ(δβ, l)−1Λ(δα, k)Λ(δβ, l)

= (1 + δα ∗ k)(1 + δβ ∗ l)(1 − δα ∗ k)(1 − δβ ∗ l) + O(δα2, δβ2) = 1 + δαδβ(∗k ∗ l − ∗l ∗ k) + O(δα2, δβ2)

(26)

Dove il simbolo O(δα2, δβ2) indica tutti i termini quadratici in δα o δβ.

Per valutare la matrice (∗k ∗ l − ∗l ∗ k), si applica ad essa il vettore generico x e facendo uso della relazione (2.16) si ottiene:

(∗k ∗ l − ∗l ∗ k) · x = ∗k ∗ l · x − ∗l ∗ k · x

= ∗l · (k × x) − ∗k · (l × x) =k × (l × x) − l × (k × x) = −x × (k × l) = − ∗ (k × l) · x

(2.31)

dove nel penultimo passaggio si `e fatto uso dell’identit`a di Jacobi per il prodotto vettoriale tra tre termini

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0 (2.32) Quindi si `e ottenuto che

Λ(δα, k)−1Λ(δβ, l)−1Λ(δα, k)Λ(δβ, l) = 1 − δαδβ ∗ (k × l) + O(δα2, δβ2) (2.33) Dal punto di vista operatoriale, in virt`u dell’eq.(2.27) e tenendo conto dell’equazione (2.33)

b

U (Λ(δα, k)−1Λ(δβ, l)−1_{Λ(δα, k)Λ(δβ, l)) = 1 − i~δαδβ(k × l) · b}j + O(δα2, δβ2) (2.34) inoltre per l’eq.(2.25)

b U (Λ(δα, k)−1Λ(δβ, l)−1Λ(δα, k)Λ(δβ, l)) = bU (Λ(δα, k))−1U (Λ(δβ, l))b −1 b U (Λ(δα, k)) bU (Λ(δβ, l)) (2.35)

Utilizzando l’equazione (2.27) posso calcolare i singoli operatori

b U (Λ(δα, k))−1U (Λ(δβ, l))b −1U (Λ(δα, k)) bb U (Λ(δβ, l)) = (b_{1 + i~}−1δαk · bj)(b_{1 + i~}−1δβl · bj)(b_{1 − i~}−1δαk · bj) × (b_{1 − i~}−1δβl · bj) + O(δα2, δβ2) = 1 − ~2δαδβ[(k · bj)(l · bj) − (l · bj)(k · bj)] + O(δα2, δβ2) =1 − ~2δαδβ[k · bj, l · bj] + O(δα2, δβ2) (2.36)

(27)

Confrontando i risultati di (2.34) e (2.36) ottengo

[k · bj, l · b_{j] = i~(k × l) · b}j (2.37)

Ponendo nell’equazione (2.28) k = ei e l = ej, dove gli ei rappresentano gli

ele-menti di una base orientata, si ottengono le regole di commutazione per le componenti dell’opertatore bj

[bji, bjj] = i~

X

k

ijkbjk (2.38)

Grazie a queste regole di commutazione e alla propriet`a di autoaggiunzione dell’ope-ratore, `e possibile concludere che bj rappresenta un momento angolare.

In particolare esso `e il generatore infinitesimo delle rotazioni, infatti l’operatore che descrive una rotazione finita pu`o essere scritto come

b U (Λ(ϕ, n)) = bU ( lim N →∞[Λ(ϕ/N, n)] N_{) = lim} N →∞ b U ([Λ(ϕ/N, n)]N) = lim N →∞(1 − i~ −1 ϕ/N n · bj)N = exp_−i~−1n · bj (2.39)

Per comprendere meglio il significato fisico dell’operatore bj si possono considera-re gli autobra hx| dell’operatoconsidera-re posizione q parametrizzati da punti dello spazio delle_b configurazioni. L’ipotesi pi`u ragionevole di trasformazione sotto rotazione `e

hx| bU (R)† = hR · x| (2.40) Seguendo questo ragionamento, `e possibile esprimere la rotazione infinitesima di hψ|

(28)

come hψ| bU (Λ(δϕ, n))† =(1 − δϕ ∗ n + O(δϕ2))x =x − δϕ ∗ n · x + O(δϕ2) =x + δϕn × x + O(δϕ2) = hx| + δϕn × x · ∇ hx| + O(δϕ2) = hx| + i~−1δϕn · (−i~)x × ∇ hx| + O(δϕ2) = (1 + i~−1δϕn · l) hx| + O(δϕ2) (2.41) per cui b U (Λ(δϕ, n)) = 1 − i~−1δϕn · l + O(δϕ2) (2.42) Confrontando questo risultato con l’equazione (2.27) si deduce che l’operatore bj trovato in precedenza `e esattamente il momento angolare orbitale.

Questo ragionamento pu`o essere generalizzato anche a particelle con spin. In questo caso l’operatore q non costituisce pi`_b u un insieme completo di operatori autoaggiunti commutanti, per cui bisogna introdurre l’operatore di spin _bs3 : cos`ı facendo l’insieme

diventa completo ed `e possibile definire una base ortonormale di autobra simultanei per i due operatori: hx, ms|, dove ms = −s, . . . , s ed s `e il numero quantico di spin.

Applicando ad esso una rotazione, si ottiene un nuovo autobra per l’operatore q, ma in_b generale non per l’operatores_b3, questo significa che vale una relazione del tipo

hx, ms| bU (R)† = s X m0 s=−s D(s)_m s,m0s(R −1 ) hR · x, m0_s| (2.43) dove D_m(s) s,m0s(R

−1_{) `}_{e una matrice (2s + 1) × (2s + 1) che mescola tra di loro le componenti}

(29)

Come prima, sviluppando per un angolo infinitesimo si ottiene hx, ms| bU (Λ(δϕ))† = = s X m0 s=−s (δm0 s,ms + iδϕn · ς (s) m0 s,ms + O(δϕ 2₎₎ x + i~δϕn × x + O(δϕ2_{), m}0 s (2.44) dove viene mantenuta la dipendenza δϕn in analogia con le rotazioni infinitesime. In questo caso la matrice di vettori ς_m(s)0

s,ms rappresenta la deviazione della matrice D

(s)

ms,m0s(R)

dall’identit`a δm0 s,ms.

Procedendo con il calcolo dell’equazione precedente hx, ms| bU (Λ(δϕ))†= = hx, ms| + δϕn × x · ∇ hx, ms| + s X m0 s=−s iδϕn · ς_m(s)0 s,mshx, m 0 s| + O(δϕ 2 ) = hx, ms| + i~−1δϕn · [−i~x × ∇ hx, ms| + s X m0 s=−s ~ςm(s)0 s,mshx, m 0 s|] + O(δϕ 2₎ = hx, m0_s| (b_{1 + i~}−1δϕn · (bl +s)) + O(δϕ_b 2) (2.45) avendo posto hx, m0_s|s =_b s X m0 s=−s ~ςm(s)0 s,mshx, m 0 s| (2.46)

Confrontando i risultati ottenuti con l’eq.(2.27), si pu`o concludere che l’ operatore bj che compare come generatore delle rotazioni infinitesime

b

U (Λ(δϕ, n)) = b_{1 − i~}−1δϕn · bj + O(δϕ2) (2.47) `

e esattamente il momento angolare totale del sistema considerato

b

(30)

2.2 Operatori covarianti per rotazione

In questa sezione verranno elencati tre tipi di operatori di particolare importanza per la meccanica quantistica: gli scalari, gli operatori vettoriali e quelli diadici simmetrici a traccia nulla, elencando le diverse propriet`a che caratterizzano ognuno di essi.

2.2.1 Gli operatori scalari

Definizione. Si dice che un certo osservabile A è uno scalare rispetto al momento an-golare bj se per ogni stato s e rotazione R la probabilità di ottenere una certa misura di A è la stessa sia in s che inR_{s, cio`}_e

hAiR_s = hAi_s (2.49)

In termini formali l’osservabile `e espresso dall’operatore bA, per cui l’equazione pre-cedente diventa

R

ψ bA

Rψ = hψ|A|ψib (2.50) Operatori che soddisfano questa propriet`a sono detti operatori scalari.

Per la definizione (2.19), posso scrivere _R

ψ bA

Rψ = hψ|U (R)b †A bbU (R)|ψi = hψ| bA|ψi (2.51) Per l’autoaggiunzione di bA, l’equazione precedente implica che

b

U (R)†A bbU (R) = bA (2.52) L’equazione (2.52) significa che ogni qual volta una grandezza venga descritta da un operatore scalare, essa non possa cambiare a seguito di una rotazione del sistema.

Una propriet`a fondamentale degli operatori scalari `e che

(31)

per qualsiasi vettore a.

Dimostrazione. Se considero una rotazione infinitesima δϕ attorno all’asse n (eq. (2.27)), ` e possibile calcolare b A = bU (Λ(δϕ, n))†A bbU (Λ(δϕ, n)) = (b_{1 + i~}−1δϕn · bj) bA(b_{1 − i~}−1δϕn · bj) + O(δϕ2) = b_{A − i~}−1δϕ bA(n · b_{j) + i~}−1δϕ(n · bj) bA + O(δϕ2) = b_{A + i~}−1δϕ[n · bj, bA] + O(δϕ2) (2.54)

Quindi perch`e valga l’equazione (2.52), il secondo termine dell’ultima espressione deve annullarsi, per cui deve annullarsi il commutatore

[n · bj, bA] = 0 (2.55)

Chiamando bji le componenti dell’operatore bj rispetto ad una base orientata ei, la

relazione precedente diventa

[bji, bA] = 0 (2.56)

Quindi ogni volta che l’eq.(2.52) oppure l’eq.(2.56) viene soddisfatta, `e possibile concludere che bA `e un operatore scalare.

Un esempio di operatore scalare `e il quadrato del momento angolare bj2

[bji, bj2] = 0 (2.57)

In particolare, quando per momento angolare si intende il momento angolare orbitale, valgono le leggi di commutazione

[bli,qb 2 ] = 0 [bli,pb 2 ] = 0 (2.58)

(32)

Dimostrazione. Utilizzando le definizioni degli operatori bj2,q_b2 e p_b2 insieme alle regole di commutazione del momento angolare con gli operatori q_bi, pbi e bji stesso, si dimostra quanto asserito [bji, bj2] = [bji, X j b jj 2 ] =X j [bji, bjj 2 ] =X j ([bji, bjj] bjj+ bjj[bji, bjj]) = i~X j,k ijk( bjkjbj + bjjjbk) = 0 (2.59) In modo analogo [bli,qb 2 ] = [bli, X j b qj2] = X j [bli,qbj 2 ] =X j ([bli,qbj]qbj+qbj[bli,qbj]) = i~X j,k ijk(qbkqbj+qbjqbk) = 0 (2.60) [bli,pb 2_{] = [b}_l i, X j b pj2] = X j [bli,pbj 2 ] =X j ([bli,pbj]pbj+pbj[bli,pbj]) = i~X j,k ijk(pbkpbj+pbjpbk) = 0 (2.61)

2.2.2 Gli operatori vettoriali

Definizione. Si dice che un osservabile V `e un vettore rispetto al momento angolare b

j se per ogni stato s e rotazione R la probabilit`a di ottenere una certa misura della grandezza ruotata R · V nel sistema s `e uguale a quella ottenuta misurando V nello stato ruotato s0, in formule

hV iR_s = R · hV i_s (2.62)

In termini formali l’osservabile `e espresso dall’operatore bV , per cui l’equazione pre-cedente diventa

R_ψ bV

(33)

Operatori che soddisfano questa propriet`a sono detti operatori vettoriali. Utilizzando la definizione (2.19), l’equazione precedente implica che

b

U (R)†V bbU (R) = R · bV (2.64) Per ogni operatore vettoriale e per ogni vettore generico a, b vale la relazione di commutazione

[a · bj, b · b_{V ] = i~a × b · b}V (2.65)

Dimostrazione. Utilizzando le eq.(2.27) e (2.17) per l’operatore e la matrice che descri-vono una rotazione infinitesima, posso valutare i due membri dell’eq.(2.64)

• I membro b U (Λ(δϕ, n))†b · bV bU (Λ(δϕ, n)) = (1 + i~−1δϕn · bj)b · b_{V (1 − i~}−1δϕn · bj) + O(δϕ2) = b · b_{V +i~}−1δϕ[n · bj, b · bV ] + O(δϕ2) (2.66) • II membro b · Λ(δϕ, n) · bV = b · bV − δϕ(b · ∗n) · bV + O(δϕ2) = b · bV +δϕ(b × n) · bV + O(δϕ2) = b · bV − δϕn × b · bV + O(δϕ2) (2.67)

Eguagliando i risultati ottenuti si ottiene

[n · bj, b · b_{V ] = i~n × b · b}V (2.68)

(34)

Utilizzando questo risultato ponendo a = ei e b = ej si ottiene la relazione di

commutazione tra le componenti di bj e bV [bji, bVj] = i~

X

k

ijkVb_k (2.69) Quindi ogni volta che l’eq.(2.64) oppure l’eq.(2.69) viene soddisfatta, sar`a possibile dire che bV `e un operatore vettoriale.

Verranno elencate ora alcune propriet`a degli operatori vettoriali.

• Se considero bA operatore scalare e cX operatore vettoriale, allora i prodotti bA cX e c

X bA sono operatori vettoriali.

Dimostrazione. Utilizzando l’eq.(2.65) e la propriet`a degli operatori scalari (2.56) [a · bj, b · bA cX] = [a · bj, bA]b · cX + bA[a · bj, b · cX]

= b_{A(i~a × (b · c}_{X) = i~ b}Aa × b · cX = i~a × b · ( bA cX)

(2.70)

Analogamente si dimostra anche per l’operatore cX bA.

• Se considero due operatori vettoriali cX e bY allora il loro prodotto cX · bY `e un operatore scalare.

Dimostrazione. Utilizzando l’eq.(2.65)

[a · bj, cX · bY ] = [a · bj, cX] · bY + cX · [a · bj, bY ]

= (i~a × cX) · bY + c_{X · (i~a × b}Y )

= i~a · cX× b_{Y + i~a · b}Y × cX = 0

(2.71)

(35)

• Se considero due operatori vettoriali cX e bY allora il loro prodotto cX × bY `e un operatore vettoriale. Dimostrazione. [a · bj, b · cX × bY ] = [a · bj, cX] · b × bY − b × cX · [a · bj, bY ] = −i~ cX · a × (b × b_{Y ) + i~a × (b × c}X) · bY = i~((a × cX) · (b × bY ) − (b × cX) · (a × bY )) = i~(a · b cX · bY − b · cXa · bY − b · a cX · bY + a · cXb · bY ) = i~a × b · ( cX × bY ) (2.72) Confrontando con (2.65), posso concludere che l’operatore cX × bY `e vettoriale.

2.2.3 Gli operatori diadici simmetrici a traccia nulla

Definizione. Una diade simmetrica e a traccia nulla `e una matrice 3 × 3 che soddisfa le seguenti propriet`a

Qt = Q cio`e Qij = Qji (2.73)

tr(Q) = 0 cio`e X

k

Qkk= 0 (2.74)

Definizione. Si dice che un osservabile `e una diade antisimmetrica e a traccia nulla se per ogni stato s e rotazione R la probabilit`a associata alla misura di R · Q · Rt _{in s `}_{e la}

stessa associata alla misura di Q nello stato Rs, cio`e

(36)

In termini formali l’osservabile `e espresso dall’operatore bQ per cui l’equazione prece-dente si traduce in R ψ bQ Rψ = R · hψ|Q|ψi · Rb t (2.76) Operatori di questo tipo sono detti operatori diadici simmetrici a traccia nulla. A livello operatoriale le eq.(2.73) e (2.74) si traducono in

b

Qt= bQ trQb

= 0 (2.77)

Utilizzando la definizione (2.19), l’eq.(2.76) equivale a richiedere che

b

U (R)†Q bbU (R) = R · bQ · Rt (2.78) Osservazione. Il motivo per cui si specifica che la diade considerata sia simmetrica e a traccia nulla si basa sul fatto che una qualsiasi diade A (e di conseguenza ogni operatore diadico) possa essere scomposta nella forma

A = AS,T L+ AA+ a1 (2.79) cio`e come somma di una diade simmetrica e a traccia nulla, una antisimmetrica e un multiplo dell’identit`a.

Dimostrazione. Indicando gli elementi della diade come Aij, posso aggiungere e togliere

gli stessi termini ottenendo

Aij = 1 2(Aij + Aji) − 1 3tr(A)δij + 1 2(Aij − Aji) + 1 3tr(A)δij (2.80) riconoscendo che il primo termine è simmetrico e senza traccia, il secondo antisimmetrico e l’ultimo è un multiplo dell’identità, dove la costante di proporzionalità è data da

1

(37)

Analizzando i vari termini, si può notare che una diade antisimmetrica ha 3 para-metri liberi, per cui è completamente definita da un vettore tridimensionale: questo è il motivo per cui era stata indicata con il simbolo ∗a, dove a è un vettore generico (vedi eq.(2.16)): ciò significa che una diade antisimmetrica ricade nel caso già trattato di operatori vettoriali. Allo stesso modo un multiplo della matrice identità ha un solo parametro libero: questo implica che l’operatore si comporta come un operatore scalare, già trattato precedentemente. Per cui il primo termine della somma, la parte simmetrica senza traccia, rappresenta la vera novità delle diadi, che non può essere ricondotta ad un caso già analizzato in precedenza.

Se considero i vettori generici a, b e c, vale la seguente legge di commutazione

[a · bj, b · b_{Q · c] = i~(a × b · b}Q · c + b · bQ · a × c) (2.81)

Dimostrazione. Utilizzando le eq.(2.27) e (2.17) per le rotazioni infinitesime, posso va-lutare i due membri dell’equazione (2.78)

• I membro b U (Λ(δϕ, n))†· b · bQ · c · bU (Λ(δϕ, n)) = (b_{1 + i~}−1δϕn · bj) · b · bQ · c · (b_{1 − i~}−1δϕn · bj) = b · b_{Q · c + i~}−1δϕb · bQ · c(n · b_{j) − i~}−1δϕ(n · bj)b · bQ · c + O(δϕ2) = b · b_{Q · c + i~}−1δϕ[n · bj, b · bQ · c] + O(δϕ2) (2.82)

(38)

• II membro b · Λ(δϕ, n) · bQ · Λ(δϕ, n)t· c = b · (1 − δϕ ∗ n) · bQ · (1 + δϕ ∗ n) · c + O(δϕ2) = b · bQ · c + δϕb · bQ ∗ n · c − δϕb · ∗n · bQ · c + O(δϕ2) = b · bQ · c − δϕn × b · bQ · c − δϕb · bQ · n × c + O(δϕ2) (2.83)

Eguagliando i due risultati ottenuti

i~−1[n · bj, b · bQ · c] = n × b · bQ · c − b · bQ · n × c (2.84)

da cui segue l’eq. (2.81).

Utilizzando questo risultato con a = ei, b = ej e c = ek si ottiene la relazione di

commutazione tra le componenti di bj e gli elementi di bQ [bji, bQjk] = i~

X

l

(ijlQb_lk+ _iklQb_jl) (2.85) Quindi ogni volta che l’eq.(2.78) oppure l’eq.(2.85) viene soddisfatta, si potr`a concludere che bQ `e un operatore diadico simmetrico a traccia nulla.

Verranno elencate ora alcune propriet`a degli operatori diadici.

• Si definisce prodotto diadico tra due operatori vettoriali cX = ( bX1, bX2, bX3) e bY =

( bY1, bY2, bY3), l’operatore diadico cos`ı definito:

c X bY =      b X1Yb1 Xb1Yb2 Xb1Yb3 b X2Yb₁ Xb₂Yb₂ Xb₂Yb₃ b X3Yb1 Xb3Yb2 Xb3Yb3      (2.86)

A partire da questa definizione posso introdurre il prodotto diadico simmetrizzato a traccia nulla c X ◦ bY = 1 2 c X bY + ( cX bY )t−1 3X · bc Y b1 (2.87)

(39)

Il risultato di questa operazione `e un operatore diadico simmetrico e a traccia nulla.

Dimostrazione. Inizio dimostrando che l’operatore `e simmetrico e a traccia nulla – Simmetria ( cX ◦ bY )t= 1 2( cX bY + ( cX bY ) t₎t₋1 3( cX · bY b1) t = 1 2 ( cX bY )t+ ( cX bY )tt−1 3X · bc Y b1 t = 1 2 ( cX bY )t+ cX bY− 1 3X · bc Y b1 = cX ◦ bY (2.88) – Traccia Nulla trX ◦ bc Y = 1 2 h trX bcY + tr( cX bY )ti−1 3X · bc Y tr b 1 = trX bcY − cX · bY = 0 (2.89)

A questo punto calcolo il commutatore [a · bj, b · cX ◦ bY · c] = a · bj, b · 1 2 c X bY + ( cX bY )t− 1 3( cX · bY b1 · c = a · bj, 1 2b · cXc · bY + 1 2c · cXb · bY − 1 3X · bc Y b · c = 1 2[a · bj, b · X]c · bY + 1 2b · cX[a · bj, c · bY ] + 1 2[a · bj, c · cX]b · bY + 1 2c · cX[a · bj, b · bY ] − 1 3[a · bj, cX · bY ]b · c (2.90)

Dato che cX · bY `e un operatore scalare, l’ultimo commutatore si annulla e cos`ı, per la propriet`a (2.65) ottengo: i~ 2(a × b · cXc · bY + b · cXa × c · bY + a × c · cXb · bY + c · cXa × b · bY ) = i~(a × b 1 2( cX bY + ( cX bY ) t_{) −} 1 3X · bc Y b1 · c +b · 1 2( cX bY + ( cX bY ) t_{) −} 1 3X · bc Y b1 a × c) (2.91)

(40)

confrontando con l’eq.(2.81) posso concludere che l’operatore definito nell’eq.(2.87) `e diadico simmetrico e senza traccia.

• Se bR ed bS sono due operatori diadici simmetrici e traccia nulla, allora il loro prodotto scalare bR · · bS `e un operatore scalare.

Dimostrazione. Innanzi tutto si pu`o osservare che `e possibile riscrivere le regole di commutazione in (2.81) nella forma

[a · bj, b · bQ · c] = [a · bj, bc · · b_{Q] = i~(a × bc · · b}Q + bc · · bQ × a) (2.92)

introducendo la diade A = bc, e ammettendo che essa sia simmetrica, l’equazione precedente diventa

[a · bj, A · · b_{Q] = i~(a × A − A × a) · · b}_{Q = 2i~a × A · · b}Q (2.93)

Ponendo ora bQ = bR, bS si ottiene

[a·bj, bR·· bS] = [a·bj, bR]·· bS + bR··[a·bj, b_{S] = 2i~ b}R×a·· b_{S +2i~ b}R··a× bS = 0 (2.94)

dove nell’ultimo passaggio si `e utilizzata la relazione bR × a · · bS = − bR · ·a × bS,

dimostrando cos`ı l’enunciato.

• Se bR `e un operatore diadico simmetrico a traccia nulla e cX un operatore vettoriale, allora i prodotti bR · cX e cX · bR sono operatori vettoriali.

(41)

Dimostrazione. Per dimostrare che l’operatore definito bV = bR · cX `e di tipo vettoriale devo mostrare che esso soddisfa le regole di commutazione (2.65) che caratterizzano questi operatori.

[a · bj, b · bR · cX] = [a · bj, b · bR] · cX + b · bR · [a · bj, cX]

= i~(a × b · bR · cX + b · bR · a × c_{X) + i~a × (b · b}R) · cX = i~a × b · bR · cX

(2.95)

dove nell’ultimo passaggio si `e fatto uso dell’uguaglianza

a × b · bR · cX = −b · bR · a × cX (2.96)

Allo stesso modo `e possibile dimostrare che anche cX · bR `e un operatore vettoriale.

(42)

Capitolo 3

Generalizzazione degli operatori

rotazionalmente covarianti

In questo capitolo verranno introdotti gli operatori tensoriali e ne verranno descritte alcune proprietà che poi torneranno utili per mostrare come è possibile generalizzare gli operatori covarianti per rotazione descritti ed analizzati nel capitolo precedente. Inoltre verrà descritto il metodo per estendere al caso tensoriale le operazioni tra questi operatori: il prodotto tra operatore scalare e vettoriale, le operazioni ·, ×, ◦ tra operatori vettoriali e i prodotti scalari tra due operatori scalari, due vettoriali o due diadici simmetrici a traccia nulla.

3.1 Gli operatori tensoriali

Definizione. Sia bj un operatore di momento angolare. Si definisce operatore tensoriale irriducibile di rango k con k = 0, 1, 2, ..., una collezione di 2k + 1 operatori bT (k, q) dove q = −k, −k + 1, ..., k − 1, k tali che

[ bj0, bT (k, q)] = ~q bT (k, q) (3.1)

(43)

dove bj0 e bj±1 rappresentano le componenti dell’operatore bj rispetto ad una base sferica,

definite in (1.27). Si definisce aggiunto di un operatore tensoriale, l’operatore

b

T∗(k, q) = (−1)k−qT (k, −q)b † (3.3) il quale `e sempre un operatore tensoriale di rango k.

Dimostrazione. Utilizzando la definizione (3.3) e la propriet`a (3.1) [ bj0, bT∗(k, q)] = [ bj0, (−1)k−qT (k, −q)b †]

= −(−1)k−q[ bj0, bT (k, −q)]†

= −(−1)k−q_{~(−q) b}T (k, −q)†_{= ~q b}T∗(k, q)

(3.4)

per cui soddisfa l’eq.(3.1). Si pu`o dimostrare che esso soddisfa anche l’eq.(3.2): [bj±1, bT∗(k, q)] = [bj±1, (−1)k−qT (k, −q)b † ] = −(−1)k−q[bj∓1, bT (k, −q)]† = (−1)k−q∓1_{~(k(k + 1) + q(−q ∓ 1))}1/2T (k, −q ∓ 1)b † = ~(k(k + 1) − q(q ± 1))1/2Tb ∗ (k, q ± 1) (3.5)

Un operatore tensoriale irriducibile si dice autoaggiunto quando

b

T∗(k, q) = bT (k, q) (3.6) Utilizzando la definizione (3.3), si pu`o dimostrare che

b

(44)

Considerando due operatori tensoriali bT1(k1, q1) e bT2(k2, q2) `e possibile definire per

ogni |k1− k2| ≤ k ≤ k1+ k2, con q = −k, −k + 1, ..., k − 1, k il loro prodotto tensoriale

b T1⊗ bT2(k, q) = k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 hk1, k2, q1, q2|k, qi bT1(k1, q1) bT2(k2, q2) (3.8)

dove il termine hk1, k2, q1, q2|k, qi `e un coefficiente di Clebsch-Gordan. Per ogni valore di

k, la k-esima componente del prodotto bT1 ⊗ bT2(k, q) `e un operatore tensoriale di rango

k.

Dimostrazione. Utilizzando la definizione (3.8) `e possibile calcolare [bj0, bT1⊗ bT2(k, q)] = " b j0, k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 hk1, k2, q1, q2|k, qi bT1(k1, q1) bT2(k2, q2) # = k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 hk1, k2, q1, q2|k, qi [bj0, bT1(k1, q1) bT2(k2, q2)] = k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 hk1, k2, q1, q2|k, qi ([bj0, bT1(k1, q1)] bT2(k2, q2) + bT1(k1, q1)[bj0, bT2(k2, q2)]) = k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 hk1, k2, q1, q2|k, qi (~q1Tb₁(k₁, q₁) bT₂(k₂, q₂) + bT₁(k₁, q₁)~q₂Tb₂(k₂, q₂)) = ~ k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 (q1+ q2) hk1, k2, q1, q2|k, qi bT1(k1, q1) bT2(k2, q2) = ~ k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 hk1, k2, q1, q2|k, qi q bT1(k1, q1) bT2(k2, q2) = ~q bT1⊗ bT2(k, q) (3.9) quindi l’operatore bT1⊗ bT2(k, q) soddisfa l’eq.(3.1).

(45)

[bj±1, bT1⊗ bT2(k, q)] = " b j±1, k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 hk1, k2, q1, q2|k, qi bT1(k1, q1) bT2(k2, q2) # = k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 hk1, k2, q1, q2|k, qi [bj±1, bT1(k1, q1) bT2(k2, q2)] = k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 hk1, k2, q1, q2|k, qi × ([bj±1, bT1(k1, q1)] bT2(k2, q2) + bT1(k1, q1)[bj±1, bT2(k2, q2)]) = k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 hk1, k2, q1, q2|k, qi × [~(k1(k1+ 1) − q1(q1± 1))1/2Tb₁(k₁, q₁± 1) bT₂(k₂, q₂) + bT1(k1, q1)~(k2(k2+ 1) − q2(q2± 1))1/2Tb₂(k₂, q₂± 1)] = ~ k1±1 X q1=−k1±1 k2±1 X q2=−k2±1 [(k1(k1+ 1) − q1(q1∓ 1))1/2hk1, k2, q1∓ 1, q2|k, qi + (k2(k2+ 1) − q2(q2∓ 1))1/2hk1, k2, q1, q2∓ 1|k, qi] bT1(k1, q1) bT2(k2, q2) = ~ k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 hk1, k2, q1, q2|k, q ± 1i (k(k + 1) − q(q ± 1))1/2Tb1(k1, q1) bT2(k2, q2) = ~(k(k + 1) − q(q ± 1))1/2Tb1⊗ bT2(k, q ± 1) (3.10) Nel terzultimo passaggio `e stato effettuato uno shift degli indici q1 ↔ q1∓1 e q2 ↔ q2∓1:

questo è stato possibile perchè cos`ı facendo si sono aggiunti solo termini nulli alla somma in virtù delle regole di selezione dei coefficienti di Clebsch-Gordan (1.70) e (1.71) .

Vale la relazione: ( bT1⊗ bT2)∗(k, q) = bT2 ∗ ⊗ bT1 ∗ (k, q) (3.11)

(46)

Dimostrazione. Per la def.(3.3) ( bT1⊗ bT2)∗(k, q) = (−1)k−q( bT1⊗ bT2)(k, −q)† = (−1)k−q k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 hk1, k2, q1, q2|k, −qi bT1(k1, q1) bT2(k2, q2) !† = (−1)k−q k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 hk1, k2, −q1, −q2|k, −qi bT2(k2, −q2)†Tb₁(k₁, −q₁)† = (−1)k−q k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 (−1)k1+k2−k_hk 1, k2, q1, q2|k, qi × bT2(k2, −q2)†Tb₁(k₁, −q₁)† = k1 X q1=−k1 k2 X q2=−k2 hk1, k2, q1, q2|k, qi (−1)k2−q2Tb₂(k₂, −q₂)† × (−1)k1−q1 b T1(k1, −q1)† = bT2 ∗ ⊗ bT1 ∗ (k, q) (3.12)

dove si `e fatto uso della propriet`a di simmetria dei coefficienti di Clebasch-Gordan hk1, k2, −q1, −q2|k, −qi = (−1)k1+k2−khk1, k2, q1, q2|k, qi.

Considerando due operatori con lo stesso rango bT1(k, q) e bT2(k, q), si pu`o definire il

prodotto scalare tra di essi come l’operatore

b

T1 • bT2 = bT1⊗ bT2 ∗

(0, 0) (3.13)

Esplicitamente pu`o essere espresso

b T1• bT2 = 1 (2k + 1)1/2 k X q=−k b T1(k, q) bT2(k, q)† (3.14)

(47)

Dimostrazione. b T1⊗ bT2 ∗ (0, 0) = k X q1=−k k X q2=−k hk, k, q1, q2|0, 0i bT1(k, q1)(−1)k−q2Tb2(k, −q2)† (3.15)

A questo punto utilizzando la propriet`a dei coefficienti di Clebsch-Gordan hk, k, q1, q2|0, 0i = δq1+q2,0(−1) k−q1 (2k + 1)1/2 (3.16) si ricava = k X q1=−k k X q2=−k δq1+q2,0(−1) k−q1 (2k + 1)1/2 Tb1(k, q1)(−1) k−q2 b T2(k, −q2)† = 1 (2k + 1)1/2 k X q=−k b T1(k, q) bT2(k, q)† (3.17)

Inoltre si pu`o osservare che

( bT1• bT2)†= bT2• bT1 (3.18)

Dimostrazione. Utilizzando il risultato (3.14) posso calcolare

( bT1• bT2)†= 1 (2k + 1)1/2 k X q=−k b T1(k, q) bT2(k, q)† !† = 1 (2k + 1)1/2 k X q=−k b T2(k, q) bT1(k, q)†= bT2• bT1 (3.19)

(48)

3.2 Il legame tra operatori covarianti per rotazione

ed operatori tensoriali

Gli operatori scalari

Per un generico operatore scalare bA `e possibile riscrivere la relazione (2.56) esprimendo le componenti dell’operatore bj su una base sferica (vedi (1.27)), per cui si ottiene

[bj0, bA] = 0 (3.20)

[bj±1, bA] = 0 (3.21)

Allo stesso modo per un generico operatore tensoriale bA(0, 0) di rango 0, per le relazioni (3.1) e (3.2), si pu`o scrivere

[bj0, bA(0, 0)] = 0 (3.22)

[bj±1, bA(0, 0)] = 0 (3.23)

La propriet`a di autoaggiunzione (3.6) si traduce in

b

A(0, 0)† = bA(0, 0) (3.24) per cui l’operatore tensoriale `e autoaggiunto nel senso ordinario.

Utilizzando questi risultati si pu`o dire che un operatore bA `e uno scalare se e solo se l’operatore

b

A(0, 0) = bA (3.25)

`

e un operatore tensoriale di rango 0. Inoltre bA `e autoaggiunto solo quando bA(0, 0) lo `e, come specificato precedentemente.

Dimostrazione. È banale osservare che se l’equazione (3.25) è vera, allora le relazioni (3.20)-(3.21) e (3.22)-(3.23) sono equivalenti. Avendo dimostrato questa relazione, la proprietà di autoaggiunzione discende in modo naturale.

(49)

Gli operatori vettoriali

Per un operatore vettoriale bV posso introdurre le componenti espresse rispetto ad una base sferica:

b

V0 = bV3 (3.26)

b

V±1 = bV1± i bV2 (3.27)

Utilizzando queste relazioni, posso riscrivere la legge di commutazione propria degli operatori vettoriali, espressa nell’equazione (2.69)

[bj0, bV0] = 0 [bj0, bV±1] = ±~ bV±1 [bj±1, bV0] = ∓~ bV±1 [bj±1, bV±1] = 0 [bj±1, bV∓1] = ±2~ bV0 (3.28)

Dimostrazione. Considerando la base sferica associata alla base ortonormale orientata ei, utilizzando l’equazione (2.65) si ottiene

[bjα, bVβ] = [eα· bj, eβ · bV ] = i~eα× eβ · bV

= ~(δα0βeβ − δβ0αeα+ δ−αβ(α − β)e0) · bV

(3.29)

Sostituendo nell’equazione trovata i diversi valori di α, β = 0, ±1 si trovano le relazioni

(3.28)

L’operatore vettoriale bV `e autoaggiunto quando

b

(50)

b

V_±1† = bV∓1 (3.31)

Dimostrazione. L’operatore `e autoaggiunto quando le sue componenti espresse rispetto ad una base orientata ortogonale soddisfano bV_i† = bVi. Utilizzando le relazioni (3.26) e

(3.27) si ottiene b V₀†= bV₃†= bV3 = bV0 b V_±1† = ( bV1± i bV2)†= bV † 1 ∓ i bV † 2 = bV1∓ i bV2 = bV∓1 (3.32)

Utilizzando le definizioni (3.1) e (3.2), bV (1, q) con q = 0, ±1 `e un operatore tensoriale di rango 1 se soddisfa [bj0, bV (1, 0)] = 0 [bj0, bV (1, ±1)] = ±~ bV (1, ±1) [bj±1, bV (1, 0)] = 21/2~ bV (1, ±1) [bj±1, bV (1, ±1)] = 0 [bj±1, bV (1, ∓1)] = 21/2~ bV (1, 0) (3.33)

La propriet`a di autoaggiunzione (3.6) si traduce in

b

V (1, 0)† = − bV (1, 0) b

V (1, ±1)† = bV (1, ∓1)

(3.34)

Per cui bV `e un operatore vettoriale se e solo se gli operatori

b

V (1, 0) = i bV0 (3.35)

b

V (1, ±1) = ∓i

(51)

costituiscono un operatore tensoriale di rango 1.

Se le relazioni precedenti sono soddisfatte, allora l’operatore bV `e autoaggiunto solo quando bV (1, q) lo `e, nel senso tensoriale descritto in precedenza.

Dimostrazione. Si ipotizzi che l’operatore bV sia un operatore vettoriale, per cui valgono le relazioni di commutazione (3.26) e (3.27). Allora, l’operatore tensoriale di rango 1 definito da (3.35) e (3.36) soddisfa le regole di commutazione

[bj0, bV (1, 0)] = i[bj0, bV0] = 0 [bj0, bV (1, ±1)] = ∓i 21/2[bj0, bV±1] = ∓~i 21/2Vb±1 = ±~ bV (1, ±1) [bj±1, bV (1, 0)] = ∓i~ bV±1 = 21/2~ bV (1, ±1) [bj±1, bV (1, ±1)] = ∓i 21/2[bj±1, bV±1] = 0 [bj±1, bV (1, ∓1)] = ±i 21/2[bj±1, bV∓1] = 2 1/2 i~ bV0 = 21/2~ bV (1, 0) (3.37)

L’operatore tensoriale bV (1, q) cos`ı definito soddisfa le relazioni di (3.33) ed `e quindi un operatore tensoriale di rango 1. Con un procedimento analogo `e possibile dimostrare che partendo dall’ipotesi che bV (1, q) sia un operatore tensoriale di rango 1 e che quindi soddisfi le relazioni (3.33), gli operatori bV0 e bV±1, definiti nelle eq.(3.35) e (3.36) sono

le componenti di un operatore vettoriale bV espresse rispetto ad una base sferica. Si `e dimostrata in questo modo la relazione biunivoca tra operatori vettoriali e tensoriali di rango 1.

A questo punto, supponendo che l’operatore bV sia autoaggiunto, cio`e che le sue componenti sferiche soddifino le equazioni (3.30) e (3.31), con la definizione (3.3) posso calcolare b V∗(1, 0) = − bV (1, 0)†= −(i bV0)†= i bV0 = bV (1, 0) b V∗(1, ±1) = bV (1, ∓1)†= ±i 21/2Vb∓1 † = ∓i 21/2Vb±1 = bV (1, ±1) (3.38)

(52)

Per cui l’operatore bV (1, q) soddisfa le relazioni di autoaggiunzione mostrate nell’eq.(3.34) Allo stesso modo è possibile dimostrare l’implicazione inversa: se l’operatore tensoriale di rango 1 è autoaggiunto nel senso espresso da (3.34), allora le componenti sferiche dell’operatore vettoriale soddisfano le relazioni (3.30) e (3.31) e quindi l’operatore bV è

autoaggiunto.

Gli operatori diadici simmetrici a traccia nulla

`

E possibile calcolare gli elementi di una diade simmetrica a traccia nulla esprimendone le componenti rispetto ad una base sferica:

b Q00 = bQ33 b Q±10 = bQ13± i bQ23 b Q±1±1 = bQ11− bQ22± 2i bQ12 (3.39)

Le restanti componenti possono essere dedotte grazie alle propriet`a di simmetria e an-nullamento della traccia: bQ0±1 = bQ31 ± i bQ32 = bQ13 ± i bQ23 = bQ±10 e anche bQ±1∓1 =

b

Q11+ bQ22 = − bQ33 = − bQ00. `E quindi possibile riscrivere le leggi di commutazione (2.85)

in coordinate sferiche, che diventano

[bj0, bQ00] = 0 [bj0, bQ±10] = ±~ bQ±10 [bj0, bQ±1±1] = ±2~ bQ±1±1 [bj±1, bQ00] = ∓2~ bQ±10 [bj±1, bQ±10] = ∓~ bQ±1±1 [bj±1, bQ∓10] = ∓3~ bQ±1∓1 [bj±1, bQ±1±1] = 0 [bj±1, bQ∓1∓1] = ±4~ bQ∓10 (3.40)

(53)

Dimostrazione. Si consideri una base sferica eα associata alla base ortonormale orientata

ei. Allora per l’eq.(2.81) posso scrivere

[eα· bj, eβ· bQ · eγ] = i~(eα× eβ· bQ · eγ+ eβ· bQ · eα× eγ)

= ~[(δα0βeβ− δβ0αeα+ δ−αβ(α − β)e0) · bQ · eγ+

eβ· bQ · (δα0γeγ− δγ0αeα+ δ−αγ(α − γ)e0)]

(3.41)

A questo punto, tenendo condo del fatto che bjα = eα·bj e bQβγ = eβ· bQ · eγ si pu`o valutare

[bjα, bQβγ] = ~[δα0(β + γ) bQβγ − δβ0α bQαγ−

δγ0α bQβα+ δ−αβ(α − β) bQ0γ+ δ−αγ(α − γ) bQβ0]

(3.42)

Utilizzando questo risultato e variando i possibili valori α, β, γ = 0, ±1 si dimostrano le

relazioni (3.40)

In termini di componenti sferiche, un operatore diadico simmetrico a traccia nulla `e autoaggiunto quando b Q00 † = bQ00 (3.43) b Q±10 † = bQ∓10 (3.44) b Q±1±1 † = bQ∓1∓1 (3.45)

Dimostrazione. Se l’operatore diadico `e autoaggiunto, significa che le sue componenti espresse rispetto ad una base ortogonale soddifano bQij † = bQij. Quindi, utilizzando le

relazioni (3.39) b Q00 † = bQ33 † = bQ33 = bQ00 b Q±10 †= ( bQ13± i bQ23)† = bQ13 †∓ i bQ23 †= bQ13∓ i bQ23 = bQ∓10 b Q±1±1 †= ( bQ11− bQ22± 2i bQ12)† = bQ11 †− bQ22 †∓ 2i bQ12 † = bQ11− bQ22∓ 2i bQ12= bQ∓1∓1 (3.46)

(54)

Se si introduce l’operatore tensoriale bQ(2, q) con q = 0, ±1, ±2 di rango 2, per le definizioni (3.1) e (3.2) le leggi di commutazione che le sue componenti soddisfano sono

[bj0, bQ(2, 0)] = 0 [bj0, bQ(2, ±1)] = ±~ bQ(2, ±1) [bj0, bQ(2, ±2)] = ±2~ bQ(2, ±2) [bj±1, bQ(2, 0)] = 61/2~ bQ(2, ±1) [bj±1, bQ(2, ±1)] = 2~ bQ(2, ±2) [bj±1, bQ(2, ∓1)] = 61/2~ bQ(2, 0) [bj±1, bQ(2, ±2)] = 0 [bj±1, bQ(2, ∓2)] = 2~ bQ(1, ∓1) (3.47)

La propriet`a di autoaggiunzione (3.6) si traduce in b Q(2, 0)† = bQ(2, 0) b Q(2, ±1)† = − bQ(2, ∓1) b Q(2, ±2)† = bQ(2, ∓2) (3.48)

Per cui si dir`a che bQ `e un operatore diadico simmetrico e a traccia nulla se e solo se gli operatori b Q(2, 0) = −3 1/2 21/2Qb00 b Q(2, ±1) = ± bQ±10 b Q(2, ±2) = −1 2Qb±1±1 (3.49)

costituiscono un operatore tensoriale di rango 2. Se questo viene soddisfatto, allo-ra l’opeallo-ratore bQ `e autoaggiunto solo quando bQ(2, q) lo `e nel senso tensoriale appena descritto.

(55)

Dimostrazione. Si supponga che l’operatore bQ sia diadico simmetrico e a traccia nulla, ne segue che le sue componenti sferiche soddisfano le relazioni (3.39). Per cui se si considera l’operatore tensoriale di rango 2 definito in (3.49), esso soddisfa le leggi di commutazione

[bj0, bQ(2, 0)] = − 31/2 21/2[bj0, bQ00] = 0 [bj0, bQ(2, ±1)] = ±[bj0, bQ±10] = ~ bQ±10= ±~ bQ(2, ±1) [bj0, bQ(2, ±2)] = − 1 2[bj0, bQ(±1, ±1)] = ∓~ bQ±1±1 = ±2~ bQ(2, ±2) [bj±1, bQ(2, 0)] = − 31/2 21/2[bj±1, bQ00] = ±2 31/2 21/2~ bQ±10= 6 1/2 ~ bQ(2, ±1) [bj±1, bQ(2, ±1)] = ±[bj±1, bQ±10] = −~ bQ±1±1=2~ bQ(2, ±2) [bj±1, bQ(2, ∓1)] = ∓[bj±1, bQ∓10] = −3~ bQ00= 61/2~ bQ(2, 0) [bj±1, bQ(2, ±2)] = − 1 2[bj±1, bQ±1±1] = 0 [bj±1, bQ(2, ∓2)] = − 1 2[bj±1, bQ∓1∓1] = ∓2~ bQ∓10= 2~ bQ(1, ∓1) (3.50)

Si può vedere cos`ı che l’operatore soddisfa le leggi di commutazione (3.47) e rappresenta quindi un operatore tensoriale di rango 2. Con un procedimento del tutto analogo è possi-bile dimostrare l’implicazione inversa, cioè che se si considera un operatore tensoriale che soddisfi le leggi di commutazione (3.47), allora gli operatori definiti in (3.49) soddisfano le relazioni (3.40) e sono quindi le componenti sferiche di un operatore vettoriale.

Supponendo ora che l’operatore diadico simmetrico a traccia nulla bQ sia autoaggiun-to: questo implica che le sue componenti sferiche soddisfano le relazioni (3.46). A questo punto utilizzando la definizione (3.3)

b Q(2, 0)†= −3 1/2 21/2Qb00 † = −3 1/2 21/2Qb00 = bQ(2, 0) − bQ(2, ∓1)†= ± bQ∓10 †= ± bQ±10= bQ(2, ±1) b Q(2, ∓2)†= −1 2Qb∓1∓1 † = −1 2Qb±1±1 = bQ(2, ±2) (3.51)

(56)

Questo implica che anche le componenti dell’operatore tensoriale sono autoaggiunte, come espresso dalla relazione (3.48). Con lo stesso ragionamento si dimostra l’impli-cazione inversa, assumendo cio`e che l’operatore tensoriale di rango 2 sia autoaggiun-to nel senso espresso dalla (3.48), allora le componenti definite da (3.49) soddisfano le regole di commutazione (3.46): questo significa che anche l’operatore diadico bQ `e

autoaggiunto.

In virt`u della relazione tra operatori rotazionalmente covarianti e operatori tensoriali `

e possibile generalizzare tutte le operazioni tra di essi descritte nel capitolo precedente. • Siano bA e bV un operatore scalare e vettoriale rispettivamente e bA(0, 0) e bV (1, q) i

rispettivi operatori tensoriali di rango 0 e 1. Allora

b

A ⊗ bV (1, q) = ( bA bV )(1, q) (3.52)

b

V ⊗ bA(1, q) = ( bV bA)(1, q) (3.53) sono gli operatori tensoriali di rango 1 associati al prodotto bA bV e bV bA.

Dimostrazione. Come dimostrato nel capitolo precedente, i prodotti bA bV e bV bA rappresentano operatori vettoriali.Considero il prodotto bA bV : le sue componenti espresse rispetto ad una base sferica sono

( bA bV )0 = bA bV0

( bA bV )±1 = bA bV±1

(3.54)

Per le definizioni (3.35) e (3.36), gli operatori che costituiscono l’operatore tenso-riale ad esso associato sono

( bA bV )(1, 0) = i bA bV0

( bA bV )(1, ±1) = ∓i 21/2A bbV±1

(57)

Utilizzando la definizione (3.8) posso calcolare b A ⊗ bV (1, q) = 1 X q0₌₋₁ h0, 1, 0, q0_{|1, qi b}_{A(0, 0) b}_{V (1, q}0₎ _(3.56) Esplicitandone le componenti b A ⊗ bV (1, 0) = h0, 1, 0, 0|1, 0i bA(0, 0) bV (1, 0) = bA(0, 0) bV (1, 0) (3.57) b

A ⊗ bV (1, ±1) = h0, 1, 0, ±1|1, ±1i bA(0, 0) bV (1, ±1) = bA(0, 0) bV (1, ±1) (3.58) A questo punto, esprimendo bA(0, 0) e bV (1, q) con le relazioni (3.25) e (3.35)-(3.36) si ricava b A ⊗ bV (1, 0) = i bA bV0 b A ⊗ bV (1, ±1) = ∓i 21/2A bbV±1 (3.59)

confrontando i risultati ottenuti, si dimostra quanto asserito. Con lo stesso proce-dimento si dimostra la stessa relazione anche per l’operatore bV bA.

• Se si considerano due operatori vettoriali cX e bY e i relativi operatori tensoriali di rango 1 bX(1, q) e bY (1, q), si ottengono le seguenti relazioni

b X ⊗ bY (0, 0) = 1 31/2( bX · bY )(0, 0) (3.60) b X ⊗ bY (1, q) = − 1 21/2( bX × bY )(1, q) (3.61) b X ⊗ bY (2, q) = ( bX ◦ bY )(2, q) (3.62) dove nei membri di destra compaiono gli operatori tensoriali di rango 0, 1 e 2 associati ai prodotti cX · bY , cX × bY e cX ◦ bY .

(58)

Dimostrazione. Come dimostrato precedentemente, il prodotto cX · bY `e un opera-tore scalare ed `e possibile esprimerlo come combinazione delle componenti sferiche dei due operatori

c

X · bY = 1

2( bX−1Yb+1+ bX+1Yb−1) + bX0Yb0 (3.63) Per quanto dimostrato in questa sezione, `e possibile associare a questo prodotto un operatore tensoriale di rango 0

( bX · bY )(0, 0) = 1

2( bX−1Yb+1+ bX+1Yb−1) + bX0Yb0 (3.64) Considerando il prodotto tensoriale definito in (3.8) tra i due operatori di rango 1

b X(1, q) e bY (1, q) b X ⊗ bY (0, 0) = 1 X q1=−1 1 X q2=−1 h1, 1, q1, q2|0, 0i bX(1, q1) bY (1, q2) (3.65) pi`u esplicitamente: b X ⊗ bY (0, 0) = h1, 1, −1, +1|0, 0i bX(1, −1) bY (1, +1) + h1, 1, +1, −1|0, 0i bX(1, +1) bY (1, −1) + h1, 1, 0, 0|0, 0i bX(1, 0) bY (1, 0) = 1 31/2( bX(1, −1) bY (1, +1) + bX(1, +1) bY (1, −1) − bX(1, 0) bY (1, 0)) (3.66)

Partendo da questo risultato ed esprimendo bX(1, q) e bY (1, q) in termini di bX0, bX±1Yb₀Yb±1

utilizzando le relazioni (3.35) e (3.36) si ottiene

b

X ⊗ bY (0, 0) = 1

2 · 31/2( bX−1Yb+1+ bX+1Yb−1+ 2 bX0Yb0) (3.67)

(59)

Come dimostrato in precedenza il prodotto cX × bY tra operatori vettoriali `e a sua volta un operatore vettoriale e posso esprimerlo nella forma

c X × bY = −i 2( bX0Yb−1− bX−1Yb0)e+1 − i 2( bX−1Yb+1− bX+1Yb−1)e0+ i 2( bX0Yb+1− bX+1Yb0)e−1 (3.68)

Da questo risultato posso ricavare le componenti sferiche del prodotto

( bX × bY )0 =

i

2( bX−1Yb+1− bX+1Yb−1) (3.69) ( bX × bY )±1 = ±i( bX0Yb±1− bX±1Yb₀) (3.70) Utilizzando le relazioni (3.35) e (3.36) si ricavano

( bX × bY )(1, 0) = 1

2( bX−1Yb+1− bX+1Yb−1) (3.71) ( bX × bY )(1, ±1) = 1

21/2( bX0Yb±1− bX±1Yb0) (3.72)

A questo punto si pu`o calcolare il prodotto tensoriale

b X ⊗ bY (1, q) = 1 X q1=−1 1 X q2=−1 h1, 1, q1, q2|1, qi bX(1, q1) bY (1, q2) (3.73) o in modo esplicito b X ⊗ bY (1, 0) = h1, 1, −1, +1|1, 0i bX(1, −1) bY (1, +1) + h1, 1, +1, −1|1, 0i bX(1, +1) bY (1, −1) + h1, 1, 0, 0|1, 0i bX(1, 0) bY (1, 0) = 1 21/2(− bX(1, −1) bY (1, +1) + bX(1, +1) bY (1, −1)) (3.74) b X ⊗ bY (1, ±1) = h1, 1, ±1, 0|1, ±1i bX(1, ±1) bY (1, 0) + h1, 1, 0, ±1|1, ±1i bX(1, 0) bY (1, ±1) = ±1 21/2( bX(1, ±1) bY (1, 0) − bX(1, 0) bY (1, ±1)) (3.75)

(60)

A questo punto, esprimendo bX(1, q) e bY (1, q) in termini di bX0, bX±1, bY0, bY±1 per

mezzo delle relazioni (3.35) e (3.36) si ottiene

b X ⊗ bY (1, 0) = − 1 23/2( bX−1Yb+1− bX+1Yb−1) (3.76) b X ⊗ bY (1, ±1) = −1 2( bX0Yb±1− bX±1Yb0) (3.77) Confrontando questo risultato con (3.71)-(3.72) si ottiene la relazione (3.61). Nel capitolo precedente `e stato introdotto il prodotto diadico simmetrizzato senza traccia tra due operatori diadici. Questo prodotto pu`o essere espresso

c X ◦ bY = 1 4Xb−1Yb−1e+1e+1+ 1 4( bX−1Yb0+ bX0Yb−1)(e+1e0+ e0e+1) +1 6( bX−1Yb+1+ bX+1Yb−1− 4 bX0Yb0)( 1 4e+1e−1+ 1 4e−1e+1− e0e0) +1 4( bX+1Yb0 + bX0Yb+1)(e−1e0 + e0e−1) + 1 4Xb+1Yb+1e−1e−1 (3.78)

Da questa relazione posso calcolare ( bX ◦ bY )00= − 1 6( bX−1Yb+1+ bX+1Yb−1− 4 bX0Yb0) (3.79) ( bX ◦ bY )±10 = 1 2( bX±1Yb0+ bX0Yb±1) (3.80) ( bX ◦ bY )±1±1 = bX±1Yb±1 (3.81)

Da qui, utilizzando le relazioni (3.49) si possono esplicitare gli operatori che com-pongono l’operatore tensoriale di rango 2 associato al prodotto cX ◦ bY :

( bX ◦ bY )(2, 0) = 1 2 · 61/2( bX−1Yb+1+ bX+1Yb−1− 4 bX0Yb0) (3.82) ( bX ◦ bY )(2, ±1) = ±1 2 ( bX±1Yb0+ bX0Yb±1) (3.83) ( bX ◦ bY )(2, ±2) = −1 2Xb±1Yb±1 (3.84) A questo punto si pu`o calcolare il prodotto tensoriale

b X ⊗ bY (2, q) = 1 X q1=−1 1 X q2=−1 h1, 1, q1, q2|2, qi bX(1, q1) bY (1, q2) (3.85)

(61)

o in modo esplicito b X ⊗ bY (2, 0) = h1, 1, −1, +1|2, 0i bX(1, −1) bY (1, +1) + h1, 1, +1, −1|2, 0i bX(1, +1) bY (1, −1) + h1, 1, 0, 0|2, 0i bX(1, 0) bY (1, 0) = 1 61/2( bX(1, −1) bY (1, +1) + bX(1, +1) bY (1, −1) + 2 bX(1, 0) bY (1, 0)) (3.86) b X ⊗ bY (2, ±1) = h1, 1, ±1, 0|2, ±1i bX(1, ±1) bY (1, 0) + h1, 1, 0, ±1|2, ±1i bX(1, 0) bY (1, ±1) = ±1 21/2( bX(1, ±1) bY (1, 0) + bX(1, 0) bY (1, ±1)) (3.87) b X ⊗ bY (2, ±2) = h1, 1, ±1, ±1|2, ±2i bX(1, ±1) bY (1, ±1) = bX(1, ±1) bY (1, ±1) (3.88)

A questo punto, esprimendo bX(1, q) e bY (1, q) in termini di bX0, bX±1, bY0, bY±1 per

mezzo delle relazioni (3.35) e (3.36) si ottiene

b X ⊗ bY (2, 0) = − 1 2 · 61/2( bX−1Yb+1+ bX+1Yb−1− 4 bX0Yb0) (3.89) b X ⊗ bY (2, ±1) = ±1 2 ( bX±1Yb0+ bX0Yb±1) (3.90) b X ⊗ bY (2, ±2) = −1 2Xb±1Yb±1) (3.91) Confrontando questo risultato con (3.82)-(3.84) si ottiene la relazione (3.62).

• Se si considerano gli operatori bA, bB scalari, cX, bY vettoriali e bR, bS diadici simme-trici a traccia nulla e i loro rispettivi operatori tensoriali di rango 0, 1 e 2: bA(0, 0),

b

B(0, 0), bX(1, q), bY (1, q), bR(2, q) e bS(2, q), allora

b