Dinamica e controllo di un flusso 2-D per una cavità aperta

(1)

Universit`

a degli Studi di Pisa

Facolt`

a di Ingegneria

Corso di Laurea Specialistica in

Ingegneria Aerospaziale

Analisi di stabilit`

a e controllo

di un flusso incomprimibile in

una cavit`

a aperta

Tesi di Laurea Specialistica in Ingegneria

Aerospaziale

Candidato:

Relatore:

(2)

Indice

Indice II

Elenco delle figure V

Elenco delle tabelle VI

Simboli e acronimi VII

1 Introduzione 2

1.1 Introduzione . . . 2

1.2 Descrizione sintetica del lavoro . . . 3

2 Descrizione del problema fisico e matematico 5 2.1 Caso di riferimento . . . 5

2.1.1 Condizioni al contorno . . . 7

2.2 Meccanismi per il controllo . . . 9

2.2.1 Attuazione . . . 9

2.2.2 La misura del campo . . . 11

2.3 Analisi di stabilit`a . . . 11

2.3.1 Studio del problema del controllo . . . 12

3 Schema numerico e soluzione 14 3.1 Incognite e griglia di calcolo . . . 14

3.2 Rappresentazione della geometria della cavit`a . . . 15

3.3 Discretizzazione delle equazioni . . . 16

3.4 Condizioni al bordo . . . 17

3.4.1 Condizioni sul flusso entrante/uscente . . . 17

3.4.2 Condizioni per la parete della cavit`a . . . 18

3.4.3 Ordinamento delle incognite . . . 20

3.5 Metodo di Newton-Raphson per la soluzione numerica . . . 20

3.6 Studio numerico dell’instabilit`a lineare . . . 21

3.7 Il controllo . . . 23

3.7.1 Costruzione dei sensori e dell’attuazione . . . 23

3.7.2 Metodo dell’aggiunto . . . 25

(3)

INDICE

4 Caso a Re = 4250 27

4.1 Dati del problema . . . 27

4.1.1 Le griglie di calcolo . . . 27

4.2 Soluzione del flusso base . . . 30

4.3 Calcolo degli autovalori instabili del flusso base . . . 33

4.4 Definizione dell’attuazione . . . 36

4.5 Mappe dei modi da controllare . . . 36

4.5.1 Validazione numerica del metodo dell’aggiunto . . . 38

4.6 Stabilizzazione del flusso . . . 38

5 Caso a Re = 7500 40 5.1 Dati del problema . . . 40

5.2 Soluzione del flusso base . . . 40

5.3 Analisi dei modi instabili . . . 43

5.4 Controllo del flusso . . . 50

5.4.1 Costruzioni delle mappe dei modi instabili . . . 50

5.4.2 Linee generali per il controllo . . . 52

5.5 Riduzione ad un problema di minimo . . . 54

5.5.1 Calcolo delle derivate . . . 55

5.5.2 Stima del passo . . . 56

5.6 Controllo dei singoli autovalori . . . 56

6 Sommario e conclusioni 63 6.1 Sommario e conclusioni . . . 63

6.2 Ringraziamenti . . . 64

A Localizzazione degli autovalori 65 A.1 Inverse Iteration . . . 65

B Valutazione degli autovalori di una matrice perturbata 67 B.1 Descrizione del problema . . . 67

(4)

Elenco delle figure

1.1 Rappresentazione schematica del modello geometrico della cavit`a . . . 3 2.1 Rappresentazione del dominio d’esistenza: si notino l’origine del sistema di

riferi-mento cartesiano ed il posizionariferi-mento dello spigolo di coordinate (xc, yc) . . . 6

2.2 Composizione del bordo del dominio d’esistenza del flusso: oltre alle condizioni di ingresso ed uscita del flusso e di no slip, devono essere imposte delle particolari condizioni alla parete per poter permettere uno sviluppo graduale dello strato limite alla parete . . . 7 2.3 Rappresentazione della geometria del controllo: si noti l’estensione della superficie

di controllo che `e anche abbastanza estesa . . . 10 3.1 Rappresentazione grafica del pattern della griglia numerica: i quadrati blu sono i

nodi di pressione, i punti rossi i nodi della velocità u ed infine gli asterichi i nodi della velocità v. . . 15 3.2 Rappresentazione della geometria della cavità sulla griglia numerica. Oltre ai lati

che vengono identificati con i punti cardinali, si pu`o notare la coincidenza del bordo fisico del problema con i nodi di pressione (i punti in blu) . . . 16 3.3 Rappresentazione delle condizioni al bordo per il flusso entrante/uscente dal dominio

computazionale . . . 18 3.4 Rappresentazione delle condizioni sulla parete della cavit`a . . . 19 3.5 Velocit`a di convergenza al variare del numero di Reynolds e del numero di nodi della

griglia computazionale . . . 21 3.6 Posizione del sensore di velocit`a e nodi usati per calcolare la velocit`a misurata dal

sensore tramite interpolazione bilineare . . . 24 4.1 Aspetto della geometria usata per la simulazione con le grandezze geometriche

rappresentative del problema . . . 28 4.2 Rappresentazione della griglia numerica in y usata per la simulazione a Re = 4250:

si noti che più si è lontani dagli spigoli della cavità maggiore è la spaziatura dei nodi, al contrario per 0.9_{≤ y ≤ 1.1, i nodi sono equispaziati. . . .} 29 4.3 Distribuzione della velocità u nel dominio computazionale per flusso base a Re = 4250 31 4.4 Distribuzione della velocità v nel dominio computazionale per flusso base a Re = 4250 31 4.5 Distribuzione della pressione p nel dominio computazionale per flusso base a Re = 4250 32 4.6 Distribuzione di |~u| nel dominio computazionale per flusso base a Re = 4250 . . . . 32 4.7 Distribuzione della vorticità nel dominio computazionale per flusso base a Re = 4250 33

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ELENCO DELLE FIGURE

4.8 Rappresentazione dell’autofunzione ˜u associato all’autovalore 0.02 + 7.59i per flusso a Re = 4250 . . . 34 4.9 Rappresentazione dell’autofunzione ˜v associato all’autovalore 0.02 + 7.59i per flusso

a Re = 4250 . . . 34 4.10 Rappresentazione dell’autofunzione ˜p associato all’autovalore 0.02 + 7.59i per flusso

a Re = 4250 . . . 35 4.11 Rappresentazione schematica dell’estensione del soffiaggio nel problema . . . 36 4.12 Rappresentanzione della mappa per il modo v calcolata sulla griglia GR3 per

l’au-tovalore σ = 0.02 + 7.5i . . . 37 4.13 Rappresentanzione della mappa per il modo v calcolata sulla griglia GR2 per

l’au-tovalore σ = 0.019 + 7.51i . . . 37 5.1 Distribuzione della velocit`a u nel dominio computazionale per flusso base a Re =

7500 sulla griglia GR1 . . . 41 5.2 Distribuzione della velocit`a v nel dominio computazionale per flusso base a Re =

7500 sulla griglia GR1 . . . 41 5.3 Distribuzione della pressione p nel dominio computazionale per flusso base a Re =

7500 sulla griglia GR1 . . . 42 5.4 Distribuzione di _{|~u| nel dominio computazionale per flusso base a Re = 7500 sulla}

griglia GR1 . . . 42 5.5 Distribuzione della vorticit`a nel dominio computazionale per flusso base a Re = 7500

sulla griglia GR1 . . . 43 5.6 Spettro da controllare per il problema a Re = 7500 calcolato sulla griglia GR2 . . 44 5.7 Rappresentazione della parte reale del modo diretto u nel caso di Re = 7500 per gli

autovalori dello spettro da controllare sulla griglia GR2 . . . 45 5.8 Rappresentazione della parte reale del modo diretto v nel caso di Re = 7500 per gli

autovalori dello spettro da controllare sulla griglia GR2 . . . 46 5.9 Rappresentazione della parte reale del modo diretto p nel caso di Re = 7500 per gli

autovalori dello spettro da controllare sulla griglia GR2 . . . 47 5.10 Rappresentazione della parte reale del modo diretto v nel caso di Re = 7500 per gli

autovalori dello spettro da controllare sulla griglia GR2 . . . 49 5.11 Mappe della parte reale del modo v per sistema non controllato a Re = 7500 sulla

griglia GR2 . . . 51 5.12 Regione del dominio in cui posizionare una sonda con guadagno negativo e regione

con la massima sensibilit`a dove posizionare eventuali sonde . . . 52 5.13 Regione del dominio in cui posizionare una sonda con guadagno positivo e la regione

con la massima sensibilit`a dove posizionare eventuali sonde . . . 53 5.14 Traiettorie degli autovalori dello spettro da controllare incrementando il guadagno

della sonda: quando cada l’ipotesi di piccole perturbazioni del sistema, gli autovalori non seguono pi`u il gradiente letto sulla mappe di sensibilit`a nella posizione occupata dalla sonda . . . 54 5.15 Andamento delle traiettorie degli autovalori instabili controllati singolarmente . . . 61 5.16 Andamento delle traiettorie dello spettro da controllare . . . 62

(6)

Elenco delle tabelle

3.1 velocit`a di convergenza del metodo numerico per i 4 casi test . . . 21 4.1 Validazione del metodo dell’aggiunto per la griglia GR3; σ senza getti = σ0`e

l’auto-valore del flusso base non controllato, σ con getti = σ1 `e l’autovalore del flusso base

retroazionato, variazione coincide con σ1− σ0, valore mappa∗guadagno `e il valore

della mappa moltiplicato per il guadagno . . . 38 5.1 Autovalori instabili al raffinamento della griglia di calcolo . . . 43 5.2 Localizzazione dell’autovalore 5 al raffinamento della griglia . . . 43 5.3 Confronti tra i dati iniziali delle sonde e quelli finali con autovalore portato nella

parte stabile . . . 57 5.4 Confronti tra i dati iniziali delle sonde e quelli intermedi con autovalore non stabilizzato 58 5.5 Confronti tra i dati intermedi delle sonde e quelli finali con autovalore stabilizzato 58 5.6 Confronto tra i dati iniziali delle sonde e quelli finali con autovalore stabilizzato . . 59 5.7 Confronto tra i dati iniziali delle sonde e quelli finali con autovalore stabilizzato . . 59 5.8 Guess iniziale da cui far partire la procedura di minimizzazione su tutti gli autovalori

da controllare contemporaneamente . . . 60 5.9 Shift iniziale per localizzare gli autovalori da controllare . . . 60 5.10 Lista degli autovalori controllati . . . 61

(7)

Simboli e acronimi

L larghezza della cavità D profondità della cavità

U∞ velocit`a asintotica di ingresso del flusso

ρ∞ densit`a del fluido

ν viscosit`a cinematica del fluido Re = U∞D

ν numero di Reynolds della cavit`a

Ω dominio di esistenza della soluzione del problema Lx larghezza massima del dominio lungo x

Ly larghezza massima del dominio lungo y

ˆ

u(x, y) modo spaziale diretto della componente di velocit`a u ˆ

v(x, y) modo spaziale diretto della componente di velocit`a v ˆ

p(x, y) modo spaziale diretto della pressione p

ub(x, y) componente di velocit`a u per flusso stazionario

vb(x, y) componente di velocit`a v per flusso stazionario

pb(x, y) campo di pressione p per flusso stazionario

Γcontrollo porzione della parete su cui `e installata l’attuazione

rjet lunghezza di Γcontrollo

nx numero di punti in x della griglia di calcolo

ny numero di punti in y della griglia di calcolo

uij velocit`a u calcolata al nodo di indici (i, j)

vij velocit`a v calcolata al nodo di indici (i, j)

pij pressione p calcolata al nodo di indici (i, j) ∂

∂x ij gradiente lungo x calcolato al nodo di indici (i, j) ∂

∂y ij gradiente lungo y calcolato al nodo di indici (i, j)

Γu l’insieme dei nodi uij

Γv l’insieme dei nodi vij

Γp l’insieme dei nodi pij

xv

ij ascissa dell’elemento di indici (i, j) appartenente a Γv

yv

ij ordinata dell’elemento di indici (i, j) appartenente a Γv

xu

ij ascissa dell’elemento di indici (i, j) appartenente a Γu

yu

ij ordinata dell’elemento di indici (i, j) appartenente a Γu

F(wn) sistema costituito dalle equazioni soluzione del problema discretizzato

~

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SIMBOLI E ACRONIMI

A =J (w) matrice di stabilit`a

B matrice di evoluzione del sistema

σ autovalore generico del sistema A + σB = 0 w autovettore diretto del sistema A + σB = 0 xi autovettore aggiunto del sistema A + σB = 0 x(i)s ascissa della sonda i− esima

y(i)s ordinata della sonda i− esima

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Sommario

In questo elaborato si descrive il controllo di un flusso bidimensionale newtoniano, applicato ad una geometria tipica di una cavità aperta. Il flusso, oltre un certo numero di Reynolds, pari a 4140, presenta instabilità e diventa stazionario; tramite un meccanismo di soffiaggio/aspirazione, controllato da un’opportuna retroazione, si cerca di controllare il flusso rendendo linearmente stabile la configurazione stazionaria. Il sistema è provvisto di sensori che misurano la componente verticale di velocità. La legge di controllo è in feedback proporzionale: son da calcolare le posizioni delle sonde ed i loro guadagni. Tramite un’analisi di sensitività sul campo di flusso non controllato e sfruttando un algoritmo di minimizzazione presente nel lavoro di Camarri Iollo([?]), si riesce a progettare con successo un controllore per flussi base a Reynolds a 4250 e 7500, ben lontani dalla soglia del Reynolds critico.

(10)

Capitolo 1

Introduzione

1.1 Introduzione

Regioni con flusso separato sono una caratteristica comune di molte configurazioni realistiche: corpi tozzi, corpi aerodinamici ad alta incidenza, etc.; spesso tali regioni mostrano delle instabilità tipo Kelvin_{−Helmoltz ([?]) , che rendono il flusso non stazionario anche in presenza di condizioni} esterne stazionarie. Capire come controllare queste forme di instabilità è di fondamentale impor-tanza nel campo ingegneristico per poter evitare fenomeni come vibrazioni, risonanza e rumore: inoltre, è importante capire come controllare nella maniera più efficiente possibile il sistema. Rientra in questa categoria la geometria tipica di una cavità aperta: vi è una zona di ricircolo del flusso confinata nella cavità oltre ad un forte shear layer che si forma sulla parte superiore della cavità e che, per un numero di Reynolds sufficientemente elevato, si instabilizza. La particolare geometria e lo studio di modi instabili è stato documentato nel riferimento [?]. In questo lavoro sono stati considerati trascurabili gli effetti di comprimibilità, cos`ı come gli effetti 3D che invece potrebbero avere un ruolo importante come mostrato dagli esperimenti del riferimento [?]

I metodi di controllo possono essere divisi in 3 categorie: passivi (nessuna potenza aggiuntiva è richiesta al sistema), attivi in anello aperto (vi è un’attuazione che richiede energia ma non vi sono sensori che retroazionano il campo), attivi in anello chiuso (comprensivi di attuazione e sensori). Il vantaggio dei controlli passivi è che non richiedono potenza, ma possono essere progettati per una sola condizione di progetto. I controlli attivi ad anello aperto, possono essere più flessibili rispetto alla condizione di progetto ma richiedono continuamente potenza. Al contrario i controlli attivi in anello chiuso rappresentano una classe di controlli motlo più efficiente e flessibile.

Il lavoro del riferimento [?] propone una strategia di controllo ad anello chiuso in cui l’attuazione è un meccanismo di soffiaggio/aspirazione installato a ridosso della cavità e una sensorizzazione che misura lo sforzo tangenziale su una porzione della parete della cavità: la legge di controllo in questo caso è di tipo proporzionale e si usa un modello di ordine ridotto per poter studiare la dinamica del sistema.

Tuttavia in letteratura (rif. [?]) sono presenti delle tecniche di controllo basate su un’analisi di sensitività del sistema che possono essere riadattate alla geometria in questione: questa tecnica puó essere utilizzata per proporre sia controlli attivi che passivi. Poiché si basa su un’analisi linearizza-ta del flusso, la tecnica in questione puó essere applicata per rendere linearmente stabile una data configurazione stazionaria del flusso. La robustezza del controllo va invece valutata a-posteriori.

(11)

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

L’idea di base in questo lavoro è quella di sfruttare un’attuazione già descritta ed impiegata nel lavoro di rif. [?] e creare un controllore in feedback proporzionale basato sulla misura derivante da sensori di velocità verticale: questi sensori sono ideali e non alterano il flusso. Nel caso trattato, i parametri di progetto del controllore sono la posizione dei sensori e la costante di guadagno associa-ta. L’analisi linearizzata di sensitività rispetto ai parametri del controllore permette di avere una stima dello spostamento nel piano complesso degli autovalori instabili ad un costo computazionale che é pressoché indipendente dal numero di parametri liberi del controllore; poiché tale analisi è linearizzata, è generalmente accurata solo per piccole variazioni dei parametri in gioco. Tuttavia a numeri di Reynolds molto maggiori rispetto a quello critico, gli autovalori instabili sono marcata-mente lontani dall’asse immaginario quindi gli spostamenti sono lontani da essere ritenuti piccoli: il controllore è quindi disegnato tramite successive linearizzazioni; questo procedura continua fino a che non si portano gli autovalori instabili nella regione stabile. Tuttavia, oltre a questi modi, conclatamente nocivi, devono essere monitorati tutti i modi che pur stabili sono molto vicini al-l’asse immaginario: una perturbazione del sistema può sortire l’effetto indesiderato di far scorrere verso l’instabilità i modi che originariamente sono stabili.

In ultima istanza, il problema assume una certa rilevanza computazionale: i gradi di libert`a asso-ciati al sistema da controllare in questo lavoro variano da 6.7∗ 105 _{a 3.1}_{∗ 10}6_{: il numero `e quindi}

troppo elevato per poter pensare di applicare tecniche di controllo classico come ad esempio il posizionamento degli autovalori.

1.2 Descrizione sintetica del lavoro

La geometria del problema è quella di una cavità aperta con profondità e larghezza uguali tra loro (L = D), come rappresentata in ??.

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

D larghezza e profondit`a della cavit`a Re = D∗U∞

υ `e il numero di Reynolds caratteristico

Il flusso è bidimensionale e si applicano le equazioni di N avier_{− Stokes per la soluzione dello} stesso; si fa inoltre l’ipotesi di incomprimibilità. Per Reynolds inferiori a 4140, il flusso presenta stabilità asintotica temporale ([?]).

Si considera l’approssimazione di flusso piano 2D, ipotizzando una geometria nominalmente 2D (λ_{→ ∞) e che il flusso sia stabile a disturbi 3D. Ipotesi analoghe sono state fatte nei lavori [?] [?]} documentati in letteratura, con cui presente lavoro intende confrontarsi direttamente. Tuttavia, questo non ha alcuna influenza sui risultati ottenuti in questo lavoro, il cui obiettivo consiste nel confrontare un metodo di controllo descritto in letteratura con altri impiegati nel lavoro [?] a paritá di sistema da controllare. Semmai, la presenza di instabilitá 3D potrebbe inficiare la possibilitá di applicazione pratica del controllo qui descritto, obiettivo che richiederebbe un’ulteriore analisi. Lo scopo finale dell’elaborato è quello di applicare il metodo proposto nel lavoro [?] per controllare il flusso nella cavitá con un controllore proporzionale in feedback, usando la stessa attuazione descritta in [?]. L’attuazione è fornita da un meccanismo di soffiaggio/aspirazione nel flusso posto a ridosso della cavità e vengono usati dei sensori che misurano la velocità verticale v e che possono essere posizionati nel campo. In sintesi questo elaborato si articola nei seguenti punti:

1. descrizione matematico-fisico del problema del flusso stazionario e relativo controllo 2. descrizione della simulazione numerica e relativa implementazione

3. applicazione dei metodi descritti su casi interessanti: descrizione del campo stazionario, studio dello spettro, controllo

(13)

Capitolo 2

Descrizione del problema fisico e

matematico

Viene presentata la descrizione del problema analitico e le relative ipotesi.

2.1 Caso di riferimento

Come detto nella sezione ??, si usa la geometria e le condizioni di flusso presenti nei lavori di Sipp ([?] e [?]). Viene illustrata in Figura ?? una rappresentazione della geometria della cavit`a e del dominio d’esistenza: si sottolineano le grandezze caratteristiche e viene altres`ı fissato il sistema di riferimento cartesiano; la velocit`a di ingresso U∞ la lunghezza D vengono usate per rendere

(14)

CAPITOLO 2. DESCRIZIONE DEL PROBLEMA FISICO E MATEMATICO

0 1.2 2.2 3.7

0 1 1.5

Geometria della cavità

x

y u

v (xc,yc)

Figura 2.1: Rappresentazione del dominio d’esistenza: si notino l’origine del sistema di riferimento cartesiano ed il posizionamento dello spigolo di coordinate (xc, yc)

Il vertice della cavit`a `e individuato dalle coordinate (xc, yc) ed esse sono pari a xc = 1.2 e

yc= 1.0

Equazioni del campo di flusso

Le equazioni che risolvono il flusso sono le equazioni di Navier Stokes specializzate per flusso incomprimibile 2D: ∇ · ~u = 0 (2.1) ∂~u ∂t + ~u· ∇~u = − 1 ρ∇p + ν ρ∇ 2_~u _(2.2)

con ~u = u_v. Le incognite del problema sono la velocit`a ~u e la pressione p: ovviamente sono funzioni reali definite su un sottoinsieme di R2_.

Per il flusso base si intende il campo stazionario soluzione del problema; le equazioni ?? e ?? si specializzano allora nelle Equazioni ?? e ??:

(15)

CAPITOLO 2. DESCRIZIONE DEL PROBLEMA FISICO E MATEMATICO ~ub· ∇~ub =− 1 ρ∇pb+ µ ρ∇ 2_~u b (2.4)

ove il pedice b sta ad indicare la soluzione del flusso base.

2.1.1 Condizioni al contorno

In Figura ??, `e riportato come viene frazionato il bordo del dominio del problema coerentemente con quanto esposto nel lavoro di Sipp e Lebedev ([?]): vengono quindi elencate le condizioni al bordo sulle varie parti che compongono la frontiera.

0 0.8 1.2 2.2 2.95 3.7

0 1 1.5

Bordo del dominio

x y ∂ Ω1 ∂ Ω2 ∂ Ω3 ∂ Ω4 ∂ Ω5 ∂ Ω6

Figura 2.2: Composizione del bordo del dominio d’esistenza del flusso: oltre alle condizioni di ingresso ed uscita del flusso e di no slip, devono essere imposte delle particolari condizioni alla parete per poter permettere uno sviluppo graduale dello strato limite alla parete

Bordo ∂Ω1 (lato inlet)

(16)

x = 0 (2.5)

1.0_{≤ y ≤ 1.5} (2.6) Il flusso entra uniforme, quindi le condizioni da imporre sono:

u = U∞= 1 (2.7)

v = 0 (2.8)

p = p∞= 0 (2.9)

Sono ovviamente delle condizioni di Dirichlet

Bordo ∂Ω2 (lato upper)

Tale lato `e descritto dalle relazioni dell’equazione ??

0_{≤ x ≤ 3.7} (2.10) y = 1.5 (2.11) Il flusso non pu`o uscire fuori dal dominio da suddetto lato, vengono quindi imposte le seguenti codizioni miste di Dirichlet e N eumann

v = 0 (2.12)

∂u

∂y = 0 (2.13)

Bordo ∂Ω3 (lato outlet)

1.0≤ y ≤ 1.5 (2.14) x = 3.7 (2.15) Il flusso non pu`o uscire fuori dal dominio da suddetto lato, vengono quindi imposte le seguenti codizioni miste di Dirichlet e N eumann

ν∂u

∂x− p = 0 (2.16)

v = 0 (2.17)

(17)

Bordo ∂Ω5 (slip condition)

0.0_{≤ x ≤ 0.8} (2.18) y = 1.0 (2.19) Il flusso entra a contatto con la parete della cavità in modo che possa scivolare, ovvero non vi è sforzo tangenziale alla parete ed il flusso non può penetrare la parete. Ciò matematicamente:

~u_{· ~n|}parete= 0 (2.20)

τ_|parete= 0

Bordo ∂Ω6 (slip condition)

2.95≤ x ≤ 3.7 (2.22) y = 1.0 (2.23) Le equazioni da imporre son le ??.

Bordo ∂Ω4 (no slip)

Si tratta la parte di bordo coincidente con la parete su cui vengono imposte le condizioni di non scorrimento che semplicemente divengono le equazioni (equazioni ??)

u = 0 (2.24)

v = 0 (2.25)

2.2 Meccanismi per il controllo

L’attuazione e sensorizzazione `e tale per cui il campo (~ub, pb) rimane sempre soluzione

stazio-naria del flusso sia non controllato che controllato.

Vengono brevemente esposte le scelte fatte a livello fisico per poter controllare il flusso.

2.2.1 Attuazione

La scelta dell’attuazione `e la medesima che nel caso presentato da Sipp e Barbagallo ([?]); con riferimento alla figura ?? viene di seguito formulata una breve descrizione della geometria e del modo di attuare il sistema.

(18)

CAPITOLO 2. DESCRIZIONE DEL PROBLEMA FISICO E MATEMATICO 0 0.85 1.2 2.2 3.7 0 1 1.5 Attuazione usata x y componente misurata Γcontrollo

Figura 2.3: Rappresentazione della geometria del controllo: si noti l’estensione della superficie di controllo che `e anche abbastanza estesa

(19)

La porzione di bordo dove `e installata l’attuazione `e tale da poter essere descritta dall’equazioni ??

0.85≤ x ≤ 1.2 (2.26) y = 1.0 (2.27) e quindi ha un’estensione rjet pari a 0.35.

Il campo di velocit`a imposto dall’attuazione `e allora descritto dall’equazione ?? vparete= [1− ( 2_{∗ χ} rjet )2]_{∗ m} (2.28) χ = x− xc+ rjet 2 = x− 1.2 + 0.35 2 = x− 1.025 (2.29) 0.85_{≤ x ≤ 1.2} (2.30) con m uno scalare che viene assegnato in funzione del segnale misurato dai sensori del sistema di controllo.

2.2.2 La misura del campo

Per poter realizzare il controllo del sistema, vi è bisogno di misurare alcune quantità del sistema in essere; in tale lavoro si è scelto di usare dei sensori ideali (che non aggiungono errore alla misura) puntiformi che misurano la componente di velocità v là dove sono installati. La misura totale m è quindi una combinazione lineare delle singole misure effettuate dalle varie sonde presenti nel campo che tradotto analiticamente diviene l’equazione ??

m =

N

X

i=1

K_{f eed}(i) [v(x(i)_s , y(i)_s )− vb(x(i)s , y(i)s )] (2.31)

dove N è il numero di sonde installate, K_{f eed}(i) è il guadagno della singola sonda installata nella posizione di coordinate (x(i)s , ys(i)) e vb(x(i)s , ys(i)) è il flusso base nel punto dove è installata la sonda.

2.3 Analisi di stabilit`

a

Si studia la stabilit`a del flusso tramite un’analisi lineare; al campo base si aggiunge un campo di perturbazione, denotato con ˜u ˜v p e si impone, linearizzando le equazioni ?? e ??, che tale˜ campo perturbato sia esso stesso soluzione del campo di flusso rispettando quindi le condizioni al contorno presentate nella sezione ??.

Si assuma che la forma analitica che descrive il disturbo sia del tipo      ˜ p = ˆp(x, y)eσt ˜ u = ˆu(x, y)eσt ˜ v = ˆv(x, y)eσt (2.32)

(20)

con σ ∈ C.

Riscrivendo le equazioni ?? e ?? con i termini perturbativi, linearizzando e considerando che il flusso base `e soluzione del problema stazionario si ha:

∇ · ~û = 0 (2.33) σ~û +∇~û · ~ub+∇~ub· ~û = −∇ˆp +

1 Re∇

2_~ˆu _(2.34)

con ~û = (û, ˆv). L’equazione ?? può essere equivalentemente e brevemente riscritta in termini di operatori lineari ovvero

σ~ˆu + L[~ub]· ~ˆu + ∇ˆp = 0 (2.35)

Un flusso si dice linearmente instabile quando il campo ~ub pb ha almeno un’autofunzione non

banale, soddisfacente il sistema di equazioni ?? e ?? e tale che Re(σ) > 0. In particolare esiste un valore critico del numero di Reynolds (Recr), tale per cui il flusso base `e instabile per Re≥ Recr.

2.3.1 Studio del problema del controllo

Le equazioni ?? e ?? descrivono la dinamica del sistema una volta linearizzato; lo scopo del lavoro `e quello di trovare un controllore che si basi sull’attuazione e la misura descritte, tale da rendere (~ub, pb) stabile anche per Re ≥ Recr. Visto che la geometria e l’attuazione son gi`a state

scelte, vi `e bisogno di decidere quante sonde usare e per ognuna di esse stabilire una posizione nello spazio e stimare il guadagno K_{f eed}(i) .

Da un punto di vista formale, l’attuazione interviene variando le condizioni al contorno alla parete; la formulazione analitica del problema del controllo allora diviene

σ~û +∇~û · ~ub+∇~ub· ~û = −∇ˆp +

1 Re∇ 2_~û _(2.36) ∇ · ~û = 0 (2.37) (2.38) Le condizioni al bordo: sul bordo ∂Ω1 ˆ u = 0 (2.39) ˆ v = 0 (2.40) ˆ p = 0 (2.41) sul bordo ∂Ω2 ∂ û ∂y = 0 (2.42) ˆ v = 0 (2.43) ˆ p = 0 (2.44)

(21)

CAPITOLO 2. DESCRIZIONE DEL PROBLEMA FISICO E MATEMATICO sul bordo ∂Ω3 ˆ u = 0 (2.45) ˆ v = 0 (2.46) ˆ p = 0 (2.47) sul bordo ∂Ω5 e ∂Ω6 ∂ ˆu ∂y = 0 (2.48) ˆ v = 0 (2.49) ˆ p = 0 (2.50)

sul bordo ∂Ω4− Γcontrollo

ˆ u = 0 (2.51) ˆ v = 0 (2.52) ˆ p = 0 (2.53)

sul bordo Γcontrollo

˜

v|Γcontrollo = vparete∗ m Γcontrollo (2.54)

ˆ

(22)

Capitolo 3

Schema numerico e soluzione

Per la soluzione dell’equazioni del moto del fluido si `e usato uno schema numerico alle differenze finite le cui incognite sono le pressioni (p) e le velocit`a del campo (u, v) da computarsi su opportuni punti della griglia nodale.

3.1 Incognite e griglia di calcolo

In questo lavoro vengono usate griglie cartesiane non collocate (staggered), in paricolare: nodi per la velocit`a u: punti su cui viene valutata l’equazione di quantit`a di moto lungo x e

vengono imposte le opportune condizioni al contorno sulla velocit`a u

nodi per la velocità v: punti su cui viene valutata l’equazione di quantità di moto lungo y e vengono imposte le opportune condizioni al contorno sulla velocità v

nodi per la pressione p: punti su cui viene valutata l’equazione di continuit`a

La costruzione delle varie griglie avviene operando il prodotto cartesiano tra pi`u insiemi di punti sull’asse x e l’asse y opportunamente distribuiti; tali insiemi sono:

Au,x l’insieme delle coordinate lungo x dei punti nodali su cui si calcola la velocit`a u

Av,x l’insieme delle coordinate lungo x dei punti nodali su cui si calcola la velocit`a v, che

deve avere lo stesso numero di elementi di Au,x

Au,y l’insieme delle coordinate lungo y dei punti nodali su cui si calcola la velocit`a u

Av,y l’insieme delle coordinate lungo y dei punti nodali su cui si calcola la velocit`a v, che

deve avere lo stesso numero di elementi di Au,y

Si costruiscono pertanto le seguenti sotto-griglie: Γu = Au,x× Au,y

Γv = Av,x× Av,y

(23)

CAPITOLO 3. SCHEMA NUMERICO E SOLUZIONE

Una coppia di interi (i, j) può quindi individuare tre punti, ciascuno appartenente ad una diversa sotto-griglia: l’insieme di questi tre punti costituisce quindi una cella in cui si devono implementare e calcolare i vari bilanci di flusso. Il pattern della griglia è rappresentato in ??: i punti in azzuro sono i punti di pressione, quelli in rosso i nodi di u ed infine quelli in nero i punti di v; la cella è individuata dalla linea tratteggiata.

8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 asse x −−> asse y −−>

pattern della griglia e relativa cella

pressione (i,j)

velocità u (i,j) velocità v (i,j)

Figura 3.1: Rappresentazione grafica del pattern della griglia numerica: i quadrati blu sono i nodi di pressione, i punti rossi i nodi della velocit`a u ed infine gli asterichi i nodi della velocit`a v.

Se nx ed ny sono rispettivamente il numero di elementi presenti in Au,x e Au,y, allora il numero

di celle per ogni griglia `e pari a nx∗ ny: quindi il numero totale di nodi e quindi di incognite, pari

all’unione delle tre sotto-griglie, `e 3∗ nx∗ ny.

3.2 Rappresentazione della geometria della cavit`

a

La geometria della cavità è descritta da 4 funzioni che rappresentano i lati Nord, Sud, Est ed Ovest (??): il fulcro della geometria è il vertice della cavità di coordinate (xc, yc). Si spezza in tal

modo il dominio numerico e fisico in 2 regioni: in particolare la regione delimitata superiormente dalla parete `e detta immersa. Per ottenere la soluzione del problema numerico si applica la seguente strategia:

Nodi interni alla regione immersa: viene imposto fortemente che il campo di flusso sia nullo sui punti della griglia appartenenti alla regione immersa. Il campo di pressione risulta cos`ı essere disaccoppiato da quello del dominio del fluido.

Nodi della regione emersa: vengono imposte le equazioni di continuit`a e momento negli opportuni nodi della griglia

data la particolare geometria della parete, si fa in modo che i nodi di pressione appartengano a quest’ultima: ci`o semplifica la programmazione delle condizioni al bordo

(24)

CAPITOLO 3. SCHEMA NUMERICO E SOLUZIONE 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Lato Sud Lato Nord Lato Est Lato Ovest

Figura 3.2: Rappresentazione della geometria della cavit`a sulla griglia numerica. Oltre ai lati che vengono identificati con i punti cardinali, si pu`o notare la coincidenza del bordo fisico del problema con i nodi di pressione (i punti in blu)

il lato sud viene fatto coincidere con il lato estremo meridionale della griglia computazionale in modo che la regione immersa sia descrivibile topologicamente come 2 rettangoli disgiunti: `e un caso molto semplice da trattare e da progammare.

3.3 Discretizzazione delle equazioni

Per la generica cella corrispondente alla coppia (i, j) appartenente alla regione emersa si ha: per i nodi di pressione si scrive la condizione di continuit`a

[uij − ui−1j] [xu i − xui−1] + [vij − vij−1] [yv j − yvj−1] = 0 (3.1) per i nodi in u l’equazione del momento lungo x

u∂u ∂x ij+ u∂v ∂y _ij+ [pi+1j− pij] [xv i+1− xvi] − 1 Re( [ui+1j−uij] [xu i+1−xui] − [uij−ui−1j] [xu i−xui−1] [xi+1− xi] + uij+1−uij yu j+1−yju − [uij−uij−1] [yu j−yuj−1] [yv j+1− yjv] ) = 0 (3.2) per i nodi in v l’equazione del momento lungo y

u∂v ∂x ij+ v∂v ∂y _ij + [pij+1− pij] [yj+1− yj] − 1 Re( [vi+1j−vij] [xv i+1−xvi] − [vij−vi−1j] [xv i−xvi−1] [xu i+1− xui] + vij+1−vij yv j+1−yvj − [vij−vij−1] [yv j−yj−1v ] [yj+1− yj] ) = 0 (3.3)

(25)

Vengono di seguito riportati i termini differenziali precedentemente non espansi nelle equazioni del flusso base, in particolare:

u∂u

∂x ij = 0.25∗

(ui+1j+uij)2−(uij+ui−1j)2

xv i+1−xvi v∂v ∂y ij= 0.25∗ (vij+1+vij)2−(vij−1+vij)2 yu j+1−yju u∂v ∂y ij = 0.25∗

(uij+1+uij)∗(vi+1j+vij)−(uij−1+uij)∗(vi+1j−1+vij−1)

yv j−yvj−1

u∂v

∂x ij = 0.25∗

(vi+1j+vij)∗(uij+1+uij)−(ui−1j+1+ui−1j)∗(vi−1j+vij)

xu i−xui−1

3.4 Condizioni al bordo

Da arrangiare, son rimaste le condizioni alla parete e le condizioni sul flusso in entrata ed uscita.

3.4.1 Condizioni sul flusso entrante/uscente

Si pu`o dividere tale sottoproblema in 3 fasi ??:

inlet, il lato di entrata del flusso: qui si impone un profilo di velocit`a uniforme in entrata tale u = 1 v = 0

upper, il lato superiore della griglia è tale che si abbia condizione di non penetrabilità del flusso. Ciò si traduce per una cella di indici (i, ny) :

1. per u la condizione da imporre `e ∂u_∂y = 0 che numericamente si traduce in ??

uiny = uiny−1 (3.4)

2. per v si deve avere v = 0 e molto semplicemente quindi si ha ??

vij = 0 (3.5)

3. per la pressione p si deve porre analiticamente ∂p_∂y = 0 che numericamente si traduce in piny = piny−1 (3.6)

outlet il lato di uscita del flusso. Le celle di tale lato avranno gli indici tali che i = nx,

pertanto

1. la velocit`a v deve essere tale che _∂x∂v = 0 che si traduce in vnxj− vnx−1j

(26)

i=1 i=i_1 i=i_2 i=n_x

j=1 j=i_1 j=n_y upperuiny= uiny−1 viny= 0 outlet −pnxj+ 1 Re unxj−unx−1j xu nxj−xunx−1j vnxj= 0 inlet u1j= U∞ v1j= 0

Figura 3.3: Rappresentazione delle condizioni al bordo per il flusso entrante/uscente dal dominio computazionale

2. per la velocit`a u si deve imporre la condizione −p + 1 Re∗ ∂u ∂x = che numericamente si traduce in − pnxj+ (unxj− unx−1j) Re_{∗ (x}u nx− x u nx−1) = 0 (3.8) 3. per i nodi della pressione p si lascia l’equazione di continuit`a

3.4.2 Condizioni per la parete della cavit`a

In tale sezione si vuole analizzare pi`u nel dettaglio su come siano state implementate numeri-camente le condizioni alla parete solida.

In particolare le condizioni fisiche da rispettare alla parete sono di no slip e di slip ??. Si prenda una generica cella di indici (i, j) e tale che il centro di pressione coincida con la parete. Si consideri il caso di no slip: le incognite dei nodi nella cella sono posti pari a 0 ovvero

uij = 0 (3.9)

vij = 0 (3.10)

In questo modo alla parete si ha che:

1. il numero di equazioni imposte `e pari al numero di incognite della cella 2. viene rispettata automaticamente la condizione di continuit`a per la cella 3. vengono rispettate le equazioni dei momenti

Sulla condizione di slip (si prenda come al solito la cella di indici (i, j) tale che il nodo di pressione coincida con la parete) si ha:

(27)

i=1 i=i_3 i=i_1 i=i_2 i=i_4 i=n_x

j=1 j=i_1 j=n_y

slip v = 0 N.S. symm.

no slip v = 0 u = 0

Figura 3.4: Rappresentazione delle condizioni sulla parete della cavit`a la pressione `e posta pari a 0 come per il resto della parete e pertanto vale la ??

sui nodi in u si specializzano le equazioni del momento in x in modo che debba essere rispettata la simmetria alla parete, ovvero∂u

∂y per cui si calcola sia il momento che la continuit`a

simmetrizzando le equazioni di N avier− Stokes Pertanto si riscrive l’equazione del momento in x come

u_∗ ∂v ∂y symm ij + ∂p ∂xij − 1 Re ∗ ( ∂2_u ∂y2) symm ij = 0 (3.11) con u_{∗ (}∂v ∂y) symm ij = 0.25∗

[ui,j+1+ ui,j]∗ [vi+1,j+ vi,j]− [ui,j+1+ ui,j]∗ [vi+1,j−1+ vi,j−1]

[yv j − yj−1v ] (3.12) ed inoltre (∂ 2_u ∂y2) symm ij =

[ui,j+1−ui,j]

[yu

j+1−yju] −

[ui,j−ui,j+1]

[yu j−yuj−1]

[yv

j − yvj−1]

(3.13) Come prima si ha la congruenza tra il numero di incognite e numero di equazioni, cos`ı come vengono rispettati i vincoli di continuit`a e momento.

Criticit`a degli spigoli

Sulla parete, particolare criticità è presentata dagli spigoli della cavità: su questi non deve essere imposto alcun vincolo; ovvero:

sullo spigolo Nord-Est, che coincide con il nodo di pressione identificato dalla coppia (¯i1, ¯j1),

sui nodi di velocit`a u e v di indici (¯i1, ¯j1) deve essere imposta la ?? e la ?? rispettivamente.

(28)

3.4.3 Ordinamento delle incognite

Ultimo passo per procedere alla soluzione del sistema di equazioni è quello di ordinare le incognite uij, vij, pij in un vettore colonna w: ciò cambia molto in termini di sparsità della matrice

di sistema. L’ordinamento scelto `e tale che:

all’incognita uij corrisponde w(3∗ [i ∗ (ny+ 1) + j] + 2)

all’incognita vij corrisponde w(3∗ [i ∗ (ny+ 1) + j] + 3)

all’incognita pij corrisponde w(3∗ [i ∗ (ny+ 1) + j] + 1)

L’ordinamento delle equazioni `e il medesimo che per le incognite.

3.5 Metodo di Newton-Raphson per la soluzione numerica

Come detto precedentemente, il numero di incognite eguaglia il numero di equazioni e si deve risolvere un sistema non lineare di equazioni nell’incognita w ottenuta ordinando in un vettore colonna tutte le incognite finora presentate; si applica il metodo di N ewton− Raphson. Sia F(w) = 0 il sistema da soddisfare, allora:

1. si calcola il jacobiano di _{F nel punto w}n

J (wn) = (

∂_F

∂w)|wn (3.14)

ovviamente tale matrice risulta essere quadrata

2. si inverteJ (wn) tramite fattorizzazione LU sparsa ottenuta con librerie U mf pack

3. si aggiorna il vettore soluzione calcolando

wn+1= wn− J−1(δn)F(wn) (3.15)

4. se||F(wn+1)||∞< con valore impostato di tolleranza, si `e ottenuta la soluzione, altrimenti

si procede di nuovo al passo 1

Il passo 0, prevede che si parta quindi da un opportuno w0: si impone che uij = 1 e le rimanenti

incognite siano pari a 0. Il vettore soluzione cos`ı ottenuto sar`a detto Wb e rappresenta una

soluzione discreta del flusso stazionario associato al problema.

Velocit`a di convergenza

Si intende per velocità di convergenza l’andamento del residuo all’avanzare delle iterazioni: nel caso in esame, per lo schema numerico usato, la velocità di convergenza è di tipo quadratico. Vengono riportati in tabella ?? i valori dei residui in 2 casi:

1. Re = 50 con griglia nx = 50 e ny = 50

(29)

CAPITOLO 3. SCHEMA NUMERICO E SOLUZIONE Re = 50 nx = 50 ny = 50 Re = 50 nx = 100 ny = 50 Re = 50 nx= 50 ny = 100 ITERAZIONE I 6 0.1 0.2 ITERAZIONE II 0.2 5 6 ITERAZIONE III 1.3_{∗ 10}−4 4.6_{∗ 10}−3 1.2_{∗ 10}−4 ITERAZIONE IV 2.1_{∗ 10}−8 9.5*10−7 2.5_{∗ 10}−8 ITERAZIONE V 6.1∗ 10−10 _2.7_{∗ 10}−11 _3.6_{∗ 10}−10

Tabella 3.1: velocit`a di convergenza del metodo numerico per i 4 casi test

Di seguito (Figura ??) `e riportata la velocit`a di convergenza al variare del numero di Reynolds nei casi in cui esso valga 75, 250, 450, 800 e con griglie uniformemente spaziate con numero di nodi pari a nx= 74 e ny = 60 oppure nx= 111 e ny = 99

100 101

10−10 10−5 100

numero di iterazioni per convergenza

massimo valore assoluto del residuo

velocità di convergenza del metodo numerico al variare del numero di Reynolds

Figura 3.5: Velocit`a di convergenza al variare del numero di Reynolds e del numero di nodi della griglia computazionale

3.6 Studio numerico dell’instabilit`

a lineare

Per lo studio numerico dell’instabilit`a si procede in tal modo:

1. si impone che il campo perturbato discretizzato sia soluzione del problema, ovvero si deve soddisfare l’equazione

B∂w

∂t +F(w) = 0 (3.16) Con

(30)

ed inoltre B `e una matrice quadrata e diagonale tale che i suoi elementi sono 1 in corrispon-denze di opportuni punti nodali ed i rimanenti elementi della diagonale sono nulli. A tal proposito si ricordino le propriet`a del campo base discreto ovvero

∂Wb ∂t = 0 (3.18) F(Wb) = 0 (3.19) 2. si computa_{F(w) come} F(w) = F(Wb) + ∂_F ∂w|Wbw˜ =F(Wb) +J |Wbw˜ (3.20)

quindi l’equazione del campo perturbato discretizzato da risolvere `e equivalente a B∂ ˜w

∂t +J |Wbw˜ = 0 (3.21)

3. si impone che il disturbo ˜wsia della forma dell’equazione ?? per ottenere il seguente problema agli autovalori

[Bσ +_{J (W}b)] ˜w= 0 (3.22)

La procedura di localizzazione degli autovalori avviene sfruttando l’algoritmo di Inverse Ite-ration (la descrizione del metodo è descritta nell’Appendice A): si richiede quindi uno shift iniziale quantomeno vicino all’autovalore di interesse per poter partire con la localizzazione. Per brevità il jacobiano _{J (W}b) sarà identificato dalla variabile A0. Si definisce l’autovettore

(31)

3.7 Il controllo

Come detto nella sezione ??, bisogna predisporre il sistema di un’opportuna attuazione e sen-sorizzazione per cercare di stabilizzarlo. Si cerca ora di capire come implementare il sistema di attuazione e sensorizzazione.

3.7.1 Costruzione dei sensori e dell’attuazione

Per il sensore:

il sensore `e un punto P individuato dalle coordinate (xs, ys) nel dominio fisico

si individuano i 4 nodi della velocit`a v che circondano il punto P (Figura ??)

il valore vscalcolato in P `e computato con un’interpretazione bilineare dei valori di v calcolati

nei 4 punti che circondano P (i punti in blu di ??) ovvero (

vs=P2_i,j=1cij ∗ v(intorno)_ij

cij = _(y₂_−y₁_)(x1 ₂_−x₁₎(ys− yi)(xs− xj)

(3.23)

Per l’attuazione, si consideri una cella di indici (i, j) tale che il suo nodo di pressione appartenga a Γcontrollo:

per il nodo di pressione si impone che l’incognita p ad esso associata sia pari a 0 per il nodo in u si impone che la velocit`a sia pari a 0

per il nodo in v si impone che (con riferimento all’equazione ??)

vij = vbase( ¯χ)∗ ( sonde

X

i=1

K_{f eed}(i) v_s(i)) (3.24)

Da un punto di vista numerico, avendo perturbato solo le condizioni al contorno, il controllo introduce un termine ∆A da sommarsi ad A0. Si comprenda come agisca numericamente la matrice

di perturbazione ∆A; come al solito si prenda una cella di indici (i, j) con centro di pressione appartenente a Γcontrollo e si supponga che la sonda coinvolga i nodi di velocit`a v identificati dalle

coppie (i1, j1) (i2, j1) (i2, j2) (i1, j2):

sul sistema F(w) si ha che viene perturbata l’equazione di indice 3[i(ny+ 1) + j] + 3 scrivendo

la ??

la matrice ∆A allora vede modificata proprio la riga 3[i(ny + 1) + j] + 3 e le colonne non

nulle saranno quelle di indici

3[i1(ny+ 1) + j1] + 3

3[i2(ny+ 1) + j1] + 3

3[i2(ny+ 1) + j2] + 3

(32)

x_1 x_2

y_1 y_2

nodi usati per stimare la velocità v

Figura 3.6: Posizione del sensore di velocit`a e nodi usati per calcolare la velocit`a misurata dal sensore tramite interpolazione bilineare

(33)

Quindi ad ogni sonda si pu`o associare una matrice di perturbazione ∆A1

i con guadagno K (i) f eed= 1

e la perturbazione totale `e quindi combinazione lineare delle varie sonde ed i coefficienti di tale combinazione sono appunto i guadagni dei sensori. (Equazione ??)

∆A = sonde X i=1 K_if eed∗ ∆A1 i (3.26)

Il concetto fondamentale `e che ∆A `e funzione continua della posizione delle sonde e del loro guadagno ovvero (equazione ??)

∆A = g(x(n)_s , y_s(n), K_{f eed}(n) ) (3.27)

3.7.2 Metodo dell’aggiunto

Con la matrice di controllo ∆A, si deve studiare il nuovo problema di stabilit`a (equazione ??) (A0+ ∆A + ¯σB)w = 0 (3.28)

Si risolva anche il problema aggiunto associato al medesimo autovalore dell’equazione ??, cio`e (equazione ??)

~

ξ0_{∗ (A}0+ ∆A + ¯σB) = 0 (3.29)

Si voglia studiare la variazione dell’autovalore ¯σ e del suo relativo autovettore w associato al pro-blema descritto dall’equazione ?? al variare infinetsimo dei parametri che descrivono il controllore. Differenziando l’equazione ?? si ha che

δ[A0+ ∆A + ¯σB] ~w + [A0+ ∆A + ¯σB]δ ~w = 0 (3.30)

Premoltiplicando a sinistra per l’autovettore aggiunto ~ξ dell’equazione ??, sfruttando la medesima equazione, si ottiene l’equazione ??

~

ξ0δ[A0+ ∆A + ¯σB] ~w = 0 (3.31)

avendo che

δ[A0+ ∆A + ¯σB] = δ∆A + δ¯σB (3.32)

si ha infine che δ¯σ =₋ξ~ 0 · δ∆A · ~w ~ ξ0_{· B · ~}_w (3.33)

Avendo lo spostamento quindi dell’autovalore, si ha un’informazione utile su dove posizionare le sonde.

3.8 Mappe di sensibilit`

a

Uno strumento utile per capire le diverse zone di sensibilità del sistema, è quello di costruire delle mappe di sensibilità del sistema non controllato ([?]):

(34)

1. si immagini che il sensore abbia un guadagno unitario

2. si immagini che il sensore coincida con un nodo della griglia; questa affermazione implica che la ∆A associata `e fatta da una sola colonna non nulla; in particolare:

se il nodo è quello della velocità u appartenente alla coppia (i, j) la colonna non nulla è la 3_{∗ [i ∗ (n}y + 1 + j)] + 2 mentre le righe sono tutte quelle dei nodi v delle celle

appartenenti a Γcontrollo

se il nodo è quello della velocità u appartenente alla coppia (i, j) la colonna non nulla è la 3∗ [i ∗ (ny+ 1 + j)] + 3, le righe son le medesime che del caso precedente

3. avendo ridotto ∆A ad una colonna, il prodotto ?? diviene un prodotto scalare 4. si fa variare la posizione del sensore ideale su tutti i nodi della griglia:

se si prendono tutti i nodi della velocit`a v si ottiene la mappa per il modo associato al campo v

se si prendono tutti i nodi della velocit`a u si ottiene la mappa per il modo associato al campo u

Ovviamente si costruisce una mappatura su tutti i nodi della griglia della variazione dell’autovalore per un sensore di guadagno unitario: per i punti che non coincidono con i nodi della griglia, si pu`o ricavare la variazione tramite interpolazione con i nodi prossimi al punto considerato. Il valore letto `e un numero complesso, tuttavia ai fini del lavoro interessa solo la parte reale di tale numero.

(35)

Capitolo 4

Caso a Re = 4250

Dato il numero di Reynolds elevato, la griglia scelta che serve per una simulazione diretta del flusso `e particolarmente esigente da un punto di vista computazionale: son state provate varie risoluzioni, valutando la convergenza dei risutlati numerici ottenuti anche in confronto con i risultati riportati da Sipp.

4.1 Dati del problema

La configurazione geometrica `e tale che (con riferimento alla Figura ??): larghezza della griglia di calcolo Lx= 3.7

altezza della griglia di calcolo Ly = 1.5

larghezza della cavità L = 1 profondità della cavità D = 1

coordinata x dello spigolo Nord-Ovest xc= 1.2

coordinata y dello spigolo Nord-Ovest yc= 1.0

lunghezza del primo tratto di slip x1t= 0.8

lunghezza del secondo tratto di slip x2t = 0.75

Sul flusso invece si ha: Re = 4250

U∞= 1

p∞= 0

4.1.1 Le griglie di calcolo

(36)

CAPITOLO 4. CASO A RE = 4250

0

0.8

1.2

2.2

2.95

3.7

0

0.5

1

1.5

slip condition slip condition

Figura 4.1: Aspetto della geometria usata per la simulazione con le grandezze geometriche rappresentative del problema

Griglia nx = 1480 e ny = 700 (GR1)

I parametri della griglia sono tali che: nx= 1480 nodi in x

ny = 700 nodi in y

I nodi sono cos`ı distribuiti nodi in x

– i nodi sono uniformente distribuiti, pertanto la taglia del problema lungo tale direzione `e pari a ∆x = Lx

nx = 0.0025

nodi in y

– per 0_{≤ y ≤ 0.9 vengono distribuiti 300 nodi secondo una legge logaritmica in modo} che i nodi si infittiscano per y→ 0.9; la taglia minima `e tale ∆1xmin = 1.6∗10−3 quella

massima invece ∆1xmax= 1.04∗ 10−2

– per 0.9_{≤ y ≤ 1.1 sono stati distribuiti uniformente 200 nodi; la taglia `e t ∆}2x = 0.001

– per 1.1_{≤ y ≤ 1.5 sono stati scelti 200 nodi disposti in maniera logaritmica tali che si} infittiscano per y→ 1.1; la taglia minima `e tale ∆3xmin = 1.6∗ 10−3 quella massima

invece ∆3xmax = 4.9∗ 10−3

Si riporta in ?? una figura rappresentativa della distribuzione dei nodi lungo y della griglia. Il numero di gradi di libert`a di tale problema `e n = 3∗ 1481 ∗ 701 = 3.114.543.

(37)

CAPITOLO 4. CASO A RE = 4250 0 0.8 1.2 2.2 2.95 3.7 0 0.9 1 1.1 1.5

distribuzione dei nodi in y

Figura 4.2: Rappresentazione della griglia numerica in y usata per la simulazione a Re = 4250: si noti che più si è lontani dagli spigoli della cavità maggiore è la spaziatura dei nodi, al contrario per 0.9_{≤ y ≤ 1.1, i nodi sono equispaziati.}

Si `e cercato di mantenere le proporzioni e le spaziature della GR1; pertanto: nx= 777 nodi in x

ny = 475 nodi in y

nx ≈ 0.0048

nodi in y

– per 0≤ y ≤ 0.9 vengono distribuiti 165 nodi secondo una legge logaritmica in modo che i nodi si infittiscano per y_{→ 0.9; la taglia minima `e tale ∆}1xmin = quella massima

invece ∆1xmax =

– per 0.9≤ y ≤ 1.1 sono stati distribuiti uniformente 160 nodi; la taglia `e t ∆2x = 0.00125

– per 1.1 _{≤ y ≤ 1.5 sono stati scelti 150 nodi disposti in maniera logaritmica tali che} si infittiscano per y → 1.1; la taglia minima `e tale ∆3xmin = quella massima invece

(38)

Sulla falsariga della GR2, si crea la terza griglia pi`u rada nx= 555 nodi in x

ny = 400 nodi in y

nx ≈ 0.0067

nodi in y

– per 0_{≤ y ≤ 0.9 vengono distribuiti 150 nodi secondo una legge logaritmica in modo} che i nodi si infittiscano per y→ 0.9; la taglia minima `e tale ∆1xmin = 1.6∗10−3 quella

massima invece ∆1xmax= 1.04∗ 10−2

– per 0.9≤ y ≤ 1.1 sono stati distribuiti uniformente 126 nodi; la taglia `e t ∆2x≈ 0.00159

– per 1.1≤ y ≤ 1.5 sono stati scelti 124 nodi disposti in maniera logaritmica tali che si infittiscano per y→ 1.1; la taglia minima `e tale ∆3xmin = 1.6−3 quella massima invece

∆3xmax= 4.9∗ 10−3

Il numero di incognite `e n = 3∗ 401 ∗ 556 = 668.868.

4.2 Soluzione del flusso base

Si calcola il flusso base su GR1: si pone una tolleranza numerica per il Metodo di Newton pari a 10−10. Di seguito (Figure ?? ?? ?? ?? ??) sono riportati i grafici che rappresentano i profili di velocità e pressione del flusso base cos`ı calcolato: brevemente si può dire come il flusso sia caratterizzato da una zona di ricircolo che è dentro la cavità; il gradiente lungo y all’altezza della cavità della velocità u è rilevante.

(39)

Figura 4.3: Distribuzione della velocit`a u nel dominio computazionale per flusso base a Re = 4250

(40)

Figura 4.5: Distribuzione della pressione p nel dominio computazionale per flusso base a Re = 4250

(41)

Figura 4.7: Distribuzione della vorticit`a nel dominio computazionale per flusso base a Re = 4250

4.3 Calcolo degli autovalori instabili del flusso base

Dato che il numero di nodi per GR1 `e elevato, per risparmiare sui tempi di calcolo per il calcolo degli autovalori del flusso base si usa la seguente procedura:

1. si sceglie la griglia rada

2. si interpola in maniera bilineare la soluzione ottenuta su GR1 sui nodi individuati dalla griglia scelta al punto 1

3. si calcola il flusso base sulla griglia rada scelta usando, per step iniziale del metodo di N ewton, il flusso interpolato al passo 2

Si caratterizza solo la parte dello spettro instabile, in particolare si conosce gi`a la presenza di un solo autovalore instabile nel semipiano positivo dei numeri complessi. Come guess iniziale per il posizionamento dell’autovalore si usa il valore σ(0)_{= 0.0 + 7.5i: per una prima stima e per il tempo}

di calcolo si usa la GR3.

Il risultato ottenuto `e che l’autovalore trovato `e

σ = 0.02 + 7.51i (4.1) Si rappresentano inoltre i modi spaziali propri associati all’autovalore σ (??) (Figure ??, ??, ??); in tutti i casi si può notare come i modi spaziali siano più eccitati in prossimità dello spigolo nord-est.

(42)

Figura 4.8: Rappresentazione dell’autofunzione ˜u associato all’autovalore 0.02 + 7.59i per flusso a Re = 4250

Figura 4.9: Rappresentazione dell’autofunzione ˜v associato all’autovalore 0.02 + 7.59i per flusso a Re = 4250

(43)

Figura 4.10: Rappresentazione dell’autofunzione ˜p associato all’autovalore 0.02 + 7.59i per flusso a Re = 4250

Si calcola successivamente l’autovalore instabile sulla griglia GR2; il risultato ottenuto `e σ = 0.019 + 7.51i (4.2) Per controllare il raffinamento e dato che il numero di autovalori da trovare `e basso, si calcola lo spettro instabile su GR1 ottenendo

(44)

4.4 Definizione dell’attuazione

Il sistema di soffiaggio si estende su Γcontrolloper un’ampiezza pari a rjet = 0.35 partendo dalla

coordinata (xc, yc): ci`o `e rappresentato in Figura ??

0 0.85 1.2 2.2 3.7 0 0.5 1 1.5 Γcontrollo

Figura 4.11: Rappresentazione schematica dell’estensione del soffiaggio nel problema In termini numerici questo vuol dire che:

sulla griglia GR1 vi sono 140 nodi di pressione/velocità usati sulla griglia GR2 vi sono 73 nodi di pressione/velocità usati sulla griglia GR3 vi sono 53 nodi di pressione/velocità usati

Queste differenza implicano altrettante righe da riempire nella matrice di controllo ∆A; in parti-colare in termini percentuali basati sul numero di ingressi modificati, la matrice di sistema A viene modificata per le varie griglie

per GR1 si ha una percentuale di modifiche pari a 140

3.114.543= 0.045

1.110.984= 0.065

668.868 = 0.079

Pur essendo il numero di nodi coinvolti minore, la GR3 è l’implementazione geometrica più invasiva in termini di matrici di sistema; tuttavia la percentuale è davvero irrisoria a patto che il numero di sonde sia contenuto.

4.5 Mappe dei modi da controllare

Come primo passo si creano le mappe di sensibilit`a del flusso base per valutare ove posizionare la sonda che misura la velocit`a vI. Si riportano in ?? ?? le mappe per i modi ˆv per le griglie GR2 e

(45)

GR3:è l’ultima prova della bontà di GR3 coerente con il raffinarsi della griglia. Come si può notare la sensibilità del sistema è elevata: ciò richiede dei guadagni della sensorizzazione molto bassi. Le ragioni possono essere molteplici:

il sistema `e vicino al Reynolds critico: non `e richiesto un soffiaggio/aspirazione massiccia per stabilizzare il flusso

l’attuazione `e molto estesa: si intuisce che sia fisicamente che matematicamente, un controllo motlo esteso abbia una grande influenza sull’escursione degli autovalori

la funzione di forma d’onda `e molto grande relativamente ai valori del flusso

Figura 4.12: Rappresentanzione della mappa per il modo v calcolata sulla griglia GR3 per l’autovalore σ = 0.02 + 7.5i

(46)

4.5.1 Validazione numerica del metodo dell’aggiunto

Come prima cosa urge la validazione numerica dell’aggiunto; i passi della procedura sono i seguenti:

1. si prende la mappa di sensibilit`a

2. si sceglie un punto sulla mappa e si legge il valore di sensibilit`a dell’autovalore 3. si mette una sonda nel punto scelto e si sceglie un guadagno opportunamente piccolo 4. si calcola la nuova posizione dell’autovalore e si stima l’escursione cos`ı ottenuta La validazione `e stata effettuata nel seguente caso:

sonda messa in un punto P 1 di velocit`a v di coordinate (2.19, 0.95) con guadagno pari a k = 0.001

I risultati possono essere sinteticamente riassunti in tabella ??

σ senza getti σ con getti variazione valore mappa_{∗(guadagno)} punto P1 k=0.001 0.0202 + 7.5219i 0.1567 + 7.5153i 0.1356_{− 0.066i} 0.1367_{− 0.024i} Tabella 4.1: Validazione del metodo dell’aggiunto per la griglia GR3; σ senza getti = σ0 `e

l’auto-valore del flusso base non controllato, σ con getti = σ1 `e l’autovalore del flusso base retroazionato,

variazione coincide con σ1− σ0, valore mappa∗guadagno `e il valore della mappa moltiplicato per

il guadagno

I risultati possono ritenersi pi`u che soddisfacenti: si pu`o procedere al controllo del flusso.

4.6 Stabilizzazione del flusso

Dato che lo spettro `e composto da un solo autovalore instabile e molto vicino all’asse imma-ginario, si pu`o pensare di applicare direttamente il metodo dell’aggiunto: si trova una zona della mappa abbastanza sensibile e si applica un guadagno minimo tale da poter portare l’autovalore dalla parte di spettro stabile.

Si sceglie pertano di mettere la sonda nel medesimo punto P 1 di ?? cambiando quindi segno al guadagno della sonda:

il valore della mappa `e 136.7 − 24i

il guadagno massimo per cui si ha Re(σretroazionato) < 0 `e pari a

kmax=−

0.020

136.7 =−1.5 ∗ 10

−4

(4.4) per sicurezza si sceglie k = −1 ∗ 10−3

(47)

il valore trovato `e pari σnew =−0.25 + 7.5012i

Il flusso risulta cos`ı essere stabile: da notare che vi è bisogno di un guadagno davvero piccolo; la sensibilità del sistema è molto alta: ciò è indice del fatto che l’attuazione è molto invasiva sul sistema.

(48)

Capitolo 5

Caso a Re = 7500

Rimane da studiare e controllare il caso della cavit`a per flusso a Re = 7500, marcatamente lontano quindi dalla soglia della stabilit`a.

5.1 Dati del problema

Per la geometria e le relative grandezze principali, si faccia riferimento a ??. Sulle condizioni del flusso invece:

U∞= 1

ρ = 1 Re = 7500

Come per il caso a Re = 4250, sono state usate opportunamente varie griglie a seconda delle esigenze:

griglia GR1 griglia GR2

5.2 Soluzione del flusso base

La soluzione del flusso base è stata ottenuta sulla griglia GR1: si può notare come non differisca molto dalla soluzione del campo base per Re = 4250; vi è il rallentamento del flusso all’interno della cavità e di come quest’ultimo sembri essere separato dal resto del campo creando. Questo da l’opportunità allo strato limite formatosi sulla parete Nord-Ovest di bypassare la cavità salvo poi reincontrare lo spigolo della cavità che può portare alla nascita dell’instabilità.

Vengono riportati i campi di velocità secondo le loro componenti e la pressione (Figure ?? ?? ??), quello di vorticità (Figura ??) ed il modulo della velocità in Figura ?? tutti computati sulla griglia GR1

(49)

Figura 5.1: Distribuzione della velocit`a u nel dominio computazionale per flusso base a Re = 7500 sulla griglia GR1

Figura 5.2: Distribuzione della velocit`a v nel dominio computazionale per flusso base a Re = 7500 sulla griglia GR1

(50)

Figura 5.3: Distribuzione della pressione p nel dominio computazionale per flusso base a Re = 7500 sulla griglia GR1

Figura 5.4: Distribuzione di _{|~u| nel dominio computazionale per flusso base a Re = 7500 sulla} griglia GR1

(51)

Figura 5.5: Distribuzione della vorticit`a nel dominio computazionale per flusso base a Re = 7500 sulla griglia GR1

5.3 Analisi dei modi instabili

Per la localizzazione degli autovalori instabili, si `e fatto riferimento a quelli esposti nel lavoro di Sipp (cit.); si valuta contemporaneamente la stima degli autovalori al raffinamento della griglia (Tabella ??).

GR3 GR2 Sipp autovalore IV 0.0372 + 16.6227i 0.0303 + 16.6814i 0.0324 + 16.73i autovalore III 0.4516 + 7.8809i 0.4546 + 7.8840 0.466 + 7.88i autovalore II 0.7226 + 13.7534i 0.7212 + 13.7829i 0.729 + 13.8i autovalore I 0.8785 + 10.8854i 0.8804 + 10.8957i 0.89 + 10.9i

Tabella 5.1: Autovalori instabili al raffinamento della griglia di calcolo Si riportano inoltre i modi propri legati a questi autovalori.

Tuttavia accanto ai modi instabili, vi `e un autovalore stabile che `e molto vicino all’asse im-maginario: si riporta la sua localizzazione al raffinamento della griglia e con i risultati di Sipp (??)

GR3 GR2 Sipp autovalore V _{−0.0532 + 0i −0.0533 + 0.0i −0.00811 + 0.0i} Tabella 5.2: Localizzazione dell’autovalore 5 al raffinamento della griglia

(52)

parte stabile, bisogna avere cura che non si sposti nella parte reale positiva del piano complesso. In conclusione si sceglie di usare la griglia GR2 che a nostro avviso rappresenta un compromesso accettabile tra complessit`a computazionale ed accuratezza.

In definitiva lo spettro da seguire/controllare `e composto da 5 autovalori (Figura ??): si considerano solo quelli a parte immaginaria positiva, in quanto il problema presenta simmetria rispetto all’asse reale. −0.05330.0303 0.4546 0.7212 0.8804 0 7.884 10.8957 13.7829 16.6814

Spettro da controllare per Re=7500

Figura 5.6: Spettro da controllare per il problema a Re = 7500 calcolato sulla griglia GR2 Si riporta una rappresentazione dei modi spaziali relativi agli autovalori citati in Tabella ??

(53)

(54)

Figura 5.8: Rappresentazione della parte reale del modo diretto v nel caso di Re = 7500 per gli 46

(55)

(56)

Rappresentazione dei modi aggiunti

Si riportano per completezza i modi aggiunti v relativi agli autovalori dello spettro da controllare (Figura ??); al contrario del modo diretto, i modi aggiunti sono maggiormente eccitati sullo spigolo Nord-Ovest

(57)

(58)

5.4 Controllo del flusso

Le caratteristiche dell’attuazione son le medesime che nel caso analizzato a Re = 4250.

5.4.1 Costruzioni delle mappe dei modi instabili

Si riportano quindi le mappe di sensibilità degli autovalori dello spettro da seguire (Figura ??). Come per il caso a Re = 4250, la sensibilità del sistema per il tipo di attuazione usata è molto elevata: probabilmente il Γcontrollo è talmente esteso sulla parete che riesce a modificare

massicciamente il campo base. Fa eccezione, invece, la mappa relativa all’autovalore σ =−0.053 i cui valori di sensibilità sono molto bassi: è un grande vantaggio poiché si è già nella regione stabile e misurazioni del campo modeste non alterano tale autovalore.

(59)

(60)

5.4.2 Linee generali per il controllo

Si vogliono posizionare n sonde; le indicazioni di massima per posizionarle sono:

se il guadagno scelto dalla sonda `e negativo, la posizione occupata dalla sonda deve essere su un punto della mappa a valore positivo

se il guadagno scelto dalla sonda `e positivo, la posizione occupata dalla sonda deve essere su un punto della mappa a valore negativo

Seguendo queste istruzioni, parte reale dell’autovalore in questione `e destinata a diminuire. In base a queste affermazioni si possono localizzare 2 domini:

regione per cui il guadagno della sonda deve essere scelto positivo (Figura ??) regione per cui il guadagno della sonda deve essere scelto negativo (Figura ??)

Installando 2 sonde, si possono quindi mettere le 2 diverse sonde nelle 2 diverse regioni con due opposti guadagni.

Figura 5.12: Regione del dominio in cui posizionare una sonda con guadagno negativo e regione con la massima sensibilit`a dove posizionare eventuali sonde

(61)

Figura 5.13: Regione del dominio in cui posizionare una sonda con guadagno positivo e la regione con la massima sensibilit`a dove posizionare eventuali sonde

Per perturbazioni grandi della matrici di sistema si perde la linearit`a del metodo dell’aggiunto nel terminef eed, venendo a cadere le ipotesi di piccole perturbazioni del campo. Pertanto, si prende

una sonda nella posizione di maggiore sensibilit`a delle mappe e si fa incrementare il guadagno della sonda stessa computando di volta in volta i nuovi autovalori del sistema cos`ı perturbato: in particolare il guadagno `e preso da un insieme di numeri reali positivi che partono da 0 e sono in progressione aritmetica con passo 1_{∗ 10}−4 fino a giungere a 2.8_{∗ 10}−3.

Si `e visto che per δK _{≥ 1.2 ∗ 10}−3 _{si perde l’effetto di linearit`}_{a: in particolare la parte reale}

dell’autovalore σ3 comincia a crescere di nuovo; discorso opposto `e per l’autovalore σ1 che segue