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Academic year: 2021

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(1)

Appunti di Geometria - 6

Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it

1

Applicazione aggiunta

Richiami Sia V uno spazio vettoriale reale con un prodotto scalare h·, ·i non degenere; sia poi T : V → V una applicazione lineare. Si definisce applicazione aggiunta di T l’unica applicazione lineareaT : V → V tale che

hT v, wi = hv,aT wi ∀ v, w ∈ V

Fissata una base B = {v1, . . . , vn}, possiamo associare al prodotto scalare una

matrice simmetrica invertibile A e all’applicazione lineare una matrice B. Sup-poniamo inoltre che all’applicazione aggiunta di T sia associata la matrice C, allora si avr`a

(Bv)tAw = hT v, wi = hv,aT wi = vtA(Cw) ovvero

vtBtAw = vtCAw

che, dovendo valere per ogni v, w ed essendo A invertibile (ovvero il prodotto scalare non degenere), implica

BtA = CA da cui

C = A−1BtA

Quindi, ad esempio, se il prodotto scalare `e quello euclideo (e dunque A `e l’identit`a), l’aggiunta di un’applicazione lineare corrisponde alla trasposta della matrice associata.

Ora supponiamo che B sia la base canonica e di avere trovato una base di autovettori di A (che esiste per il teorema spettrale), che sia ortonormale per il prodotto scalare euclideo (si veda la dispensa n. 5); la matrice M di cam-biamento di base dalla base canonica a questa base di autovettori `e ortogonale, quindi la trasposta e l’inversa sono uguali. Inoltre in tale base la matrice asso-ciata al prodotto scalare (che sarebbe MtAM ) `e diagonale; in effetti `e la forma

di Jordan di A. Dunque avremo che la matrice associata al prodotto scalare in questa base `e A0 =      λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · λn     

(2)

e quindi A0−1=      1/λ1 0 · · · 0 0 1/λ2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · 1/λn     

Inoltre, la matrice associata all’applicazione lineare in questa base sar`a M−1BM , secondo la formula del cambio di base per un’applicazione lineare, ma visto che M `e ortogonale, questo `e anche uguale a MtBM , quindi in definitiva la matrice

associata all’applicazione aggiunta in questa base sar`a A0−1MtBM A0 dove A0 e A0−1sono diagonali.

Esempio Si consideri R3 con la base canonica e sia h·, ·i il prodotto scalare

standard. Sia data l’applicazione

f   x1 x2 x3  =   x2+ x1 2x3− x2 x1+ 2x2  

Vogliamo calcolare l’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare standard. Ovviamente, la matrice associata al prodotto scalare standard rispetto al-la base canonica `e l’identit`a, quindi non dobbiamo fare altro che calcolare la matrice associata ad f e farne la trasposta.

f   x1 x2 x3  =   1 1 0 0 −1 2 1 2 0     x1 x2 x3   dunque af   x1 x2 x3  =   1 0 1 1 −1 2 0 2 0     x1 x2 x3  =   x1+ x3 x1− x2+ 2x3 2x2  

Esempio Si consideri l’applicazione lineare da R3in s´e data da

f   x1 x2 x3  =   x1+ x2+ x3 x2+ x3 x3  

Vogliamo calcolarne l’aggiunta rispetto al prodotto scalare

hv, wi = v1w1− v1w2− w1v2+ 3w2v2+ w2v3+ v2w3+ v3w3

La matrice associata ad f rispetto alla base canonica `e

B =   1 1 1 0 1 1 0 0 1  

(3)

mentre quella associata al prodotto scalare `e A =   1 −1 0 −1 3 1 0 1 1  

dunque la matrice associata all’aggiunta `e

A−1BtA =   2 1 −1 1 1 −1 −1 −1 2     1 0 0 1 1 0 1 1 1     1 −1 0 −1 3 1 0 1 1  =   2 −3 −1 1 −2 −1 −1 9 5   Quindi af   x1 x2 x3  =   2x1− 3x2− x3 x1− 2x2− x3 −x1+ 9x2+ 5x3  

Esempio Si consideri il prodotto scalare dato su R4, rispetto alla base canonica,

dalla matrice A =     7 0 1 0 0 14 0 2 1 0 7 0 0 2 0 14    

e sia, sempre rispetto alla base canonica, data l’applicazione lineare

f     x1 x2 x3 x4     =     x1+ x2 x2+ x3 x3+ x4 x1+ x4    

Vogliamo trovare una base ortonormale di autovettori di A per il prodotto scalare canonico e scrivere l’aggiunta di f rispetto a tale base.

Per la prima parte, si veda la dispensa n.5 per i dettagli; in breve, il polinomio caratteristico di A `e

p(λ) = (λ − 8)(λ − 6)(λ − 12)(λ − 16) e una base di autovettori `e la seguente:

    1 0 1 0         1 0 −1 0         0 1 0 −1         0 1 0 1    

Tale base `e ortogonale rispetto al prodotto scalare standard, in quanto ogni autovettore corrisponde ad un autovalore diverso (teorema spettrale); quindi basta normalizzare i vettori, sempre rispetto al prodotto standard. Si ottiene cos`ı la matrice di cambio di base

M = √1 2     1 1 0 0 0 0 1 1 1 −1 0 0 0 0 −1 1    

(4)

che `e dunque ortogonale (quindi Mt= M−1) e quindi A0= MtAM = M−1AM =     8 0 0 0 0 6 0 0 0 0 12 0 0 0 0 16    

La matrice associata ad f nella base canonica `e

B =     1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1    

e dunque la matrice associata aaf nella base di autovettori normalizzati trovata

sopra `e C = A0−1MtBtM A0=     1 0 0 2 0 1 −2 0 0 1/2 1 0 1/2 0 0 1    

Attenzione! Non possiamo scrivereaf (x

1, x2, x3, x4) = · · · in quanto la matrice

C che abbiamo trovato esprime l’aggiunta rispetto alla base di autovettori     1/√2 0 1/√2 0         1/√2 0 −1/√2 0         0 1/√2 0 −1/√2         0 1/√2 0 1/√2    

e non rispetto alla base canonica!

Per tornare alla base canonica dalla matrice C dobbiamo calcolare

M CMt=     1 0 0 2 1/2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1/2 1    

e, se avrete la pazienza di svolgere i conti, vedrete che questa coincide (per fortuna!) con A−1BtA.

Attenzione! L’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare standard nella base ortonormale che diagonalizza A `e associata alla matrice

MtBtM

Esercizio 1 Scrivere le applicazioni aggiunte rispetto al prodotto scalare standard delle seguenti applicazioni lineari:

1. f   x1 x2 x3  =   x1+ x2 x2+ x3 x1+ x3   2. f   x1 x2 x3  =   2x2 3x3 x1  

(5)

3. f   x1 x2 x3  =   x1− x2 x2− x3 x3− x1   4. f   x1 x2 x3  =   x1+ x3 −x2 x1− x3  

Esercizio 2 Scrivere l’aggiunta dell’applicazione da R4 in s´e

f     x1 x2 x3 x4     =     x2+ 3x3 − 4x4 x1− x2+ x3 x2+ 4x4 2x1− 3x3    

rispetto al prodotto scalare

hx, yi = x1y1− x1y2− x2y1+ 3x2y2+ x2y3+ x3y2+ x3y3+ 2x4y4

Esercizio 3 Si consideri lo spazio R2[x] dei polinomi a coefficienti reali di grado

minore o uguale a 2 e su di esso il prodotto scalare hp(x), q(x)i =

Z 1

0

p(x)q(x)dx

Si consideri inoltre l’applicazione lineare T (p(x)) = xp0(x) + p(1). Si scrivano le matrici associate al prodotto e all’applicazione rispetto alla base {1, x, x2} e si determini la matrice associata aaT in questa stessa base (ovviamente, l’aggiunta va intesa rispetto al prodotto scalare dato).

Esercizio 4 Sia R4 e sia h·, ·i il prodotto scalare dato, rispetto alla base

canonica, dalla matrice

A =     1 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 2    

Si determini la matrice, rispetto alla base canonica, dell’applicazione aggiunta rispetto a questo prodotto scalare dell’applicazione

f     x1 x2 x3 x4     =     x2+ x3 x1+ x3 2x3 x4+ x3    

Esercizio 5 Si trovi una base di R3 ortonormale rispetto al prodotto scalare standard che diagonalizzi la matrice simmetrica

A =   5 −2 2 −2 5 −2 2 −2 5  

(6)

Sia poi f   x1 x2 x3  =   x1+ x2+ x3 x2+ x3 x3  

Si scriva la matrice associata nella base trovata all’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto dalla matrice A.

Esercizio 6 Si trovi una base di R3 ortonormale rispetto al prodotto scalare

standard che diagonalizzi la matrice simmetrica

A =   9 6 −2 6 5 −2 −2 −2 1   Sia poi f   x1 x2 x3  =   x1+ x2+ x3 x2+ x3 x3  

Si scriva la matrice associata nella base trovata all’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare standard.

Esercizio 7 Si trovi una base di R4 ortonormale rispetto al prodotto scalare standard che diagonalizzi la matrice simmetrica

A =     1 1 −1 0 1 1 0 2 −1 0 1 −2 0 2 −2 1     Sia poi f     x1 x2 x3 x4     =     x1− x2+ x3− x4 x1− x2+ x3 x1+ x3 x2+ x4    

Si scriva la matrice associata nella base trovata all’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto dalla matrice A.

2

Sottospazi ortogonali

Richiami Sia V uno spazio vettoriale reale con un prodotto scalare h·, ·i. Due vettori v, w ∈ V si dicono ortogonali se

hv, wi = 0

Ovvero, fissando una base in cui il prodotto scalare sia associato alla matrice simmetrica A e i vettori v, w alle n−uple

   x1 .. . xn       y1 .. . yn   

(7)

i due vettori sono ortogonali se e solo se x1 · · · xn     a11 · · · a1n .. . ... an1 · · · ann       y1 .. . yn   = 0

Il sottospazio ortogonale al vettore v (indicato con v⊥) `e l’insieme dei vettori w tali che hv, wi = 0; il sottospazio ortogonale a un sottospazio W ( indicato con W⊥) `e l’insieme dei vettori ortogonali a tutti i vettori di w. Il sottospazio

ortogonale a tutto lo spazio (indicato con V⊥) si chiama radicale e corrisponde al nucleo della matrice associata A. Il radicale `e il solo 0 se e solo se il prodotto scalare `e non degenere.

Esempio Si consideri R3 con il prodotto scalare standard; l’ortogonale di

v = (1, 2, 3) `e l’insieme dei vettori w = (x, y, z) tali che

h   1 2 3  ,   x y z  i = 0

ovvero l’insieme delle soluzioni del sistema (di 1 equazione in 3 incognite) x + 2y + 3z = 0

Volendo scrivere queste soluzioni in forma parametrica, si ottiene

v⊥ =      2s + 3t −s −t  | s, t ∈ R   

oppure si pu`o fornire una base di v⊥:   2 −1 0     3 0 −1  

Esempio Si consideri in R4 il sottospazio

W = Span        v1=     1 1 1 1     , v2=     1 0 1 0           

Ne vogliamo l’ortogonale rispetto al prodotto scalare standard.

Ora, un vettore `e ortogonale a W se `e ortogonale a ogni suo vettore, quindi se `e ortogonale a tutti i vettori di una base di W ; dobbiamo quindi trovare le soluzioni di



hv1, wi = 0

hv2, wi = 0

Ovvero, se w = (x, y, z, u), vogliamo le soluzioni di 

x + y + z + u = 0 x + z = 0

(8)

In forma parametrica abbiamo W⊥=            −t −s t s     | s, t ∈ R       

ovvero, tramite una base,

W⊥= Span            −1 0 1 0     ,     0 −1 0 1           

Esempio Si consideri R3munito del prodotto scalare

hv, wi = v1w1+ v1w3+ v3w1− 2v2w3− 2w2v3

Vogliamo trovare l’ortogonale del vettore

v =   1 1 −1  

Innanzitutto scriviamo la matrice associata al prodotto scalare:

A =   1 0 1 0 0 −2 1 −2 0  

Dobbiamo trovare i vettori w = (x, y, z) tali che vtAw = 0, ovvero tali che

0x + 2y − z = 0 Dunque v⊥ =      t s 2s   | t, s ∈ R    ovvero v⊥= Span      1 0 0  ,   0 1 2     

Esempio Si consideri R4munito del prodotto scalare

hv, wi = v1w2+ v2w3+ v3w4+ v2w1+ v3w2+ v4w3

Si vuole trovare l’ortogonale del sottospazio

W = Span        v =     1 1 0 1     , v0 =     0 1 −1 0           

(9)

Scriviamo innanzitutto la matrice associata al prodotto scalare: A =     0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0    

Ora dobbiamo risolvere il sistema  hv, wi = 0 hv0, wi = 0 ovvero  x + y + 2z = 0 x − y + z − u = 0 Dunque W⊥=            s − 3t −2t − s 2t 2s     | t, s ∈ R        oppure W⊥= Span            1 −1 0 2     ,     −3 −2 1 0           

Esempio Sia V lo spazio vettoriale reale generato da {cos 2πx, sin 2πx, x} e sia dato il seguente prodotto scalare

hf (x), g(x)i = f (1)g(1) − f0(0)g0(0)

Vogliamo trovare l’ortogonale del vettore h(x) = 2 sin 2πx − cos x.

Calcoliamo la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base data:

A =   1 0 0 0 −4π2 0 2π 0  

Dunque, vogliamo trovare i vettori

w(x) = a cos 2πx + b sin 2πy + cx tali che

hw(x), h(x)i = 0

Poich´e nella base {cos 2πx, sin 2πx, x} il vettore h(x) corrisponde a   −1 2 0  

(10)

ci basta risolvere il sistema lineare −1 2 0   1 0 0 0 −4π2 0 2π 0     a b c  = 0 e dunque −x − 8π2y + 4πz = 0 Quindi h(x)⊥=      −8π2t + 4πs t s   | s, t ∈ R    oppure h(x)⊥= Span      −8π2 1 0  ,   4π 0 1     

Esercizio 8 Calcolare l’ortogonale dei seguenti vettori in R3 rispetto al

pro-dotto scalare canonico: i.   1 0 0   ii.   0 1 1   iii.   0 π 0   iv.   1 −1 1  

Esercizio 9 Calcolare l’ortogonale dei seguenti sottospazi in R3 rispetto al

prodotto scalare canonico: i. W = {0} ii. W = R3 iii. W = Span      1 0 0  ,   1 1 0      iv. W = Span      0 1 −1  ,   −1 1 0      v. W =      t 2t + s s  , s, t ∈ R   

(11)

Esercizio 10 Calcolare l’ortogonale dei seguenti vettori in R4 rispetto al

prodotto scalare canonico:

i.     1 0 0 1     ii.     0 1 1 0     iii.     0 π 0 2π     iv.     1 −1 1 −1    

Esercizio 11 Calcolare l’ortogonale dei seguenti sottospazi in R4 rispetto al

prodotto scalare canonico: i. W = {0} ii. W = Span            1 0 0 0     ,     1 1 0 0     ,     1 0 1 0            iii. W = Span            1 0 0 1     ,     1 1 0 1            iv. W = Span            0 1 −1 0     ,     −1 1 0 1            v. W =            t 2t + s s 2t − s    , s, t ∈ R       

Esercizio 12 Calcolare in R3 l’ortogonale del vettore

v =   1 2 −2  

(12)

rispetto al prodotto scalare

hv, wi = v1w1+ 2v1w2+ 2w2v1+ v2w2− v1w3− w1v3− 2v3w3

Esercizio 13 Calcolare in R4 l’ortogonale del sottospazio

W = Span            1 0 1 0     ,     1 0 2 −1           

rispetto al prodotto scalare dato dalla matrice

A =     1 −1 0 0 −1 2 1 0 0 1 2 −1 0 0 −1 2    

Esercizio 14 Si consideri su R2[x] il prodotto scalare

hp(x), q(x)i = p(1)q(2) + p(2)q(1) − p0(0)q0(0)

Si calcoli l’ortogonale del vettore p(x) = x2+ x + 1 rispetto a questo prodotto

scalare.

Esercizio 15 Si consideri lo spazio vettoriale V generato su R dalle funzioni sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, munito del prodotto scalare

hf (x), g(x)i = Z 2π

0

f (x)g(x)dx Si calcoli l’ortogonale del sottospazio

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