Appunti di Geometria - 6
Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it
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Applicazione aggiunta
Richiami Sia V uno spazio vettoriale reale con un prodotto scalare h·, ·i non degenere; sia poi T : V → V una applicazione lineare. Si definisce applicazione aggiunta di T l’unica applicazione lineareaT : V → V tale che
hT v, wi = hv,aT wi ∀ v, w ∈ V
Fissata una base B = {v1, . . . , vn}, possiamo associare al prodotto scalare una
matrice simmetrica invertibile A e all’applicazione lineare una matrice B. Sup-poniamo inoltre che all’applicazione aggiunta di T sia associata la matrice C, allora si avr`a
(Bv)tAw = hT v, wi = hv,aT wi = vtA(Cw) ovvero
vtBtAw = vtCAw
che, dovendo valere per ogni v, w ed essendo A invertibile (ovvero il prodotto scalare non degenere), implica
BtA = CA da cui
C = A−1BtA
Quindi, ad esempio, se il prodotto scalare `e quello euclideo (e dunque A `e l’identit`a), l’aggiunta di un’applicazione lineare corrisponde alla trasposta della matrice associata.
Ora supponiamo che B sia la base canonica e di avere trovato una base di autovettori di A (che esiste per il teorema spettrale), che sia ortonormale per il prodotto scalare euclideo (si veda la dispensa n. 5); la matrice M di cam-biamento di base dalla base canonica a questa base di autovettori `e ortogonale, quindi la trasposta e l’inversa sono uguali. Inoltre in tale base la matrice asso-ciata al prodotto scalare (che sarebbe MtAM ) `e diagonale; in effetti `e la forma
di Jordan di A. Dunque avremo che la matrice associata al prodotto scalare in questa base `e A0 = λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · λn
e quindi A0−1= 1/λ1 0 · · · 0 0 1/λ2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · 1/λn
Inoltre, la matrice associata all’applicazione lineare in questa base sar`a M−1BM , secondo la formula del cambio di base per un’applicazione lineare, ma visto che M `e ortogonale, questo `e anche uguale a MtBM , quindi in definitiva la matrice
associata all’applicazione aggiunta in questa base sar`a A0−1MtBM A0 dove A0 e A0−1sono diagonali.
Esempio Si consideri R3 con la base canonica e sia h·, ·i il prodotto scalare
standard. Sia data l’applicazione
f x1 x2 x3 = x2+ x1 2x3− x2 x1+ 2x2
Vogliamo calcolare l’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare standard. Ovviamente, la matrice associata al prodotto scalare standard rispetto al-la base canonica `e l’identit`a, quindi non dobbiamo fare altro che calcolare la matrice associata ad f e farne la trasposta.
f x1 x2 x3 = 1 1 0 0 −1 2 1 2 0 x1 x2 x3 dunque af x1 x2 x3 = 1 0 1 1 −1 2 0 2 0 x1 x2 x3 = x1+ x3 x1− x2+ 2x3 2x2
Esempio Si consideri l’applicazione lineare da R3in s´e data da
f x1 x2 x3 = x1+ x2+ x3 x2+ x3 x3
Vogliamo calcolarne l’aggiunta rispetto al prodotto scalare
hv, wi = v1w1− v1w2− w1v2+ 3w2v2+ w2v3+ v2w3+ v3w3
La matrice associata ad f rispetto alla base canonica `e
B = 1 1 1 0 1 1 0 0 1
mentre quella associata al prodotto scalare `e A = 1 −1 0 −1 3 1 0 1 1
dunque la matrice associata all’aggiunta `e
A−1BtA = 2 1 −1 1 1 −1 −1 −1 2 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 −1 0 −1 3 1 0 1 1 = 2 −3 −1 1 −2 −1 −1 9 5 Quindi af x1 x2 x3 = 2x1− 3x2− x3 x1− 2x2− x3 −x1+ 9x2+ 5x3
Esempio Si consideri il prodotto scalare dato su R4, rispetto alla base canonica,
dalla matrice A = 7 0 1 0 0 14 0 2 1 0 7 0 0 2 0 14
e sia, sempre rispetto alla base canonica, data l’applicazione lineare
f x1 x2 x3 x4 = x1+ x2 x2+ x3 x3+ x4 x1+ x4
Vogliamo trovare una base ortonormale di autovettori di A per il prodotto scalare canonico e scrivere l’aggiunta di f rispetto a tale base.
Per la prima parte, si veda la dispensa n.5 per i dettagli; in breve, il polinomio caratteristico di A `e
p(λ) = (λ − 8)(λ − 6)(λ − 12)(λ − 16) e una base di autovettori `e la seguente:
1 0 1 0 1 0 −1 0 0 1 0 −1 0 1 0 1
Tale base `e ortogonale rispetto al prodotto scalare standard, in quanto ogni autovettore corrisponde ad un autovalore diverso (teorema spettrale); quindi basta normalizzare i vettori, sempre rispetto al prodotto standard. Si ottiene cos`ı la matrice di cambio di base
M = √1 2 1 1 0 0 0 0 1 1 1 −1 0 0 0 0 −1 1
che `e dunque ortogonale (quindi Mt= M−1) e quindi A0= MtAM = M−1AM = 8 0 0 0 0 6 0 0 0 0 12 0 0 0 0 16
La matrice associata ad f nella base canonica `e
B = 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1
e dunque la matrice associata aaf nella base di autovettori normalizzati trovata
sopra `e C = A0−1MtBtM A0= 1 0 0 2 0 1 −2 0 0 1/2 1 0 1/2 0 0 1
Attenzione! Non possiamo scrivereaf (x
1, x2, x3, x4) = · · · in quanto la matrice
C che abbiamo trovato esprime l’aggiunta rispetto alla base di autovettori 1/√2 0 1/√2 0 1/√2 0 −1/√2 0 0 1/√2 0 −1/√2 0 1/√2 0 1/√2
e non rispetto alla base canonica!
Per tornare alla base canonica dalla matrice C dobbiamo calcolare
M CMt= 1 0 0 2 1/2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1/2 1
e, se avrete la pazienza di svolgere i conti, vedrete che questa coincide (per fortuna!) con A−1BtA.
Attenzione! L’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare standard nella base ortonormale che diagonalizza A `e associata alla matrice
MtBtM
Esercizio 1 Scrivere le applicazioni aggiunte rispetto al prodotto scalare standard delle seguenti applicazioni lineari:
1. f x1 x2 x3 = x1+ x2 x2+ x3 x1+ x3 2. f x1 x2 x3 = 2x2 3x3 x1
3. f x1 x2 x3 = x1− x2 x2− x3 x3− x1 4. f x1 x2 x3 = x1+ x3 −x2 x1− x3
Esercizio 2 Scrivere l’aggiunta dell’applicazione da R4 in s´e
f x1 x2 x3 x4 = x2+ 3x3 − 4x4 x1− x2+ x3 x2+ 4x4 2x1− 3x3
rispetto al prodotto scalare
hx, yi = x1y1− x1y2− x2y1+ 3x2y2+ x2y3+ x3y2+ x3y3+ 2x4y4
Esercizio 3 Si consideri lo spazio R2[x] dei polinomi a coefficienti reali di grado
minore o uguale a 2 e su di esso il prodotto scalare hp(x), q(x)i =
Z 1
0
p(x)q(x)dx
Si consideri inoltre l’applicazione lineare T (p(x)) = xp0(x) + p(1). Si scrivano le matrici associate al prodotto e all’applicazione rispetto alla base {1, x, x2} e si determini la matrice associata aaT in questa stessa base (ovviamente, l’aggiunta va intesa rispetto al prodotto scalare dato).
Esercizio 4 Sia R4 e sia h·, ·i il prodotto scalare dato, rispetto alla base
canonica, dalla matrice
A = 1 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 2
Si determini la matrice, rispetto alla base canonica, dell’applicazione aggiunta rispetto a questo prodotto scalare dell’applicazione
f x1 x2 x3 x4 = x2+ x3 x1+ x3 2x3 x4+ x3
Esercizio 5 Si trovi una base di R3 ortonormale rispetto al prodotto scalare standard che diagonalizzi la matrice simmetrica
A = 5 −2 2 −2 5 −2 2 −2 5
Sia poi f x1 x2 x3 = x1+ x2+ x3 x2+ x3 x3
Si scriva la matrice associata nella base trovata all’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto dalla matrice A.
Esercizio 6 Si trovi una base di R3 ortonormale rispetto al prodotto scalare
standard che diagonalizzi la matrice simmetrica
A = 9 6 −2 6 5 −2 −2 −2 1 Sia poi f x1 x2 x3 = x1+ x2+ x3 x2+ x3 x3
Si scriva la matrice associata nella base trovata all’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare standard.
Esercizio 7 Si trovi una base di R4 ortonormale rispetto al prodotto scalare standard che diagonalizzi la matrice simmetrica
A = 1 1 −1 0 1 1 0 2 −1 0 1 −2 0 2 −2 1 Sia poi f x1 x2 x3 x4 = x1− x2+ x3− x4 x1− x2+ x3 x1+ x3 x2+ x4
Si scriva la matrice associata nella base trovata all’aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto dalla matrice A.
2
Sottospazi ortogonali
Richiami Sia V uno spazio vettoriale reale con un prodotto scalare h·, ·i. Due vettori v, w ∈ V si dicono ortogonali se
hv, wi = 0
Ovvero, fissando una base in cui il prodotto scalare sia associato alla matrice simmetrica A e i vettori v, w alle n−uple
x1 .. . xn y1 .. . yn
i due vettori sono ortogonali se e solo se x1 · · · xn a11 · · · a1n .. . ... an1 · · · ann y1 .. . yn = 0
Il sottospazio ortogonale al vettore v (indicato con v⊥) `e l’insieme dei vettori w tali che hv, wi = 0; il sottospazio ortogonale a un sottospazio W ( indicato con W⊥) `e l’insieme dei vettori ortogonali a tutti i vettori di w. Il sottospazio
ortogonale a tutto lo spazio (indicato con V⊥) si chiama radicale e corrisponde al nucleo della matrice associata A. Il radicale `e il solo 0 se e solo se il prodotto scalare `e non degenere.
Esempio Si consideri R3 con il prodotto scalare standard; l’ortogonale di
v = (1, 2, 3) `e l’insieme dei vettori w = (x, y, z) tali che
h 1 2 3 , x y z i = 0
ovvero l’insieme delle soluzioni del sistema (di 1 equazione in 3 incognite) x + 2y + 3z = 0
Volendo scrivere queste soluzioni in forma parametrica, si ottiene
v⊥ = 2s + 3t −s −t | s, t ∈ R
oppure si pu`o fornire una base di v⊥: 2 −1 0 3 0 −1
Esempio Si consideri in R4 il sottospazio
W = Span v1= 1 1 1 1 , v2= 1 0 1 0
Ne vogliamo l’ortogonale rispetto al prodotto scalare standard.
Ora, un vettore `e ortogonale a W se `e ortogonale a ogni suo vettore, quindi se `e ortogonale a tutti i vettori di una base di W ; dobbiamo quindi trovare le soluzioni di
hv1, wi = 0
hv2, wi = 0
Ovvero, se w = (x, y, z, u), vogliamo le soluzioni di
x + y + z + u = 0 x + z = 0
In forma parametrica abbiamo W⊥= −t −s t s | s, t ∈ R
ovvero, tramite una base,
W⊥= Span −1 0 1 0 , 0 −1 0 1
Esempio Si consideri R3munito del prodotto scalare
hv, wi = v1w1+ v1w3+ v3w1− 2v2w3− 2w2v3
Vogliamo trovare l’ortogonale del vettore
v = 1 1 −1
Innanzitutto scriviamo la matrice associata al prodotto scalare:
A = 1 0 1 0 0 −2 1 −2 0
Dobbiamo trovare i vettori w = (x, y, z) tali che vtAw = 0, ovvero tali che
0x + 2y − z = 0 Dunque v⊥ = t s 2s | t, s ∈ R ovvero v⊥= Span 1 0 0 , 0 1 2
Esempio Si consideri R4munito del prodotto scalare
hv, wi = v1w2+ v2w3+ v3w4+ v2w1+ v3w2+ v4w3
Si vuole trovare l’ortogonale del sottospazio
W = Span v = 1 1 0 1 , v0 = 0 1 −1 0
Scriviamo innanzitutto la matrice associata al prodotto scalare: A = 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
Ora dobbiamo risolvere il sistema hv, wi = 0 hv0, wi = 0 ovvero x + y + 2z = 0 x − y + z − u = 0 Dunque W⊥= s − 3t −2t − s 2t 2s | t, s ∈ R oppure W⊥= Span 1 −1 0 2 , −3 −2 1 0
Esempio Sia V lo spazio vettoriale reale generato da {cos 2πx, sin 2πx, x} e sia dato il seguente prodotto scalare
hf (x), g(x)i = f (1)g(1) − f0(0)g0(0)
Vogliamo trovare l’ortogonale del vettore h(x) = 2 sin 2πx − cos x.
Calcoliamo la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base data:
A = 1 0 0 0 −4π2 2π 0 2π 0
Dunque, vogliamo trovare i vettori
w(x) = a cos 2πx + b sin 2πy + cx tali che
hw(x), h(x)i = 0
Poich´e nella base {cos 2πx, sin 2πx, x} il vettore h(x) corrisponde a −1 2 0
ci basta risolvere il sistema lineare −1 2 0 1 0 0 0 −4π2 2π 0 2π 0 a b c = 0 e dunque −x − 8π2y + 4πz = 0 Quindi h(x)⊥= −8π2t + 4πs t s | s, t ∈ R oppure h(x)⊥= Span −8π2 1 0 , 4π 0 1
Esercizio 8 Calcolare l’ortogonale dei seguenti vettori in R3 rispetto al
pro-dotto scalare canonico: i. 1 0 0 ii. 0 1 1 iii. 0 π 0 iv. 1 −1 1
Esercizio 9 Calcolare l’ortogonale dei seguenti sottospazi in R3 rispetto al
prodotto scalare canonico: i. W = {0} ii. W = R3 iii. W = Span 1 0 0 , 1 1 0 iv. W = Span 0 1 −1 , −1 1 0 v. W = t 2t + s s , s, t ∈ R
Esercizio 10 Calcolare l’ortogonale dei seguenti vettori in R4 rispetto al
prodotto scalare canonico:
i. 1 0 0 1 ii. 0 1 1 0 iii. 0 π 0 2π iv. 1 −1 1 −1
Esercizio 11 Calcolare l’ortogonale dei seguenti sottospazi in R4 rispetto al
prodotto scalare canonico: i. W = {0} ii. W = Span 1 0 0 0 , 1 1 0 0 , 1 0 1 0 iii. W = Span 1 0 0 1 , 1 1 0 1 iv. W = Span 0 1 −1 0 , −1 1 0 1 v. W = t 2t + s s 2t − s , s, t ∈ R
Esercizio 12 Calcolare in R3 l’ortogonale del vettore
v = 1 2 −2
rispetto al prodotto scalare
hv, wi = v1w1+ 2v1w2+ 2w2v1+ v2w2− v1w3− w1v3− 2v3w3
Esercizio 13 Calcolare in R4 l’ortogonale del sottospazio
W = Span 1 0 1 0 , 1 0 2 −1
rispetto al prodotto scalare dato dalla matrice
A = 1 −1 0 0 −1 2 1 0 0 1 2 −1 0 0 −1 2
Esercizio 14 Si consideri su R2[x] il prodotto scalare
hp(x), q(x)i = p(1)q(2) + p(2)q(1) − p0(0)q0(0)
Si calcoli l’ortogonale del vettore p(x) = x2+ x + 1 rispetto a questo prodotto
scalare.
Esercizio 15 Si consideri lo spazio vettoriale V generato su R dalle funzioni sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, munito del prodotto scalare
hf (x), g(x)i = Z 2π
0
f (x)g(x)dx Si calcoli l’ortogonale del sottospazio