Prof. Chirizzi Marco
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Esercizi svolti
Studio del grafico di una funzione
1) Studiare la seguente funzione razionale fratta e tracciare il grafico: x x x x f 2 4 6 ) ( 2 Trattandosi di una funzione razionale fratta, deve essere:
0 0
2x x
quindi la funzione data è definita nel seguente insieme di esistenza:
, 0 0,
Z
Verifichiamo se la funzione è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate:
) ( ) ( ) ( 2 4 6 ) ( 2 f x f x nonloè x x x x f
Verifichiamo se la funzione è simmetrica rispetto all’origine degli assi coordinati: ) ( ) ( ) ( 2 4 6 ) ( 2 f x f x nonlo è x x x x f
Determiniamo le ascisse degli eventuali punti d’intersezione della funzione f(x) con gli assi
coordinati: . 5 3 , 5 3 0 4 6 0 2 4 6 0 ) ( 2 x2 x x x x x x x f ! ) 0 ( 0 f nonè definita x
In definitiva, la funzione f(x) interseca solo l’asse delle ascisse.
Determiniamo le equazioni degli eventuali asintoti, studiando il comportamento della funzione
) (x
3. 2 4 6 ) ( ; 2 1 2 4 6 ) ( ; 2 4 6 ) ( lim lim lim lim lim lim 2 2 2 x x x m x f q x x x x x f m x x x x f x x x x x xLa funzione f(x) presenta un asintoto obliquo di equazione: 3 2 1 mx q x y
Calcolando il limite della funzione f (x) nel punto di ascissa x 0, si ha:
. 2 4 6 ) ( ; 2 4 6 ) ( 2 0 0 2 0
0 lim lim lim
lim x x x x f x x x x f x x x x
La funzione presenta un asintoto verticale di equazione:
0
x Studiamo i punti di massimo e minimo relativi:
,0 0, 4 8 2 4 2 ) 4 6 ( 2 ) 6 2 ( )( 22 2 2 definita per ogni x
x x x x x x x x f
Determiniamo le ascisse dei punti in cui si annulla la derivata prima f (x):
. 2 0 8 2 0 4 8 2 ) ( 2 2 2 x x x x x f
Abbiamo appena verificato la condizione necessaria affinché la funzione f(x) presenti punti di massimo e minimo relativi. Per verificare la condizione sufficiente della esistenza di tali punti, bisogna studiare il segno della derivata prima, oppure si può calcolare la derivata seconda, ed è quello che faremo, nei punti in cui si annulla la derivata prima, cioè:
4 ,0 0, 16 8 ) 8 2 ( 4 4 ) ( 3 4 2 2 x ogni per definita x x x x x x x f 0 2 1 ) 2 ( ; 0 2 1 ) 2 ( f fIn conclusione, il punto di ascissa x2 è un punto di massimo relativo, mentre x2 è di
minimo relativo per la funzione f(x). Il massimo relativo ed il minimo relativo risultano rispettivamente: f(2)1, f(2)5.
A questo punto siamo in possesso di sufficienti informazioni sulle proprietà della funzione in esame, e quindi siamo in grado di tracciare il grafico.
2) Studiare la seguente funzione e tracciare il grafico: 2 ) 2 ( ) (x x2 e x f
Si verifica facilmente che la funzione assegnata è definita nel seguente insieme di esistenza:
,
Z
Verifichiamo se la funzione è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate:
( ) 2
( 2) ( ))
( x x 2 e ( )2 x2 e 2 f x
f x x
Siccome vale l’uguaglianza f(x) f(x), la funzione è simmetrica rispetto all’asse Y.
Verifichiamo ora se la funzione è simmetrica rispetto all’origine degli assi coordinati:
( ) 2
( ) ( ) ( ).)
( x x 2 e ( )2 f x f x f x
f x
Ciò significa che la funzione f(x) non presenta tale simmetria.
Determiniamo le ascisse degli eventuali punti d’intersezione della funzione con gli assi coordinati:
! , 0 ) ( ; 2 ) 0 (
0 f f x per nessunvalore della x
x
In definitiva, la funzione interseca soltanto l’asse Y nel punto di ordinata f(0)2. Per la ricerca
degli asintoti, studiamo il comportamento della funzione agli estremi dell’intervallo di definizione: . ) 2 ( ) ( lim 2 2 lim x x x f x x e
Notiamo che questo limite si presenta nella forma indeterminata 0, ma si può ricondurre nella forma
, scrivendo il limite nel seguente modo equivalente:
2 2 2 ) 2 ( 2 lim 2 lim x x x x e x e x
al quale applichiamo il teorema di De L’Hospital:
. 0 2 2 ) 2 ( 2 2 2 2 lim lim lim 2 2 x x x x x x x e x e D x D e x Inoltre si ha:
.
0
)
(
)
(
lim
lim
f
x
xf
x
xIn definitiva, la funzione f(x) presenta un asintoto orizzontale coincidente con l’asse delle ascisse.
Studiamo ora i punti di massimo e minimo relativi della funzione. A tal proposito, calcoliamo la derivata prima f (x) e studiamo il segno, dopo avere verificato la condizione necessaria di esistenza dei punti di massimo e minimo relativi per la funzione f(x) :
. 0 0 ) 1 ( 2 0 ) 1 ( 2 0 ) ( ; ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x e x x f x e x x e x e x x f x x x x
Abbiamo appena verificato la condizione f (x)=0, necessaria affinché esistano massimi e minimi relativi. A questo punto, possiamo studiare la disequazione f x( )0 in un intorno completo del punto x 0. . 0 0 ) ( ; 0 0 ) 1 ( 2 0 ) ( 2 2 x x f x x e x x f x
In base a questo risultato, possiamo dire che la funzione f(x) è decrescente nell’intervallo 0, , crescente nell’intervallo , 0 . Ciò significa che la funzione in esame presenta
un massimo relativo nel punto di ascissa x 0, il cui valore risulta:
2 ) 0 (
f
Per la ricerca dei punti di flesso, bisogna calcolare la derivata seconda e vedere per quali valori della variabile
x
essa si annulla. Dopo di che, si calcola la derivata terza in tali punti, da cui si potrà stabilire se la funzione presenta punti di flesso.. ) 1 2 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( 2 ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 2 4 2 2 2 2 2 2 x x e x e x x e x x e x x f x x x x . 0 1 2 0 ) 1 2 ( 2 0 ) ( 2 4 2 4 2 x e x x x x f x
Questa è un’equazione di quarto grado che risolviamo per sostituzione di variabile, cioè ponendo:
2
x y
per cui l’equazione diventa:
0 1 2y2 y Le soluzioni sono: . 1 , 2 1 y y da cui si ottiene: ! 2 1 ; 1 1 2 2 x x non ha soluzione x . ; ) 2 8 ( 2 ) 1 2 ( 4 ) (x x e 2 x4 x2 e 2 x3 x f x x 0 ) 1 ( f
I punti x 1 sono punti di flesso per la funzione f(x), in quanto la derivata terza è ivi diversa
da zero.
Studiando il segno della derivata seconda, si ha:
1, 1 . 0 ) 1 2 ( 2 0 ) ( ; , 1 1 , 0 ) 1 2 ( 2 0 ) ( 2 4 2 4 2 2 x x x e x f x x x e x f x x
In definitiva, la funzione f(x) volge la concavità nei punti in cui la derivata seconda è positiva, la
convessità nei punti in cui la derivata seconda è negativa. Ora siamo in grado di tracciare il grafico della funzione.
3) Studiare la seguente funzione razionale fratta e tracciare il grafico: 2 4 ) ( 2 x x x x f Si ha: . 1 , 2 0 2 2 x x x x
La funzione assegnata è quindi definita nel seguente insieme di esistenza:
, 2 2,1 1,
Z
Verifichiamo se la funzione interseca gli assi coordinati:
. 0 0 2 4 0 ) ( ; 0 ) 0 ( 0 2 x x x x x f f x
La funzione passa per l’origine degli assi coordinati. Studiamo le proprietà di simmetria della funzione:
( ) 2 ) ( 4 ) ( 2 x f x x x x
f la funzione non è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate; ( ) 2 ) ( 4 ) ( 2 x f x x x x
f la funzione non è simmetrica rispetto all’origine degli assi
Per facilitare la rappresentazione grafica, in questo caso è opportuno studiare il segno della funzione
) (x
f , anche perché la disequazione f(x)0 non è, in questo caso, di difficile risoluzione.
, 2
0, 1
0 2 4 0 ) ( ; , 1 0 , 2 0 2 4 0 ) ( 2 2 x x x x x f x x x x x fNella figura in basso, sono contrassegnate in grigio le porzioni del piano in cui la funzione assume valori positivi Y
e negativi.
o X -2 1
Per effettuare la ricerca degli asintoti, bisogna studiare il comportamento della funzione agli estremi degli intervalli di definizione, cioè:
; 0 2 4 2 4 ) ( 2 2 2 2 2 2 lim lim lim x x x x x x x x x x x f x x x
Questo limite implica l’esistenza di un asintoto orizzontale di equazione:
0 y Inoltre si ha:
.
)
(
;
)
(
;
)
(
;
)
(
lim
lim
lim
lim
2 2 1 1
x
f
x
f
x
f
x
f
x x x xQuesti limiti implicano l’esistenza di due asintoti verticali aventi equazione:
2 , 1 x x . N.B.
I limiti sopra indicati si calcolano tenendo presente il segno che il denominatore x2 x2 assume
negli intorni destro e sinistro dei punti x1, x2. Per esempio, il primo limite si calcola come
segue: 2 0 2,0 1, 2 x per x x
ciò significa che in un intorno destro del punto 1, la funzione al denominatore di f(x) tende a zero
. 0 4 2 4 2 1 lim x x x x
Lo stesso discorso vale per gli altri limiti.
Per la ricerca dei massimi e minimi relativi, calcoliamo la derivata prima della funzione f(x) e determiniamo le ascisse dei punti in cui essa si annulla:
! 0 8 4 0 ) 2 ( 8 4 0 ) ( ; ) 2 ( 8 4 ) 2 ( ) 1 2 ( 4 ) 2 ( 4 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x della valore nessun per x x x x x f x x x x x x x x x x f
Siccome la derivata prima non si annulla per nessun valore della variabile indipendente, la funzione
) (x
f non ha né massimi, né minimi relativi. A questo punto, riteniamo di essere all’altezza di graficare, con buona approssimazione, l’andamento della funzione.
4) Studiare la seguente funzione e tracciare il grafico: 7 8 3 ) ( 2 x x e x f x
Il denominatore è diverso da zero per qualunque valore della
x
, quindi la funzione assegnata è definita nel seguente insieme di esistenza:
,
Z
La funzione interseca l’asse delle ordinate nel punto
7 1 ) 0 (
f , invece non interseca l’asse delle ordinate, in quanto il numeratore ex non si annulla mai.
Per facilitare la rappresentazione grafica della funzione, è opportuno studiare il segno di f(x), la
cui disequazione è, in questo caso, molto semplice da risolvere. Infatti, si ha: 0 7 8 3 0 ) ( 2 x x e x f x
Sia la funzione exche la funzione 3x2 x8 7 assumono valori positivi nell’intero insieme dei
numeri reali, di conseguenza la funzione f(x) è sempre positiva. Quindi ci aspettiamo che il
grafico di f(x) si trovi nel primo e secondo quadrante del piano cartesiano. Verifichiamo se la
funzione presenta degli asintoti:
; 0 7 8 3 ) ( lim 2 lim x x e x f x x x
Questo limite implica l’esistenza di un asintoto orizzontale sinistro di equazione y 0.
Applicando il teorema di De L’Hospital, calcoliamo i seguenti limiti:
. 8 6 ) 7 8 3 ( 7 8 3 )
( lim lim lim
lim 2 2 x e x x D e D x x e x f x x x x x x x
Notiamo che anche il nuovo limite presenta la forma d’indeterminazione
, per cui bisogna riapplicare il teorema di De L’Hospital , cioè:
. 6 ) 8 6 ( 8 6 lim lim lim x x x x x x e x D e D x e
Si verifica facilmente che non esistono asintoti obliqui.
Verifichiamo se la funzione f(x) presenta punti di massimo e minimo relativi. A tal proposito, calcoliamo la derivata prima e vediamo per quali valori della variabile
x
essa si annulla.. ) 7 8 3 ( ) 1 2 3 ( ) 7 8 3 ( ) 8 6 ( ) 7 8 3 ( ) ( 2 2 2 2 2 2 x x x x e x x x e x x e x f x x x . 3 1 , 1 0 7 8 3 0 ) 7 8 3 ( ) 1 2 3 ( 0 ) ( 2 2 2 2 x x x x x x x x e x f x
, 3 1 1 , 0 ) 7 8 3 ( ) 1 2 3 ( 0 ) ( 2 2 x x x x x e x f x 3 1 , 1 0 ) 7 8 3 ( ) 1 2 3 ( 0 ) ( 2 2 x x x x x e x f xIn definitiva, la funzione f(x) è crescente in
, 3 1 1 , , decrescente in 3 1 ,1 . Ciò significa che la funzione presenta un massimo relativo nel punto di ascissa
1
x , un minimo relativo nel punto di ascissa
3 1
x . Il massimo ed il minino sono rispettivamente: . 10 3 1 , 2 1 ) 1 ( 3 e f e f
In questo caso, non è necessario fare la ricerca dei punti di flesso, né tanto meno determinare gli intervalli in cui la funzione volge concavità e convessità, in quanto il calcolo della derivata terza risulterebbe piuttosto laborioso. A questo punto, riteniamo di avere dati a sufficienza per potere tracciare il grafico della funzione.
5) Studiare la seguente funzione e tracciare il grafico:
) 1 ( log ) 1 ( ) (x x 2 x f Deve essere: 1 0 1 x x
quindi, la funzione è definita nel seguente insieme di esistenza:
1,
Z
La funzione interseca gli assi coordinati. Infatti si ha:
. 0 ) 1 ( log 0 1 0 ) 1 ( log ) 1 ( 0 ) ( ; 0 ) 0 ( 0 2 2 x oppure x x x x f f x
La prima equazione bisogna scartarla, in quanto è soddisfatta per x 1 in cui la funzione non è
definita. La seconda equazione ha per soluzionex0.
Per facilitare la rappresentazione grafica, studiamo il segno di f(x), cioè la disequazione:
0 ) 1 ( log ) 1 (x 2 x
Si nota facilmente che risulta:
f(x)0 x1
ciò significa che la funzione è sempre positiva nel proprio insieme di esistenza. Studiamo il comportamento della funzione agli estremi dell’intervallo di definizione:
. ) 1 ( log ) 1 ( ) ( ; ) 1 ( log ) 1 ( ) ( 2 1 2
lim
lim
lim
lim
f x x x x x x f x x x xQuest’ultimo limite si presenta nella forma indeterminata 0, ma ci si può ricondurre alla forma indeterminata
trasformando la funzione nel seguente modo equivalente:
.
1
1
)1
(
log
)1
(
log
)1
(
2
1
2
1
lim
lim
x
x
x
x
x
x
Applicando due volte il teorema di De L’Hospital, si ha:
. 0 2 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 2 1 1 ) 1 ( l o g 2 1 1 ) 1 ( l og 2 ) 1 ( l og ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( l o g 2 1 1 ) 1 ( l o g 1 1 ) 1 ( l og lim lim lim lim lim lim lim lim 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 x x x x D x D x x x x x x x x D x D x x x x x x x x x x
Per verificare se esiste l’asintoto obliquo, calcoliamo il seguente limite:
. ) ( 1 ) 1 ( log 1 ) 1 ( log 1 ) ( 2 2 lim lim lim lim x x x x x x x x f x x x x
Dai limiti ottenuti, possiamo concludere dicendo che la funzione f(x) non presenta asintoti di
nessun tipo. Verifichiamo se la funzione ammette massimi e minimi relativi. A tal proposito, calcoliamo la derivata prima e determiniamo le ascisse dei punti in cui essa si annulla.
. 2 ) 1 ( log 0 ) 1 ( log 0 2 ) 1 ( log ) 1 ( log 0 ) ( ; 2 ) 1 ( log ) 1 ( log 1 ) 1 ( log ) 1 ( 2 ) 1 ( log ) ( 2 x oppure x x x x f x x x x x x x fDalla prima equazione risulta: x0
La seconda equazione si risolve come segue:
. 2 1 1 1 1 2 ) 1 ( log 2 2 2 e x x e x e x
In definitiva, la derivata prima si annulla nei punti 0 12 2. e x e x
log( 1) 2
0 1 2 0. ) 1 ( log 0 ) ( ; 0 , 2 1 1 0 2 ) 1 ( log ) 1 ( log 0 ) ( 2 2 x e x x x f x e x x x x fPoiché la funzione è crescente in , 0 2 1 , 1 2 e ,decrescente in 0 , 2 1 2 e , nei punti x 0 ed 12 2 e
x esistono rispettivamente un minimo ed un massimo relativi.
Verifichiamo se la funzione presenta punti di flesso. A tal proposito, calcoliamo la derivata seconda, determiniamo le ascisse dei punti in cui essa si annulla e calcoliamo la derivata terza in tali punti.
; 1 2 ) 1 ( log 2 2 ) 1 ( log 2 1 1 ) 1 ( log 1 1 2 ) 1 ( log 1 1 ) ( x x x x x x x x x f . 1 1 1 1 ) 1 ( log 0 2 ) 1 ( log 2 0 1 2 ) 1 ( log 2 0 ) ( 1 e x x e x x x x x f
0 1 1 log 2 1 1 ; ) 1 ( ) 1 ( log 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( log 2 ) 1 ( 1 2 ) ( 2 2 2 e e e f x x x x x x x fSiccome la derivata terza risulta diversa da zero, nel punto di ascissa 1 1
e
x la funzione f(x)
presenta un punto di flesso. In quanto alla concavità e convessità, bisogna studiare il segno della derivata seconda. ; 0 1 2 ) 1 ( log 2 0 ) ( x x x f . 1 0 1 ; 1 1 1 1 ) 1 ( log 0 2 ) 1 ( log 2 1 x x e x x e x x In definitiva si ha: concavità una presenta x f e x x f convessità una presenta x f e x x f ) ( . 1 1 , 1 0 ) ( ) ( ; , 1 1 0 ) (
6) Studiare la seguente funzione e tracciare il grafico:
5 ( 2 1)2
)
(x x x
f
Siccome l’indice della radice è dispari, la funzione f(x) è definita in tutti i punti dell’insieme reale
,
R . La funzione passa per l’origine degli assi coordinati ed interseca l’asse delle ascisse nei punti x 1, x 1. Infatti si ha:
. 1 0 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 ) ( ; 0 ) 0 ( 0 5 2 2 2 2 x oppure x x x x x x f f x
La funzione risulta simmetrica rispetto all’origine degli assi coordinati, non simmetrica rispetto all’asse delle ordinate. Infatti si ha:
. ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ; ) ( ) 1 ( ] 1 ) ( [ ) ( ) ( 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 x f x x x x x f x f x x x x x f Studiamo il segno di f(x). ; 0 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 ) (x 5 x x2 2 x x2 2 x f ; 0 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 ) (x 5 x x2 2 x x2 2 x f
; 1 2 ) 1 ( ) 1 ( ) ( . ) 1 ( ) ( 5 5 3 5 5 5 2 2 5 2 2 5 2 2 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x f m x x x f x x x x x x x D x x x D x x x x x x x mx x f q x x x x 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( 5 2 2 5 2 2 5 2 2 lim lim lim lim
5
2
2
5
2
2
4
2
2
2
2
2
)1
(
]
)1
(
[
5
])
1
(
4
)1
([
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
. 0 ) 2 ( 5 1 5 6 10 5 5 5 5 3 4 2 2 3 4 5 lim x x x x x x x x x xIn definitiva, la funzione f(x) presenta un asintoto obliquo di equazione: .
x q mx y
La funzione presenta un massimo e un minimo relativi. Infatti si ha:
, 1 1, 1 1, . ' , ] ) 1 ( [ 5 1 6 5 ) 1 ( 4 ) 1 ( ) 1 ( 5 1 ) 1 ( ) ( 5 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 1 5 1 A insieme nell definita x x x x x x x x x x x D x f . 1 , 5 1 : 0 1 6 5 : ' , ; 0 1 6 5 0 ] ) 1 ( [ 5 1 6 5 0 ) ( 2 2 2 4 5 2 2 4 2 4 y y è soluzione cui la y y diventa equazione l x y ponendo x x x x x x x fSostituendo x2 alla variabile y si ha:
. ' , 1 1 ; 5 5 5 1 2 2 prima derivata della esistenza di insieme all ti appartenen non quanto in scartare da soluzioni x x x x
; 5 5 5 5 0 1 6 5 0 ) ( 4 2 x x x x f
In definitiva, la funzione f(x) presenta un minimo relativo nel punto di ascissa
5 5
x ed un
massimo relativo nel punto di ascissa . 5
5
x Trascurando lo studio della derivata seconda,
siamo comunque in grado di tracciare il grafico. Lasciamo al lettore il compito di disegnare la
