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Academic year: 2021

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Corso di Principi di Elettrotecnica e di Automatica - modulo di Automatica Chiarimenti sulla rappresentazione ingresso-stato-uscita (lezione del 29/03/2018)

Ing. Luigi Rarit`a

Si consideri un sistema dinamico descritto dalla funzione di trasferimento:

G (s) = b

m

s

m

+ b

m−1

s

m−1

+ ... + b

0

s

n

+ a

n−1

s

n−1

+ ... + a

0

,

dove m < n. Tale sistema pu`o essere descritto attraverso una rappresentazione equivalente nello spazio di stato, che ` e illustrata nel seguito (se ne omette la dimostrazione formale). La

rappresentazione ` e: 

x = Ax + Bu,

·

y = Cx + Du,

dove D = 0 nell’ipotesi in cui m < n. Nel caso in cui si voglia fornire una rappresentazione in

“forma compagna di controllore”, le matrici A, B e C sono le seguenti:

A =

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

0 1 0 ·· ·· 0

0 0 1 ·· ·· 0

·· ·· ·· ·· ·· ··

·· ·· ·· ·· ·· ··

0 0 0 ·· ·· 1

−a

0

−a

1

−a

2

·· ·· −a

n−1

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

, B =

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝ 0 0

·· ··

0 1

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

,

C =

b

0

b

1

· · · b

m

0 0 .

Risulta fondamentale osservare che, nel caso in cui m = n, occorre eseguire la divisione tra il

polinomio al numeratore e il polinomio al denominatore. In tal caso, si ottiene un quoziente,

che coincide con il valore del parametro D della rappresentazione nello spazio di stato, mentre

il resto ` e una funzione di trasferimento con m < n, per la quale vale ci`o che `e stato detto in

precedenza.

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