Esercizio 1. Sia data la funzione di trasferimento G(s) = 1 s

Esercizio 1. Sia data la funzione di trasferimento

G(s) = 1

s ³ + ks ² + s + k ² − 1

con k parametro reale. Si calcoli la funzione di trasferimento W (s) dello schema a retroazione rappresentato in figura (in funzione del parametro k).

U (s) Y (s)

-



+

−

- G(s) ^-

6

Soluzione. La funzione di trasferimento a catena chiusa ` e W (s) = G(s)

1 + G(s) =

1 s

+ks

+s+k

−1)

1 + _s

+ks

+s+k ¹

−1

= 1

s ³ + ks ² + s + k ² .

Esercizio 2 Si consideri lo schema rappresentato in figura dove G(s) = 1

s(s + 2) e K ` e una costante reale positiva.

y ₀ (t) y(t)

d(t)

-



+

−

- K ^- G(s) _- ^

+ +

?

- 6

a. Si determinino le funzioni di trasferimento W _yy

0

(s) da y ₀ a y e W _yd (s) da d a y del sistema a catena chiusa (in funzione di K).

b. Si determini per quali valori del parametro K > 0 il sistema a catena chiusa presenta il modo t exp(−t).

c. Si determini per quali valori del parametro K > 0 il sistema a catena chiusa presenta il modo exp(−t) sin(t).

d. Si determini per quali valori del parametro K > 0 il sistema a catena chiusa presenta il modo exp(−2t) sin(t).

e. Fissato K = 2, si determini l’uscita forzata del sistema in corrispondenza ad un ingresso a gradino unitario e ad un disturbo impulsivo d(t) = 0.1δ(t).

1

Soluzione.

a. Si ha

W _yy

0

(s) = KG(s)

1 + KG(s) = K s ² + 2s + K W _yd (s) = 1

1 + KG(s) = s ² + 2s s ² + 2s + K

b. Affinch´ e il sistema a catena chiusa presenti il modo t exp(−t), il denominatore di W _yy

0

(s) deve avere uno zero doppio in −1 il che accade se e solo se K = 1.

c. Affinch´ e il sistema a catena chiusa presenti il modo exp(−t) sin(t), il denominatore di W _yy

0

(s) deve avere uno zero in −1 + j ossia (−1 + j) ² + 2(−1 + j) + K = 0, da cui K = −(−1 + j) ² − 2(−1 + j) = 2.

d. Affinch´ e il sistema a catena chiusa presenti il modo exp(−2t) sin(t), il denominatore di W yy

(s) deve avere uno zero in −2 + j ossia (−2 + j) ² + 2(−2 + j) + K = 0, da cui K = −(−2 + j) ² − 2(−2 + j) = 1 + 2j. Il problema non ha quindi soluzione perch´e il valore di K trovato non ` e reale.

e. L’uscita forzata corrispondente al solo effetto di y

` e y _{f 0} (t) = L ⁻¹ Y ₀ (s)W _yy

0

(s) 

= L ⁻¹  ₁

s W _yy

0

. L’uscita forzata corrispondente al solo effetto del disturbo `e y _{f d} (t) = L ⁻¹ [D(s)W _yd (s)] = L ⁻¹ [0.1 W yd (s)].

Vista la linearit` a vale il risultato sulla “sovrapposizione degli effetti” e quindi l’uscita cercata

`

e data da y _f (t) = L ⁻¹  1

s W _yy

0

(s)



+ L ⁻¹ [0.1 W _yd (s)] = L ⁻¹

 2

s(s ² + 2s + 2)



+ L ⁻¹  0.1(s ² + 2s) s ² + 2s + 2



=

1 − cos(t)

e ^t − sin(t)

e ^t + δ(t)

10 − sin(t) 5 e ^t

2