Chirizzi - Esercizi Svolti Limiti

(1)

Esercizi svolti

Limiti

Prof. Chirizzi Marco

www.elettrone.altervista.org

1) Verificare che risulta:

5 2 5 5 lim 5 = − − → x x x

Dobbiamo provare che per ogni ε positivo, arbitrariamente piccolo, si può determinare un intorno del numero 5, tale che per ogni x appartenente a tale intorno, escluso al più il numero 5, si verifichi il limite scritto sopra. Dobbiamo quindi risolvere la seguente disequazione: ε < − − − 5 2 5 5 x x Per x≠5,

(

)

2 5 5 5 5 ) 5 ( 5 2 5 5 ₋ ₌ ₋ − + ⋅ − = − − − x x x x x x , quindi, la disequazione data diventa:

ε < − 5 x equivalente al sistema:     − > + < ε ε 5 5 x x

le cui soluzioni sono:

(

)

2

(

)

2

5 5−ε <x< +ε

che formano effettivamente un intorno completo del punto 5. Ciò significa che per ogni 0

>

ε si può determinare un intorno di 5, tale che per ogni x appartenente a tale intorno, escluso il numero 5, risulti:

5 2 5 5 lim 5 = − − → x x x

(2)

2) Verificare che risulta: 1 5 15 3 5 2 3 5 lim − ₋+ − = → x x x x x

Dobbiamo quindi risolvere la disequazione:

ε < − − − + − 1 5 15 3 5 2 3 x x x x

e vedere se le eventuali soluzioni formano effettivamente un intorno completo del numero 5. Dopo semplici passaggi matematici, la disequazione data può essere scritta come segue: ε < +2 2 x con x≠5.

Dato che x2 +2 è sempre positivo, l’ultima disequazione scritta equivale a:

x2 +2<ε ( 2.2 ) che risolvendo si ha:

2 2 2 2 2 2₊ _<_ε _⇔ _x _<_ε₋ _⇔ ₋ _ε ₋ _<_x_< _ε ₋ x e deve essere: ε −2≥0,

per cui, se consideriamo valori di ε abbastanza piccoli, per esempio 0<ε <1, la disequazione ( 2.2 ) non ammette soluzioni e perciò possiamo dire che il valore =1 non è il limite della funzione assegnata per x→5.

5 1 4 3 2 1 lim +₋ − = → x x x x Risolviamo la disequazione: ε < − − − + 5 1 4 3 2 x x x che è equivalente a:

(3)

ε

< −1

x , con x≠1 le cui soluzioni sono:

ε ε

ε

ε < − <+ ⇔ − < < +

− x 1 1 x 1

che formano un intorno completo del numero 1, qualunque sia ε >0. In definitiva, il limite dato è verificato.

Definizione

2a

.

Diremo che, per x che tende ad x a sinistra la funzione ₀ f(x)

tende al limite finito  , se fissato un numero positivoε arbitrariamente piccolo, è

possibile determinare un intorno sinistro del punto x , tale che per ogni x ₀

appartenente a tale intorno, diverso da x , risulta: ₀ ε < − ) (x f

Tutto ciò si esprime scrivendo:

 = − →lim0 ( ) x f x x

Se l’intorno di cui si parla in questa definizione è un intorno destro del punto x , ₀

allora si dice che il numero  è il limite destro della funzione per x che tende ad x , e ₀

si scrive:  = + → ) ( lim 0 x f x x

E’ importante ricordare che una funzione ammette limite in un punto soltanto

quando in questo punto esiste il limite sinistro e destro e questi due limiti sono uguali.

Definizione

3a

.

Sia y = f(x) una funzione reale definita in tutti i punti di un intorno di x , escluso al più il punto ₀ x stesso. ₀

Diremo che per x tendente ad x la funzione tende ad ₀ ∞ ( −∞ o +∞ ), quando, in corrispondenza di un numero positivo M , arbitrariamente grande, è possibile determinare un intorno completo del punto x , tale che per ogni x appartenete a tale ₀

(4)

M x f( ) > Tutto ciò si può esprimere scrivendo:

∞ = → ( ) lim 0 x f x x

Se nell’intorno di x vale la condizione: ₀ M x f( )> allora si scrive: +∞ = → ( ) lim 0 x f x x

mentre, se nello stesso intorno vale la condizione:

M x f( )< si dirà che =−∞ → ( ) lim 0 x f x x

Esercizi svolti

Limiti

+ =+∞ →0 2 1 2 lim x x x

In base alla definizione 3 , dobbiamo imporre la seguente condizione: a

2 1 , 0 .

2 M con x ed M numero positivo fissato a piacere

x x+ _> _≠ , 0 1 2 1 2 2 2 2 > − + ⇔ > + x Mx x M x x

(5)

M M x M M x Mx Mx x+1− >0 ⇔ −2 −1<0 ⇔ 1− 1+ < <1+ 1+ 2 2 2

Studiamo il segno del denominatore:

. 0 2 reale x ogni per x >

In definitiva, la soluzione della disequazione fratta forma un intorno completo dello zero, qualunque sia M, quindi la funzione data ha per limite +∞ per x→0.

−∞ = + − → 1( 1)2 lim x x x

In base alla definizione 3 , dobbiamo imporre la seguente condizione: a

. 1 , ) 1 ( 2 piacere a fissato positivo numero M ed x con M x x − ≠ − < + . 0 ) 1 ( ) 2 1 ( 0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 ₊ < + + + ⇔ < + + + ⇔ − < + x M x M Mx x x M x M x x

Studiamo il segno del numeratore:

M M M x M M M M x M Mx 2 4 1 ) 2 1 ( 2 4 1 ) 2 1 ( 0 ) 2 1 ( 2₊ ₊ ₊ _< _⇔ ₋ + − + _< _<₋ + + +

Studiamo il segno del denominatore:

. 0

) 1

(x+ 2 < per nessun valoredi x reale

In definitiva, la soluzione della disequazione fratta forma un intorno completo di 1− , qualunque sia M , quindi la funzione data ha per limite −∞ per x→−1.

∞ = − → 3 5 lim 3 x x

In base alla definizione 3 , dobbiamo imporre la seguente condizione: a . 3 , 3 5 scelta a fissato positivo numero M ed x con M x− > ≠

(6)

. 3 5 , 3 5 3 5 M x M x M x− > ⇔ − > − <−

Risolviamo la prima disequazione:

0 3 3 5 3 5 _> − + − ⇔ > − x M Mx M x

Analizziamo il segno del numeratore:

M M x M Mx M Mx 3 0 3 5 0 3 5 5− + > ⇔ − − < ⇔ < +

Analizziamo il segno del denominatore:

3 0

3> ⇔ >

− x

x

La disequazione fratta è soddisfatta per x appartenente al seguente intervallo:

    + = M M X 3, 3 5 Risolviamo ora la seconda disequazione:

0 3 3 5 3 5 < − − + ⇔ − < − x M Mx M x

Studiamo il segno del numeratore:

M M x M

Mx+5−3 <0 ⇔ < 3 −5 Studiamo il segno del denominatore:

3 0

3< ⇔ <

− x

x

La disequazione fratta è soddisfatta per x appartenente al seguente intervallo:

    − = ′ 3 5, 3 M M X

In definitiva, la disequazione di partenza è soddisfatta per x appartenente all’intervallo

    + ∪     − = M M M M I 3 5, 3 3, 3 5

che forma un intorno completo di 3, qualunque sia M. Quindi, la funzione data ammette il limite ∞ per x→3.

Definizione

4a

.

Diremo che per x tendente all’infinito la funzione tende al limite

 , quando, in corrispondenza ad un numero positivo ε fissato a piacere, esiste un

(7)

N x > ,

i corrispondenti valori della funzione soddisfano alla disequazione:

f(x)− <ε ( 2.3 ) Per esprimere tutto ciò, si scrive:

 = ∞ → ( ) lim f x x

Se la disequazione ( 2.3 ) è soddisfatta per x> N , allora si scrive:  = ∞ + → ( ) lim f x x

mentre, se è soddisfatta per x<−N, allora si scrive:  = ∞ − →lim f(x) x

Definizione

5a

.

Diremo che per x tendente all’infinito la funzione f(x) ha per limite l’infinito quando, in corrispondenza ad un numero positivo M fissato a piacere, esiste un numero positivo N tale che per ogni x soddisfacente la disequazione:

,

N x >

i corrispondenti valori della f(x) soddisfano alla disequazione:

M x

f( ) > .

Se invece per x > N, risulta sempre f(x)>M , oppure f(x)<−M , allora si dirà che esistono rispettivamente i limiti:

∞ − = +∞ = ∞ → ∞ → ( ) , lim ( ) lim f x f x x x

Se per x> N risulta sempre f(x) >M, oppure f(x)>M, oppure f(x)<−M , allora si dirà che esistono rispettivamente i limiti:

∞ − = +∞ = ∞ = ∞ − → ∞ + → ∞ + → ( ) , lim ( ) , lim ( ) lim f x f x f x x x x .

Se, invece, per x<−N risulta sempre f(x) >M, oppure f(x)>M, oppure

M x

(8)

∞ − = ∞ + = ∞ = ∞ − → ∞ − → ∞ − → ( ) , lim ( ) , lim ( ) lim f x f x f x x x x .

Esercizi svolti

Limiti

2 3 1 2 4 3 2 2 lim = + + ∞ → x x x

In base alla definizione 4 , dobbiamo dimostrare che la disequazione: a − <ε + + 2 3 1 2 4 3 2 2 x x ( 2.4 ) qualunque sia ε positivo, è soddisfatta per valori della x che risultano, in valore assoluto, maggiori di un certo numero positivo N .

Risolvendo la ( 2.4 ), si ha: . 4 2 5 , 4 2 5 ε ε ε ε _> − − − < x x

In definitiva, la ( 2.4 ) è soddisfatta per

ε ε 4 2 5− > x . Perciò, posto ε ε 4 2 5− =

N si nota che la ( 2.4 ) è soddisfatta per x >N, quindi la

funzione data ha per limite 2 3

per x→∞.

∞ + = − ∞ − → x x 1 lim

(9)

In base alla definizione 5 , dobbiamo risolvere la disequazione: a . , 1 uno di maggiore e considerar possiamo che mente arbitraria fissato positivo numero M con M x > − ( 2.5 )

Risolvendo questa disequazione si trova che essa è soddisfatta per:

x<1 M− 2 ( 2.6 ) Il numero 1 M− 2 è negativo perché è M >1 e perciò, posto N =−(1−M2), si nota , tenendo presente la ( 2.6 ), la disequazione ( 2.5 ) è soddisfatta per:

N x<−

quindi possiamo dire che vale il limite della funzione data.

3)

Verificare che risulta:

∞ + = ∞ + → ax x log lim

con a numero maggiore di uno.

In base alla definizione 5 , dobbiamo risolvere la disequazione: a

log_ax>M ( 2.7 ) che risulta soddisfatta per :

M

a x>

e quindi, posto N =aM , possiamo dire che la ( 2.7 ) è soddisfatta per x>N , il che prova che vale il limite della funzione data.

2.3 Teoremi sui limiti delle funzioni

In questo paragrafo enunceremo i teoremi sui limiti delle funzioni omettendo le relative dimostrazioni.

(10)

Teorema dell’unicità del limite

Data una funzione y= f(x), definita in un intervallo

]

a,b

[

, il limite, per x→x₀, è unico.

Teorema della permanenza del segno

Sia f(x) una funzione ad una variabile reale. Se esiste finito e non nullo il limite della funzione f(x), per x tendente al numero x , allora esiste un intorno di ₀ x per ogni ₀ x del quale, escluso al più x , la funzione ₀ f(x) assume lo stesso segno del suo limite.

Criterio di confronto

Se f(x),ϕ(x), g(x) sono tre funzioni definite nello stesso intervallo, escluso al più un punto x di questo, e se per ogni x risulta: ₀

) ( ) ( ) (x x g x f ≤ϕ ≤ e se inoltre è: l x g x f x x x x = = → → ( ) lim ( ) lim 0 0 allora risulta: l x x x = → ( ) lim 0 ϕ

Operazioni sui limiti di funzioni

Siano f(x)ed h(x) due funzioni definite nello stesso intervallo

]

a,b

[

e siano 

(11)

  = ′ = → → ( ) , lim ( ) lim 0 0 x h x f x x x x

In base a queste ipotesi, valgono i seguenti teoremi:

Teorema dell’addizione

Il limite della funzione, somma di due funzioni, è la somma dei limiti, cioè:

[

+

]

= + =+′ → → → ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim 0 0 0 x h x f x h x f x x x x x x

Teorema della sottrazione

Il limite della funzione, differenza di due funzioni, è la somma dei limiti, cioè:

[

−

]

= − =−′ → → → ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim 0 0 0 x h x f x h x f x x x x x x

Teorema della moltiplicazione

Il limite della funzione, prodotto di due funzioni, è il prodotto dei limiti, cioè:

 ⋅ ′ = ⋅ → ( ) ( ) lim 0 x h x f x x

Teorema della divisione

Il limite della funzione, rapporto di due funzioni, è uguale al rapporto dei limiti, supposti h )(x ed ′diversi da zero, cioè:

  ′ = = → → → ( ) ) ( ) ( ) ( lim lim lim 0 0 0 h x x f x h x f x x x x x x

Teorema della potenza

Il limite della funzione potenza ennesima di una funzione data, è uguale alla potenza del limite, cioè:

{

}

n n x x n x x x f x f =       = → → ( ) lim ( ) lim

(12)