1
𝑥→0lim
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥
C.E.=𝑅\ 0
x f(x)
0,1 0,998 0,001
….
0,999
…..
Def.
sia f(x) definita in 𝐴 ∈ 𝑅, 𝑒 𝑠𝑖𝑎x0 un punto di accumulazione per A. Si dice che f(x) ha limite
per x che tende a x0 , se Limiti di funzioni
ε ε f(x)
f(x)-
ε
ε x x δ
- δ
x0 0
|
|
x x0 cioè
escluso al più x0 :
0
0
) , (
x0
Ix
In simboli
( )
lim
0
x
x
f
x
f ( x )
x
x0
y
O x0
l
x f(x)
0
x x0
U
Limiti di funzioni
Def.
si definisce limite destro di f(x) per x che tende a x0+:
se
-
f(x)
1
: 0
0
1)
1( lim
0
f x
x x
) ,
(
0 0
x x x
Def.
si definisce limite sinistro di f(x) per x che tende a x0-:
se
2
ε f(x)-
: 0
0
)
2( lim
0
f x
x x
2) , (x0 x0 x
Limiti di funzioni
Teorema (unicità del limite)
se
f x è unico
x
x
lim ( )
0
Dimostrazione. Per assurdo:
supponiamo che con
:
,
2 1 21
), ,
( in ) (
lim 0 1
1
0
x I x
x f
x
) , ( in ) (
lim 0 2
2
0
x I x
x f
x
Limiti di funzioni
Fissato
2
|
|1 2
| | ( ) ( ) 2 1 2 1 f x f x 2
2 )
( )
(
1
2
f x f x
) , min(
), , (
in
I x0
1
2Assurdo!
1
2Es.
∄ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 x
y x C.E.=𝑅\ 0
1 lim
0
x x
x
1 lim
0
x x
x
Def.
Sia f(x) definita in 𝐴 ∈ 𝑅, 𝑒 𝑠𝑖𝑎 x0 un punto di accumulazione per A.
Si dice che f(x) ha limite +∞ per x che tende a x0 , se
M f(x)
) ,
(
: 0
,
0 M x I x0 M
M
( ) lim
0
x f
x x
Limiti di funzioni
Def.
Sia f(x) definita in 𝐴 ∈ 𝑅, 𝑒 𝑠𝑖𝑎 x0 un punto di accumulazione per A.
Si dice che f(x) ha limite -∞ per x che tende a x0 , se
M f(x)
) , (
: 0
,
0 M x I x0 M
M
risulta
( ) lim
0
x
x f
x
Limiti di funzioni
Def. Asintoto verticale Se
Allora la retta verticale si chiama Asintoto verticale
( ) lim
0
x
x f
x
x0
x
2
0 x
lim 1
x
asintoto verticale
0 x
Def.
Sia f(x) definita in 𝐴 ∈ 𝑅, si dice che f(x) ha limite
, per x che tende a + , se:ε
|
|f(x)-
) , (
: 0
,
0
K x I K risulta
( ) lim f x
x
Limiti di funzioni
Def. Asintoto orizzontale Se
Allora la retta orizzontale
si chiama Asintoto orizzontale
( ) lim f x
x
y
Limiti di funzioni
orizz.
asintoto 2
2
yx
lim
arctgx
Def.
Sia f(x) definita in 𝐴 ∈ 𝑅,
si dice che f(x) ha limite +, per x che tende a + se:
) ,
(
M f(x)
) , (
: 0
,
0
M KM x KM risulta
( ) lim f x
x
Teorema (algebra dei limiti) Se:
) 1
( lim
0
f x
x
x lim ( ) 2
0
g x
x x
2
) 1
( )
( lim
0
f x g x
x x
2
) 1
( ) ( lim
0
f x g x
x x
0 ),
( ) ,
( )
lim ( 2
2 1
0
g x
x g
x f
x x
Limiti di funzioni
Convenzioni con
a 0, a
) (
, 0
) ( , 0
b b
a a
) (
) (
) ( ) (
Convenzioni con
0
a
0 a
,
0, ,
,
0 0 Forme Indeterminate
Limiti di funzioni
1
1 0
1 , 0
,
a a a
1 0
1 , , 0
a a a
Limiti di funzioni
Teorema del confronto
Siano f(x), f1(x), f2(x) tre funzioni definite in sia un punto di accumulazione per A e
Se Allora
R A x0
( ) lim ( )
lim 1 2
0 0
x f x
f x x
x x
) ( ) ( )
( 2
1 x f x f x
f
( ) lim
0
x f
x x
Dimostrazione
Se allora per definizione di limite:
( ) lim ( )
lim 1 2
0 0
x f x
f x x
x x
1: f1(x) xI(x0,1)
2 : f2(x) xI(x0,2)
f1(x) f (x) f2(x) ) , min(
),
,
( 0 1 2
x I x
Casi particolari di Teorema
Se ;
per x I(x0,)
0 ) ( lim
0
f x
x x
M x
g( )|
|
) ( ) ( lim
0
x g x f
x
x
0 ) ( ) ( lim
0
f x g x
x x
Limiti di funzioni
Dimostrazione.
Per il teorema del confronto
Es.
0
| ) (
| lim
| ) ( ) (
| lim
0 0
f x g x M f x
x x x
x
0 sin
lim 1
0
x
x x
Limite di funzione composta Siano g:A B e f :B R :
e
con = f(y0) (se f è continua)
) 0
( lim
0
y x
x g
x
( ) lim
0
y
y
f
y
( ( )) lim
0
x g
x f
x
Limiti di funzioni
Limiti Notevoli 1
lim0
x sen(x)
x
1 lim
0
x tg(x)
x
2 1 cos(
lim1 2
0
x
x)
x
x e
x
x
1 1 lim
x e x
a a
x log (1 ) log
lim0
x a a
e x
x 1 log
lim0
Es.
Limiti di funzioni
2 lim 1
2 1 )
cos 1
(
) cos 1
)(
cos 1
lim( cos
lim1
. lim
. 0 lim
0 2 0 2
0 0
1 1
arctgx x
x x
x x
x x e xe
e xe
x
x x
x x
x x
x x
x=misura dell’arco PA in radianti
PH=sinx QA=tgx
) (
) ( )
(AOP area AOP area AOQ area
2 2 2
sinx x tgx
sin 1
cos
x
x x
sin 1 lim
0
x
x
x
tgx
sinx x
