Limiti di funzioni.

Limiti di funzioni.

Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

Intorno di un punto

Definizione

Un intorno U di x0∈ R `e un intervallo (aperto) del tipo

(x0− δ, x0+ δ) cio`e

U := (x0− δ, x0+ δ) := {x ∈ R : |x − x0| < δ}.

Definizione

Un intorno U di +∞ `e un intervallo (aperto) del tipo (a, +∞) cio`e U := (a, +∞) := {x ∈ R : x > a}.

Definizione

Intorno di un punto

Intorno di un punto

Definizione

La funzione f ha una certa propriet`a definitivamente per x → c se

esiste un intorno U di c tale che la propriet`a vale per ogni x ∈ U,

x 6= c.

Nota.

I x ∈ Ux0 = (x0− δ, x0+ δ) se e solo se |x − x0| < δ.

I x ∈ U+∞= (a, +∞) se e solo se x > a.

Limite di funzione

Definizione

Con la scrittura

I U−∞ intendiamo l’insieme degliintorni (aperti) di −∞ del

tipo

U−∞,b = (−∞, b)

al variare di b;

I U+∞ intendiamo l’insieme degliintorni (aperti) di +∞ del

tipo

Ua,+∞ = (a, +∞)

al variare di a;

I U_c intendiamo l’insieme degliintorni (aperti) di c del tipo

Uc,δ= (c − δ, c + δ)

Limite di funzione

Ricordiamo che per una successione an era limnan= L se e solo se

per ogni  > 0 esiste N() tale che |an− L| <  per ogni n > N(),

cio`e |an− L| <  definitivamente.

Se UL`e un intorno di L, si pu`o trascrivere come se e solo se per

ogni UL intorno di L esiste V+∞ (intorno di +∞) tale che an∈ UL

per ogni n ∈ V+∞.

Definizione

Sia R∗= R ∪ {+∞} ∪ {+∞}. Sia f definita (almeno)

definitivamente per x → c. Sia L ∈ R∗. La scrittura

lim

x →cf (x ) = L

significa cheper ogni UL∈ UL intorno di L esiste Vc ∈ Uc intorno

Limite di funzione: caso c, L ∈ R

Nel caso c, L ∈ R la scritturalimx →cf (x ) = Lsignifica che per ogniUL= (L − , L + ) = {y ∈ R : |y − L| < } esiste

Vc = (c − δ(), c + δ()) = {x ∈ R : |x − c| < δ()}tale che se

x ∈ Uc allora f (x ) ∈ VL.

Notiamo che siccome gli intervalli UL, Vc dipendono

esclusivamente, oltre che da L e c, dalle quantit`a  e δ().

Definizione

Per ogni  > 0 esiste δ() > 0 tale che |f (x) − L| <  per ogni x tale che

Limite di funzione

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura : Il limite di sin (x ) per x → π/6 = 0.52359 . . . `e 0.5. Descrizione degli intorni Vc (rosso), Uc (magenta), per c = π/6, per  = 0.2. Si

Limite di funzione

Nota.

I Se cambio  cambio δ,

I Non si richiede di conoscere f (x ) per x = c,

Limite di funzione: esempio

Esercizio Mostrare che lim x →0x 2 _{= 0.} Svolgimento.

L’asserto limx →0x2 = 0 significa che per ogni  > 0 esiste δ() > 0

tale che |x2− 0| < , per ogni x tale che |x − 0| < δ(), con x 6= 0. Ma |x2| <  implica − < x2 _{< , ovvero per la non negativit`a di}

x2_{, 0 ≤ x}2_{<  e ci`o accade per −}√_{ < x < +}√_.

Limite di funzione: esercizi da provare

Esercizio Verificare che lim x →1(x − 1) = 0. Esercizio Verificare che lim x →1(5x − 3) = 2. Esercizio Verificare che lim x →5 x2+ 6x + 5 x + 5 = 6. Esercizio

Limite di funzione

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Figura : Il limite di x2per x → 0 `e 0. Descrizione degli intorni Vc (rosso),

Uc (magenta), per c = 0, per  = 0.2. Dalla teoria si evince che per tale

Limite di funzione: caso c ∈ R, L = +∞

Nel caso c ∈ R, L = +∞ la scrittura

lim

x →cf (x ) = +∞

indica che per ogni intorno U∞= (K , +∞) = {y ∈ R : y > K } di

+∞esisteVc = (c − δ(K ), c + δ(K )) tale che f (x ) ∈ U+∞per

ogni x ∈ Vc con x 6= c.

Notiamo che gli intorni dipendono, oltre che da c e L, solo da K e δ(K ). Cos`ı

Definizione

La scrittura

lim

x →cf (x ) = +∞

significaper ogni K > 0esiste δ(K ) > 0 tale che f (x ) > K , per ogni x tale che |x − c| < δ(K ), con x 6= c.

Si sottolinea che δ(K ) varia con K e che siccome K → +∞, non `e

Limite di funzione: nota c ∈ R, L = +∞, esempio

Esercizio Mostrare che lim x →1 1 (x − 1)2 = +∞. Svolgimento.

Bisogna mostrare che per ogni K > 0 esiste δ(K ) > 0 tale che

1

(x −1)2 > K , per ogni x tale che |x − 1| < δ(K ), con x 6= 1. Supponiamo _{(x −1)}1 2 > K . Osserviamo che

Limite di funzione

0.99 0.992 0.994 0.996 0.998 1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 105

Figura : Il limite di _{(x −1)}1 2 per x → 1 `e +∞. Descrizione degli intorni Vc

(rosso), Uc (magenta), per c = 1, per K = 20000. Dalla teoria si evince

Limite di funzione: caso c = +∞, L ∈ R

Per quanto visto, se c = +∞, L ∈ R, con la scrittura

lim

x →cf (x ) = L, c, L ∈ R ∗

= R ∪ −∞ ∪ +∞

intendiamo che per ogni U ∈ UL esiste V ∈ Uc tale che f (x ) ∈ U

per ogni x ∈ V , x 6= c. Notiamo che

I _{per L ∈ R, U ∈ UL} se e solo se del tipo

(L − , L + ) = {x ∈ R : |x − L| < };

I per c = +∞, V ∈ Uc = U+∞ se e solo del tipo

(K , +∞) = {x ∈ R : x > K }.

Quindiper ogni U = (L − , L + ) esiste V = (K (), +∞) tale che

f (x ) ∈ U = (L − , L + ) per ogni x ∈ V = (K (), +∞), x 6= +∞

Limite di funzione: caso c = +∞, L ∈ R

Di conseguenza, vista la sola dipendenza da  e K (), oltre che da L,

Definizione

Con la scrittura

lim

x →+∞f (x ) = L, L ∈ R

Limite di funzione: caso c = +∞, L ∈ R

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Limite di funzione: caso c = +∞, L = −∞

Per quanto visto, se c = +∞, L = −∞, con la scrittura

lim

x →+∞f (x ) = −∞

intendiamo che per ogni U ∈ UL esiste V ∈ Uc tale che f (x ) ∈ U

per ogni x ∈ V , x 6= c. Notiamo che

I U ∈ U−∞ se e solo se del tipo

(−∞, M) = {x ∈ R : x < M}.

I per c = +∞, V ∈ Uc = U+∞ se e solo del tipo

(K , +∞) = {x ∈ R : x > K }. e quindi

lim

x →+∞f (x ) = −∞,

se e solo se per ogni U = (−∞, M) esiste V = (K , +∞) tale che

Limite di funzione: caso c = +∞, L = −∞

Quindi, visto che la scrittura dipende solo da K e M, abbiamo

Definizione

La notazione

lim

x →+∞f (x ) = −∞

Limite di funzione: caso c = +∞, L = −∞

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10

Limite di funzione: note

Nota.

I se limx →+∞f (x ) = L o limx →−∞f (x ) = L, con L ∈ R, allora

la retta y = L si chiamaasintoto orizzontale;

I se limx →+∞f (x ) = L o limx →−∞f (x ) = L, notiamo che il K

della definizione dipende da ;

I se limx →±∞f (x ) = ±∞ notiamo che il K della definizione

dipende da M;

Esercizio

Si svolgano i casi di limiti non spiegati come ad esempio limx →−∞f (x ) = L con L ∈ R, mostrando che significa  > 0

Limite di funzione: esercizio per casa

Esercizio

Dopo aver definito

lim

x →∞f (x ) = +∞

mostrare, utilizzando la definizione, che lim

x →+∞x

Limite di funzione: unicit`

a.

Valgono per funzioni tutti i teoremi gi`a visti sui limiti di successioni.

Teorema

Se esiste limx →cf (x ), tale limite `e unico.

Dimostrazione facoltativa.

Supponiamo per assurdo che lim

x →cf (x ) = L1, x →climf (x ) = L2.

In particolare, per una certa successione {xn} convergente a c

lim

x →cf (xn) = L1, x →climf (xn) = L2

Limite di funzione: permanenza del segno.

Teorema

Se

I limx →cf (x ) = L,

I L > 0

allora f (x ) > 0 definitivamente per x → c.

Teorema

Se f (x ) ≥ 0 definitivamente e lim

x →cf (x ) = L

Limite di funzione: teorema del confronto.

Teorema Se I h(x ) ≤ f (x ), I limx →cf (x ) = −∞, alloralimx →ch(x ) = −∞. Corollario Se I |h(x)| ≤ g (x), I limx →cg (x ) = 0, alloralimx →ch(x ) = 0. Dimostrazione.

Limite di funzione: infinitesime e limitate.

Teorema Se I limx →cf (x ) = 0, I g `e limitata allora lim x →cf (x ) · g (x ) = 0. Esercizio

Mostrare che limx →+∞sin (x )_x = 0.

Esercizio

Limiti destro e sinistro (finiti).

Definizione

Con la scrittura

lim

x →c+f (x ) = L, L ∈ R

indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale L e cio`e che per ogni  > 0 esiste δ() > 0 tale che |f (x ) − L| <  per ogni x ∈ (c, c + δ()).

Definizione

Con la scrittura

lim

x →c−f (x ) = L, L ∈ R

Limiti destro e sinistro (+∞).

Definizione

Con la scrittura

lim

x →c+f (x ) = +∞

indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale +∞e

cio`e che per ogni K > 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x ) > K per ogni x ∈ (c, c + δ).

Definizione

Con la scrittura

lim

x →c−f (x ) = +∞

indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale +∞e

Limiti destro e sinistro (−∞).

Definizione

Con la scrittura

lim

x →c+f (x ) = −∞

indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale −∞e

cio`e che per ogni K < 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x ) < K per ogni x ∈ (c, c + δ(K )).

Definizione

Con la scrittura

lim

x →c−f (x ) − +∞

indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale −∞e

Limiti destro e sinistro e limiti.

Teorema Sia c ∈ R. Allora lim x →cf (x ) = L se e solo se _lim x →c−f (x ) = lim_{x →c}+f (x ) = L Esempio

La quantit`a limx →0segno(x ) non esiste in quanto

lim

x →0−segno(x ) = −1 6= lim_{x →0}+segno(x ) = 1.

Esempio

La quantit`a limx →01_x non esiste in quanto

Limiti: esempi, esponenziali.

Teorema

Valgono i seguenti limiti

Limiti: esempi, logaritmi.

Teorema

Valgono i seguenti limiti

I limx →0+log_a(x ) = +∞ se a ∈ (0, 1); I limx →0+log_a(x ) = −∞ se a > 1; I limx →x0loga(x ) = loga(x0), per x0∈ R; I limx →+∞loga(x ) = −∞ se a ∈ (0, 1);

Limiti: esempi, arcotangente.

Ricordiamo che la funzione arctan : R → (−π₂,π₂), ed `e suriettiva (Im(f ) = (−π₂,π₂)).

Teorema

Valgono i seguenti limiti

I limx →−∞arctan (x ) = −π₂;

I limx →x0arctan (x ) = arctan (x0), per x0∈ R; I limx →+∞arctan (x ) = +π₂;

Teorema

Valgono i seguenti limiti

I limx →x0sin (x ) = sin (x0), per x0 ∈ R; I limx →x0cos (x ) = cos (x0), per x0 ∈ R;

Limite di funzione: algebra dei limiti.

Teorema

Si supponga che c ∈ R∗, L1, L2 ∈ R e che limx →cf (x ) = L1 e

limx →cf (x ) = L2. Allora

I limx →cK · f (x ) = K · L1 per ogni K ∈ R;

I limx →cf (x ) + g (x ) = L1+ L2; I limx →cf (x ) − g (x ) = L1− L2; I limx →cf (x ) · g (x ) = L1· L2; I se L2 6= 0, limx →c f (x )_{g (x )} = L_L1₂, I limx →c(f (x ))g (x ) = L1L2. Teorema

Se limx →cf (x ) = +∞ e limx →cg (x ) = +∞ allora

I limx →cf (x ) + g (x ) = +∞;

Limite di funzione: algebra dei limiti.

Teorema

Se limx →cf (x ) = +∞ e limx →cg (x ) = −∞ allora

I limx →cf (x ) − g (x ) = +∞;

I limx →c−f (x) + g (x) = −∞;

I limx →cf (x ) · g (x ) = −∞;

Teorema

Se limx →cf (x ) = ±∞ e limx →cg (x ) = L 6= 0 ∈ R allora

lim

x →c

f (x )

Limite di funzione: algebra dei limiti.

Nota.

Le seguenti forme sono di indecisione

I +∞ − ∞ =?;

I ∞_∞ =? dove ∞ = +∞ o ∞ = −∞;

I 0 · ∞ =? dove ∞ = +∞ o ∞ = −∞;

I 0₀ =?

Nota.

Se L = 0, la formulazione ∞/0 = ∞ · ∞ = ∞ e quindi non `e

Limite di funzione: alcuni esempi di algebra dei limiti.

Esempio

Sapendo che limx →−1x = −1 abbiamo

I limx →−1x2 = (limx →−1x ) · (limx →−1x ) = (−1) · (−1) = 1;

I limx →−15x = 5(limx →−1x ) = 5 · (−1) = −5;

I limx →−15x = 5(limx →−1x ) = 5 · (−1) = −5;

I limx →−1_x1 = (lim_(limx →−1_{x →−1}1)_{x )} = −11 = −1;

Limite di funzione: alcuni esempi di algebra dei limiti.

Esempio Mostrare che lim x →+∞x 2_{− 3x + 5 = +∞} Svolgimento.

Osserviamo che per x 6= 0 (stiamo ragionando in un intorno di +∞, quindi non restrittivo supporre x > 0)

Limite di funzione: alcuni esempi di algebra dei limiti

(polinomi).

Teorema Se an6= 0 allora lim x →±∞anx n_{+ . . . + a} 1x + a0= segno(an) · (±)n∞ Svolgimento.

Osserviamo che per x 6= 0 (stiamo ragionando in un intorno di ±∞, quindi non restrittivo supporre x 6= 0)

lim x →±∞anx n_{+ . . . + a} 1x + a0 = lim x →±∞x n_a n+ . . . + a1 xn−1 + a0 xn

e che limx →±∞xn= (±)n∞, limx →±∞an+ . . . + _xn−1a1 +_xa0n = an,

Limite di funzione: alcuni esempi di algebra dei limiti

(polinomi).

Esempio Mostrare che lim x →−∞−3x 5_{+ 3x}2_{− 8x + 1 = +∞} Svolgimento.

Dal precedente teorema lim

x →−∞−3x

Limite di funzione: alcuni esempi di algebra dei limiti

(funzioni razionali).

Teorema Se an6= 0, bm 6= 0 allora L = lim x →±∞ anxn+ . . . + a1x + a0 bmxm+ . . . + b1x + b0 = an bm lim x →±∞x n−m Svolgimento.

Limite di funzione: alcuni esempi di algebra dei limiti

(funzioni razionali).

lim x →±∞ anxn+ . . . + a1x + a0 bmxm+ . . . + b1x + b0 = lim x →±∞ anxn bmxm = an bm lim x →±∞x n−m da cui il risultato. Nota.

L’asserto dice che

I se n > m allora L = (±)n−m· segno (an/bm) · ∞;

I se n = m allora L = (an/bm);

Limite di funzione: alcuni esempi di algebra dei limiti.

Teorema

I Se f `e limitata e g → ±∞ allora f + g → ±∞.

I Se f `e limitata di segno costante e g → ±∞ allora

f · g → segno(f) · (±∞).

Esempio

I limx →+∞x3+ cos (3x ) = (+∞) + limitata = +∞;

I limx →+∞−x2+ sin2(x ) = (−∞) + limitata = −∞;

I limx →0x sin (1/x ) = 0 · limitata = 0;

I limx →0xαsin (1/x ) = 0 · limitata = 0, per ogni α > 0;

Limite di funzione: alcuni esempi di algebra dei limiti.

Esempio Calcolare lim x →+∞x 2_{+ x sin (x ).} Svolgimento.

Notiamo che il limite non `e chiaro come somma, x2→ +∞ e

x sin (x ) non ha limite. Tuttavia

x2+ x sin (x ) = x (x + sin (x ))

Cambio di variabile.

Teorema

Cambio di variabile.

Nota.

Questo importante teorema ci permette di effettuare la sostituzione t = g (x ) ed invece di calcolare il limite

Cambio di variabile.

Dimostrazione facoltativa.

Devo dimostrare che per ogni successione xn→ x0 si ha che

f (g (xn)) → L.

Se xn→ x0, necessariamente dalla prima ipotesi, limng (xn) = t0 e

quindi per la seconda ipotesi limnf (g (xn)) = L. Di conseguenza

siccome per ogni successione xn → x0 si ha f (g (xn)) → L

Limite di funzione: cambio di variabile, esempio 1.

Esempio Calcolare lim x →1(x − 1) 2_. Svolgimento.

Notiamo che con relazione al teorema di sostituzione, g (x ) = (x − 1), f (x ) = x2, x0= 1 e che da

limx →x0g (x ) = limx →1(x − 1) = 0 abbiamo t0 = 0. Quindi si tratta di calcolare esclusivamente

lim

t→t0

f (x ) = lim

t→0x 2 _{= 0}

Limite di funzione: cambio di variabile, esempio 2.

Esempio Calcolare lim x →+∞a 1/x_. Svolgimento.

Poniamo t = 1/x . Se x → +∞ allora t → 0+. Quindi

lim

x →+∞a

1/x _{= lim}

t→0+a

Limite di funzione: cambio di variabile, esempio 3.

Esempio Calcolare lim x →+∞sin (1/x ). Svolgimento.

Poniamo t = 1/x . Se x → +∞ allora t → 0+. Quindi

lim

Limite di funzione: limiti notevoli.

Teorema

Vale il seguente limite notevole lim x →±∞  1 +1 x x = e (2) Corollario

Vale il seguente limite notevole lim x →±∞  1 +α x x = eα Dimostrazione.

Ragioniamo per sostituzione, e poniamo t = x_α, cio`e x = αt. Dal limite notevole (2) e dal fatto che se limx →cf (x ) = L1,

limx →cg (x ) = L2, con L1, L2 ∈ R allora limx →c(f (x ))g (x )= L1L2

Limite di funzione: limiti notevoli.

Teorema

Vale il seguente limite notevole lim

x →0

log (1 + x )

x = 1

Dimostrazione facoltativa.

Limite di funzione: limiti notevoli.

Nota.

Nella precedente dimostrazione, abbiamo prima osservato che

I limx →0(1 +_y1)y = e,

I limx →elog(x ) = 1,

Limite di funzione: limiti notevoli.

Teorema

Vale il seguente limite notevole lim

x →0

ex_{− 1}

x = 1 (3)

Svolgimento.

Posto y = ex− 1 (e quindi x = log(y + 1)), se x → 0, allora

Limite di funzione: esercizi svolti, 1.

Esercizio Calcolare lim x →0 3x − 1 x . Svolgimento. Da 3x− 1 x = elog (3x)− 1 x = ex log (3)− 1 x · log (3) log (3) abbiamo, posto y = x · log (3), da (3)

lim x →0 3x− 1 x = x →0lim ex log (3)− 1 x · log (3) log (3) = lim x →0 ey_{− 1}

Limite di funzione: limiti notevoli.

Esercizio Mostrare che lim x →0 ax− 1 x = log(a). Svolgimento.

Limite di funzione: limiti notevoli.

Esempio Mostrare che lim x →0 (1 + x )α− 1 x = α per ogni α ∈ R. Traccia.

I Se α = 0, il risultato `e di facile verifica.

I Se α 6= 0, osserviamo che

(1 + x )α− 1

x =

eα log (1+x )− 1 x

Limite di funzione: limiti notevoli.

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Lemma

Per x ∈ (0, π/2) si ha

sin x ≤ x ≤ tan (x ).

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Dimostrazione.

Le aree del disco unitario della precedente figura, sono I area OCH =1₂sin(x ),

I area settore circolare OCH=1₂x ,

I area OBH=1₂tan(x ).

Essendo per x ∈ (0, π/2), l’area del triangolo rettangolo OCH minore dell’ area del settore circolare OCH che a sua volta `e minore del l’area del triangolo rettangolo OBH, abbiamo

1

2sin(x ) ≤ 1

2x ≤

1

2tan(x ) ⇒ sin x ≤ x ≤ tan (x ).

Teorema

Vale il limite notevole lim

x →0

sin (x )

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Dimostrazione.

Osservando che sin (x )_x `e pari, basta mostrare che limx →0+ sin (x )_x = 1. Ma dal lemma, per x ∈ (0, π/2),

sin x ≤ x ≤ tan (x ) = sin (x ) cos (x ). e dividendo i membri per sin x abbiamo

1 ≤ x

sin (x ) ≤ cos (x) da cui passando ai reciproci

1 cos (x ) ≤

sin (x )

x ≤ 1,

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Teorema

Vale il limite notevole lim x →0 1 − cos (x ) x2 = 1/2. Dimostrazione. Osserviamo che 1 − cos (x ) x2 = 1 − cos (x ) x2 1 + cos (x ) 1 + cos (x ) = 1 − cos 2_{(x )} x2_{(1 + cos (x ))} = sin2(x ) x2 1 1 + cos (x ) (4)

Da limx →0 sin (x )_x = 1 si ha limx →0sin

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Teorema

Vale il limite notevole lim x →0 tan (x ) x = 1. Dimostrazione facoltativa. Da lim x →0 tan (x ) x = limx →0 sin (x ) x · cos (x ) = limx →0 sin (x ) x x →0lim 1 cos(x ) e dal limite notevole limx →0 sin (x )_x = 1, essendo limx →0_{cos(x )}1 , si

Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.

Teorema

Vale il limite notevole lim

x →0

arcsin (x )

x = 1.

Dimostrazione.

Posto y = arcsin(x ), abbiamo x = sin(y ) e che se x → 0 allora y → 0. Quindi lim x →0 arcsin (x ) x = limy →0 y sin (y ) = limy →0  sin(y ) y −1 = 1 Nota.

I limiti notevoli finora visti dicono chesin (x ) ∼ x,tan (x ) ∼ x,

Limite di funzione: potenze.

Mancano da studiare i limiti di funzioni del tipo f (x )g (x )

Al variare dei limiti di f , g si possono incontrare per il calcolo di lim

x →x0

f (x )g (x )

indeterminazioni del tipo

00, 1±∞, ±∞0. Da lim x →x0 f (x )g (x ) = lim x →x0 elog(f (x ))g (x ) = lim x →x0 eg (x ) log(f (x )) (5)

Limite di funzione: potenze.

Esempio Calcolare lim x →+∞x x_. Svolgimento.

Per quanto visto

lim

x →+∞x

x _{= lim} x →+∞e

x log(x )_.

Visto che x log(x ) → +∞ deduciamo che lim

x →+∞x

Limite di funzione: ordini di convergenza.

Definizione

Una funzione f si diceinfinitesima in x0 se e solo se lim

x →x0

f (x ) = 0.

Definizione

Siano f , g due funzioniinfinitesime in x0

I se limx →x0

f (x )

g (x ) = 0 allora f `e di ordine superiore rispetto a g

(si scrive f (x ) = o(g (x )) per x → x0);

I se limx →x0

f (x )

g (x ) = ±∞ allora g `e di ordine superiore rispetto a

f (si scrive g (x ) = o(f (x )) per x → x0);

I se limx →x0

f (x )

Limite di funzione: ordini di convergenza.

Definizione

Una funzione f si diceasintoticaa g per x → x0 se e solo se

lim

x →x0

f (x )g (x ) = 1 e si scrive f ∼ g per x → x0.

Esempio

Sappiamo che limx →0sin (x ) = 0, limx →0x = 0. Dal limite

notevole

lim

x →0

sin (x )

x = 1

Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio.

Esempio

Mostrare che 1 − cos (x ) = o(x ) per x → 0.

Svolgimento.

Sappiamo che limx →01 − cos (x ) = 0, limx →0x = 0. Ma dal limite

notevole limx →01−cos (x )_x2 = 1/2 abbiamo

lim x →0 1 − cos (x ) x = limx →0x 1 − cos (x ) x2 = (1/2) lim_{x →0}x = 0

Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio.

Esempio

Mostrare che tan ∼ x per x → 0.

Svolgimento.

Sappiamo da un limite notevole che lim

x →0

tan (x )

x = 1

Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio.

Esempio

Mostrare che arctan ∼ x per x → 0.

Svolgimento.

Continuit`

a.

Definizione

Sia I un intervallo aperto, c ∈ I e f : I → R. La funzione f `e

continua in c se esiste

lim

x →cf (x )

e vale f (x ).

Definizione

Sia I un intervallo aperto, c ∈ I e f : I → R. La funzione f `e

Continuit`

a.

Definizione

Si parla di continuit`a in c se e solo se `e definita in c.

Esempio

La funzione f (x ) = 1_x `e definita in R\{0} e quindi non si pu`o parlare di continuit`a in 0.

Esempio

Continuit`

a: esempio

Esempio Si consideri la funzione segno(x) =    1, x > 0 0, x = 0 −1, x < 0

Si verifica facilmente che

I Da limx →3f (x ) = 1 = f (3), la funzione `e continua in 3.

I Da limx →0f (x ) = 1 6= f (0) = 0, la funzione non `e continua in

Continuit`

a: esempio

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

Continuit`

a: salti.

Definizione

Una funzione f definita in x∗. si dice discontinuain x∗, se non `e continua in x∗. Definizione Sia f definita in x∗= c. Se I lim_{x →c}−f (x ) = L₋, I limx →c+f (x ) = L₊, I L−6= L+,

allora si dice che f ha unadiscontinuit`a di salto in x = c, e salto uguale a

L+− L−= lim

Continuit`

a: salti.

Esempio

La funzione segno ha in x = 0 una discontinuit`a di salto, con salto di valore 2. Esempio La funzione f (x ) =  1, x > 0 0, x ≤ 0

ha in x = 0 una discontinuit`a di salto in quanto L+= 1, L−= 0,

con salto di valore 1.

Osserviamo che f non `e continuta in x = 0 ma `e continua da

sinistra in quanto

lim

Continuit`

a: esempi.

Teorema

Supponiamo f sia continua in x∗= c. Allora, per qualsiasi k ∈ R,

la funzione k · f `e continua in x∗= c

Teorema

Supponiamo f e g siano continue in x∗ = c. Allora sono continue

in x∗ = c pure I f + g , f − g , I f · g ,

I _gf (se g (c) 6= 0).

Traccia.

Continuit`

a: esempi.

Teorema Le funzioni elementari: I potenze, I esponenziali, I logaritmi, I funzioni trigonometriche,

Continuit`

a: esempi.

Lemma Le scritture lim x →cf (x ) = L e lim k→0f (c + k) = L sono equivalenti. Lemma

Vale la seguente formula di addizione

Continuit`

a: esempi.

Teorema

La funzione sin (x ) `e continua per ogni x ∈ R.

Dimostrazione.

Osserviamo che limx →0cos (x ) = 1. Infatti, essendo cos(x ), sin(x )

cateti di un triangolo rettangolo avente ipotenusa lunga 1 sin(x ) + cos (x ) ≥ 1, x ∈ [0, π/2] | sin(x)| + cos (x) ≥ 1, x ∈ [−π/2, 0] e quindi per x ∈ [−π/2, +π/2] abbiamo

1 − | sin (x )| ≤ cos (x ) ≤ 1

da cui per il teorema del confronto, limx →0cos (x ) = 1 in quanto

Continuit`

a: esempi.

Dimostriamo che sin (x ) `e continua in un punto arbitrario. Basta

mostrare, in virt`u del Lemma precedente che

lim

k→0sin (c + k) = sin (c).

In effetti, si ha lim

k→0sin (c + k) = k→0lim sin (c) · cos k + cos (c) · sin k

= sin (c) lim

Continuit`

a: monotonia.

Teorema

Sia I un intervallo aperto di x0 e sia f : I → R monotona

crescente. Allora lim x →x₀− f (x ) = sup x ∈I :x <x0 f (x ) ≤ f (x0) e lim x →x₀+ f (x ) = inf x ∈I :x >x0 f (x ) ≥ f (x0) Teorema

Sia I un intervallo aperto di x0 e sia f : I → R monotona

decrescente. Allora lim x →x₀− f (x ) = inf x ∈I :x >x0 f (x ) ≥ f (x0) e lim +f (x ) = sup f (x ) ≤ f (x0)

Continuit`

a: monotonia.

Dai teoremi precedenti si pu`o dimostrare che

Corollario

Le funzioni monotone hanno al pi`u un insieme numerabile di punti

Continuit`

a: teoremi di permanenza del segno.

Teorema

Sia I = (x0− , x0+ ) e sia

I f continua in x0 e definita in I ;

I f (x0) > 0.

Allora esiste un intorno U = (x0− δ, x0+ δ) tale che f (x ) > 0 per

ogni x ∈ U.

Teorema

Sia I = (x0− , x0+ ) e sia

I f continua in x0 e definita in I ;

I f (x0) < 0.

Allora esiste un intorno U = (x0− δ, x0+ δ) tale che f (x ) < 0 per

Continuit`

a: monotonia.

Dai teoremi precedenti si pu`o dimostrare che

Corollario

Le funzioni monotone hanno al pi`u un insieme numerabile di punti

Continuit`

a: funzione composta.

Teorema

Siano f : X ⊆ R → R, g : Y ⊆ R → R, Im(f ) ⊆ Y . Siano I f continua in x0;

I g continua in f (x0).

Continuit`

a: teorema degli zeri.

Teorema

Sia f : [a, b] → R, e I f continua in [a, b]; I f (a) · f (b) < 0.

Continuit`

a: teorema dei valori intermedi.

Teorema

Sia f : [a, b] → R, e f continua in [a, b]. Siano inf

[a,b](f ) = inf(f (x ), x ∈ [a, b]),

sup

[a,b]

(f ) = sup(f (x ), x ∈ [a, b]).

Allora per ogni yin(inf[a,b](f ), sup[a,b](f )) esiste c ∈ [a, b] tale che

f (c) = y .

Nota.

I se f `e inferiormente limitata allora inf[a,b](f ) ∈ R;

I se f non `e inferiormente limitata allora inf[a,b](f ) = −∞;

Continuit`

a: teorema di connessione.

Teorema

Sia f : [a, b] → R, e f continua in [a, b]. Allora

Continuit`

a: teorema della funzione inversa.

Teorema

Sia f : X → R, e f continua in X e invertibile. Se I X `e un intervallo oppure

Continuit`

a: esempi.

Esempio

La funzione

f (x ) = 1 x

Continuit`

a: esempi.

Esempio La funzione f (x ) = x 5_{+ 3x}2_{+ x − 1} x4_{− 1}

ha per dominio l’insieme dom(f ) = R\{±1} (le radici di x4− 1), e

Continuit`

a: esempi.

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x ) = Pn(x ) Qm(x )

e sia Zero(Qm) = x ∈ R : Qm(x ) = 0. La funzione f ha per

dominio l’insieme dom(f ) = R\Zero(Qm), e nel dominio sono

soddisfatte le ipotesi teorema sull’algebra delle funzioni continue, in quanto Pn(x ) `e continua e Qm(x ) `e continua (ma ivi non

Continuit`

a: esempi.

Esempio

Consideriamo la funzione

f (x ) = log(cos4(x ) + sin4(x ))

Osserviamo che siccome non si annullano mai

Continuit`

a: esempi.

Esempio Consideriamo la funzione f (x ) =  2 − x2, se x ≤ 1 x , se x > 1

Osserviamo che la funzione `e continua per x∗ < 1, in quanto per ogni x∗< 1 esiste un intorno (x∗− (1 − x∗_{), x}∗_{+ (1 − x}∗_{)) in cui}

coincide con 2 − x2 che `e un polinomio e quindi una funzione

continua in quanto somma e prodotti per una costante di funzioni continue quali xk. Con ragionamento analogo se x∗> 1,

coincidendo con x .

L’unica questione sorge in x∗ = 1. Essendo

lim

x →1−f (x ) = lim_{x →1}−2 − x

2_{= 1, lim}

Esercizi

Nota.

Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 1

Esercizio Mostrare che lim x →0sin (x ) = 0. Svolgimento.

L’asserto limx →0sin (x ) = 0 significa che per ogni  > 0 esiste

δ() > 0 tale che | sin (x ) − 0| < , per ogni x tale che |x − 0| < δ(), con x 6= 0.

Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 1

Ricordiamo ora che arcsin `e dispari e quindi si ha

arcsin (−x ) = − arcsin (x ) per x ∈ [−π/2, π/2]. Quindi affinch`e − < sin (x) < , almeno in un intorno di 0 contenuto in

[−π/2, π/2], basta − arcsin () = arcsin (−) < x < arcsin () cio`e |x| < arcsin ().

Limite di funzione

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Figura : Il limite di sin (x ) per x → 0 `e 0. Descrizione degli intorni Vc

(rosso), Uc (magenta), per c = 0, per  = 0.2. Dalla teoria si evince che

Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 2

Esercizio

Mostrare che non valelimx →0x2 = 1.

Svolgimento.

Per assurdo supponiamo sia limx →0x2= 1, cio`e che per ogni  > 0

esiste δ() > 0 tale che |x2− 1| < , per ogni x tale che |x − 0| < δ(), con x 6= 0. Supponiamo inoltre sia  < 1. Ma |x2_{− 1| <  implica − < x}2_{− 1 <  cio`e 1 −  < x}2_{< 1 +  e}

quindi dalla monotonia della radice quadrata che o p

(1 − ) < x <p(1 + ) o

−p(1 + ) < x < −p(1 − )

che non `e un intorno di 0 in quanto non contiene nemmeno 0

Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 3

Esempio Verificare che lim x →−∞2 1/x _{= 1} Dimostrazione.

Come detto mostrare che per ogni  > 0 esiste K tale che se x < K allora |f (x ) − L| < . Nel nostro caso diventa per ogni  > 0 esiste K tale che se x < K allora |21/x_{− 1| < . La tesi sta per}

− < 21/x− 1 <  ⇔ 1 −  < 21/x < 1 + 

Limite di funzione: esercizio 3

I Se  ≥ 1, allora

1 −  < 21/x < 1 +  `

e ovviamente verificata per x < 0 in quanto 1 −  < 0 < 21/x < 1 < 1 + .

Limite di funzione: esercizio 3

I Se  < 1 vogliamo

− < 21/x− 1 <  ⇔ 1 −  < 21/x < 1 + .

Se x < 0 allora certamente 21/x _{< 1 < 1 + . Basta mostrare}

che per un certo K < 0 si ha che se x < K allora

1 −  < 21/x. Dalla monotonia crescente di log₂(x ), osservato che log₂(1 − ) < 0, x < 0 basta

log₂(1 − ) < log₂2x1 = 1

x ⇔ x < 1 log₂(1 − )

e quindi posto K = _log 1

Limiti destro e sinistro e limiti: esercizio 1.

Esercizio Mostrare che lim x →0− 1 x = −∞ Svolgimento. Con la scrittura lim x →0− 1 x = −∞

indendiamo che per ogni K < 0 esiste δ(K ) > 0 tale che 1_x < K per ogni x ∈ (−δ(K ), 0).

In effetti, affinch`e 1<sub>x</sub> < K basta <sub>K</sub>1 < x (attenzione, K < 0) che `e verificata per x ∈ (−δ(K ), 0) con δ(K ) =_K1



Limite di funzione: calcolo del limite, esercizio 1. Difficile

(facoltativo)

Traccia.

Dopo un po’ di conti essendo x + 3

x + 4 = 1 −

1 x + 4

si ricava, raccogliendo opportunamente e moltiplicando sopra e sotto per (−1/(x + 4)),  x + 3 x + 4 x 2+7_{2x +1} = e x 2(1+7/x 2) x (2+1/x ) log(1−1/(x +4)) −1/(x+4) (−1/(x +4))

e per algebra di limiti e limiti notevoli si ha che il limite dell’esponente vale −1/2 e quindi il limite vale

Limite di funzione: calcolo del limite, esercizio 1. Difficile

(facoltativo).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 105 0.6065 0.6065 0.6066 0.6066 0.6066 0.6066 0.6066 0.6067 0.6067 Figura : La funzionex +3 x +4 x 2 +72x +1

per x ∈ [104_{, 10}6_{] (in verde) e la funzione}

Limite di funzione: esercizio 2. Medio (facoltativo).

Esempio Calcolare al variare di α ∈ R L = lim x →+∞αx − p x2_{+ 3} per ogni α ∈ R. Traccia.

L’unico caso complicato `e quello per α > 0, in cui basta razionalizzare. Distinguere i casi α2− 1 6= 0 (quindi α = 1) da quelli in cui α2− 1 = 0. Si ottiene che per

I se α ≤ 0 allora L = −∞;

I se α ∈ (0, 1) allora L = −∞;

I se α > 1 allora L = +∞;

Limite di funzione: esercizio 3. Facile (facoltativo).

Esempio Mostrare che lim x →0 (1 + x ) √ 2_{− 1} x = √ 2 Traccia.

Usare il limite notevole lim

x →0

(1 + x )α− 1

Limite di funzione: esercizio 4. Facile (facoltativo).

Esempio Mostrare che lim x →0 √ 1 + x − 1 3 √ 1 + x − 1 = 3/2 Traccia.

Moltiplicare e dividere per x e quindi ricordare il limite notevole lim

x →0

(1 + x )α− 1

Limite di funzione: esercizio 5. Facile (facoltativo).

Esempio Mostrare che lim x →+∞ p x2_{+ 1 − x = 0} Svolgimento.

Moltiplicare e dividere per√x2_{+ 1 + x ottenendo}

Limite di funzione: esercizio 6. Facile (facoltativo).

Esempio Mostrare che lim x →+∞( p x2_{+ 1 − x )}x3/2 = 0 Svolgimento. Da (f (x ))g (x )= eg (x ) log(f (x )), lim x →+∞( p x2_{+ 1 − x )}x3/2 = lim x →+∞e x3/2_log(√_x2_{+1−x )} (6) Dall’esercizio precedente sappiamo che

limx →+∞( √ x2_{+ 1 − x ) = 0}+_{, quindi} limx →+∞log( √ x2_{+ 1 − x ) = −∞ e da x}3/2 _{→ +∞, ricaviamo}

che l’esponente h(x ) = x3/2log(√x2_{+ 1 − x ) tende a −∞ e}

Limite di funzione: esercizio 7. Facile (facoltativo).

Esempio Mostrare che lim x →−∞( p 2x2_{+ 1 + x ) = +∞} Traccia.

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Esercizio

Utilizzando opportune sostituzioni, calcolare I limx →0sin(3x )_x ;

I lim_{x →π}+ √sin(x )

x −π;

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Esercizio

Mostrare che, razionalizzando oppurtanamente,

lim x →+∞ √ x − r x2_{+ 1} x = 0. Esercizio

Mostrare che, razionalizzando oppurtunamente, lim

x →−∞

3 p

x2_{+ 1 −}√_2x2 _{= −∞.}

Suggerimento: nella razionalizzazione moltiplicare sopra e sotto per 3

q

(x2_{+ 1)}2₊q3

(x2_{+ 1)(2x}2_{) +}q3 (2x2₎2_.

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Esercizio Mostrare che lim x →0 1 − cos3(x ) x tan (x ) = 3/2.

Suggerimento: a3− b3 _{= (a − b)(a}2_{+ ab + b}2_{) e usare limite}

notevole. Esercizio Mostrare che lim x →3 2x − 6 sin (πx ) = −2/π.

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Esercizio Mostrare che lim x →+∞x ( π 2 − arctan (x)) = 1.

Suggerimento: t = tan (x ) e usare un limite notevole.

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Esercizio Mostrare che lim x →0 sin(x2₎ p3x4_{+ x}5_{cos(x )}= 1/ √ 3 Esercizio

Limite di funzione: esercizi riassuntivi.

Esercizio

Calcolare i seguenti limiti

Continuit`

a: esercizi riassuntivi.

Esercizio Stabilire se la funzione f (x ) =     

x logqx_{1−cos(x )}2sin(|x |) se x < 0 (cos(x ))2/x2 se x > 0 0 se x = 0

(7)

Continuit`

a: esercizi riassuntivi.

Esercizio

Stabilire, al variare di a, b in R, se la funzione f (x ) =



ea/(1−x2)_{, se x > 1}

(sin(a)) · |x − 1| + b, se x ≤ 1 (8)

Continuit`

a: esercizi riassuntivi.

Esercizio

Stabilire, al variare di a, b in R, se la funzione f (x ) =

 _1−cos(xa₎

x2 , se x ≥ 0

x2_{+ b, se x < 0} (9)

Continuit`

a: esercizi riassuntivi.

Esercizio