Serie geometriche

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(1)1 . www.mate ematicagen nerale.it . Serie geom metrica La serie . h. n.  1  h  h 2  h 3  ......  h n  ...... n 0. è detta seriie geometriica di ragione h. Vediamo quando q tale serie è convvergente. Ricordiamo, innanzi tuutto, dalla scomposizio s one in fattorri che: ((1-hn) = (1-hh) (1+h+ h2+……+hn-1) Per vedere se la serie converge, dobbiamo d veerificare che la successsione delle ssomme parzziali converge, ovvero o che il lim s n è convergente c e. n. Consideriaamo, quindi, il termine generale deella successiione delle somme parzziali, ovvero o consideriam mo la somm ma dei primii n termini: sn=(1+ +h+h2+…… …+hn-1) Moltiplichiamo e dividiamo per (1-h), ( si ha:. s n  (1  h  h 2    h n -1 )  (1  h  h 2    h n -1 ). (1 - h) (1 - h). ma abbiam mo ricordatoo che (1-hn) = (1-h) (1+ +h+ h2+…… …+hn-1), alllora:. sn . (1 - h n ) . (1 - h). (1  h n ) n  (1  h). m s n  l im Andiamo a valutare il limite l im n . info@m matematicaa agenerale.it. .

(2) 2 . www.mate ematicagen nerale.it . . (1  h n ) 1  n  (1  h) 1 h. i s n  l im m Se h<1 l im n . . Quiindi la seriee geometricaa  h n è convergente c e se h<1 e la sua som mma è S  n 1. . 1 . 1 h. (1  h n )   n  (1  h). i s n  l im m Se h>1 l im n . Quiindi la seriee, in questo caso divergge. . Se h=1 l im s n  l im (1  1  12    1n )   e dunquee la serie geeometrica diiverge. . 0 See h=-1 l im s n  l im (1  1  1  1    1n )   n  n  1. n . n . S n è pari Se S n è dispaari Se. Dunnque in queesto caso la serie è non regolare.. Esempio1 . 1 Dire se la sserie    n 0  2 . n. è regolaare ed eventtualmente determinare d la sua somm ma.. Essendo questa q una serie geomettrica di ragiione h=1/2 <1 < tale seriee è convergente e la sua somma è S. 1 1 1 2. 2. Osserviam mo che: . 1 Se    n 1  2  . 1 Se    n 3  2 . n. la serie manca m del primo terminne pertanto la sua somm ma vale 1 ( S-1).. n. la serie manca m di tree termini, 1, 1/2,1/4, peertanto la soomma vale ¼ (S-1-1/2--1/4). info@m matematicaa agenerale.it. .

(3) 3 . www.mate ematicagen nerale.it . Esempio2 Dire se la serie s . è regolare ed eventuallmente deterrminare la sua s somma.. Essendo. 3/5. laa serie è connvergente e la somma è data da:. Esempio 3 Dire se la serie s . è regolare ed eventuallmente deterrminare la sua s somma. La serie si può scriverre:. Essendo. 2/3. laa serie è connvergente e la somma è data da:. info@m matematicaa agenerale.it. .

(4) 4 . www.mate ematicagen nerale.it . Esempio 4 Dire se la serie s . è regolare ed eventuallmente deterrminare la sua s somma.. La serie daata si può sccrivere:. Essa è una serie geom metrica di raggione. , peertanto è connvergente e la somma è: è. Esempio 5 Dire se la serie s. è regolare ed eventuallmente deterrminare la sua s somma.. Esso si puòò scrivere:. La ragionee è:. <11 pertanto è convergentte e la somm ma è:. info@m matematicaa agenerale.it. .

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