METODI PER IL DIMENSIONAMENTO E L?ANALISI DI GIUNZIONI RIVETTATE IN STRUTTURE DI CARBORESINA E DI TIPO IBRIDO COMPOSITO-METALLO

(1)

U

NIVERSITÀ

D

I

P

ISA

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Aerospaziale

METODI PER IL DIMENSIONAMENTO E L’ANALISI DI

GIUNZIONI RIVETTATE IN STRUTTURE DI CARBORESINA

E DI TIPO IBRIDO COMPOSITO-METALLO

Relatore: Candidato:

Dott.Ing. DANIELE FANTERIA ARSENE ROMEO FOUOSSUE NJOUSSE

__________________________

(2)

(3)

Università di Pisa

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale

1

Sommario

1 INTRODUZIONE ... 5

1.1 Introduzione ... 5

1.2 Descrizione del problema ... 6

2 MODELLO ANALITICO UNIDIREZIONALE ... 10

2.2 Approccio per isolare un giunto semplice da analizzare con il modello analitico unidirezionale ... 11

2.3 Descrizione generale del modello analitico unidirezionale ... 16

2.3.1 Flessibilità dei rivetti ... 17

3 MODELLO FEM DI A.RUTMAN ... 42

3.2 Idealizzazione del giunto ... 43

3.2.1 Modellazione dello stelo del rivetto ... 48

3.2.2 Modellazione dell’interazione tra lo stelo del rivetto e le lamine connesse ... 50

3.2.3 Compatibilità degli spostamenti nel giunto ... 51

3.2.4 Approccio a blocchi della modellazione del giunto ... 54 3.2.5 Calcolo delle rigidezze al bearing da assegnare agli elementi CBUSH 60

(4)

2 3.3 Procedura di analisi e di modellazione in elementi finiti di un giunto

rivettato contenente una componente in materiale composito ... 74

3.3.1 Costruzione del modello ai elementi finiti di un giunto rivettato contenete una componente in materiale composito ... 76

3.3.2 Analisi interattiva agli elementi finiti ... 78

4 MODELLAZIONE DI UN GIUNTO RIVETTATO IN PATRAN/NASTRAN ... 82

4.2 Modellazione con l’elemento beam (CBEAM) ... 84

4.3 Modellazione con l’elemento unidimensionale bush (CBUSH) ... 85

4.4 Modellazione con l’elemento connettore (CFAST) ... 91

4.5 Altre formule per calcolare la flessibilità del giunto ... 94

5 VERIFICA DEI MODELLI ... 97

5.2 Verifica della flessibilità ... 98

5.3 Distribuzione dei carichi ... 106

5.3.1 Giunto H_HUTH_LT_I ... 106

5.3.2 Giunto GBJM_SS ... 107

5.3.3 Giunto L_McCARTHY_3BOLTS ... 113

5.3.4 Giunto R_JOAKIM_DS ... 116

(5)

3 6 METODI DI VERIFICA DI GIUNTI RIVETTATI IN MATERIALI

COMPOSITI ... 123

6.2 Verifica del rivetto ... 128

6.2.1 Verifica del rivetto soggetto solo al carico assiale di tensione . 128 6.2.2 Verifica a taglio del rivetto in un giunto semplice ... 128

6.2.3 Verifica a taglio di un rivetto in un giunto a doppio coprigiunto 129 6.2.4 Verifica di un rivetto soggetto contemporaneamente all'azione di taglio e di trazione ... 131

6.3 Verifiche sul laminato ... 133

6.3.1 Verifica del modo pull through ... 133

6.3.2 Verifica allo shear-out ... 134

6.3.3 Metodo generale per l’analisi del bearing e del bearing/bypass del laminato ... 136

6.3.4 Verifica al bearing/bypass di un giunto rivettato soggetto a un carico biassiale ... 152

6.3.5 Verifica al bearing/bypass di un giunto soggetto a un carico monoassiale ... 157

7 ANALISI DEL CASSONE ALARE ... 161

(6)

4 7.2 Modello FEM ... 162 7.2.1 Irrigidimenti ... 162 7.2.2 Longheroni ... 163 7.2.3 Rivestimenti ... 164 7.2.4 Centine ... 165 7.2.5 Rivetti ... 166 7.2.6 Fitting ... 167

7.2.7 Carichi e condizioni al contorno ... 167

7.3 Risultati ... 168

7.3.1 Verifica a bearing delle lamine composite ... 169

7.3.2 Verifica dei rivetti ... 170

8 CONCLUSIONI ... 215

(7)

Università di Pisa 5

Capitolo 1

1 INTRODUZIONE

1.1 Introduzione

La rivettatura è il tipo di collegamento più usato nelle strutture aeronautiche. È il modo più semplice e più economico di collegare le strutture composite molto sollecitate. La rivettatura ha però il difetto di indebolire la struttura a causa delle concentrazioni di tensioni attorno ai fori. Bisogna prestare un’attenzione particolare in questi punti caldi da cui si possono innescare le fessure e le rotture. Questo problema è particolarmente sentito nelle strutture composite che sono fragili e hanno una bassissima capacità di plasticizzarsi. Per questo motivo, le giunzioni rivettati dei materiali compositi hanno una bassa capacità di ridistribuire i carichi. I materiali compositi sono progettati in modo che siano le fibre di rinforzo a sopportare la parte più importante del carico da supportare. La rivettatura interrompe le fibre e quindi il percorso del carico. Questo è un altro motivo per cui le giunzioni rivettate riducono significativamente l’efficienza delle strutture composite. I materiali compositi hanno un basso peso specifico e hanno elevate proprietà meccaniche. Nella continua ricerca di strutture sempre più leggere, si tende a sostituire, dove è possibile, i materiali metallici con i materiali compositi. Per mantenere alta l’efficienza di una struttura composita, si cerca di eliminare il

(8)

più possibile le giunzioni, ma questo diventa molto costoso e difficile da realizzare quando si devono costruire strutture complesse, molto sollecitate e di grandi dimensioni come i cassoni alari. Per analizzare correttamente una struttura composita rivettata, è necessario conoscere in modo abbastanza accurato la distribuzione dei carichi, fino alle forze agenti su ogni singolo rivetto. Solo in questo modo si può analizzare e garantire con precisione l’integrità della struttura.

1.2 Descrizione del problema

Si devono realizzare dei test su un cassone alare centrale realizzato in carboresina (IMS/977-2). Il cassone centrale indicato nella figura 1.1 come Demo Box è fissato a un banco di prova mediante cerniere. Al cassone composito, è collegato un cassone metallico in acciaio indicato come Lh Dummy Box nella figura 1.1 (di colore blu). Il cassone in acciaio consente di trasferire i carichi sul cassone. Tutta la struttura ha un piano di simmetria che è indicato nella figura 1.1. Per chiarezza si è rappresentata solo una metà del cassone. I carichi trasferiti dal Lh Dummy Box al cassone centrale sono introdotti tramite 6 attuatori servo comandati di cui la figura 1.1 ne mostra solo 6. Gli attuatori rappresentati sono indicati come F11, F12, F21, F22, F31 e F32.

La zona che sarà l’oggetto principale dello studio è l’interfaccia tra il cassone composito e i cassoni metallici. Il carico introdotto dagli attuatori è trasferito ai fitting rivettati sui cassoni metallici. I fitting indicati nella figura 1.2 sono

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organi che trasferiscono i carichi e li ridistribuiscono sui rivestimentie i longheroni.

Figura 1.1: Cassone composito incernierato e cassone in acciaio più gli attuatori servo controllati.

Figura 1.2: Geometria completa dei cassoni assieme ai fitting.

Fitting sul cassone in acciaio Fitting sul cassone carboresina Cassoni in acciaio

(10)

I fitting sono realizzati in alluminio (Al 7050). I carichi che ricevono i fitting rivettati sui cassoni in acciaio sono trasferiti ai fitting rivettati sul cassone composito tramite giunzioni imbullonate delle flange dei fitting. Le interfacce tra i fitting e i cassoni sono quindi delle zone in cui avvengono le ridistribuzioni dei carichi. Il collegamento tra i fitting e il cassone composito è eseguito con l’istallazione di 1248 rivetti di tipo Hi-Lok in titanio (Ti 6Al 4V). Nella figura 1.5 è riportato un esempio di rivetto di tipo Hi-Lok. Le figure 1.3 e 1.4 mostrano le immagini 3D dei cassoni e dei fitting. Per quanto detto in precedenza, si deve garantire una ridistribuzione dei carichi abbastanza graduale e si devono evitare i picchi che possono danneggiare il composito e i rivetti. Per analizzare la struttura e garantire l’integrità della struttura rivettata, è necessario disporre di uno strumento che consenta di determinare con una buona precisione la distribuzione dei carichi. La distribuzione dei carichi dipende da molti fattori come ad esempio la flessibilità del giunto, l’attrito tra le componenti giuntate, i giochi tra fori e rivetti, la coppia di serraggio dei rivetti, la rigidezza al taglio dei rivetti e le proprietà dei materiali coinvolti nella giunzione. La struttura sarà modellata con gli elementi finiti con i software Patran/Nastran. Il numero elevatissimo di rivetti presenti nella struttura impone da usare un metodo abbastanza semplice ma efficace per determinare la distribuzione dei carichi.

Un metodo che evidenzia tutti i parametri che influenzano la distribuzione dei carichi sarebbe troppo pesante e richiederebbe troppo tempo sia per modellare sia per analizzare la struttura.

(11)

Figura 1.3: Geometria del cassone centrale composito con i fitting a esso rivettati.

(12)

10

Capitolo 2

2 MODELLO ANALITICO UNIDIREZIONALE

Il modello analitico unidirezionale è un modello relativamente semplice che può essere utile per calcolare la distribuzione dei carichi nelle configurazioni semplici di giunti sollecitati da carichi monoassiali. La semplicità di questo modello lo rende anche particolarmente adatto nelle prime fasi del dimensionamento di una giunzione. Può essere usato per avere un’idea generale del comportamento del giunto prima di passare ad uno studio più dettagliato con gli elementi finiti. È un modello lineare ed è usato per studiare sia i giunti sollecitati a sforzi normali sia i giunti sollecitati al taglio ma non una combinazione di questi carichi dato che il modello non è adatto quando lo stato di tensione nel laminato è biassiale. Un’altra limitazione di questo modello proviene dall’uso delle formule semi empiriche per calcolare la flessibilità dei rivetti. Infatti, le formule semi empiriche sono basate su alcune configurazioni di giunti ben note per cui consentono di predire accuratamente la flessibilità del giunto. Non appena la configurazione da

(13)

11 studiare si allontana dalle configurazioni per cui sono state ricavate le formule è possibile che queste non diano più dei risultati soddisfacenti. È quindi importante avere dei dati sperimentali con cui confrontare quelli provenienti da questo modello per confermare la sua capacità di predizione. Il modello non considera l’effetto del gioco o dell’interferenza tra il rivetto e il foro. Eppure è noto che questi possono avere una grande influenza sulla distribuzione dei carichi.

2.2 Approccio per isolare un giunto semplice da analizzare con il modello analitico unidirezionale

Supponiamo per esempio di volere realizzare una giunzione rivettata tra un cassone alare in carboresina (IMS/977-2) e un cassone in alluminio (Al 2024 T6). Si sceglie di usare i rivetti di tipo Hi-Lok. Una prima semplificazione che si può fare è considerare che le sezioni dei cassoni siano rettangolari. Non si considerano gli effetti dovuti alla curvatura del rivestimento. Si ipotizza di fare due file di rivetti nella direzione dell’apertura alare come indicato nella figura 2.1. È consigliato di non realizzare più di tre file di rivetti quando si usa questo metodo di modellazione perché al di là di tre file di rivetti, la scarsa capacità di plasticizzazione del laminato e gli effetti delle tolleranze tra fori e rivetti possono modificare significativamente la distribuzione dei carichi. Sul cassone si possono realizzare delle giunzioni semplici e le giunzioni a doppio coprigiunto. In questo caso si suppone di realizzare solo

(14)

12 le giunzioni a doppio coprigiunto per evitare le deformazioni dovute ai momenti flettenti secondari presenti nei giunti semplici (figura 2.2). Alcune possibili soluzioni di realizzare la giunzioni tra i cassoni sono mostrate nella figura 2.3. Si può secondo questa soluzione fare morire gli irrigidimenti in corrispondenza delle aree di giunzioni e porre dei coprigiunti per collegare i rivestimenti.

Figura 2.1: Esempio di geometria semplifica di un cassone alare con la posizione dei rivetti

Figura 2.2: Deformazioni dovute al momento flettente secondario su un giunto semplice a trazione

(15)

13 Figura 2.3: Alcune soluzioni usate per collegare i cassoni alari molto sollecitati

Si è ipotizzato di fare due file di rivetti sul cassone composito e di usare le configurazioni a due coprigiunti. Se si sceglie di fare anche due file di rivetti sul cassone metallico, la giunzione potrà essere schematizzata come nella figura 2.4-(a). Si può semplificare ulteriormente la giunzione rappresentando solo la metà del giunto come nella figura 2.4-(b). Con riferimento alla figura 2.1, si suppone che i rivetti sono distribuiti lungo l’asse X con un passo costante. Si può in questa maniera prelevare un elemento rappresentativo del giunto di larghezza pari al passo dei rivetti. Questo elemento rappresentativo del giunto prelevato sul cassone composito è mostrato nella figura 2.5.

(16)

14 Figura 2.4: Configurazione della giunzione

Nella figura 2.5, con 1 si indica la lamina composita, con 2 e 3 si indicano i coprigiunti e con 4 e 5 si indicano i rivetti. Nella figura 2.5-(b),

si indicano il passo dei rivetti sui rivestimenti del panello inferiore e del panello superiore rispettivamente.

Si consiglia di scegliere i rapporti ( , e in modo da avere: 

 

Per evitare i modi di rottura del giunto indicati nella figura 2.6. (a)

(17)

15

(2.1)

Figura 2.5: Geometria del giunto estratto dal cassone composito (a) (b) 2 4 5

t

sp1

t

sp2

e

m

1 3

t

la

x

t

la

e

L

la

d

1

d

2

y

A

A - A

A

(18)

16 Figura 2.6: Esempio di modi di rottura di un giunto composito in funzione dei rapporti w/d e e/d

2.3 Descrizione generale del modello analitico unidirezionale

Consideriamo il giunto della figura 2.7. Le lamine sono idealizzate come molle e i rivetti sono idealizzati come travi flessibili. Le rigidezze delle molle sono determinate calcolando le rigidezze ai carichi assiali o ai carichi di taglio a secondo che il giunto sia soggetto al carico assiale o al carico di taglio, rispettivamente. Le flessibilità dei rivetti si calcolano con le formule semi empiriche. In questo capitolo, consideriamo le seguenti formule:

 La formula semi empirica di Hart-Smith [2] Net tension failure

(19)

17  La formula semi empirica di Heimo-Huth [1]

Come già detto, l’accuratezza di questo modello dipende dalla capacità delle formule semi empiriche a predire la flessibilità dei rivetti.

Figura 2.7: Esempio di idealizzazione del giunto con il modello analitico unidirezionale

2.3.1 Flessibilità dei rivetti

2.3.1.1 Influenza della flessibilità dei rivetti sulla distribuzione dei carichi

Diverse prove sperimentali sono state condotte da H.Huth [1] e da H.Smith [2] con l’obbiettivo di determinate una formula semi empirica di validità

(20)

18 generale per calcolare la flessibilità del rivetto. Da queste prove è venuto fuori che la flessibilità del rivetto dipende dalla configurazione del giunto. La figura 2.8 illustra un esempio dell’influenza della flessibilità del rivetto sulla distribuzione dei carichi per due configurazioni di giunto. Le prove condotte da H.Huth [1] hanno inoltre rivelato che esiste una relazione quasi lineare tra il carico applicato al giunto e il carico trasferito.

Figura 2.8: Esempio dell’influenza della configurazione del giunto sulla flessibilità del giunto

La figura 2.8, rappresenta il carico trasferito ( ) in corrispondenza del primo rivetto delle configurazioni illustrate nella figura. Il carico trasferito è dato dall’equazione 2.2. In generale, i carichi agenti su giunto rivettato soggetto ad un carico monoassiale possono essere suddivisi in tre contribuiti come indicato nella figura 2.9 dove:

(21)

19  rappresenta il carico di bearing, figura 2.9 – (c)

 rappresenta carico trasferito per attrito, figura 2.9 – (d).

LT bea att

F F F (2.2)

Figura 2.9: Carichi agenti su una lamina costituente un giunto rivettato soggetto di trazione monoassiale

2.3.1.2 Flessibilità dei rivetti in funzione degli spostamenti degli assi dei rivetti

Per un giunto a doppio coprigiunto di tipo riportato nella figura 2.10 e per un giunto semplice di tipo riportato nella figura 2.11, la flessibilità del giunto ( )

(a) (b) (c) (d)

(22)

20 è espressa in funzione degli spostamenti dei assi dei rivetti come indicato nella tabella 2.1.

Figura 2.10: Deformazione di un giunto a doppio coprigiunto soggetto ad un carico monoassiale di trazione.

Figura 2.11: Deformazione di un giunto semplice soggetto ad un carico monoassiale di trazione

Flessibilità del rivetto per un giunto a doppio coprigiunto

Flessibilità del rivetto per un giunto semplice

(23)

21

2.3.1.3 Formula di Heimo Huth per la flessibilità dei rivetti

L’equazione 2.3 è stata proposta da Heimo Huth come formula per calcolare la flessibilità del rivetto in un giunto.

1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 a L L sp bo bo t t b C d n t E nt E nt E nt E      _ _ _    _   _ _ (2.3) Dove:

 , per i giunti semplici

 , per i giunti a doppio coprigiunto.

I valori delle costanti a e b sono riportati nella tabella 2.2.

a b Giunto imbullonato in cui tutte le componenti sono

metalliche 2/3 3.0

Giunto rivettato in cui tutte le componenti sono

metalliche 2/5 2.2

Giunto imbullonato con lamine realizzate in fibre di

carbonio e con resina epossidica 2/3 4.2 Tabella 2.2: contanti della formula di Heimo Huth

e sono gli spessori delle componenti del giunto e sono definiti come indicati nella figura 2.12.

(24)

22 Figura 2.12: Spessori delle lamine

Nell’espressione (2.3): d: è il diametro del rivetto

: è il modulo di Young nella direzione longitudinale del laminato di

spessore

: è il modulo di Young nella direzione longitudinale del laminato di

spessore

: è il modulo di Young del materiale del bullone

2.3.1.4 Formula di Hart-Smith per la flessibilità del rivetto

Si indicano con:

: il diametro del rivetto considerato : lo spessore del coprigiunto

: lo spessore della lamina come indicato nella tabella 2.4 : il modulo di elasticità tangenziale del rivetto

(25)

23 : modulo elastico nella direzione longitudinale del coprigiunto

: modulo elastico nella direzione trasversale del coprigiunto

: modulo elastico nella direzione longitudinale della lamina di spessore : modulo elastico nella direzione trasversale della lamina di spessore Nel caso di un rivetto a testa svasata, lo spessore del coprigiunto si calcola con l’espressione 2.4.

sp sp csk

t t d (2.4)

dove è la profondità della svasatura del rivetto. e sono dati dalle relazioni 2.5 e 2.6.

4 64 bo d I  (2.5) 4 4 bo d A  (2.6)

è la frazione del contributo al momento flettente dato dalla reazione della lamina spessore al carico di bearing. I valori di sono riportati nella tabella 2.3.

Rivetto a testa sporgente 1 Rivetto a testa svasata 0.5 Tabella 2.3: Valori del parametro

(26)

24 Se allora Se allora deformazione a taglio del rivetto deformazione a flessione del rivetto deformazione al bearing del rivetto deformazione al bearing del coprigiunto deformazione al bearing della lamina di spessore flessibilità del rivetto

(27)

25

2.3.1.5 Applicazione del modello analitico unidirezionale ad un giunto generico

Il modello analitico che verrà descritto in questa sezione può essere usato per determinare la distribuzione dei carichi quando le lamine sono sollecitate a carichi assiali o a carichi di taglio lungo i loro lati. Questo si fa assegnando alle molle le rigidezze transazionali o le rigidezze a taglio delle lamine. Il metodo conserva la sua validità in presenza di qualsiasi numero di rivetti, di qualsiasi numero di lamine e di qualsiasi combinazione di lamine metalliche e di lamine composite. L’idealizzazione del giunto si esegue come segue:

Figura 2.13: esempio di giunto idealizzato punto

X I Y

(28)

26 In seguito, saranno usate le seguenti notazioni e convenzioni:

N: numero di punti.

NP: numero di lamine collegate.

Nfree: numero di lamine libere nella posizione X1.

Nclamped: numero di lamine fissate nella posizione X1. (Nfree = NP -Nclamped).

: rigidezza della lamina J compresa tra il punto I e

il punto I+1. È nullo se non c’è nessuna lamina.

: rigidezza del rivetto al punto I tra la lamina J e la lamina J+1 (è calcolata o con la formula di H.Huth o con la formula di H.Smith).

: carico trasferito nella lamina J compresa tra il punto I ed il punto I+1 (per convenzione è assunto positivo se il carico è di tensione).

: spostamento della lamina J tra il punto I ed il punto I+1 (per convenzione è assunto positivo se il carico è di tensione).

: carico trasferito nel rivetto situato al punto I tra la lamina J e la Lamina J+1 (per convenzione è assunto positivo se la rotazione è positiva).

spostamento del rivetto tra la lamina J e la lamina J+1 in corrispondenza del punto I (per convenzione è assunto positivo se la rotazione del rivetto è positiva).

(29)

27 : coefficiente di espansione termica della lamina J tra il punto I e il punto I+1.

: variazione di temperatura.

Nella tabella 2.5, sono riportati gli spostamenti dei diversi componenti della giunzione.

La tabella 2.6 riassume le equazioni di equilibrio. Note le rigidezze degli elementi e le equazioni di equilibrio, si pongono le condizioni al contorno riportate nella tabella 2.7.

Spostamenti e in funzione delle rigidezze degli elementi e delle variazioni di temperature Lamine Sistema di equazioni (S1) Rivetti Sistema di equazioni (S2)

Tabella 2.5: Spostamenti e in funzione delle rigidezze degli elementi e delle variazioni di temperature

(30)

28 Equazioni di equilibrio

Equilibrio locale (Punto I, lamina J ) Sistema di equazioni (E1)

Equilibrio globale

Sistema di equazioni (E2)

Tabella 2.6: Equazioni di equilibrio

Condizioni al contorno del problema

Carico applicato ad ogni lamina in corrispondenza

del punto XN , per

Lamina libera in corrispondenza della posizione X1

Lamina fissata in corrispondenza della posizione X1 Equazioni (S1) per I=1

Tabella 2.7: Condizioni al contorno

Ora si pone la compatibilità degli spostamenti.

, con

Dalle equazioni S1 e S2 della tabella 2.5 si può scrivere: Sfruttando le equazioni di equilibrio E1 della tabella 2.6, si ottiene:

(31)

29

Che costituiscono in totale (N-3)*(NP-1) equazioni.

Le equazioni di compatibilità possono essere scritte tra due lamine fissate in corrispondenza del punto X1 nel modo seguente:

(2.7)

dove le lamine J e L sono fissate.

Riscrivendo l’equazione 2.7, si ottiene la seguente espressione:

Che costituiscono (Nclamped-1) equazioni.

Di conseguenza, le incognite sono i carichi ( ) trasferiti da ogni rivetto. Abbiamo:

(32)

30  (Nclamped-1) equazioni di compatibilità degli spostamenti tra due lamine

fissate

 (Nfree=NP-Nclamped) condizioni al contorno.

Queste equazioni possono finalmente essere scritte come un sistema di equazioni lineari nel modo seguente:

   

1 2 1 1 1 NP N FB Y T K FB _           _ _ _        _        (2.8)

Risolvendo questo sistema, si trovano i carichi trasferiti e i carichi in corrispondenza di ogni punto.

Nota:

 Se lo spessore della lamina varia (o se variano le sue proprietà) tra due punti, il termine indica la rigidezza equivalente del segmento di lamina compreso tra il punto I e il punto I+1.

 Se i rivetti sono sfalsati o se si ha un o più file di bulloni (in cui la distanza tra le file è piccola in confronto alla lunghezza del segmento di lamina), il termine indica la rigidezza equivalente del gruppo posizionato in corrispondenza del punto I tra la lamina J e la lamina J+1.

(33)

31

2.3.1.6 Applicazione del modello analitico unidirezionale al giunto estratto della figura 2.5

Ora si applica il modello analitico unidirezionale al giunto di figura 2.5. Il giunto è idealizzato come nella figura 2.14. Le proprietà delle lamine 2 e 3 sono riportate nella tabella 2.8. Le propriètà meccaniche dei rivetti sono riportati nella tabella 2.9. La lamina composita è costituita da una sequenza di impacchettamento delle ply di carboresina IMS 977-2. Sul dorso e sul ventre hanno dei layup diversi. I layup sul ventre e sul dorso sono riportati nella tabella 2.10. Si suppone che il giunto è sollecitato solo a carico assiale e si calcolano le rigidezza delle lamine con le equazioni 2.9, 2.10 e 2.11. Non si prendono in considerazione le variazioni di temperatura.

1 2 x la la la la E wt k k L   (2.9) 2 2 1 2 sp sp sp sp E wt k k l   (2.10) 1 1 4 5 sp sp sp sp E wt k k l   (2.11)

Dove w è la larghezza della lamina, è il modulo elastico nella direzione longitudinale della lamina di spessore tla. e sono i moduli elastici

(34)

32 Figura 2.14: Idealizzazione del giunto

2 4 5

t

sp1

k

sp1

t

la

t

sp2

e

m

1 3

e

L

la

k

sp2

1

2 k

sp5

k

sp4

1

2 k

sp5

k

sp4

4

7

6

5

8 k

bo11

k

la2

k

la 1

k

bo12

k

bo21

k

bo22

3

4

7

6

5

9

8 k

bo11

k

la2

k

la 1

k

bo12

k

bo21

k

bo22

(35)

33 Esp 73 100 Mpa Gsp 27 481 Mpa νsp 0.33 Sysp 315 Mpa 415 Mpa u 283 Mpa

Tabella 2.8: Proprietà meccaniche dei coprigiunti 2 e 3 (Al 2024 T6)

Ebo 110 000 Mpa

Gbo 42 308 Mpa

νbo 0.31

Sybo 1 075 Mpa

1 205 Mpa

Tabella 2.9: Proprietà meccaniche dei rivetti (Ti 6AL 4V)

Layup del ventre

Layup

del dorso Tabella 2.10: Layup della lamina composita

(36)

34 FAW(g/m2₎ ₁₉₆ E1 145 000 Mpa E2 8 300 Mpa G12 4 100 Mpa ν12 0.35 tply 0.184 mm 2 400 Mpa -1 300 Mpa 75 Mpa 245 Mpa 90 Mpa CET1 -1.0 10-6_°C-1 CET2 34 10-6_°C-1 CET3 34 10-6_°C-1

Tabella 2.11: Proprietà meccaniche della ply IMS/977-2

Le rigidezze delle dei rivetti sono calcolate con le equazioni 2.12 e 2.13.

11 12 4/ 2 bo bo bo k k k (2.12) 21 22 5/ 2 bo bo bo k k k (2.13)

Dove e sono le rigidezze dei rivetti calcolate alternativamente con la formule di Hart-Smith (tabella 2.4) e con la formula di Heimo Huth

(37)

35 (equazione 2.3). Si ricorda che la rigidezza del rivetto è pari all’inverso della sua flessibilità. Quindi se è la flessibilità del rivetto, la sua rigidezza è pari a:

1

k C 

Il passo successivo consiste nel scrivere successivamente le equazioni di equilibrio, la compatibilità degli spostamenti e porre le condizioni al contorno. Si considera per esempio il caso rappresentato nella figura 2.15 in cui il giunto è sollecitato a trazione. Si determina la matrice di rigidezza [K]7x7

del giunto.

Gli elementi della matrice [K] sono calcolate con le espressioni da 2.14 a 2.20. Si ottiene il sistema di equazioni lineare 2.21.

(2.14)

(38)

36 (2.15) (2.16) (2.17) (2.18) (2.19)

(39)

37 (2.20)

Figura 2.15: Giunto sollecitato a trazione

(2.21)

Dove:

 è lo spostamento del punto k,

k

sp5

k

sp4

k

sp1

_k

sp2

3

4

1

2

7

6

5

9

8 k

bo11

k

la 2

k

l a1

k

bo12

k

bo21

k

bo22

P

(40)

38

 .

Dove con N si è indicato l’indice di carico nella lamina.

Si inverte la matrice [K] e si calcola il vettore degli spostamenti con l’espressione (2.22).

(2.22)

Noto il vettore degli spostamenti, è possibile calcolare le forze agenti in ogni punto del giunto. La tabella 2.13 mostra la ripartizione dei carichi sui rivetti per alcuni valori dell’indice del carico nella lamina composita 1. Le dimensioni del giunto sui il calcolo è stato eseguito sono riportate nella tabella 2.12. Per gli stessi indici di carico, la ripartizione dei carichi sui rivetti è stata calcolata alternativamente calcolando le rigidezze dei rivetti con la formula di Hart-Smith e con la formula di Heimo Huth. I dati della tabella 2.13 sono poi riportati nei grafici delle figure 2.16 e 2.17.

(41)

39

Larghezza del cassone (mm) 1364

diametro del rivetto 4 (mm) 9.52

diametro del rivetto 5 (mm) 9.52

: larghezza della lamina sul ventre (mm) 50.52

spessore del rivestimento composito del cassone (mm) 9.94

spessore del coprigiunto 2 (mm) 10

spessore del coprigiunto 3 (mm) 10

(mm) 28.56

: distanza tra due bulloni consecutivi (mm) 57.12

(mm) 57.12

Tabella 2.12: Dimensioni del giunto

Dai grafici, si vede che calcolando le rigidezze dei rivetti con la formula di H.Huth, il carico supportato dal rivetto 4 è maggiore del carico supportato dallo stesso rivetto modellato calcolando le rigidezze con la formula di

(42)

40 H.Smith. Il rivetto 5 risulta quindi meno carico quando si usa la formula di H.Huth. MODELLO UNIDIREZIONALE CON LA FORMULA DI HART-SMITH MODELLO UNIDIREZIONALE CON LA

FORMULA DI HEIMO HUTH

indice di carico (N/mm) Forza sul bullone 4 (N) Forza sul bullone 5 (N) Forza sul bullone 4 (N) Forza sul bullone 5 (N) 0 0 0 0 0 593,82 15259,93 14697,55 15572,80 14384,68 1143,10 29413,33 28329,34 30016,37 27726,29 1187,65 30545,60 29419,88 31171,86 28793,62 2375,30 61116,94 58864,54 62369,98 57611,50 2969,12 76402,60 73586,88 77969,04 72020,44 2969,12 76402,60 73586,88 77969,04 72020,44 3123,00 80365,56 77403,78 82013,24 75756,09 3562,95 91662,54 88284,42 93541,84 86405,12 Tabella 2.13: Forze trasferite dai rivetti in corrispondenza della lamina composita 1.Le forze sono

calcolate con il modello analitico unidirezionale.

Si nota che il modello è lineare e non tiene conto di eventuali deformazioni plastiche dei materiali metallici presenti nel giunto (titanio Ti 6Al 4V per i bulloni e alluminio 2024 T3 per i coprigiunti). Il modello non coglie

(43)

41 modifiche delle propriètà del composito dovute ad eventuali danni causati dal carico applicato.

Figura 2.16 – Forza su bullone 4 (figura 2.14) al variare dell’indice di carico

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000 0 1000 2000 3000 4000 FOR ZA SUL RIVETTO 4 (N) INDICE DI CARICO (N/mm)

CARICHI SUL RIVETTO 4 (figura 2.14) AL VARIARE DELL'INDICE DI CARICO

HART SMITH HEIMO HUTH

(44)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 42

Capitolo 3

3 MODELLO FEM DI A.RUTMAN

In seguito, sarà descritta una tecnica di modellazione agli elementi finiti sviluppata da Alexander Rutman [5] per studiare un giunto rivettato dove una o più lamine sono realizzate in materiale composito. Questa tecnica di modellazione è adeguata per studiare una giunzione composta sia solamente da lamine metalliche, sia solamente da lamine in materiale composito o ancora una qualsiasi combinazione di lamine metalliche e di lamine in composito. La differenza sostanziale tra modellare un giunto rivettato dove tutte le lamine sono metalliche e modellare un giunto rivettato dove è presente almeno una lamina in materiale composito sta nella modellazione dell’interfaccia tra il rivetto e la lamina. Infatti, nel laminato, la rigidezza al bearing dipende dalla direzione del carico di bearing mentre nella lamina metallica, la rigidezza al bearing è indipendente dalla direzione del carico di bearing sulla lamina. Questa indipendenza della rigidezza al bearing per le lamine metalliche è dovuta all’isotropia del materiale. La dipendenza della rigidezza al bearing dalla direzione del carico di bearing sul composito può

(45)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 43 influenzare in modo rilevante la distribuzione dei carichi sui rivetti. Per questo motivo, in presenza di una lamina in composito, il problema di determinare la distribuzione dei carichi diventa non lineare e richiede un certo numero di iterazioni per essere risolto. A ogni iterazione, il valore della rigidezza al bearing in corrispondenza dell’interfaccia composito rivetto deve essere aggiornato e si ripete l’iterazione fino a che non si raggiunge la convergenza del processo. Qui verrà descritto un processo interattivo sviluppato da A.Rutman [5] che può essere usato per analizzare un giunto rivettato con qualsiasi numero di rivetti e qualsiasi numero di interfacce composito-rivetto. Con questa tecnica, gli elementi in materiale composito possono essere modellati unicamente con gli elementi shell mentre gli elementi in materiali metallici possono essere modellati sia con gli elementi shell sia con gli elementi solid. La tecnica di modellazione del giunto che sarà descritta dettagliatamente in seguito è supportata da una applicazione PCL del software MSC.Patran 2010 chiamata Fastener Maker V4.7 sviluppata dalla MSC.software Corporation.

3.2 Idealizzazione del giunto

Il giunto da idealizzare è composto da tre lamine ed un rivetto. Il giunto è modellato usando degli elementi finiti le cui proprietà possono essere trovate nel database del software MSC.Nastran [6]. Le figure (dalla figura 3.1 alla figura 3.5) mostrano alcuni possibili modelli di un giunto composto da tre lamine che si possono costruire. L’idealizzazione del giunto si fa in tre passaggi che sono:

(46)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 44  la modellazione della rigidezza al bearing della lamina e del rivetto in

corrispondenza della superficie di contatto;

 la modellazione della rigidezza a flessione e della rigidezza al taglio del rivetto;

 la modellazione della compatibilità degli spostamenti del rivetto e delle lamine connesse.

Figura 3.1 - Modello di giunto con tre lamine tutte modellate con gli elementi shell a) Modello con soli elementi rigidi

(47)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 45 Figura 3.2 - Modello di giunzione con tre lamine. Le lamine 1 e 3 sono modellate con elementi

solidi, mentre la lamina 2 è modellata con l’elemento shell. a) Modello con elementi rigidi.

b) Modello con elementi solidi e linear Gaps

Figura 3.3 - Modello di giunzione con tre lamine. Le lamine 2 e 3 sono modellate con elementi solidi, mentre la lamina 1 è modellata con l’elemento shell.

a) Modello con elementi rigidi.

(48)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 46 Figura 3.4 - Modello di giunzione con tre lamine. Le lamine 1 e 2 sono modellate con elementi solid,

mentre la lamina 3 è modellata con l’elemento shell. a) Modello con elementi rigidi.

b) Modello con elementi solidi e linear Gaps

Figura 3.5 - Modello di giunzione con tre lamine metalliche modellate ciascuna con due plies di elementi solidi.

a) Modello con elementi rigidi.

(49)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 47 Fatta la modellazione agli elementi finiti delle lamine, questa tecnica di modellazione richiede la creazione di due gruppi di nodi aggiuntivi. Questi gruppi di nodi sono:

 i nodi posti in corrispondenza dei piani intermedi delle lamine modellate con elementi solid (nodi grigi nelle figure 3.5, 3.4, 3.3 e 3.2). Gli elementi shell non richiedono la creazioni di nodi aggiuntivi dal momento che hanno già i nodi situati sul piano intermedio della lamina.

 i nodi necessari alla modellazione dell’asse del rivetto (nodi neri nelle figure 3.1 ÷ 3.5). Questi nodi sono composti da quelli creati in corrispondenza delle intersezioni tra i piani intermedi di ogni lamina e l’asse del rivetto ed quelli creati in corrispondenza delle intersezioni tra le superfici esterne della prima e dell’ultima lamina con l’asse del rivetto.

Per una corretta definizione del piano di taglio del rivetto e la sua direzione assiale, deve essere definito un sistema di coordinate con un asse parallelo all’asse del rivetto. Durante l’analisi, questo sistema di coordinate è quello che è usato per analizzare i nodi già esistenti (nodi bianchi e nodi grigi) ed i nodi del secondo gruppo appena creati (nodi neri).

Una breve descrizione degli elementi usati per costruire i modelli rappresentati nelle figure 3.1 ÷ 3.5 è riportata nelle tabelle 3.1 e 3.2.

(50)

3.2.1 Modellazione dello stelo del rivetto

Lo stelo del rivetto è modellato con gli elementi CBAR o con gli elementi CBEAM tutti descritti dettagliatamente nella MSC.Nastran Reference Guide [6]. Per connettere assieme gli elementi CBAR o CBEAM, viene creato un gruppo separato di nodi (Nodi neri). Questo gruppo di nodi include anche i nodi situati in corrispondenza dell’intersezione delle superfici esterne della prima e dell’ultima lamina con l’asse del rivetto.

Tutti gli elementi CBAR o CBEAM che rappresentano lo stelo dello stesso rivetto hanno la stessa sezione trasversale, gli stessi momenti d’inerzia flessionali e gli stessi momenti torsionali dati dalle seguenti formule:

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(51)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 49 Tabella 3.1 – Descrizione degli elementi necessari alla costruzione del modello di giunto

(52)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 50 Tabella 3.2 - Descrizione degli elementi necessari alla costruzione del modello di

giunto(continuazione)

3.2.2 Modellazione dell’interazione tra lo stelo del rivetto e le lamine connesse

Sulla superficie di contatto tra lo stelo del rivetto e il fianco del foro delle lamine connesse, la principale interazione che si osserva è la deformazione

(53)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 51 per il carico di bearing dello stelo del rivetto assieme alla deformazione a bearing delle lamine. La rigidezza al bearing si può vedere come la somma di due contributi:

 una rigidezza a traslazione nella direzione ortogonale all’asse del rivetto che definisce anche il piano di taglio dello stelo

 una rigidezza a rotazione attorno a un asse ortogonale all’asse del rivetto.

Il procedimento per calcolare queste rigidezze sarà descritto nei paragrafi successivi. Per modellare la rigidezza al bearing, sono usati i due gruppi di nodi creati in precedenza, cioè i nodi grigi posti in corrispondenza del piano intermedio degli elementi solid o quelli degli elementi shell assieme ai nodi neri creati in corrispondenza dell’asse del rivetto. Questi due gruppi di nodi sono connessi con gli elementi CBUSH o con una combinazione di elementi CELAS2 aventi le stesse rigidezze a traslazione ed a rotazione di quelle degli elementi CBUSH. Quando la lamina è modellata con l’elemento shell, il carico è trasferito direttamente dall’elemento CBUSH all’elemento shell. Quando invece la lamina è modellata con l’elemento solid, il carico è trasferito dal piano intermedio ai nodi dell’elemento solid tramite gli elementi RBE2.

3.2.3 Compatibilità degli spostamenti nel giunto

Si considerano due procedure di modellazione. La prima usa i soli elementi rigidi e la seconda usa sia gli elementi rigidi che i Linear Gaps.

(54)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 52 1. Modellazione con i soli elementi rigidi. Quest’approccio è raccomandato quando si trascura la trazione nello stelo del rivetto e quando il taglio sul rivetto costituisce l’oggetto principale dell’analisi. In questo modo il carico nella direzione trasversale del giunto è trasferito tramite il contatto fra le lamine mentre lo stelo del rivetto risulta scarico.

2. Modellazione con gli elementi rigidi e la tecnica dei linar gaps. Quest’approccio deve essere scelto quando il carico di trazione sul rivetto è significante e rappresenta uno dei argomenti principali dell’analisi. Un uso eccessivo dei linear gaps può però rallentare considerevolmente la convergenza della soluzione.

Il modello del giunto è stato costituto sulla base delle seguenti assunzioni:  sotto carico, non si verificano delle interferenze tra le lamine;

 sotto carico, il piano intermedio di ogni lamina rimane parallelo agli altri piani intermedi delle altre lamine;

 sotto carico, i piani al di sotto le teste del rivetto rimangono paralleli ai piani intermedi delle lamine.

Queste assunzioni si raggiungono facendo uso di due gruppi di elementi RBAR assieme alla tecnica dei linear gaps.

Quando si sceglie di modellare il giunto con i soli elementi rigidi, la prima assunzione si raggiunge usando il primo gruppo di elementi RBAR cioè quelli rappresentatati nelle figure 3.1 3.5 con le frecce nere e verdi. Questo primo gruppo di elementi RBAR impedisce il movimento relativo delle

(55)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 53 lamine tra di loro nella direzione dell’asse del rivetto. Il primo elemento RBAR di questo gruppo impedisce anche il movimento del rivetto come corpo libero lungo la direzione del suo asse.

Quando si sceglie l’approccio con elementi rigidi e i linear gaps, il grado di libertà dell’elemento RBAR nella direzione dell’asse del rivetto è sostituito dai linear gaps rappresentati nel figure 3.1 ÷ 3.5 con le frecce di colore rosso. Un’eccezione è fatta per l’elemento RBAR posto tra la testa del rivetto in alto e la prima lamina perché consente di impedire il moto libero dello stelo del rivetto. Con questo approccio, il gioco tra lamine è consentito mentre le interferenze non sono consentite.

Il secondo gruppo di elementi RBAR rappresentato con le frecce di colore blu e giallo nelle figure 3.1 ÷ 3.5 consente si soddisfare le ultime due assunzioni. Gli elementi di questo gruppo consentono di forzare i piani intermedi e i piani sotto le teste dei rivetti a rimanere paralleli fra di loro anche sotto carico.

Poiché gli elementi solid non hanno una rigidezza a rotazione ai loro nodi, i due gruppi di elementi RBAR sono necessari quando le lamine sono modellate con elementi solid.

Se i gradi libertà del primo gruppo di elementi RBAR (frecce blu e gialle) fossero assegnati al primo gruppo di elementi RBAR (frecce nere e verdi), le ultime due assunzioni non sarebbero soddisfatte perché i nodi degli elementi solid non possiedono nessuna rigidezza a rotazione. Se invece i gradi di libertà del secondo gruppo degli elementi RBAR (frecce nere e verdi) fossero

(56)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 54 assegnati ai gradi di libertà del primo gruppo di RBAR (frecce blu e gialle), i giochi o le interferenze che si potrebbero sviluppare tra le lamine non sarebbero impediti. Quindi, quando le lamine sono modellate con gli elementi solid, i due gruppi di elementi RBAR descritti sono assolutamente necessari per una corretta formulazione del comportamento del giunto sotto carico.

Ma quando tutte le lamine sono modellate con gli elementi shell, tutti i gradi di libertà possono essere assegnati con un solo gruppo di elementi rigidi.

3.2.4 Approccio a blocchi della modellazione del giunto

In questa sezione, sarà presentato un approccio a blocchi della modellazione del giunto. Infatti, i modelli di giunto presentati nelle figure 3.1 ÷ 3.5 possono essere suddivisi in tre blocchi principali:

 l’interazione tra la testa superiore del rivetto e il suo stelo con la prima lamina;

 l’interazione di ogni lamina adiacente con le altre e con lo stelo del rivetto;

 l’interazione tra la testa inferiore del rivetto e il suo stelo con l’ultima lamina.

Il vantaggio di questo metodo è quello di consentire la costruzione di un modello per qualsiasi giunto rivettato composto da qualsiasi numero di

(57)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 55 lamine modellate con elementi shell o qualsiasi numero di lamine modellate con elementi solid.

3.2.4.1 Interazione del rivetto con la prima lamina

L’interazione tra il rivetto e la prima lamina è rappresentata nella figura 3.6 per due possibili condizioni:

 La prima lamina è modellata con un elemento shell  La prima lamina è modellata con l’elemento solid

Figura 3.6 - interazione tra il rivetto e la prima lamina a) La prima lamina è modellata con l’elemento shell b) La prima lamina è modellata con l’elemento solid

Questi blocchi sono gli stessi sia quando si modella con i soli elementi rigidi sia quando si modella contemporaneamente con gli elementi rigidi e gli linear gaps. Gli elementi rigidi in questo blocco impediscono la rotazione relativa della lamina e la rotazione della testa del rivetto attorno agli assi contenuti nel piano di taglio. Impediscono anche lo spostamento relativo

(58)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 56 lungo l’asse del rivetto. Il nodo sullo stelo posto direttamente sotto la testa del rivetto è vincolato in modo da impedire la rotazione attorno all’asse del rivetto. In questa maniera, si impedisce la rotazione da corpo libero del rivetto.

3.2.4.2 Interazione di due lamine adiacenti e lo stelo del rivetto

Le possibili interazioni di due lamine adiacenti con lo stelo del rivetto sono otto. Quattro per la modellazione con i soli elementi rigidi e quattro per la modellazione combinata con gli elementi rigidi e i linear gaps. Le figure 3.7 ÷ 3.10 presentano i seguenti casi:

 Entrambe le lamine sono modellate con gli elementi shell;  Entrambe le lamine sono modellate con gli elementi solid;

 Una lamina è modellata con l’elemento shell e quella adiacente è modellata con l’elemento solid;

 Una lamina è modellata con l’elemento solid e quella adiacente è modellata con l’elemento shell.

L’uso degli elementi rigidi consente di tenere i piani intermedi di ogni lamina paralleli fra di loro. Impediscono le rotazioni relative delle lamine attorno agli assi contenuti nel piano di taglio dello stelo del rivetto. Gli elementi rigidi e i linear gaps impediscono anche le interferenze tra le lamine.

(59)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 57 Figura 3.7 - Interazione dello stelo del rivetto con due lamine adiacenti modellate entrambi con

elementi shell: a) Modello con i soli elementi rigidi

b) Modello con elementi rigidi assieme ad linear gap

Figura 3.8 - interazione dello stelo del rivetto con due lamine adiacenti modellate entrambi con elementi solid:

a) Modello con i soli elementi rigidi

(60)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 58 Figura 3.9 - interazione dello stelo del rivetto con due lamine adiacenti modellate una l’elemento shell

e l’altra con l’elemento solido: a) Modello con i soli elementi rigidi

b) Modello con elementi rigidi assieme ad un linear gap

Figura 3.10 - interazione dello stelo del rivetto con due lamine adiacenti modellate una l’elemento shell e l’altra con l’elemento solido:

(61)

3.2.4.3 Interazione del rivetto con l’ultima lamina

Le interazioni del rivetto con l’ultima lamina possono essere rappresentate con quattro blocchi. Due per ogni tecnica di modellazione. Nel seguito vengono rappresentate le seguenti possibilità:

 L’ultima lamina è modellata che l’elemento shell;  L’ultima lamina è modellata con l’elemento solid.

Anche qui gli elementi rigidi in questi blocchi impediscono la rotazione relativa della lamina e della testa del rivetto attorno agli assi contenuti nel piano di taglio dello stelo del rivetto. La tecnica dei linear gaps trasferisce il carico dalla lamina alla testa del rivetto. Gli esempi sono riportati nelle figure 3.11 e 3.12.

Figura 3.11- interazione tra il rivetto e l’ultima lamina modellata con l’elemento shell: a) Modello con i soli elementi rigidi

(62)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 60 Figura 3.12 - interazione tra il rivetto e l’ultima lamina modellata con l’elemento solid:

b) Modello con elementi rigidi assieme ad un linear gap

3.2.5 Calcolo delle rigidezze al bearing da assegnare agli elementi CBUSH

3.2.5.1 Calcolo della rigidezza al bearing della lamina realizzata in materiale composito

(63)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 61  Flessibilità traslazionale al bearing dell’i-esima ply della lamina in

materiale composito nelle direzioni x e y del sistema di riferimento del rivetto

Il sistema di riferimento del rivetto in questa sezione è diverso da quello usato in precedenza (dalla figura 3.1 alla figura 3.12). Qui l’asse z è diretto secondo l’asse del rivetto, l’asse x è ortogonale all’asse z. l’asse y è definito in modo che la terna sia levogira.

Figura 3.13 - assi principali del materiale (1-2) dell’i-esima ply, e il sistema di riferimento del rivetto (x,y)

(64)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 62 Figura 3.14 definizione della rigidezza rotazionale al bearing

    11 11 1 1 1 ( ) i ixbtp _i _i i i t C Q Q z z_    (3.4)     22 22 1 1 1 ( ) iybtp _i _i i i i C Q t Q z z_    (3.5) Dove

: è lo spessore della ply.

Le componenti della matrice di rigidezza ridotta nel sistema di riferimento trasformato sono date dalle seguenti espressioni:

(65)

(3.6) (3.7) (3.8)

: è l’orientamento dell’i-esima ply rispetto al sistema di riferimento del rivetto.

sono le componenti della matrice di rigidezza ridotta e sono date dalle seguenti espressioni:

                1 2 11 22 12 21 12 21 , 1 1 i i i i i i i i E E Q Q         (3.9)                       12 2 21 1 12 66 12 12 21 12 21 , 1 1 i i i i i i i i i i i E E Q   Q G          (3.10) Dove:

: sono il moduli elastici dell’i-esima ply nelle direzioni principali 1 e 2 rispettivamente;

: è il modulo di elasticità tangenziale dell’i-esima ply nel piano (1-2);

: è il coefficiente di Poisson dell’i-esima ply.

        2 21 12 1 i i i i E E   (3.11)

(66)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 64  Flessibilità traslazionale al bearing del rivetto in corrispondenza

dell’i-esima ply 1 1 1 ( ) ixbtf iybtf cf i cf i i C C E t E z z_     (3.12)

Dove è il modulo elastico a compressione del materiale del rivetto.

 Flessibilità traslazionale al bearing combinata del giunto in

corrispondenza dell’i-esima ply nelle direzioni x e y

   

11 11

1 1 1 1 1

ixbt ixbtp ixbtf

i i cf i i cf i C C C E t t E Q t Q               (3.13)     22 22 1 1 1 1 1

iybt iybtp iybtf _i _i

cf i i cf i C C C E t t E Q t Q               (3.14)

 Rigidezza traslazionale al bearing combinata del giunto in

corrispondenza dell’i-esima ply nelle direzioni x e y

  11 1 1 1 i ixbt ixbt i cf t S C E Q    (3.15)   22 1 1 1 i iybt iybt i cf t S C E Q    (3.16)

(67)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 65  Rigidezza traslazionale al bearing combinata del giunto in

corrispondenza del contatto tra l’intero spessore del composito e il rivetto. (questa rigidezza va calcolata per ogni lamina in materiale composito presente nel giunto)

  1 1 11 1 1 n n i xbt ixbt i i i cf t S S E Q     



(3.17)   2 1 2 1 1 1 n n i ybt iybt i i i cf t S S E Q     



(3.18)

Dove n è il numero totale di ply nella lamina in materiale composito considerata.

3.2.5.1.2 Rigidezza rotazionale al bearing

 Assi neutri del composito

La coordinata dell’asse neutro nel piano normale all’asse x è data da:

1 1 ₂ n _i _i ixbt i x xbt z z S c S    



(3.19)

La coordinata dell’asse neutro nel piano normale all’asse y è data da:

1 1 ₂ n _i _i iybt i y ybt z z S c S    



(3.20)

(68)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 66 Sostituendo e con le espressioni (3.15) e (3.16), si trovano le seguenti espressioni:   2 2 1 1 11 1 1 1 . 2 n _i _i i i cf x xbt z z E Q c S     



(3.21)   2 2 1 1 22 1 1 1 . 2 n _i _i i i cf y ybt z z E Q c S     



(3.22)

 Deformazione rotazionale al bearing

La rotazione relativa del rivetto e del laminato generano un momento nell’interfaccia tra il rivetto e il laminato. Si assume che le deformazioni al bearing causate dalla rotazione relativa del rivetto e del laminato sono distribuite linearmente lungo lo spessore del laminato.

Deformazione al bearing nella direzione x:





x x z cx

   (3.23)

Deformazione al bearing nella direzione y:





y y z cy

   (3.24)

(69)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale 67 : angolo formato tra il rivetto e il laminato durante una rotazione relativa nel piano x-z;

: angolo formato tra il rivetto e il laminato durante una rotazione relativa nel piano y-z.

 Flessibilità al bearing di un elementino di spessore dz dell’i-esima ply del

laminato

Flessibilità dell’elementino nella direzione x,

  11 1 ixbrp i dC Q dz  (3.25)

Flessibilità dell’elementino nella direzione y,

  22 1 iybrp i dC Q dz  (3.26)

 Flessibilità al bearing del rivetto in corrispondenza di un elementino di

spessore dz dell’i-esima ply

1 ixbrf iybrf cf dC dC E dz   (3.27)