Equazioni e Disequazioni: Logaritmi ed Esponenziali
Marco Monaci1,?
1Istituto A. Rosmini, Grosseto
Abstract. In questa dispensa approfondiremo i logaritmi e gli esponenziali, e successivamente inseriremo queste nuove operazioni all’interno delle equazioni e delle disequazioni. I processi risolutivi necessari saranno chiaramente diversi rispetto a quelli a cui siamo abituati, in quanto sono proprio diverse le operazioni che appariranno dentro. Prima però di passare subito ai processi risolutivi, introduciamo i logaritmi e gli esponenziali e trattiamo brevemente le loro proprietà.
1 Logaritmi
1.1 Introduzione
Partiamo dai logaritmi, e vediamo un attimo cosa sono. Im-maginiamo di voler calcolare il volume del Sole (vedrete fra un attimo perché). Se approssimiamo il Sole ad una sfera, possiamo calcolarne il volume usando la formula:
V =4 3πR
3
Dove R è il raggio del Sole, che vale approssimativamente 696000 km. Sostituendo tale valore nella formula sopra ripor-tata ed eseguendo i calcoli, otteniamo un volume pari a:
V = 1.41 · 1018km3
In altre parole il Sole ha un volume di oltre un miliardo di miliardi di chilometri cubi. E’ chiaro che lavorare con tali nu-meri sia una impresa epocale, in quanto è necessario scrivere una moltitudine di zeri che è difficile portarsi dietro.
Detto questo, dobbiamo trovare quindi uno strumento che ci permetta di maneggiare agilmente numeri molto grandi. Fortunatamente ci viene in aiuto il logaritmo, che ci perme-tte proprio di trattare numeri molto grandi.
1.2 Definizione del logaritmo e prime proprietà
Partiamo dalla definizione effettiva di logaritmo e vediamo come essa ci possa aiutare con dei numeri molto grandi.
Consideriamo due numeri a e b. Allora il logaritmo c è l’esponente da assegnare ad a per ottenere b. In altri ter-mini possiamo scrivere
loga(b)= c Ovvero vale la seguente uguaglianza:
ac= b
Nell’ espressione loga(b)= c abbiamo che a si chiama base, mentre b si chiama argomento.
?e-mail: monaci93@gmail.com
Diciamo che questa definizione effettivamente non è molto chiara, per quanto sia piuttosto formale. Vediamo quindi subito qualche esempio:
log10(1000)
Di fatto questa espressione ci sta chiedendo: quanto deve essere l’esponente da dare a 10 affinché il risultato sia 1000? In altre parole dobbiamo rispondere alla seguente domanda:
10x= 1000
Che è la stessa cosa: quale è l’esponente da dare? Sarete d’accordo, anche dopo due Negroni sbagliati, che la risposta è 3. Infatti abbiamo che:
103= 1000
Quindi 10 alla terza fa effettivamente 1000. Complichi-amo un po’ la situazione, e proviComplichi-amo a calcolare:
log2( √
2)
Qui si va più nell’esotico. In questo caso il risultato è 1/2, in quanto abbiamo che:
212 = √
2
Come vediamo, il logaritmo ci può tirare fuori anche nu-meri irrazionali e trascendenti (come per esempio π).
Ed ora attenzione al barbatrucco. Possiamo utilizzare an-che basi frazionarie. Per esempio:
log1 2
1 8 !
Ehlamadonna, come direbbe Renato Pozzetto. Ma non perdiamoci d’animo. Quale è l’esponente da dare a 1/2 per ottenere 1/8? Se ci pensate bene è 3, infatti:
1 2 !3 =13 23 = 1 8
Ebbene, abbiamo le nozioni per effettuare i primi logar-itmi. Provate a fare i seguenti logaritmi:
log39 log416 log1/319 log2√34 log636 log√ 24
Adesso possiamo occuparci di alcuni logaritmi notevoli. Iniziamo dal logaritmo di 1: in altre parole dobbiamo trovare un esponente che permetta di ottenere 1. Tale numero è 0, infatti:
a0= 1 Per qualunque numero reale.
In altre parole, a prescindere dalla base del logaritmo, il logaritmo di 1 è sempre 0. Provare con la calcolatrice per credere.1
Spingiamo ora un po’ l’acceleratore e proviamo a fare il logaritmo di 0:
log100=?
Per quanto possiamo sforzarci, il logaritmo di zero non esiste. In altri termini, non esiste un esponente che possiamo dare a 10 per ottenere 0. Provate a sbizzarrirvi con la calco-latrice, non riuscirete a trovarlo (modo molto utile di vincere delle birre con gli amici: ti offro una birra se mi trovi il loga-ritmo di zero).
Alla stessa maniera, il logaritmo di un numero negativo non esiste. Possiamo quindi citare la seguente regola impor-tantissima che vi dovete scolpire nelle cervella:
Il logaritmo è definito per numeri strettamente maggiori di zero. In altri termini il logaritmo di un numero negativo non è definito nell’insieme dei numeri reali. Anche la base deve essere maggiore di zero. Attenzione però: il risultato del logaritmo può essere un numero negativo!
Dobbiamo adesso occuparci di una base particolarissima. Abbiamo detto che fondamentalmente l’unica imposizione che dobbiamo mettere sulla base è che sia maggiore di zero. Ebbene, esiste un logaritmo definito con base il numero di Nepero, indicato con la lettera e, che vale circa 2.718 (anche se è un numero illimitato non periodico). Se il logaritmo è espresso in base e, esiste una particolare scrittura:
loge(A)= ln(A)
In altre parole se troviamo scritto ln sappiamo di già che la base è il numero di Nepero. Non vi preoccupate: le regole che abbiamo indicato prima valgono ugualmente.
Nota: uno potrebbe giustamente chiedere: "come mai debbo distruggermi il cervello con una base decimale illimitata e non periodica?" Domanda lecitissima. La risposta è profonda e ben giustificata, ma per ora non abbiamo gli strumenti per ap-profondirla. Ci dobbiamo accontentare.
Possiamo adesso descrivere alcune prime proprietà che sono estremamente utili e che spiegano la potenza dei loga-ritmi. Innanzitutto perché usiamo i logaritmi? Il motivo prin-cipale è che il logaritmo cresce molto lentamente, quindi per-mette di trasformare numeri enormi in numeri molto piccoli. Prendiamo per esempio i logaritmi in base dieci e facciamone un paio (se scriviamo semplicemente log intendiamo il logar-itmo in base dieci):
1A proposito di calcolatrice. Il logaritmo sulla calcolatrice è segnato come
log, e con questa scrittura viene indicato automaticamente il logaritmo in base dieci.
• log 10 = 1; • log 100 = 2; • log 1000 = 3; • log 10000 = 4.
Come possiamo vedere, il logaritmo di numeri enormi è rap-presentato da numeri molto piccoli e perfettamente trattabili. Per esempio il logaritmo di un milione è 6.
Abbiamo altre tre proprietà che sono cruciali:
• Il logaritmo di un prodotto è dato dalla somma dei singoli logaritmi, in altri termini possiamo trasformare moltipli-cazioni in somme (cosa utilissima);
• Il logaritmo di un quoziente è dato dalla differenza dei sin-goli logaritmi, ovvero possiamo trasformare divisioni in sot-trazioni (cosa altrettanto utilissima);
• Se abbiamo all’interno dell’argomento un esponente, tale esponente viene portato fuori dal logaritmo.
Tali proprietà possono essere schematizzate nel seguente modo:
Logaritmo del prodotto:
loga(X · Y)= logaX+ logaY Logaritmo del quoziente:
loga X Y = logaX −logaY Esponente nell’argomento: logaXY = Y logaX Facciamo qualche esempio:
• log(10 · 30) = log 10 + log 30 ; • log2
3 = log 2 − log 3; • log 52= 2 log 5.
2 Esponenziali
Sappiamo bene che le operazioni viaggiano in coppia: una è l’inverso dell’altra. Per esempio la sottrazione è l’inverso della addizione, mentre la divisione è l’inverso del prodotto. Così come abbiamo definito il logaritmo, dobbiamo definire la sua operazione inversa, che si chiama esponenziale (i puristi diranno, giustamente, che il logaritmo è l’inverso dell’esponenziale, ma diciamo che è la stessa cosa). Immag-iniamo di voler trovare la x in questa equazione:
log x= 3
Qui il ragionamento che dobbiamo fare è effettivamente inverso: che cosa succede se eleviamo 10 alla terza? Possiamo trovare la x facendo proprio l’esponenziale:
103= x
Da cui ricaviamo che x= 1000. Possiamo fare quindi questo piccolo schemettino che ci tornerà utile più avanti:
Dal logaritmo all’esponenziale:
logax= b −→ ab= x Dall’esponenziale al logaritmo:
ax= b −→ logab= x
Nota. Abbiamo avuto modo di vedere che il logaritmo cresce moltolentamente. Ne consegue che l’esponenziale cresce in-vece tantissimo. Basta dare esponenti anche piuttosto bassi e il risultato dell’esponenziale è veramente enorme. Giusto qualche esempio di questa cosa:
103= 1000
104 = 10000
Quindi anche con esponenti bassi il risultato cresce tantissimo (e grazie alla fonchia, essendo l’operazione inversa del logar-itmo deve crescere tantissimo).
Nota. Una domanda che può sorgere spontanea è la seguente: che differenza c’è fra l’elevamento a potenza e l’esponenziale? E’ presto detto. L’elevamento a potenza si ha quando la variabile x è alla base, come per esempio x3, mentre nel caso dell’esponenziale la variabile è all’esponente, tipo 2x. Sebbene queste due operazioni siano vincolate dalle stesse regole (tranne qualche dettaglio) le operazioni che rap-presentano sono profondamente diverse.
2.1 Qualche proprietà dell’esponenziale
Vediamo ora le proprietà dell’esponenziale: molte di esse pos-sono essere ricavate direttamente dalle proprietà del logar-itmo. Innanzitutto la base dell’esponenziale deve essere mag-giore o uguale a zero (sebbene quando è uguale a zero bisogna stare attenti). L’esponente invece può essere qualunque nu-mero reale. Abbiamo quindi:
ax−→ a> 0 x ∈ R
Dobbiamo solo stare attenti al caso in cui a = 0. In tal caso abbiamo che per qualunque valore positivo ci mettiamo alla x, il risultato è sempre zero. Infine abbiamo tre situazioni particolari: 00 −→ non de f inito (−a)0−→ non de f inito 1x= 1 −→ ∀x ∈ R
Nota. Con il simbolo ∀ indichiamo qualunque. Sì, siamo pigri quindi non abbiamo lo sbatti di scrivere qualunque in testo, ma usiamo un simbolo adatto.
In altre parole per una base negativa non si definisce l’esponenziale nei numeri reali (è definito nei numeri com-plessi, ma questa è un’altra, bellissima, storia).
Indicate le seguenti regole, possiamo passare a ri-passare le regole (che già conosciamo) per gli esponenti:
Prodotto di potenze con uguale base: aX· aY= aX+Y Quoziente di potenze con uguale base:
aX : aY= aX−Y Potenza di potenza:
(aX)Y = aXY Prodotto di potenze con uguale esponente:
aX· bX= (a · b)X Quoziente di potenze con uguale esponente:
aX: bX= (a : b)X Esponente negativo:
a−X = 1 aX
Giusto per fare qualche esempio:
3x+2· 3x−3 = 3(x+2+x−3)= 32x−1 Oppure:
ex: ex2 = ex−x2 O anche:
(ex)(x−2)= ex(x−2)= ex2−2x
E così via. Come vediamo, le regole si applicano perfetta-mente anche se le potenze sono incognite.
3 Grafici delle funzioni logaritmiche ed
esponenziali
Adesso analizziamo i grafici delle funzioni logaritmiche ed esponenziali, che ci aiuteranno tantissimo nella risoluzione delle equazioni e delle disequazioni.
Prendiamo come riferimento la Figura 1. Il grafico rosso si riferisce al logaritmo naturale, ovvero al logaritmo con base e, il numero di Nepero, che ricordiamo vale circa 2.7. Il grafico presenta un andamento estremamente interessante, in quanto (giustamente) non è definito per x < 0, e quando la x è mi-nore di 1 il logaritmo è negativo (infatti il grafico va sotto l’asse delle x). Notare come per valori della x molto vicini a zero il logaritmo scende in maniera molto rapida per val-ori enormi, ma negativi. Quando x = 1 allora il logaritmo è uguale a 0: questa è una caratteristica fondamentale: il grafico del logaritmo passa sempre per il punto (1, 0). Una volta pas-sato x= 1, il logaritmo cresce molto lentamente e si mantiene sempre positivo.
Possiamo quindi già risolvere una primissima equazione logaritmica:
ln(x)= 0 −→ x = 1
così come possiamo risolvere una primissima dise-quazione logaritmica:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 Logaritmi
Figure 1. Grafici di logaritmi.
Infine, per valori 0 < x < 1 il logaritmo è negativo. Occupiamoci ora del grafico blu. L’unica cosa che cam-bia è la base, che in questo caso è sì positiva, ma è minore di 1. Per questo piccolo cambiamento, il grafico cambia rad-icalmente e si ribalta rispetto all’asse delle x. Questa piccola manovra ci costa 51 anni di studio in più, perché ovviamente cambiano le disequazioni. L’unico punto stabile è che passa ancora per il punto (1, 0).
Notiamo che se x è compreso fra 0 e 1, allora il logaritmo è ora positivo, mentre per x > 1 il logaritmo diventa negativo. La disuguaglianza di prima quindi si ribalta:
log1/3x> 0 −→ x < 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 Esponenziali
Figure 2. Grafici di esponenziali.
Adesso guardiamo la Figura 2. Qui sono riportati due grafici di due esponenziali diversi, e anche qui possiamo vedere sonore differenze fra un esponenziale con base mag-giore di 1 (il grafico rosso) e uno con base minore di 1 (il grafico blu). Notiamo che a differenza del logaritmo, l’esponenziale è sempre positivo e passa sempre per il punto (0, 1) (che, guarda caso, è l’inverso del punto da cui passano i logaritmi). Inoltre, un’altra cosa molto importante, è che
l’esponenziale è sempre definito, in altri termini è definito per ∀x ∈ R.
Riportiamo quindi in un pratico schemino le informazioni appena acquisite:
Per un esponenziale con base maggiore di 1:
Definito per ∀x ∈ R: è sempre crescente (ovvero aumenta sempre).
Per un esponenziale con base minore di 1 (ma comunque pos-itiva):
Definito per ∀x ∈ R: è sempre decrescente (ovvero diminuisce sempre). In altre parole, se la base è maggiore di 1 allora per x sempre più grandi l’esponenziale diventa sempre più grande, mentre se la base è minore di 1 allora per x sem-pre più grandi l’esponenziale diventa semsem-pre più piccolo e si avvicina a zero.
4 Equazioni e disequazioni esponenziali
Adesso abbiamo tutti gli strumenti per risolvere le equazioni e le disequazioni con gli esponenziali e con i logaritmi. Pro-cederemo attraverso una serie di esempi, spiegando i singoli passaggi che andremo a fare.4.1 Equazioni esponenziali
Una strategia che di solito è molto utile è cercare di ridurre tutti gli esponenziali alla stessa base, in tal maniera possiamo agilmente applicare le proprietà e risolvere successivamente l’equazione.
L’equazione proposta è la seguente: 2x+2− 4 · 5x+2= 25 · 5x− 4 · 2x
Cerchiamo di semplificarla notando che 25= 52, mentre 4= 22:
2x+2− 4 · 5x+2= 52· 5x− 22· 2x
Notare che non abbiamo cambiato il termine −4 · 5x+2 per-ché comunque la base è 5 e non otterrei grandi cose. A questo punto applichiamo le proprietà delle potenze (occhio ai pas-saggi, confrontate con l’espressione di prima!):
2x+2− 4 · 5x+2= 5x+2− 2x+2
Portiamo tutti gli esponenziali di 2 a sinistra e tutti gli espo-nenziali di 5 a destra, ovvero:
2x+2+ 2x+2= 5x+2+ 4 · 5x+2
A sinistra abbiamo di fatto due pezzi uguali, quindi possi-amo scrivere:
2 · 2x+2= 5x+2+ 4 · 5x+2
Mentre a destra abbiamo un pezzo più quattro pezzi, ovvero abbiamo in totale cinque pezzi:
2 · 2x+2= 5 · 5x+2
Ma sono tutte moltiplicazioni, quindi possiamo scrivere: 21+x+2= 51+x+2
(ricordiamoci che se non abbiamo nessun esponente vuol dire che è sottointeso 1.) Quindi eseguendo le somme agli esponenti:
2x+3= 5x+3
Adesso dividiamo tutto per 5x+3(così a destra ci rimane 1, che è molto comodo):
2x+3 5x+3 = 1
Magia! Abbiamo una divisione con esponenti uguali! Ma quindi questo significa:
2 5
!x+3 = 1
Adesso dobbiamo cercare di sbloccare quell’esponente. Qual è l’esponente che bisogna dare ad una base affinché sia uguale a 1? Basta guardare il grafico dell’esponenziale e vedere che per l’esponente uguale a 0 allora tutto fa 1. Quindi tutto il nostro esponente deve essere uguale a zero, ovvero:
x+ 3 = 0 Da cui:
x= −3
Un altro procedimento piuttosto carino è la sostituzione di una variabile ausiliaria. Prendiamo per esempio la seguente equazione:
8+ 2x+1= 22x
In questo caso conviene separare il secondo termine in modo da tirare fuori 2x:
8+ 2x· 21= 22x Ovvero:
8+ 2 · 2x= 22x
A questo punto effettuiamo la sostituzione con una vari-abile ausiliaria 2x= t e riscriviamo:
8+ 2t = t2 Ovvero:
0= t2− 2t − 8
Questa è una equazione di secondo grado che possiamo agilmente risolvere, trovando come soluzioni:
t= −2 t= 4
Andiamo quindi a risostituire con 2x= t: 2x= −2 2x= 4
Ed ora rispondiamo alle seguenti domande: qual è l’esponente da dare al 2 per ottenere −2? Ricordiamoci che l’esponenziale è sempre positivo, quindi non può fornire val-ori negativi. La prima sostituzione è impossibile e quindi la scartiamo. La seconda domanda è: qual è l’esponente da dare al 2 per ottenere 4? La risposta è chiaramente 2, in quanto 22= 4. Quindi in definitiva abbiamo:
x= 2 Ed è risolta.
4.2 Disequazioni esponenziali
Proviamo ora a risolvere la seguente disequazione esponen-ziale utilizzando una variabile ausiliaria.
25 1 5 !x + 5 − 2 1 5 !−x ≤ 0
Sostituiamo subito15x= t, ottenendo: 25t+ 5 − 2t−1≤ 0 Ovvero:
25t+ 5 −2 t ≤ 0
Adesso moltiplichiamo tutto per t in modo da toglierci il denominatore (stando bene attenti che t , 0):
25t2+ 5t − 2 ≤ 0
Questa è una comune disequazione di secondo grado, le cui soluzioni associate sono t1 = 15 e t2 = −25. Essendo una parabola con la concavità verso l’alto (coefficiente del termine di secondo grado positivo) e deve essere minore di zero, vuol dire che dobbiamo prendere i valori interni, cioè:
−2 5 ≤ t ≤
1 5
Adesso sostituiamo nuovamente la t, ottenendo: −25 ≤15x 1 5 x ≤15
La prima equazione è sempre verificata, perché un espo-nenziale è sempre maggiore di un numero negativo. Quindi la prima ce la siamo tolta. Occupiamoci della seconda:
1 5
!x ≤1
5
In questo caso abbiamo delle basi uguali, quindi possiamo trasferire la nostra disuguaglianza agli esponenti (infatti se tutto l’esponenziale è minore di un altro esponenziale, allora l’esponente del primo sarà minore del secondo):
x ≤1
Dato che l’esponente a destra è 1. Attenzione solo ad un pic-colo, infimo dettaglio: le basi sono minori di 1! Orrore e dannazione, questo cambia tutto. Ma niente panico, se le basi sono minori di 1, e sufficiente alla fine invertire il segno della disuguaglianza:
x ≥1 Ed ecco fatto.
5 Equazioni e disequazioni logaritmiche
E’ giunto il momento di analizzare qualche equazione e dise-quazione logaritmica. In questo caso bisogna stare però attenti alle condizioni di esistenza, ovvero porre maggiori di zero gli argomenti dei singoli logaritmi.5.1 Equazioni logaritmiche
Prendiamo come esempio la seguente equazione logaritmica: log x − 2 log 3= log(x − 1)
Innanzitutto imponiamo le condizioni di esistenza: x> 0 3 > 0 x −1 > 0
Ovviamente la seconda condizione è verificata, mentre la terza è verificata per x > 1. Come condizione di esistenza si prende la più stringente, che in questo caso è proprio la terza. Deve essere quindi x > 1.
A questo punto cerchiamo di applicare le proprietà dei logaritmi per semplificare l’espressione e ridurre proprio il numero di logaritmi. Intanto possiamo inserire quel 2 come esponente (usiamo l’inverso di una proprietà che abbiamo visto prima, vi ricordate?):
log x − log 32= log(x − 1)
Ma il primo membro è una sottrazione fra i logaritmi, ma sappiamo bene che una sottrazione fra logaritmi può essere scritta come il logaritmo della divisione, ovvero:
log x
9
= log(x − 1)
Ci siamo quasi: se i logaritmi sono uguali, allora lo saranno anche gli argomenti! Possiamo quindi con estrema noncha-lancescrivere:
x 9 = x − 1
Che è una tranquillissima equazione lineare, che ha come soluzione:
x= 9 8
Una rapida controllatina alle condizioni di esistenza ci conferma che tale soluzione è accettabile.
5.2 Disequazioni logaritmiche
Passiamo ora alle disequazioni logaritmiche. Proviamo a ri-solvere la seguente disequazione:
log(x − 3) < 2
Innanzitutto come al solito controlliamo le condizioni di esistenza:
x −3 > 0
Ovvero x > 3. Questa è la nostra condizione di esistenza. Occupiamoci ora della disequazione. Qui sembra esserci un problema, in quanto abbiamo un solo logaritmo. Ma con un abile barbatrucco matematico trovato nei peggiori bar di Caracas possiamo scrivere 2 come log 100. Infatti log 100 fa proprio 2. Quindi:
log(x − 3) < log 100
Passiamo tranquillamente alla disuguaglianza fra gli argo-menti (un po’ come abbiamo fatto con gli esponenziali):
x −3 < 100
Da cui finalmente ricaviamo x < 103. Attenzione però, dobbiamo unire questa soluzione con la condizione di es-istenza, che imponeva x > 3. Conseguentemente:
3 < x < 103
Con questa scrittura ci assicuriamo che le condizioni di es-istenza siano rispettate.
Proviamo infine a risolvere una disequazione logaritmica usando una variabile ausiliaria. Consideriamo la seguente dis-equazione:
2(log3x)2+ 3 log3x −2 < 0
Innanzitutto le condizioni di esistenza, che in questo caso sono facili: x > 0. Detto questo, la sostituzione viene chia-mata a gran furore, infatti è conveniente effettuare log3x= t, ottenendo:
2t2+ 3t − 2 < 0
Questa è una comoda disequazione di secondo grado, che ha come soluzioni associate t1 = 12 e t2 = −2 Poiché è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto e vogliamo le soluzioni negative, prendiamo le soluzioni interne, ovvero:
−2 < t < 1 2 Sostituiamo alla t il nostro logaritmo:
−2 < log3x< 1 2
Di fatto, i numeri a destra e a sinistra ci dicono gli espo-nenti da mettere alla base, ovvero:
3−2< x < 31/2 Ricordiamoci che: 3−2 = 312 =
1
9, mentre gli esponenti frazionari rappresentano le radici, ovvero 31/2 = √3. Quindi in definitiva abbiamo: 1 9 < x < √ 3
6 Conclusioni
Abbiamo fatto una bella carrellata di esempi di disequazioni e di equazioni. A volte i conti sono farraginosi e ci si può perdere nei meandri nascosti della matematica, ma diciamolo, è anche questo il suo bello, ovvero trovare strade sconosciute che conducano al risultato. Le tecniche utilizzate sono piuttosto standard, quindi con un minimo di allenamento entrano rapidamente in testa. Per i primi esercizi conviene aiutarsi con una app che possa fare i grafici, in modo da vedere effettivamente dove sia maggore o minore di un certo valore. Bisogna solo stare attenti agli esponenziali con base minore di 1 e ai logaritmi con base minore di 1, in quanto cambiano tutti i segni delle disuguaglianze. Ma a parte questo dettaglio, la strada risolutiva è più o meno sempre la stessa.
