• Se X `e N (0, 1) e Y `e una Bernoulli di parametro 0.2, indipendenti, allora P (X + Y < 1) vale

Metodi Matematici e Statistici Prova scritta – 4/6/2008

• Se X `e N (0, 1) e Y `e una Bernoulli di parametro 0.2, indipendenti, allora P (X + Y < 1) vale

P (X + Y < 1) = P (X + 1 < 1) · 0.2 + P (X < 1) · 0.8

= 1

2 · 0.2 + Φ (1) · 0.8 = 1

2 · 0.2 + 0.8413 · 0.8 = 0.773 mentre se Y `e N (0, 3) vale

X + Y ∼ N (0, 4) , Φ µ 1

2

¶

= 0.6915

• Calcolare la varianza di una v.a. discreta che assume i valori −1, 0, 1, 2, 3 con ugual probabilit`a:

µ = 1, E £ X ² ¤

= 1 + 1 + 4 + 9

5 = 3, σ ² = 2

• Supponiamo X, Y ∼ P (3). Allora X ² − Y ² ha media 0

mentre E £ e ^X−Y ¤

vale E £

e ^X ¤ E £

e ^−Y ¤

= e ³ ( ^e

⁻¹ )e ³ ( ^e

⁻¹ ) = 26. 01

• Se X `e una v.a. N (5, 4), calcolare P (3 < X < 7)

= Φ (1) − Φ (−1) = 2Φ (1) − 1 = 2 · 0.8413 − 1 = 0.682 e trovare il numero λ tale che P (X < λ) = 0.994

5 + 2 · q 0.994 = 5 + 2 · 2.51 = 10. 02

• Se X 1 , ..., X 100 `e un campione E§√ (0.2), calcolare approssimativamente P (X 1 + ... + X 100 > 600)

= P

µ X 1 + ... + X 100 − 500

10 · 5 > 100 10 · 5

¶

∼ 1 − Φ (2) = 0.0228

• Il 60% delle persone compra in periodo di saldi, il restante no. Il 30% di chi compra in periodo di saldi rinnova le scarpe ogni anno, mentre tra chi non si basa sui saldi, il 50% rinnova le scarpe. Chi commercia nell’ambito delle calzature, su che percentuale di persone pu`o contare ogni anno?

= 0.3 · 0.6 + 0.5 · 0.4 = 0.38

1

• Trovato il campione sperimentale 14, 15, 18, 19, 20, 21, 21, 24, 27, 28, proveniente da una gaussiana di deviazione standard 3, quale delle seguenti affermazioni sulla media incognita µ `e vera al 95%?

|µ − 20.7| ≤ 1. 859 (essendo 3 · 1.96

√ 10 = 1. 859)

• Ci dicono che un certo treno percorre una certa tratta in 45 minuti in media, con deviazione pari a 2 minuti (che non mettiamo in dubbio). A priori `e chiaro che il vero tempo medio o `e quello dichiarato o `e superiore.

Controlliamo per 10 giorni e troviamo una media sperimentale pari a 46 minuti. Calcolare il valore p.

= 1 − Φ µ 1

2

√ 10 = 1. 58

¶

= 1 − 0.9429 = 0.0571

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• Consideriamo il problema della numerosit`a necessaria alla stima della me- dia di una v.a. gaussiana, al 95%, volendo un errore relativo non supe- riore al 10%. Dare la formula astratta per la numerosit`a e discuterne l’applicabilit`a.

Soluzione: errore relativo: δ = ^σ·1.96 _µ ^√ _n = 0.1; numerosit`a: minimo intero n ≥

³ σ·1.96 µ·0.1

´ ₂

; applicabile solo se si hanno delle informazioni a priori su µ e σ, ottenibili ad esempio con un piccolo campionamento.

• Un antibiotico promette la guarigione in 7 giorni. Si vuole giudicare se la casa farmaceutica dichiara il vero. Discutere molto sinteticamente cosa fareste, sottolineando i risvolti meno banali del problema piuttosto che la parte standard.

Soluzione: eseguiamo un test per la media, cio`e sottoponiamo un certo numero n di persone al trattamento antibiotico e controlliamo in quanti giorni guariscono: l’ipotesi nulla `e che la media sia 7. Sembra pi` u adatto alla natura del problema un test unilaterale, anche se non possiamo es- cludere la ragionevolezza di un test unilaterale. Unilaterale: se fissiamo α, controlliamo se z > q 1−α , e se questo accade rifiutiamo l’ipotesi che bastino 7 giorni per la guarigione; in quest’ottica, trattandosi di medici- nali, pu`o essere indicato un α molto piccolo; altrimenti, non fissiamo α e calcoliamo il p dei dati, p = 1 − Φ (z): se risulta molto piccolo siamo molto sicuri che il tempo medio di guarigione `e superiore a 7 giorni. Infine, dato che il problema `e formulato come DOE, si pu`o discutere la questione della determinazione del numero di esperimenti necessari per avere una certa potenza.

• Un benzinaio riceve settimanalmente una richiesta di benzina pari a X litri, con X aleatorio. All’inizio della sua attivit`a, non sapendo che richi- esta ci sar`a, richiede dal fornitore una riserva massima con doppio riforn- imento settimanale (cosa che ha un costo alto). Passato un po’ di tempo,

2

quando la sua presenza sul mercato `e diventata un fatto noto e le cose si sono assestate, registra per n settimane le richieste trovando una richiesta media di 5247 litri con deviazione 284. Ora pu`o chiedere al fornitore un unico rifornimento settimanale pi` u mirato e meno costoso. Quale? Se mancano dei dati, fornirli con buon senso.

Soluzione: bisogna decidere che percentuale di volte (settimane) accetta di non accontentare tutta la clientela. Supponiamo sia l’1%. Quindi deve avere settimanalmente un rifornimento pari a

λ = µ + σq 0.99

dove µ e σ sono media e deviazione della quantit`a settimanale di benzina richiesta. In modo grossolano user`a la formula

λ = 5247 + 284 · q 0.99 .

Altrimenti, se vuole un risultato di cui si fidi ad es. al 90%, trover`a che al 90%

µ = 5247 ± 284 · q √ 0.95

n quindi per stare nel sicuro prender`a

λ = 5247 + 284 · q 0.95

√ n + 284 · q _0.99 .

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