Value at Risk tecnica di asset allocation per la misurazione dei rischi di mercato: ANALISI SIMULATIVA

Università di Pisa

Dipartimento di Economia e Management

Corso di Laurea Magistrale in Banca, Finanza Aziendale e

Mercati Finanziari

Corporate, Finance and Banking

TESI DI LAUREA

Value at Risk

tecnica di asset allocation per la misurazione dei

rischi di mercato:

ANALISI SIMULATIVA

Relatore Candidato

Prof. Emanuele VANNUCCI Caterina BELCASTRO

2

Sommario

Introduzione ... 6

Capitolo 1 ... 10

Il Comitato di Basilea e i Rischi di Mercato ... 10

1.1 Premessa ... 10

1.2 Rischi di Mercato: evoluzione normativa ... 11

Basilea 1 ... 11

Basilea 2 ... 14

Basilea 2.5 in attesa di Basilea 3 ... 16

Basilea 3 ... 17

1.3 Prospettive future ... 19

Capitolo 2 ... 20

Il modello Value at risk (VaR) ... 20

2.1 Il modello RiskMetricsTM ... 20

2.2 Definizione del modello ... 21

2.3 L’approccio varianze-covarianze ... 23

2.4 Limiti dell’approccio varianze-covarianze... 27

2.5 I modelli di simulazione non-parametrici ... 27

Le simulazioni storiche ... 28

Le simulazioni Monte Carlo ... 31

2.6 Prove di stress ... 33

Capitolo 3 ... 35

Analisi Simulativa ... 35

3.1 Premessa ... 35

3.2 Impostazione degli algoritmi numerici ... 36

Giornata t-1 ... 38

Giornate t=60:1 ... 40

3.3 Conclusioni della simulazione ... 41

Capitolo 4 ... 44

Le caratteristiche del Valore a Rischio ... 44

4.1 Premessa ... 44

4.2 Implementazione dei modelli ... 44

4.3 Asset allocation ... 46

3

4.5 L’approccio prescelto ... 57

Simulazione storica con approccio parametrico e non parametrico ... 57

Simulazione Montecarlo ... 63

4.6 Sub-additività ... 66

4.7 La portata della perdita... 71

Capitolo 5 ... 73

L’Expected Shortfall ... 73

5.1 Una nuova misura di rischio ... 73

5.2 La portata della perdita... 74

5.3 La sub-additività ... 77

5.4 Finalità del VaR e ES ... 80

5.6 L’evoluzione della disciplina bancaria ... 82

Conclusioni ... 86 Appendice 1 ... 89 Appendice 2 ... 116 Appendice 3 ... 122 Bibliografia ... 125 Pubblicazioni ... 125 Sitografia ... 128 Ringraziamenti ... 129

6

Introduzione

Il presente lavoro ha lo scopo di evidenziare, attraverso una analisi simulativa, le caratteristiche di VaR e Expected Shortfall. Misure di rischio che nascono nell’ambito delle tecniche di asset allocation, di supporto al risk management per una ottimale allocazione delle risorse finanziarie. Il VaR viene adottato dalle autorità di vigilanza bancarie, in ambito prudenziale, per il calcolo dei requisiti patrimoniali a fronte del rischio di mercato.

L’analisi parte dalla disciplina bancaria evidenziando i motivi per cui, anche a livello prudenziale, vengono considerati validi i modelli interni di misurazione del rischio e successivamente pone in analisi le caratteristiche di questi strumenti di supporto nell’allocazione delle risorse finanziarie.

Il Rischio di Mercato è definito dallo stesso Comitato come il rischio

connesso ad una variazione del prezzo di mercato di uno strumento finanziario a seguito di variazioni inattese nei fattori di mercato.

Le banche utilizzavano tecniche di misurazione proprie per il rischio di mercato, i cosiddetti modelli interni, maggiormente risk sensitive rispetto ai modelli predisposti in ambito prudenziale, quindi molto più accurati. Nel 1996, un emendamento a Basilea 1, adotta i modelli interni come modelli alternativi per la misurazione del rischio di mercato, concedendo alle banche la possibilità di avvalersi di propri modelli per il calcolo dei requisiti patrimoniali, rispettando una serie di requisiti qualitativi e quantitativi, previa autorizzazione da parte delle autorità di vigilanza.

L’analisi prende in considerazione le caratteristiche di questi due strumenti, Value at Risk ed Expected Shortfall, attraverso una serie di portafogli ipotetici che ne evidenziano pregi e difetti. Vengono presi in considerazione una serie di titoli, rappresentativi dei vari mercati e dei vari settori economici, attraverso una serie di simulazioni vengono analizzati i risultati su VaR ed ES.

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Le critiche poste nei confronti dei modelli VaR derivano dalla mancata comprensione della finalità dello strumento, che nasce come uno modello ‘guida’ per il risk management nelle tecniche di asset allocation, e non come uno strumento meccanico in grado di evitare il fallimento nelle attività di mercato mobiliare. Le analisi simulative effettuate evidenziano come in molti casi il VaR resti uno strumento valido per il supporto del risk management e in altri casi, come questo strumento possa essere integrato da un ulteriore tecnica di asset allocation quale l’Expected Shortfall, in grado di colmare le lacune dei modelli VaR.

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Capitolo 1

Il Comitato di Basilea e i Rischi di Mercato

1.1 Premessa

Il Comitato di Basilea per la Vigilanza Bancaria (BCBS – Basel Committee on Banking Supervision) è un’organizzazione internazionale istituita nel 1974 dai Governatori delle Banche Centrali dei dieci paesi più industrializzati a livello globale (G10) e dalle Autorità che hanno la responsabilità in materia di Vigilanza Prudenziale nel settore bancario dei singoli paesi stessi. Attualmente aderiscono al Comitato i rappresentanti di più di 20 paesi. Esso ha sede a Basilea (Svizzera) ed è parte della Banca dei Regolamenti Internazionali (BRI).

Lo Statuto del Comitato di Basilea per la vigilanza bancaria recita: “Esso fornisce una sede per la cooperazione in materia di vigilanza bancaria. Il suo mandato consiste nel rafforzare la regolamentazione, la vigilanza e le prassi bancarie a livello mondiale allo scopo di accrescere la stabilità finanziaria1”. Obiettivo che fa parte di un più ampio progetto: “l’omogeneità della normativa in materia di Vigilanza bancaria in un sistema finanziario sempre più globalizzato2_”.

Il Comitato non possiede capacità giuridica, per adempiere al proprio mandato il BCBS si affida ai propri membri, si attende che gli standard, le direttive e gli accordi per la regolamentazione prudenziale e la vigilanza sulle banche vengano recepiti attraverso il processo normativo di ciascuna giurisdizione entro i termini prestabiliti dal Comitato stesso. Riguardo alle politiche proposte, il BCBS sollecita il parere di tutte le parti interessate (l’industria bancaria e finanziaria è

1_{Statuto del Comitato di Basilea per la vigilanza bancaria, pag. 1, consultabile sul sito internet della BRI (www.bis.org).} 2_{Claudio Orsini, “Da Basilea 1 a Basilea 3”, in Finanza d’Impresa e Consulenzadi direzione, pag.3}

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una delle parti più coinvolte e più influenti), avviando una procedura di consultazione che prevede l’invito pubblico a far pervenire per iscritto al Segretario del BCBS, entro 90 giorni, le osservazioni sulle stesse.

1.2 Rischi di Mercato: evoluzione normativa

Basilea 1

Nel luglio del 1988 il Comitato conclude “l’Accordo di Basilea”, meglio noto come Basilea 1, esso fissava i requisiti patrimoniali minimi a fronte del rischio di credito, considerato, rispetto al contesto dell’epoca, la principale fattispecie di rischio a cui erano esposte le istituzioni bancarie. Si riconosceva, comunque, che lo schema dei rischi a cui si esponeva l’intermediario doveva essere ampliato, al fine di tenere conto del rischio di mercato. I cambiamenti repentini nei mercati bancari e finanziari non fanno altro che avvalorare il pensiero del Comitato. Prima del 1988 vigevano contesti regolamentari molto differenti tra i vari Paesi, il tutto non faceva altro che creare disparità in termini concorrenziali e di stabilità. Il contesto era molto variegato con intermediari europei molto concentrati sulla attività creditizia tradizionale ed intermediari dell’oltreoceano che operavano già in un contesto di mercati finanziari. Basilea 1 non fa altro che definire una prima base di regolamentazione omogenea partendo da una linea comune, il Rischio di Credito, pur nella consapevolezza che il lavoro non fosse completo e che il progetto di armonizzazione regolamentare fosse ancora molto lontano.

Il noto requisito patrimoniale minimo introdotto da Basilea 1 è il seguente:

𝑃𝑉

∑𝑛_𝑖=1𝑅𝑤_𝑖𝐴_𝑖 ≥ 8%

PV: Patrimonio di Vigilanza;

𝐴_𝑖: Attività della banca esposte al rischio di credito;

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Il seguente lavoro non è destinato a rimarcare le criticità dei primi modelli di misurazione del rischio di credito, basti sapere che all’inizio i metodi di misurazione erano molto blandi e anche esso ha subito un lavoro di affinamento non indifferente ed in continua evoluzione, così come tutta la disciplina bancaria, la quale ha l’obiettivo di restare al passo con l’industria finanziaria.

Nell’ Aprile del 1993 emergono le prime proposte di consultazione del Comitato in merito al trattamento prudenziale dei rischi di mercato.

Il Rischio di Mercato è definito dallo stesso Comitato come il rischio connesso a una variazione del prezzo di mercato di uno strumento finanziario a seguito di variazione inattese nei fattori di mercato (prezzi azionari, tassi di interesse, tassi di cambio e loro volatilità). Tale rischio contraddistingue l’attività di negoziazione in titoli mobiliari svolta dalle banche, infatti viene spesso ad identificare l’attività di

trading, ma riguarda allo stesso modo le posizioni in valuta, in titoli

obbligazionari, così come tutte le attività e passività scambiate dalle banche che potrebbero subire gli effetti delle variazioni dei suddetti fattori di mercato. Non è quindi limitato al trading book, a cui si riconducono le posizioni di breve periodo assunte con la finalità speculativa derivante da variazioni nei prezzi di mercato.

Gli emendamenti del 1993 introducono le seguenti novità rilevanti:

 I requisiti patrimoniali per i titoli di debito e i titoli di capitale si applicano al valore corrente di mercato delle poste nel trading book. Per portafoglio di negoziazione (trading book) si intendono le posizioni in strumenti finanziari assunte in proprio con l’intento di trarre beneficio nel breve periodo da differenze effettive o attese fra prezzo di acquisto e di vendita;

 Le metodologie relative ai titoli di debito e di capitale sono basate sul cosiddetto “approccio a blocchi” (building block approch), che tratta separatamente il rischio specifico e il rischio generale di mercato;

 Le novità riguardano il rischio di posizione in cambi, titoli di debito e titoli di capitale, ma non il rischio di controparte o il rischio di regolamento.

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 Il coefficiente patrimoniale complessivo è dato da: i già prescritti requisiti a fronte del rischio di credito, i requisiti per il portafoglio di negoziazione in titoli di debito e di capitale e i requisiti per il rischio di cambio.

𝑃𝑉

∑𝑛_𝑖=1𝑅𝑤_𝑖𝐴_𝑖 ≥ 8%

PV: Patrimonio di Vigilanza;

𝐴_𝑖: Attività della banca esposte al rischio di credito e di MERCATO;

𝑅𝑤_𝑖: Fattori di ponderazione per il rischio di credito e di MERCATO;

Nel 1996 un ulteriore emendamento a Basilea 1 introduce una novità importante, per la misurazione dei rischi di mercato sarà consentita, subordinatamente all’approvazione delle autorità di vigilanza nazionali, la scelta tra due approcci metodologici: il metodo standard (building block approch), usando gli schemi di misurazione prescritti dalla normativa, ed una metodologia alternativa che consente alle banche di impiegare misure di rischio ottenute dai propri modelli interni, purché siano soddisfatti una serie di requisiti qualitativi e quantitativi che riguardano non solo il modello stesso ma anche il sistema organizzativo e di controllo interno dell’apparato bancario.

Da quanto emerge dalla proposta di consultazione dell’Aprile del 1995, il Comitato recepisce una serie di comuni osservazioni di fondo pervenute dal settore bancario in merito alle proposte del 1993 sul modello di misurazione del rischio di mercato. La proposta di un modello di misurazione standardizzato non incentivava gli operatori a sviluppare adeguate tecniche di misurazione interne della suddetta metodologia di rischio, proprio perché non riconosciute adeguate dalle Autorità ai fini della vigilanza. Inoltre la metodologia proposta non teneva conto delle eventuali correlazioni tra gli strumenti inseriti nei portafogli bancari, non teneva quindi conto dell’effetto della diversificazione. Le banche utilizzavano già tecniche di misurazione del rischio di mercato, i cosiddetti modelli interni, maggiormente risk sensitive, quindi molto più accurati, le banche si trovavano difronte ad una duplicazione. Calcolavano il rischio in due modi diversi, con i

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modelli interni a fine gestionale, con metodologie evolute, più accurate, maggiormente risk sensitive, che prescrivevano una quantità inferiore di capitale da accantonare a fronte del rischio, e l’ulteriore costo da dover sopportare nel calcolare la stessa tipologia di rischio con uno strumento standard, meno accurato, che perveniva a capitali di copertura più elevati, proprio perché prudenziale, ai fini della vigilanza. Il Comitato però, non scoraggia “il perseguimento di sane pratiche di mercato3”, nel 1994 l’unità operativa, creata appositamente dal Comitato, al fine di esaminare i modelli interni, effettua una serie di test per valutare l’adeguatezza dei modelli proposti. Come già accennato, il Comitato ammette l’impiego di modelli interni a condizione che siano rispettati i criteri qualitativi e quantitativi dallo stesso enunciati.

I criteri qualitativi riguardano la creazione di una unità interna apposita e indipendente, che l’alta direzione sia attivamente coinvolta nel processo di misurazione e che questo sia integrato nella gestione giornaliera del rischio, che allo stesso tempo vengano effettuate delle adeguate prove di stress.

Nei criteri quantitativi è prescritto che il “valore a rischio” sia calcolato su base giornaliera con intervallo di confidenza al 99% ed un periodo di detenzione minimo di dieci giorni operativi, un periodo di osservazione storica di almeno un anno. Le banche possono individuare correlazioni empiriche entro le categorie generali di rischio ma il VaR misurato per le varie categorie di rischio viene aggregato con una sommatoria semplice. Il requisito patrimoniale diventa il massimo tra il VaR del giorno precedente e la media dei VaR giornalieri nei precedenti sessanta giorni moltiplicata per un fattore stabilito dall’Autorità di vigilanza nazionale in base al giudizio sulla qualità del sistema di gestione assegnato dall’Autorità alla banca stessa.

Basilea 2

Il Comitato continua i suoi lavori, il contesto internazionale cambia, abbiamo anche la più grossa crisi finanziaria internazionale annunciata, con il

3 _{PROPOSTA DI PUBBLICAZIONE DI UN SUPPLEMENTO ALL’ACCORDO DI BASILEA SUI REQUISITI}

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crollo di Lehman Brothers il 15 settembre 2008. Nel giugno del 1999 il Comitato pubblica il primo documento di consultazione aperto alle osservazioni dei singoli paesi, associazioni bancarie e studiosi, che definisce il nuovo schema di

regolamentazione del patrimonio: BASILEA 2. Il Comitato approva la versione

definitiva dell’Accordo il 28 Giugno del 2004 il quale entra in vigore in Italia dall’1 Gennaio 2008. Viene osservato come il lasso di tempo tra l’entrata in vigore del nuovo Accordo e la proclamazione ufficiale della crisi finanziaria sia molto breve. La crisi evidenzia infatti quanto fosse inappropriata e poco prescrittiva la regolamentazione prudenziale, è per queste ragioni che il Comitato si trova a dover avviare i lavori per un ulteriore accordo.

Basilea 2 lascia sostanzialmente inalterati i criteri di misurazione dell’esposizione al rischio di mercato, contemplando la necessità di dover integrare ulteriormente il framework regolamentare per consentire un trattamento più omogeneo del portafoglio bancario e di quello di negoziazione.

Gli studiosi si riferiscono alle misure rilasciate nel luglio 2009 col nome di Basilea 2.5, proprio per la sua portata. Basilea 2 entra in vigore nel gennaio 2008 e nel luglio 2008 il comitato pubblica un nuovo Consultative document: “Proposed

revisions to the Basel II market risk framework”.

“Sin dal 1996 il regime di ponderazione per il rischio adottato dal Comitato

di Basilea si basa sulla distinzione tra trading e banking book. Le ponderazioni applicate ai titoli detenuti nel trading book sono state per molto tempo meno severe, ipotizzando che essi potessero essere facilmente venduti o coperti. La crisi finanziaria ha reso evidente che le banche avevano dichiarato intenzioni di trading su strumenti che alla prova dei fatti si sono rivelati difficili da dismettere con rapidità. Le regole di Basilea 2.5 sono state sviluppate nel 2009 con lo specifico scopo di avvicinare le ponderazione sulle posizioni di trading a quelle di banking”,

Giovanni Pepe aprile 20134_{. Ed ancora “Analizzando alcuni portafogli ipotetici, si}

dimostra che le nuove regole hanno mancato l'obiettivo, limitandosi a ribaltare gli

4_{N. 159 - Basilea 2.5: benefici potenziali ed effetti non intenzionali, Giovanni Pepe aprile 2013, consultabile sul sito}

16 incentivi all'allocazione delle posizioni. Una banca che impiega i modelli interni può ora conseguire un importante risparmio patrimoniale allocando i propri titoli nel banking book, indipendentemente dall'effettiva intenzione e capacità di detenerli sino a scadenza. La convenienza di tale scelta è più pronunciata per investimenti che accentuano il grado di concentrazione del trading book, come

spesso avviene per leesposizioni verso il governo del Paese nel quale le banche

sono insediate. In questi casi, inoltre, i requisiti di capitale del trading book sono esposti a forti oscillazioni indotte da cambiamenti dei rating”. Da cui si evince

l’ulteriore inadeguatezza del contesto regolamentare nonostante Basilea 2.5.

Basilea 2.5 in attesa di Basilea 3

Con la crisi del 2008 si manifestano forti perdite sulle posizioni del trading book di numerose banche attive a livello internazionale, il che favorisce il propagarsi della crisi finanziaria. Le cause di tale fenomeno sono da ricercarsi nell’improvvisa riduzione della liquidità sui mercatati finanziari dovuta alla ridotta attenzione mostrata nei confronti del rischio di credito. Il rischio di mercato si lega ad altri rischi, il rischio di default, il rischio di migrazione, il tutto connesso agli strumenti detenuti nei trading book delle banche, spesso derivanti da attività di cartolarizzazione, appunto, questa, genera la mancata attenzione al rischio di credito, la convinzione di avere un mercato estremamente liquido che potesse assorbire qualsiasi prodotto cartolarizzato. L’arbitraggio regolamentare vigente nel 2008 fa sì che gli intermediari potessero collocare le attività di natura creditizia nel trading book grazie al minore assorbimento di patrimonio prescritto dalla regolamentazione. Viene evidenziata, quindi, l’inadeguatezza del framework regolamentare a fronte dei rischi di mercato, in particolar modo vengono messi sotto accusa i modelli interni VaR, con le loro criticità (l’uso di serie storiche recenti, la normalità delle distribuzioni).

Per quanto riguarda i modelli interni, le novità del 2009, aggiornate poi nel 2010 e nel 2011, sono finalizzate ad eliminare il contesto di arbitraggio

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regolamentare introducendo l’IRC (Incremental Risk Charge), requisito addizionale per il rischio specifico delle posizioni detenute nel trading book, e lo

stressed-VaR, un requisito di capitale in condizione di stress acuto, calcolato

considerando un periodo di forti tensioni finanziare di almeno un anno. Inoltre, i prodotti derivanti da cartolarizzazioni posizionati nel trading book vengono assoggettati ai requisiti standard previsti per il banking book.

La cartolarizzazione è uno strumento che permette di rendere maggiormente liquidi attivi creditizi tradizionali, come i mutui. Questa tecnologia permette di finanziare alcuni settori dell’economia non liquidi. Il rischio legato a questi prodotti, veniva però desunto molto spesso dalle agenzie di rating sulla base dell’affidabilità dei pool creditizi sottostanti. I rischi di questi prodotti venivano misurati attraverso modelli VaR e quando non erano presenti serie storiche adeguate, questi venivano mappati sulla base di titoli aventi meriti di credito molto elevati. Da qui è derivata l’inadeguatezza del binomio rischio-rendimento, legato a questo tipo di prodotto, inoltre, la forte domanda di prodotti strutturati, teoricamente a basso rischio, ha alimentato la crescente distribuzione di mutui, incentivata appunto dalla possibilità della successiva cartolarizzazione, con inadeguate valutazioni di merito creditizio sottostante. Alla fine del 2006, le notizie del deterioramento dei cash flow derivanti dai mutui di qualità inferiore, ci trascinano nella crisi dei mutui subprime portando con se anche quelli che erano i mutui in bonis, con un collasso generalizzato dei prezzi. A questo punto sono proprio le banche più evolute, che operano maggiormente nel mercato finanziario, che detengono un abbondante portafoglio di trading, e che hanno modelli avanzati di misurazione del rischio, che subiscono le più grosse perdite. Da qui l’accusa ai modelli interni VaR, e alle prove di stress poco accurate fatte sugli stessi.

Basilea 3

Il 27 Giugno 2013 avviene la pubblicazione della IV Direttiva e del Regolamento sulla GU dell’UE: la Capital Requirement Regulation – CRR –

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Regolamento (UE) n. 575/2013, che disciplina i temi di vigilanza prudenziale del Primo Pilastro e le regole sull’informativa al pubblico (Terzo Pilastro) con Diretta efficacia negli Stati membri; la Capital Requirement Directive – CRD IV – Direttiva 2013/36/UE, che riguarda, le condizioni per l'accesso all'attività bancaria, la libertà di stabilimento e la libera prestazione di servizi, il processo di controllo prudenziale, le riserve patrimoniali addizionali con previsto recepimento da parte degli ordinamenti nazionali. Per l’Italia, il tutto confluisce nella Circolare 285 del 17 Dicembre 2013 «Disposizioni di vigilanza per le banche» che entrata in vigore il 1°Gennaio 2014, con totale implementazione prevista per il 2019.

Il requisito da soddisfare, prescritto dalla attuale disciplina, a fronte del rischio di mercato per le istituzioni che adottano il modello interno, è dato dalla somma:

 del valore più elevato tra la misura del VaR del giorno precedente (𝑉𝑎𝑅_𝑡−1) e la media delle misure del VaR giornaliero calcolata nei 60 gg operativi precedenti (𝑉𝑎𝑅_𝑎𝑣𝑔) moltiplicata per il fattore moltiplicativo assegnato alla banca;

 il valore più elevato tra: l'ultima misura disponibile del VaR in condizioni di stress (𝑠𝑉𝑎𝑅_𝑡−1 ) e la media delle misure del VaR in condizioni di stress calcolata nei 60 gg. operativi precedenti (𝑠𝑉𝑎𝑅_𝑎𝑣𝑔) moltiplicata per il fattore moltiplicativo assegnato alla banca.

CRR- Art. 3655_{: calcolo della misura del VaR su base giornaliera; intervallo di}

confidenza al 99° percentile; periodo di detenzione di 10 gg. (anche periodi più brevi, purché esista una metodologia adeguata, riesaminata periodicamente); periodo storico di osservazione di almeno 1y, tranne nel caso in cui un periodo di osservazione più breve sia giustificato da un aumento improvviso e significativo della volatilità dei prezzi; serie di dati aggiornate con frequenza mensile… L'ente calcola poi, almeno settimanalmente, un VaR in condizioni di stress del portafoglio

5 _{Regolamento (UE) n. 575/2013, art. 365}

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corrente, con parametri immessi nel modello del VaR calibrati su dati storici per un periodo continuato di 12 mesi di notevole stress finanziario pertinente per il portafoglio dell'ente. La scelta dei dati storici è soggetta ad un riesame almeno annuale da parte dell'ente, che ne notifica i risultati alle autorità competenti.

1.3 Prospettive future

È evidente come la novità del nuovo framework regolamentare sia lo stressed-VaR proprio a causa delle accuse mosse ai modelli VaR, incapaci di prevedere le prospettive future, serie storiche troppo brevi, distribuzioni di probabilità incapaci di cogliere eventi estremi, sono accusati quindi della mancata segnalazione dell’aumento improvviso del rischio. Tra i working papers del Comitato di Basilea si evidenzia la possibilità che la misura del VaR possa essere sostituita attraverso una misura con maggiori caratteristiche di coerenza: l’Expected Shortfall.

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Capitolo 2

Il modello Value at risk (VaR)

2.1 Il modello RiskMetricsTM

Una delle prime istituzioni a sviluppare un modello del “valore a rischio” ed a renderlo pubblico è stata la banca statunitense J.P. Morgan, con il modello RiskMetricsTM_{, reso pubblico da J.P. Morgan nel 1995. Il Presidente della J.P.}

Morgan chiedeva alle 16.15 di ogni giorno una informazione sintetica sui rischi di mercato assunti dall’intera banca nei diversi segmenti di mercato (azionario, obbligazionario, ecc…) e nelle varie aree geografiche di operatività. Il modello ebbe così tanto successo così che vengono di seguito introdotti i modelli VaR, dalla metà degli anni Ottanta, dalle principali banche commerciali statunitensi.

Il modello VaR cerca di dare risposta al seguente quesito: “Qual è la perdita

massima che potrebbe essere subita nel corso di un determinato orizzonte temporale, tale che vi sia una probabilità molto bassa, per esempio pari all’1%,

che la perdita effettiva risulti superiore a tale importo?6_”.

Quindi un modello VaR si caratterizza per tre elementi fondamentali:

- la massima perdita potenziale che una posizione o un portafoglio può subire;

- con un certo livello di confidenza; - in un determinato orizzonte temporale.

21

2.2 Definizione del modello

Il Value at Risk (VaR) indica la perdita peggiore a cui è possibile andare in contro, in condizioni di mercato normali, dato un certo livello di confidenza, in un certo intervallo di tempo

t

Ad esempio, se il livello di confidenza è pari al 95% ed il periodo di detenzione è di un anno, un VaR di 100 euro indica che, detenendo il portafoglio inalterato per il successivo anno, la massima perdita che si potrebbe sopportare non sarà maggiore a 100 euro, con il 95% di probabilità.

Statisticamente si tratta del quantile

q

α

22

Il VaR rappresenta una misura di tipo probabilistico, si limita a stabilire la probabilità che la perdita effettiva risulti superiore allo stesso VaR, ed assume valori diversi in corrispondenza di differenti livelli di confidenza.

Pr(𝐿 > 𝑉𝑎𝑅) = 1 − 𝛼

Con:

Pr= probabilità; L= loss;

α= intervallo di confidenza;

q= 1- α= quantile corrispondente al livello di confidenza.

Il VaR al livello α è il quantile qα tale che Pr(L<qα) = α.

Esistono diversi approcci per la misurazione del rischio attraverso il

Value

at Risk , distinti in due macro categorie, approcci parametrici e approcci

non-parametrici.

L’approccio parametrico per eccellenza è il modello varianze-covarianze, in questo modello il rischio viene misurato sulla base della sensibilità della posizione a variazioni, volatilità e correlazione dei fattori di mercato. Necessita l’assunzione dell’ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti dei fattori di mercato, per questo motivo è utilizzato in presenza di portafogli lineari (composti, ad esempio, da obbligazioni). È il più diffuso, è quello a cui si ispira il RiskMetricsTM, e quindi tutto il seguito di banche commerciali che da esso hanno preso ispirazione.

L’approccio non-parametrico si basa su tecniche di simulazione, generalmente in una logica full-valuation7. I metodi principali di misurazione dei rischi appartenenti a questa categoria sono quelli che utilizzano le simulazioni storiche, le simulazioni Monte Carlo e le prove di stress.

7 _{La stima delle potenziali variazioni del valore di mercato, di singole posizioni o portafogli, causati da}

variazioni di fattori di mercato, non avviene attraverso l’utilizzo di coefficienti di sensibilità, piuttosto si rivaluta la posizione alle nuove condizioni di mercato.

23

Una differenza da rimarcare tra i due metodi simulativi riguarda il criterio di determinazione del livello di confidenza desiderato. Nel caso delle simulazioni il risultato è ottenuto “tagliando” la distribuzione effettiva dei profitti/perdite isolando il quantile/percentile desiderato; nell’approccio varianze-covarianze il VaR corrispondente al livello di confidenza prescelto si basa sull’ipotesi di

normalità delle distribuzioni.

2.3 L’approccio varianze-covarianze

L’approccio varianze-covarianze ha il vantaggio della semplicità rispetto agli altri metodi, una semplicità che non si evidenzia dal punto di vista concettuale, piuttosto dall’onerosità dei calcoli, per tale motivo è l’approccio più sviluppato dall’industria dei software ed è quello che si è più diffuso tra le banche anglosassoni grazie al metodo RiskMetricTM_{. Ha però allo stesso tempo lo}

svantaggio dell’assunzione dell’ipotesi della distribuzione normale che fa in modo che non possa essere adattato a qualsiasi posizione.

Data una variabile casuale X, la funzione che fa corrispondere ai valori di x, le probabilità cumulate Pr (X ≤ x) viene detta funzione di ripartizione8, è indicata con F(X) ed è così definita:

La funzione di ripartizione è definita sia per le variabili casuali discrete che per le variabili casuali continue.

Proprietà della funzione di ripartizione: 1.

2.

24

3. 𝑭𝒙 è monotona non crescente, ossia: 𝒙_𝟏 < 𝒙_𝟐 ⇒ 𝑭𝒙(𝒙_𝟏) ≤ 𝑭𝒙(𝒙_𝟐)

4. dunque, la funzione di ripartizione

consente di stabilire la probabilità che la variabile casuale semplice X assuma valori compresi in intervalli di tipo , dove

Avremo, quindi, dove è la funzione di

densità della variabile casuale continua X.

Nel caso di variabile aleatoria discreta possiamo utilizzare la rappresentazione dei dati tramite una tabella:

Dove x1, x2, x3, ..., xn sono i valori della variabile casuale discreta X con pi ≥ 0;

pi = Pr (X=xi);

.

25

dove è la funzione della variabile casuale discreta X.

Avremo:

Partendo a titolo esemplificativo, il grafico della funzione di ripartizione del lancio di un dado non truccato è la seguente:

La probabilità che X=3 sarà: Pr (X = 3) = P (X ≤ 3) - P(x < 3)= F(3) – F(2) = 3/6 – 2/6 =1/6. In termini di VaR (1/6) questo risulterà uguale a 3, dovendo rispettare le seguenti definizioni:

26

VaR=xi se:

Pr (x < xi) ≤ α; e Pr (x ≤ xi) > α

Ritornando al modello di misurazione del rischio, applicando le proprietà matematiche, l’intervallo di confidenza prescelto indica il grado di avversione al rischio dell’istituzione finanziaria e quindi il livello di protezione che si vuole ottenere. L’approccio in esame si basa sull’ipotesi che i prezzi siano distribuiti secondo una log-normale. La distribuzione normale si caratterizza per due soli parametri: la media e la deviazione standard:

𝑓(𝑥) = 1

√2𝜋𝜎exp⁡[− ( 1

2𝜎2) × (𝑥 − 𝜇) 2_]

f(x) rappresenta la funzione di densità, µ è la media e 𝜎 è la deviazione standard,

utilizzo f(x) per calcolare la probabilità che la variabile considerata (x) assuma un valore compreso in un dato intervallo. A tal fine si ricorre al calcolo dell’integrale della funzione in corrispondenza dell’intervallo prescelto.

Ad esempio, per conoscere la probabilità che il rendimento della posizione considerata si mantenga nell’intervallo (0, qα), imposterò il seguente integrale:

∫ 𝑓(𝑥)(𝑡)𝑑𝑡 = 𝛼 𝑞𝛼

0 Da cui: Pr(St < α) = 1-q.

Tra le fasi più critiche di un modello VaR abbiamo la scelta dell’intervallo di confidenza e la scelta dell’orizzonte temporale di riferimento. Maggiore è l’intervallo di confidenza, maggiore risulta essere il valore a rischio, maggiore sarà l’avversione al rischio della singola istituzione finanziaria e il grado di copertura necessario. La scelta di un orizzonte temporale più prolungato, conduce ad una misura di perdita più elevata, nella scelta dell’orizzonte temporale da considerare è necessario tenere in considerazione il grado di liquidità del mercato di riferimento della posizione, quindi il periodo di tempo necessario per poter

27

chiudere la posizione. Se consideriamo invece il punto di vista soggettivo, si andrà a considerare l’holding period, il periodo di detenzione della posizione previsto dal singolo soggetto detentore.

2.4 Limiti dell’approccio varianze-covarianze

L’approccio in questione risente del limite implicito per cui la variabile sia caratterizzata da una distribuzione normale, con media e varianza costanti. Queste ipotesi sono smentite dal comportamento reale delle variabili finanziarie. Le distribuzioni delle attività finanziarie presentano di norma code più spesse di quelle di una distribuzione normale. Inoltre, le variazioni di prezzo delle attività finanziarie non si distribuiscono in modo perfettamente simmetrico, si possono infatti riscontrare più osservazioni nella parte sinistra della distribuzione (inferiore alla media).

Ancora, se prestiamo attenzione ai tassi di mercato, fattore che influenza le variazioni dei rendimenti delle posizioni in titoli, questi non seguono una distribuzione di tipo normale, la politica monetaria non è gestita in modo casuale.

Per questi motivi una prima soluzione a questi problemi è stata quella di sostituire la distribuzione normale con una distribuzione t-Student, con code più spesse, che quindi produce stime di VaR più elevate.

L’ipotesi di linearità è un ipotesi che va a contrastare la realtà: non esiste una relazione perfettamente lineare tra le variazioni di fattori di mercato rilevanti, come i tassi di rendimento, e le variazioni del valore di mercato delle posizioni.

2.5 I modelli di simulazione non-parametrici

I modelli non parametrici entrano in gioco nel tentativo di superare i problemi connessi all’approccio varianze-covarianze. Sono definiti

non-28

parametrici proprio perché non pongono alcuna ipotesi circa la costruzione della funzione dei rendimenti. Questa affermazione è vera in parte per la simulazione Monte Carlo. I due principali approcci per la stima del VaR sono: le simulazioni storiche e le simulazioni Monte Carlo.

Le simulazioni storiche

In un modello di simulazione storica si ipotizza che le variazioni dei fattori di mercato siano ben spiegate dalla loro distribuzione empirica storica, quindi dalle variazioni registrate in passato. Una volta calcolate le variazione della posizione in esame (o del portafoglio), in corrispondenza delle variazioni dei fattori di mercato che la influenzano, queste vengono riordinate in ordine crescente, dalla massima perdita al massimo profitto, così da ottenere una distribuzione empirica delle probabilità del rendimento del titolo in esame. La distribuzione viene a questo punto “tagliata” al percentile corrispondente al livello di confidenza prescelto. Il valore che corrisponde al percentile ne risulta il VaR richiesto.

In particolare, il VaR giornaliero di una posizione viene stimato in fasi:

1. Selezione di un campione di rendimenti giornalieri (per esempio 200 giorni di quotazione), relativi al fattore di mercato rilevante;

2. Rivalutazione della posizione in corrispondenza di ognuno dei valori storici del fattore di mercato;

3. Ricostruzione della distribuzione empirica di frequenza dei valori ottenuti; 4. Taglio della distribuzione in corrispondenza del percentile relativo al livello

di confidenza prescelto.

Se il metodo delle simulazioni storiche coglie la distribuzione effettiva dei rendimenti, la presenza di code spesse implica misure più elevate di VaR rispetto all’approccio varianze-covarianze. Questo non è comunque sempre vero, infatti non si può dire in assoluto che il modello varianze-covarianze sia il meno prudenziale, è necessario analizzare il tipo di distribuzione che si adatta meglio alla posizione in esame.

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Confronto modello varianze-covarianze e simulazione storica9

Vantaggi e svantaggi

Tra i vantaggi delle simulazioni storiche:

 Sono di facile comprensione, quindi sono facilmente comunicabili tra le varie unità bancarie. Mostrano il risultato che si otterrebbe se le condizioni passate dovessero ripresentarsi;

 Non è necessario impostare una funzione di distribuzione dei rendimenti, l’unica ipotesi sottostante è che la distribuzione dei rendimenti passati sia una buona approssimazione dei rendimenti futuri;

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 Nel caso di un portafoglio non è necessario considerare una matrice varianze-covarianze e relative correlazioni tra i fattori di mercato, il tutto è implicitamente considerato dall’osservazione storica che tiene già conto di eventuali correlazioni.

Tra i limiti è necessario considerare:

 L’onerosità dei calcoli, la disponibilità degli stessi, risorse dedicate; più elevato è il numero di fattori che influenzano la posizione, maggiore sarà il costo di implementazione del modello;

 È implicita l’assunzione di stabilità nel tempo della distribuzione storica dei fattori di mercato; se la distribuzione subisce un cambiamento improvviso, questa diventa automaticamente inadeguata per la valutazione, quindi si presume di avere una posizione molto lineare e costante nel tempo nelle sue variazioni;

 Un limite importante è dato dalle scarse serie storiche disponibili. Da qui una scarsa definizione delle code della distribuzione. Gli eventi estremi molto spesso non vengono ricompresi nei dati, specie se si utilizzano dati giornalieri. Da qui il trade-off tra completezza dei dati e onerosità della raccolta, considerando anche la possibilità di incorrere in dati obsoleti, quindi non rappresentativi. Un’adeguata rappresentazione dei fenomeni estremi esige, tuttavia, dati di lungo periodo.

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Le simulazioni Monte Carlo

Per superare la naturale carenza di dati storici la simulazione Monte Carlo ci propone la possibilità di generare nuovi dati. Tale metodo inizia ad essere utilizzato come modello di pricing per strumenti finanziari con carenza di dati storici, come le opzioni esotiche.

Il modello prevede di costruire una serie di scenari simulativi: se si considera una singola posizione, il cui rendimento è influenzato da un’unica variabile di mercato, verranno simulate un numero elevato di volte (generalmente circa 10.000), il percorso fatto dalla variabile, da applicare successivamente alla posizione di interesse in corrispondenza degli scenari simulati. Quindi, il metodo cerca di fornire una distribuzione effettiva dei rendimenti che si avvicini il più possibile alla realtà.

Naturalmente il metodo prevede una successiva procedura di riordino dei dati ed il successivo “taglio” della distribuzione in corrispondenza del percentile desiderato per la determinazione del VaR.

Le fasi principali:

1. Identificazione della distribuzione f(x) che meglio si adatta alla distribuzione dei rendimenti del fattore di mercato;

2. Stima dei parametri della distribuzione; 3. Simulazione degli scenari evolutivi;

4. Applicazione del modello al valore della posizione da valutare, in corrispondenza di ciascuno scenario;

5. Taglio della distribuzione in corrispondenza del livello di confidenza prescelto.

La fase più critica è a terza, per la generazione di numeri casuali si ricorre all’estrazione di un numero U da una distribuzione uniforme [0,1], si determina l’inversa della funzione di ripartizione della distribuzione campionaria - 𝐹_𝑋−1 _{-, si}

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calcola il valore x di tale funzione f(x) corrispondente al numero U estratto, e si ripete l’operazione un elevato numero di volte.

Nel caso in cui si debba utilizzare il metodo Monte Carlo per la stima del VaR di un portafoglio sarà necessario prima di tutto stimare la matrice varianze-covarianze, applicare la “scomposizione di Cholesky” e successivamente generare gli scenari relativi alle variazioni dei fattori di mercato moltiplicando la AT _{per il}

vettore di numeri casuali z. Si calcola la variazione del valore di portafoglio per ciascuno scenario simulato ed in fine si taglia la distribuzione.

Vantaggi e svantaggi

Tra i vantaggi della simulazione Monte Carlo:

 Grazie alla simulazione dei fattori di mercato e alla conseguente ricostruzione del valore di mercato delle posizioni dei titoli/portafoglio è possibile superare il problema della non-linearità dei payoff delle posizioni, elemento che rendeva inadeguato il modello varianze-covarianze;

 La simulazione in esame risulta molto più efficiente rispetto ad altre simulazioni nell’analisi di posizioni o portafogli influenzati da molteplici variabili, i tempi di simulazione degli scenari sono ridotti rispetto ad altre procedure simulative, come ad esempio gli alberi binomiali;

 Può essere adattato a qualsiasi tipo di distribuzione delle variabili, al contrario del modello varianze-covarianze che presuppone necessariamente un distribuzione normale dei rendimenti;

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 Permette di analizzare il percorso delle variabili che influenzano i rendimenti delle posizioni e quindi simulare i rendimenti di posizioni particolari, come quelle in opzioni esotiche, di difficile prevedibilità.

Tra gli svantaggi della simulazione in esame:

 La necessità di dover stimare una matrice delle covarianze dei fattori che influenzano le posizioni, a differenza della simulazione storica, per cui è implicito nel modello il livello di correlazione tra i fattori di mercato;

 L’implementazione di un modello Monte Carlo necessita di ingenti risorse, di un apparato organizzativo adeguato. Da questo si evince anche il fatto che solo le più grandi istituzioni hanno le capacità di implementare un modello con una tale efficienza, dati i costi elevati e la necessità di ammortamento nel tempo;

 Per quanto si possa vedere come un vantaggio la possibilità di poter simulare un numero elevato di eventi, questo risulta poi nella pratica uno svantaggio; eventi estremi, che si posizionano nella coda della distribuzione, con un numero elevato di simulazioni delle variazioni, rischiano di essere trascurati, o meglio “tagliati” fuori, fornendo misure di VaR non del tutto prudenziali.

2.6 Prove di stress

È necessario che un modello VaR venga integrato da prove di stress, non soltanto ai fini di compliance, ma anche ai fini gestionali. Il management ha la necessità di conoscere le possibili aree di pericolosità legate al proprio business. Nella costruzione delle prove di stress vengono presi in

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considerazione eventi estremi, il valore di mercato delle posizione viene rivalutato in funzione di scenari estremamente pessimistici. Ai fini prudenziali, la normativa prescrive una serie di scenari guida ipotetici che devono far parte di uno stress testing, generalmente vengono presi in considerazione shock di mercato verificatisi nella storia del mercato finanziario, come variazioni degli indici di borsa di più di 10 punti percentuali, variazioni elevate, allo stesso modo, dei tassi di cambio, volatilità eccessiva. Questi sono solo alcuni degli eventi estremi suggeriti dal Derivatives Policy

Group nel 1995.

Naturalmente le prove di stress possono essere fatte in modo univariato o multivariato, quindi considerando la variazione di un solo fattore e la sua influenza sulle posizioni, alternativamente alla simulazione congiunta delle variazioni dei fattori, che rappresenta meglio l’evento di una crisi, in cui i fattori di influenza risultano fortemente correlati.

La prova di stress non rappresenta una metodologia di calcolo del VaR, perché fondata su ipotesi discrezionali, è piuttosto uno strumento integrativo, così come prescritto dal Comitato di Basilea.

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Capitolo 3

Analisi Simulativa

3.1 Premessa

Nel presente capitolo viene mostrata una simulazione esemplificativa e semplicistica dell’applicazione del metodo del

Value at Risk

su una posizione di mercato. Iniziando l’analisi con un titolo, scelto tra i titoli più quotati nel mercato italiano, viene applicata la normativa predisposta per gli intermediari bancari per il calcolo dei requisiti patrimoniali a fronte del rischio di mercato. Come già detto in precedenza il requisito da soddisfare è dato dalla somma:

 del valore più elevato tra la misura del VaR del giorno precedente (𝑉𝑎𝑅_𝑡−1) e la media delle misure del VaR giornaliero calcolata nei 60 gg operativi precedenti (𝑉𝑎𝑅_𝑎𝑣𝑔) moltiplicata per il fattore moltiplicativo assegnato alla banca;

 e il valore più elevato tra: l'ultima misura disponibile del VaR in condizioni di stress (𝑠𝑉𝑎𝑅_𝑡−1 ) e la media delle misure del VaR in condizioni di stress calcolata nei 60 gg. operativi precedenti (𝑠𝑉𝑎𝑅_𝑎𝑣𝑔) moltiplicata per il fattore moltiplicativo assegnato alla banca.

L0’analisi si concentra sul Valore a Rischio della singola posizione e trascura le situazioni di stress, va da se che il requisito patrimoniale richiesto su una posizione a rischio risulta nella realtà molto più elevato.

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Il CRR all’Art. 36510 impone il calcolo della misura del VaR su base giornaliera con intervallo di confidenza al 99° percentile, l’analisi mostra comunque le risultanze derivanti dall’applicazione di intervalli di confidenza minori.

3.2 Impostazione degli algoritmi numerici

La simulazione parte selezionando il titolo da sottoporre ad analisi. La scelta ricade tra i titoli più scambiati in borsa11_{, motivata dal tipo di simulazione}

prescelta. Come già detto, il metodo Monte Carlo ci permette di simulare un numero elevato di scenari. Il questo caso lo scenario simulato è quello relativo alla variazione del prezzo del titolo nell’arco di una giornata di quotazione, il tutto ripetuto per 61 giornate, su cui andare a calcolare il livello di copertura del rischio di mercato assunto dall’intermediario che detiene il titolo in questione.

Attraverso la ricerca nei database informatici si riescono ad estrapolare per ogni giornata di quotazione le quattro importanti posizioni assunte dal titolo nell’arco della giornata:

-il prezzo di apertura;

-il livello di quotazione più elevato;

-il livello di quotazione meno elevato;

-il prezzo di chiusura.

A questo punto è necessario simulare la variazione del prezzo del titolo durante la giornata partendo dal presupposto che al momento dell’apertura del mercato non abbiamo la possibilità di conoscere la reale variazione che subirà il prezzo del titolo e siamo a conoscenza soltanto del valore di apertura dello stesso e di conseguenza della posizione assunta sul titolo.

10 _{Regolamento (UE) n. 575/2013, art. 365} 11 _{https://it.finance.yahoo.com}

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La simulazione parte ipotizzando che il titolo subisca solo due variazioni di prezzo al minuto. La fase di mercato borsistico su cui ci concentriamo è quella della negoziazione continua ipotizzata 09:00-17:30, si riescono quindi a simulare 1022 possibili prezzi del titolo per ciascuna giornata.

L’algoritmo utilizzato nella simulazione del prezzo St partendo dal prezzo di apertura S0 è il seguente:

𝑆_𝑡 = 𝑆₀exp⁡((µ −𝜎 2

2) 𝑑𝑡 + √𝜎2𝑑𝑡 ∗ 𝜀)

Supponiamo quindi che St si evolvano seguendo il modello di Black e Scholes, segue quindi un moto Browniano geometrico, un processo stocastico in cui il logaritmo della quantità variabile nel tempo segue un moto browniano, ritenuto appropriatoper modellizzare alcuni fenomeni dei mercati finanziari in quanto una quantità che segue un moto browniano geometrico può assumere soltanto valori maggiori di zero, il che riflette la natura del prezzo di un'attività finanziaria.

All’interno della formula σ rappresenta la volatilità del titolo, questa è stata estrapolata attraverso una simulazione uniforme di numeri casuali generata all’interno del range rappresentato dal valore di quotazione più elevato e il valore di quotazione meno elevato riferiti alla giornata precedente a quella di riferimento.

µ rappresenta il tasso di interesse istantaneo, questo viene assunto pari a zero, si presume non vi sia tasso di crescita per un arco temporale così breve.

La stima di St è soggetta ad errore: il primo conseguente al fatto di fissare un valore arbitrario di quotazioni, il secondo dovuto al fatto che St è una variabile aleatoria, con lo stesso valore di S0, si possono ottenere stime diverse. Da ciò un errore aleatorio Ɛ generato casualmente secondo una distribuzione normare, N≈(0,1). Il processo di simulazione viene quindi ripetuto per 61 giornate.

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Giornata t-1

Assumiamo una posizione sul titolo di 5000, al prezzo di apertura della giornata t-1:

Simulazione numerica per la giornata t-112_:

17/02/2017 Errore Ɛ St posizione:St*Q 9:00:00 -3,52273 2,151447 € 10.757,24 9:00:30 -3,20666 2,154895 € 10.774,47 9:01:00 -3,12633 2,155771 € 10.778,85 9:01:30 -2,92188 2,158001 € 10.790,00 9:02:00 … -2,53927 … 2,162174 … € 10.810,87 … 17:26:30 2,6177804 2,218422 € 11.092,11 17:27:00 2,7107308 2,219436 € 11.097,18 17:27:30 2,773013 2,220115 € 11.100,57 17:28:00 2,8956129 2,221452 € 11.107,26 17:28:30 2,900706 2,221508 € 11.107,54 17:29:00 2,9274088 2,221799 € 11.108,99 17:29:30 3,2340176 2,225143 € 11.125,72 17:30:00 4,0093437 2,2336 € 11.168,00 17:30:30 4,0093437 2,2336 € 11.168,00 12 _{Simulazione Completa Appendice 1}

DEV.ST.

0,010907

S

t-1

€

2,19

posizione iniziale

Q

5000

€

10.950,00

39 0,00% 20,00% 40,00% 60,00% 80,00% 100,00% 120,00% 0 20 40 60 80 100 120 Fre q u en za quotazione

Giornata t-1

Giornata t-1

perc VaR

VaR S

VaRposizione

99% 2,165094403 -0,024905597 10825,47201

-€

124,53

98% 2,168378306 -0,021621694 10841,89153

-€

108,11

95% 2,172330455 -0,017669545 10861,65227

-€

88,35

40

Giornate t=60:1

L’operazione viene ripetuta per le 60 giornate precedenti13_:

…

13 _{Simulazione completa Appendice 2}

0,00% 50,00% 100,00% 150,00% 0 50 100 2, 15495 42… 2, 16513 48… 2, 17531 55… 2, 18549 61… 2, 19567 68… 2, 20585 74… 2, 21603 81… 2, 22621 87… Fr e q u e n za Classe 16/02 0,00% 50,00% 100,00% 150,00% 0 50 100 2, 12730 9… 2, 14035 0… 2, 15339 2… 2, 166 43 3… 2, 17947 5… 2, 19251 6… 2, 20555 8… 2, 21859 9… Fr e q u e n za Classe 15/02 0,00% 50,00% 100,00% 150,00% 0 50 100 2, 11324 0… 2, 12037 1… 2, 12750 2… 2, 13463 3… 2, 141 76 5… 2, 14889 6… 2, 15602 7… 2, 16315 8… Fr e q u e n za Classe 14/02 0,00% 50,00% 100,00% 150,00% 0 50 100 2,10 82… 2,12 48… 2,14 15… 2,15 81… 2,17 47… 2,19 14… 2,20 80… 2,22 46… Fr e q u e n za Classe 13/02 0,00% 50,00% 100,00% 150,00% 0 50 100 150 2,11 95… 2,13 20… 2,14 46… 2,15 72… 2,16 98… 2,18 24… 2,19 49… 2,20 75… Fr e q u e n za Classe 10/02 0,00% 50,00% 100,00% 150,00% 0 50 100 2,07 3970 … 2,09 3086 … 2,11 2203 … 2,13 1319 … 2,15 0436 … 2,16 9552 … 2,18 8668 … 2,20 7785 … Fr e q u e n za Classe 9/02 0,00% 50,00% 100,00% 150,00% 0 50 100 150 1,94 4… 1,96 6… 1,98 9… 2,01 1… 2,03 4… 2,05 6… 2,07 9… 2,10 1… Fr e q u e n za Classe 30/11 0,00% 50,00% 100,00% 150,00% 0 50 100 150 1,88 5… 1,90 4… 1,92 2… 1,94 1… 1,96 0… 1,97 9… 1,99 8… 2,01 7… Fr e q u e n za Classe 29/11

41

3.3 Conclusioni della simulazione

0,00% 50,00% 100,00% 150,00% 0 50 100 150 200 1,87 25… 1,89 45… 1,91 64… 1,93 84… 1,96 04… 1,98 23… 2,00 43… 2,02 63… Fr e q u e n za Classe 28/11 0,00% 50,00% 100,00% 150,00% 0 50 100 1,99 14… 2,00 45… 2,01 76… 2,03 07… 2,04 39… 2,05 70… 2,07 01… 2,08 32… Fr e q u e n za Classe 25/11

DATA 17-feb 16-feb 15-feb 14-feb 13-feb 10-feb 09-feb VaR 99 -0,024905597 -0,02883565 -0,039242419 -0,020745909 -0,047167316 -0,033520731 -0,052821882 VaR 98 -0,021621694 -0,023950563 -0,033602025 -0,01821305 -0,041686909 -0,029814392 -0,048476567 VaR 95 -0,017669545 -0,0208533 -0,027205145 -0,015691366 -0,033861103 -0,024259572 -0,0402793 VaRposizione 99 -124,527987 -144,1782477 -196,2120958 -103,7295462 -235,8365814 -167,6036563 -264,1094116 VaRposizione 98 -108,1084682 -119,7528143 -168,0101246 -91,06524922 -208,4345453 -149,0719597 -242,3828366 VaRposizione 95 -88,34772528 -104,2664988 -136,0257258 -78,45683175 -169,3055161 -121,2978619 -201,3964995

08-feb 07-feb 06-feb 03-feb 02-feb 01-feb 31-gen 30-gen -0,023809478 -0,05320439 -0,055857117 -0,025730576 -0,035226261 -0,042433686 -0,042262788 -0,048740163 -0,022111079 -0,049763993 -0,04734539 -0,023491039 -0,029510051 -0,039790146 -0,037394277 -0,046045784 -0,018528161 -0,041736736 -0,036546041 -0,01789396 -0,023655431 -0,034418925 -0,031680464 -0,036902976 -119,047388 -266,0219498 -279,2855826 -128,6528794 -176,1313041 -212,1684293 -211,313941 -243,7008166 -110,5553953 -248,8199633 -236,7269493 -117,4551933 -147,5502575 -198,950731 -186,9713869 -230,2289205 -92,6408071 -208,6836798 -182,730205 -89,46979885 -118,2771538 -172,0946232 -158,4023218 -184,5148798 27-gen 26-gen 25-gen 24-gen 23-gen 20-gen 19-gen 18-gen -0,072287271 -0,092010403 -0,04898906 -0,042622497 -0,028770913 -0,058068875 -0,025163209 -0,036224906 -0,063500944 -0,085495793 -0,044259526 -0,036677318 -0,025154675 -0,052934934 -0,02109417 -0,033449772 -0,051588237 -0,064046864 -0,03403887 -0,029980997 -0,020552387 -0,043388226 -0,017489943 -0,026866928 -361,436355 -460,0520133 -244,9453024 -213,1124835 -143,8545646 -290,3443741 -125,8160435 -181,12453 -317,5047184 -427,4789667 -221,2976293 -183,3865915 -125,7733766 -264,6746682 -105,4708477 -167,2488587 -257,9411825 -320,234321 -170,1943522 -149,9049853 -102,7619334 -216,9411321 -87,44971326 -134,3346415

42

17-gen 16-gen 13-gen 12-gen 11-gen 10-gen 09-gen 06-gen -0,033632047 -0,042290499 -0,032242848 -0,04508543 -0,053673852 -0,075764562 -0,035665772 -0,043365214 -0,029140903 -0,035473697 -0,028743609 -0,042019856 -0,0474946 -0,065962655 -0,030573821 -0,036620049 -0,022546104 -0,028872916 -0,023031789 -0,033435235 -0,036392779 -0,056140857 -0,024387039 -0,028927257 -168,1602369 -211,4524973 -161,214242 -225,4271515 -268,3692625 -378,8228093 -178,3288614 -216,8260696 -145,7045144 -177,3684825 -143,7180469 -210,0992798 -237,4730004 -329,8132757 -152,8691075 -183,1002439 -112,7305182 -144,3645815 -115,1589461 -167,1761755 -181,9638974 -280,704286 -121,9351969 -144,6362837 05-gen 04-gen 03-gen 02-gen 30-dic 29-dic 28-dic 27-dic -0,030796417 -0,05650323 -0,037507146 -0,025212116 -0,023849166 -0,02522562 -0,020732434 -6,08402E-14 -0,028802545 -0,047463458 -0,03309303 -0,02252788 -0,022128047 -0,022942417 -0,018389885 -5,50671E-14 -0,023169078 -0,037918563 -0,027185557 -0,017701455 -0,017876896 -0,017651838 -0,014831343 -4,44089E-14 -153,9820871 -282,5161518 -187,5357319 -126,0605789 -119,2458298 -126,1281021 -103,6621703 -3,0559E-10 -144,0127239 -237,31729 -165,4651507 -112,6393988 -110,6402333 -114,7120832 -91,94942668 -2,74667E-10 -115,8453886 -189,5928134 -135,9277835 -88,50727351 -89,38448249 -88,25918938 -74,15671423 -2,21917E-10 26-dic 23-dic 22-dic 21-dic 20-dic 19-dic 16-dic 15-dic -0,03203433 -0,044538587 -0,0408341 -0,032960917 -0,032809844 -0,049010362 -0,052664747 -0,062690244 -0,028697918 -0,039793788 -0,036434336 -0,028949616 -0,030760143 -0,042682247 -0,047784702 -0,054079434 -0,021635819 -0,030917682 -0,027453054 -0,023899669 -0,025617316 -0,034820404 -0,036698656 -0,042359543 -160,1716504 -222,6929368 -204,1705001 -164,8045856 -164,0492195 -245,0518105 -263,3237362 -313,4512218 -143,4895879 -198,9689387 -182,1716798 -144,748079 -153,8007132 -213,4112349 -238,9235085 -270,3971681 -108,1790967 -154,5884121 -137,2652699 -119,4983465 -128,0865815 -174,1020189 -183,4932787 -211,7977167 14-dic 13-dic 12-dic 09-dic 08-dic 07-dic 06-dic 05-dic -0,087994541 -0,060369269 -0,061816973 -0,115901445 -0,065253203 -0,125072961 -0,109315653 -0,031240874 -0,075583723 -0,054352707 -0,05695167 -0,099061522 -0,055643482 -0,106951113 -0,095756394 -0,025432641 -0,062850373 -0,041430147 -0,045189295 -0,080366793 -0,04306439 -0,083797275 -0,079193753 -0,020211786 -439,9727067 -301,846346 -309,0848638 -579,5072248 -326,2660151 -625,3648071 -546,5782634 -156,2043689 -377,9186174 -271,7635361 -284,7583492 -495,3076091 -278,2174115 -534,7555649 -478,7819709 -127,1632045 -314,2518645 -207,1507355 -225,9464726 -401,8339638 -215,3219505 -418,9863765 -395,9687627 -101,0589281

02-dic 01-dic 30-nov 29-nov 28-nov 25-nov -0,054522426 -0,052749069 -0,061791799 -0,04784566 -0,031238162 -0,033429959 -0,047261693 -0,041111062 -0,051839465 -0,04353997 -0,026750277 -0,030531181 -0,03850612 -0,03562034 -0,041410496 -0,03653759 -0,021748437 -0,02411042 -272,6121282 -263,745343 -308,9589971 -239,2283004 -156,1908103 -167,1497974 -236,3084652 -205,5553102 -259,1973234 -217,6998509 -133,751386 -152,6559052 -192,530598 -178,1016983 -207,052482 -182,6879523 -108,7421842 -120,5521019 DATA 17-feb VaR 99 -0,024905597 VaR 98 -0,021621694 VaR 95 -0,017669545 VaRposizione 99 -124,527987 VaRposizione 98 -108,1084682 VaRposizione 95 -88,34772528

VaR avg60 Copertura -0,047022783 0,0470228 -0,041418132 0,0414181 -0,033316217 0,0333162 -235,1139152 235,11392 -207,0906609 207,09066 -166,5810831 166,58108

43

La simulazione mostra come, nonostante il valore a rischio al 99% della giornata presa in considerazione sia dello 0.0249, la media semplice delle 60 giornate precedenti imponga all’intermediario una copertura nettamente superiore, dello 0.047. Con una posizione di 5.000 titoli, il patrimonio di copertura risulta pari a 235 Euro. La simulazione è stata effettuata anche per livelli di valore a rischio meno elevati, al 98% e 95%, ne deriva una copertura meno elevata. La normativa prescrive l’elaborazione di un modello di Valore a Rischio da sottoporre a vaglio e autorizzazione da parte delle autorità di vigilanza. Il giudizio definitivo assegna un fattore moltiplicativo di rischio da applicare ai risultati di copertura. Detto fattore è direttamente correlato alla bontà del modello. Per questo motivo un modello semplicistico, se ritenuto adeguato, comporterà comunque una copertura più elevata.

44

Capitolo 4

Le caratteristiche del Valore a Rischio

4.1 Premessa

L’implementazione di modelli VaR comporta un ingente investimento di risorse, è per questi motivi che solo i più importanti intermediari bancari affrontano un simile investimento compensato dai benefici derivanti da un modello risk sensitive. Tali modelli hanno alla basa la costruzione di una serie di dati necessari per evitare errori che comporterebbero una relativa sovrastima o sottostima del rischio.

Le critiche poste nei confronti dei modelli VaR, anche da parte degli organi di vigilanza, spesso derivano dalla mancata comprensione della finalità dello strumento, che deve essere concepito come uno modello ‘guida’ per il risk management nelle tecniche di asset allocation, e non come uno strumento meccanico.

Di seguito verranno evidenziate, attraverso una serie di simulazioni, le caratteristiche di questo “strumento”.

4.2 Implementazione dei modelli

L’analisi simulativa si pone come obiettivo quello di mostrare le caratteristiche dei modelli VaR. I titoli prescelti appartengono al mercato borsistico, per la precisione vengono presi in considerazione una serie di titoli rappresentativi dei vari mercati regolamentati e appartenenti a settori economici molto diversi tra loro, con differenti livelli di rischio-rendimento e correlazione.

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TITOLO AZIENDA ATTIVITA’ PAESE INDICE

ISP.MI Intesa Sanpaolo S.p.A. Finanziaria _{IT FTSEMIB}

MS.MI Mediaset S.p.A. _{Telecomunicazioni IT FTSEMIB} JUVE.MI Juventus Football club

S.p.A.

Sport _{IT FTSE-All}

Share BLND.L The British Land Company

PLC

Finanziaria-Investimenti

EN FTSE100

DBK.DE Deutsche Bank AG _{Finanziaria DE DAX}

NKE Nike Abbigliamento _{USA DJI}

AAPL Apple.Inc Disp. multimediali _{USA Nasdaq}

0857.HK PetroChinaCompanyLimited _{Petrolio e Gas HK HKSE}

Il livello di correlazione viene misurato sulla base di 100 giornate di quotazione, sui prezzi di chiusura registrati per ciascuna giornata.

…14

14 _{Quotazione completa Appendice 3}

g nike ms juve isp dbk 853 blndl aapl

100 56,36 3,996 0,3873 2,212 17,88 5,76 614,587 138,68 99 56,51 3,924 0,408 2,15832 17,635 5,89 609,152 139 98 56,55 3,858 0,3689 2,15462 17,315 5,92 610,14 139,52 97 56,77 3,852 0,3668 2,14906 17,63 5,88 618,539 139,34 96 56,7 3,86 0,364 2,16202 19,14 5,85 616,069 139,78 95 57,8 3,89 0,3637 2,11945 19,39 5,86 613,599 138,96 94 57,77 3,898 0,3599 2,1213 19,55 5,83 614,587 139,79 7 51,522 2,604 0,2935 1,95285 13,155 5,34 571,781 116,54 6 51,42 2,604 0,28933 2,00283 13,325 5,38 576,175 115,5 5 51,54 2,626 0,2957 2,03615 13,375 5,41 564,457 115,95 4 51,45 2,62 0,295 2,00468 13,295 5,52 578,617 116,01 3 50,877 2,624 0,2962 1,99358 13,145 5,64 587,406 116,36 2 50,688 2,65 0,2996 1,99543 13,36 5,69 587,894 116,44 1 50,55 2,614 0,299 1,9547 13,12 5,54 588,382 116,5

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Calcolo della correlazione attraverso lo strumento di analisi dati fornito da Excel:

4.3 Asset allocation

Nelle seguenti simulazioni viene preso in considerazione un capitale da investire pari a 5000 euro. Vengono creati una serie di portafogli formati da una combinazione dei diversi titoli presi in considerazione e successivamente viene analizzato il VaR dei singoli portafogli.

Nel primo portafoglio vengono considerati solo 2 titoli, uno appartenente al settore delle telecomunicazioni e uno al settore petrolifero la cui correlazione è pari a 0.9. Il primo modello di simulazione prescelto è il metodo storico, che prende in considerazione le 100 giornate di quotazione precedentemente esaminate.

nike ms juve isp dbk 857 blndl aapl

nike 1 0,575017 0,755281 0,092027 0,581084 0,607659 0,361394 0,875123 ms 0,575017 1 0,513431 0,674125 0,842905 0,907386 0,631449 0,58205 juve 0,755281 0,513431 1 0,200084 0,536821 0,450075 0,442236 0,835966 isp 0,092027 0,674125 0,200084 1 0,559521 0,480307 0,700018 0,006796 dbk 0,581084 0,842905 0,536821 0,559521 1 0,813521 0,55553 0,566666 857 0,607659 0,907386 0,450075 0,480307 0,813521 1 0,436039 0,610265 blndl 0,361394 0,631449 0,442236 0,700018 0,55553 0,436039 1 0,302931 aapl 0,875123 0,58205 0,835966 0,006796 0,566666 0,610265 0,302931 1 ms 0853 3,996 5,76 3,924 5,89 3,858 5,92 3,852 5,88 3,86 5,85 3,89 5,86 3,898 5,83 3,886 5,91 3,88 6,02 3,842 6,11 3,894 6,11 3,938 6,21 3,986 6,14 3,94 6,11 3,948 6,04

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Vengono investiti 2500 euro nel primo titolo e 2500 euro nel secondo titolo:

Dall’analisi del VaR otteniamo i seguenti risultati:

Viene presa in considerazione ora la possibilità di investire in 3 titoli, aggiungendo al portafoglio il titolo appartenete al settore delle nuove tecnologie.

ms 0853 portafoglio 2500 2500 5000 2454,955 2556,424 5011,37857 2413,664 2569,444 4983,10811 2409,91 2552,083 4961,99324 2414,915 2539,063 4953,97741 2433,684 2543,403 4977,08646 2438,689 2530,382 4969,07063 2431,181 2565,104 4996,28535 2427,427 2612,847 5040,27465 2403,654 2651,91 5055,56338 2436,186 2651,91 5088,09591 2463,714 2695,313 5159,02621 2493,744 2664,931 5158,6743 2464,965 2651,91 5116,87469 2469,97 2621,528 5091,49775 2413,664 2617,188 5030,85116 2412,412 2647,569 5059,98186 2439,94 2664,931 5104,8705 2459,96 2677,951 5137,91135 VAR95 -1285,34 Classe % cumulativa 3682,045 1,00% 3689,132 2,00% 3714,664 5,00% 3744,068 10,00% 3744,068 42,00% 5086,196 66,00% 5262,634 86,00% Altro 100,00%

48

Il patrimonio di 5000 euro viene quindi ora ripartito su 3 titoli.

aapl 138,68 139 139,52 139,34 139,78 138,96 139,79 136,99 136,93 136,66 136,53 137,11 136,7 135,72 135,35 135,51 ms 0853 aapl portafoglio 1666,667 1666,667 1666,667 5000 1636,637 1704,282 1670,512 5011,431495 1609,109 1712,963 1676,762 4998,833922 1606,607 1701,389 1674,599 4982,594092 1609,943 1692,708 1679,887 4982,538159 1622,456 1695,602 1670,032 4988,089369 1625,792 1686,921 1680,007 4992,720486 1620,787 1710,069 1646,356 4977,213018 1618,285 1741,898 1645,635 5005,818135 1602,436 1767,94 1642,39 5012,765739 1624,124 1767,94 1640,828 5032,891744 1642,476 1796,875 1647,798 5087,149098 1662,496 1776,62 1642,871 5081,987077 1643,31 1767,94 1631,093 5042,342956 1646,647 1747,685 1626,646 5020,978308