Prove di esame del Corso di Analisi Matematica 1 a.a. 1991/2017

(1)

Analisi 1 Polo di Savona

Analisi Matematica 1

Prove d’Esame

A.A. 1992/2018

(2)

Analisi 1 Polo di Savona Prima Prova Parziale 91/92

Prima Prova Parziale 91/92

Si consideri la successione definita da

( an+1= a2 n+ 1 an a0= 2

<A> Stabilire sean `e crescente o decrescente e giustificare brevemente l’affermazione.

Stabilire seanammette limite, in caso affermativo determinarlo ed in caso negativo provare che il limite

non esiste.

<C> Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dian.

supan= infan = maxan = minan=

<D> Determinare una formula di ricorrenza per la successionebn=a2n

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la funzione:

f (x) = x + 1 x2_{− 3x + 2}

<E> Determinare il campo di definizioneI di f ;

<F> Determinare l’insieme J in cui f `e derivabile;

<G> Disegnare il grafico dif

<H> Stabilire se f `e decrescente su (−∞ , −1 −√6] e su [−1 + √6 , +∞) e giustificare brevemente l’affermazione.

Stabilire sef `e invertibile su [−1 −√6 , 1) ∪ [−1 +√6, 2) e calcolare f−1

<J> Dopo aver verificato chef `e invertibile su (2 + ∞), detta g l’inversa, stabilire se g `e derivabile e calcolare g0₍₂₎

<K> Determinare il rango dif

<L> Calcolare, se esiste, lim

x→0

ex_{− 1 − x − sin(x)}

x2

<M> Calcolare, se esiste, _dxdxsin(x)

<N> Calcolare, se esiste, _dxd tan(arctan(x))

(3)

Analisi 1 Polo di Savona Seconda Prova Parziale 91/92

Seconda Prova Parziale 91/92

Si consideri il problema di Cauchy

y0₍_{x) = (ln x)(1 + y}2₍_x))

y(x0) =y0

<A> Discutere brevemente esistenza ed unicit`a della soluzione al variare di (x0, y0) ∈ R2

Stabilire crescenza e decrescenza della soluzione al variare di (x0, y0) ∈ R2, giustificando brevemente le

affermazioni

<C> Calcolare la soluzione corrispondente ai dati inizialix0= 1,y0=π precisandone il campo di definizione

e giustificando brevemente le affermazioni

<D> Disegnare il grafico di tutte le soluzioni della equazione data

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la funzione: f (x) = Z x 0 dt p|t2_{− 1|(t − 1)(t + 3)}

<E> Determinare il campo di definizioneI di f giustificando brevemente le affermazioni

<F> Determinare l’insieme J in cui f `e continua giustificando brevemente le affermazioni

<G> Determinare l’insiemeK in cui f `e derivabile giustificando brevemente le affermazioni

<H> Disegnare il grafico dif Calcolare Z +∞ 0 x2e−x 3- PrG.TEX— [PrG92.TEX]

(4)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame giugno 1992

Prova d’Esame giugno 1992

Si consideri il sistema differenziale

˙x(t) = y(t) + et

˙

y(t) = 2y(t) − x(t) + 1

<A> Determinare tutte le soluzioni del sistema.

Determinare la soluzione tale che

x(0) = y(0) = 0

<C> Trovare tutte le soluzioni tali chex(0) = 0 del sistema omogeneo ˙x(t) = y(t)

˙

y(t) = 2y(t) − x(t) giustificando brevemente le affermazioni

<D> Stabilire se l’insieme delle soluzioni del punto C formano uno spazio vettoriale ed in caso affermativo determinarne la dimensione.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si considerino tutte le successioni tali che

an+1= 3an− 2an−1

<E> Determinare tutti i valori diλ ∈ R tali che an=λn giustificando brevemente le affermazioni

<F> Verificare che an =α2n+β giustificando brevemente le affermazioni

<G> Determinareα, β in modo che a0= 0 ea1= 1 giustificando brevemente le affermazioni

<H> Determinare una regola di ricorrenza per la successione

rn=

an+1

an

Calcolare il limite dirn

(5)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame Luglio 1992

Prova d’Esame Luglio 1992

y0_{(x) = y}2_(x)

y(x0) =y0

<A> Determinare l’espressione di tutte le soluzioni al variare di (x0, y0) ∈ R2 giustificando brevemente i

calcoli.

Disegnare il grafico di tutte le soluzioni al variare di (x0, y0) ∈ R2.

<C> Trovare tutte le soluzioni tali chey(1) = 1 giustificando brevemente le affermazioni.

<D> Precisare per quali valori (x0, y0) ∈ R2 le soluzioni ammettono limite perx → +∞.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la funzione f (y) = y ln y − 1 y − ln |y − 1|

<E> Determinare il campo di definizioneI di f

<F> Stabilire dovef `e derivabile e calcolare la sua derivata.

<G> Calcolare i limiti agli estremi del campo di definizione dif giustificando brevemente le affermazioni.

<H> Calcolare i limiti agli estremi del campo di definizione dif0 _{giustificando brevemente le affermazioni.}

Disegnare il grafico di f precisando crescenza, decrescenza, convessit`a e comportamento della retta tangente agli estremi del campo di definizione

(6)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame Settembre 1992

Prova d’Esame Settembre 1992

Si consideri la funzione f (x) = max |x|, 1 |x| + 1

<A> Determinare il campo di definizione dif

Determinare l’insieme in cuif `e continua

<C> Determinare l’insieme in cuif `e derivabile

<D> Calcolare

Z 3

−3

f (x)dx

<E> Disegnare il grafico dif

<F> Determinare, dove esistono, tutte le primitive dif

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri l’equazione differenziale

y000(x) + y0(x) = 2x

<G> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata

<H> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione data

Trovare tutte le soluzioni della equazione data tali chey(0) = 0, y0_{(0) = 1, precisando se tali soluzioni}

formano uno spazio vettoriale.

Si consideri poi l’equazione differenziale

y000_{(x) + y}0_{(x) = 2|x|}

<J> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione data

<K> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione data tali chey(0) = y0_{(0) =}_y00_{(0) = 0}

(7)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame Ottobre 1992

Prova d’Esame Ottobre 1992

Si consideri il sistema di equazioni differenziali

   y0_{(x) = y(x) + 2z(x)} z0_{(x) = y(x) + w(x)} w0_{(x) = w(x) + x}

<A> Determinare tutte le soluzioni del sistema

Scrivere il sistema omogeneo associato

<C> Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato

<D> Scrivere la matrice fondamentale del sistema omogeneo associato

<E> Trovare le soluzioni del sistema omogeneo associato soddisfacente la condizionew(0) = 1, precisando se formano uno spazio vettoriale ed in caso affermativo determinandone la dimensione.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la funzione

f (x, y) = ln x − xy

<F> Disegnare, nel piano il campo di definizione dif

<G> Disegnare nel piano le curve di livellof (x, y) = k dei f corrispondenti ai valori k = −1, 0, 1

<H> Disegnare nel piano le curve di livellof (x, y) = k dei f corrispondenti a qualche valore significativo di k

Disegnare il grafico delle funzionif (x, mx) al variare di m ∈ R, precisandone il significato

<J> Calcolare ∇f (x, y), precisando dove `e definito

<K> Disegnare, nel piano il campo di direzioni individuato da ∇f

(8)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame Novembre 1992

Prova d’Esame Novembre 1992

Si consideri la funzione f (x) =          x x ≤ 0 1 x 0< x ≤ 1 ax2₊_{bx + c} _{x > 1}

<A> Stabilire per quali valori dia, b, c ∈ R f `e continua in x = 1

Stabilire per tali valori dovef `e continua

<C> Stabilire per quali valori dia, b, c ∈ R f `e derivabile in x = 1

<D> Stabilire per quali valori dia, b, c ∈ R e su quali sottoinsiemi f ammette primitiva

<E> Determinare tutte le primitive dif

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

f (x) = ln(|x2_{− 1| + 1)}

<F> Disegnare il grafico di f precisando il suo campo di definizione

<G> Determinare l’insieme in cuif `e continua

<H> Determinare l’insieme in cuif `e derivabile

Determinare una restrizione dif che sia invertibile e trovarne l’inversa, precisando se `e possibile invertire f su tutto R e perch`e.

<J> Determinare l’ordine di infinitesimo dif per x → −1

(9)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame Gennaio 1993

Prova d’Esame Gennaio 1993

Si consideri la funzione f (x) = Z x 0 t t3_{+ 1}dt

<A> Stabilire per quali valori di_{x ∈ R f `e definita.}

Studiare crescenza e decrescenza dif e tracciare un grafico che tenga conto delle indicazioni ottenute.

<C> Precisare il comportamento dif agli estremi del campo di definizione, calcolando eventuali asintoti.

<D> Studiare la convessit`a e la concavit`a dif .

<E> Disegnare il grafico dif tenendo conto di tutti gli elementi trovati.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

y00(x) + y0(x) + y(x) = 0

<F> Trovare tutte le soluzioni dif

<G> Trovare tutte le soluzioni tali chey(0) = 0, y0_{(0) = 1.}

<H> Trovare tutte le soluzioni tali chey(0) = 0.

Trovare tutte le soluzioni tali chey(0) = 0, y(1) = 1.

<J> Trovarea tale che esista almeno una soluzione non nulla dell’equazione data tale che y(0) = y(a) = 0.

(10)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame Febbraio 1993

Prova d’Esame Febbraio 1993

Si consideri la funzione f (x, y) = x2₊_{xy + y}2 <A> Disegnare {(x, y) ∈ R2_:_{f (x, y) = 0}} Disegnare {(x, y) ∈ R2_:_{f (x, y) = 1}} <C> Disegnare {(x, y) ∈ R2_:_{f (x, y) = −1}} <D> Calcolare ∇f (x, y)

<E> Determinare, se esistono, massimo e minimo assoluto dif su R2

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

y000(x) + y0(x) = x

<F> Trovare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata

<G> Trovare tutte le soluzioni dell’equazione

<H> Esistono soluzioni limitate dell’equazione omogenea?

Esistono soluzioni limitate dell’equazione non omogenea?

<J> Le soluzioni limitate della equazione omogenea formano uno spazio vettoriale? In caso affermativo trovarne la dimensione.

(11)

Prima Prova Parziale 92/93

<A> Disegnare l’insiemeA = {(x, y) ∈ R2_:_{y(x + 1) + x ≥ 0}}

Disegnare l’insiemeB = {(x, y) ∈ R2_:_{y(x + 1) + x ≥ 0, y ≥ x}}

<C> Disegnare l’insiemeCa,b= {(x, y) ∈ R2:x ∈ [a, b], y ∈ [a, b], x ≤ y}

<D> Determinare tutti glia, b ∈ R tali che Ca,b⊂ B

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si considerif (x) = x + 1 x2_{+ 3x + 3}

<E> Disegnare l’insiemeA = {(x, y) ∈ R2_:_{x ≤ y, f (x) ≥ f (y)}}

<F> Trovare per qualia, b ∈ R x, y ∈ [a, b], x ≤ y =⇒ f (x) ≥ f (y)

<G> Trovare per qualia, b ∈ R x, y ∈ [a, b], x ≤ y =⇒ f (x) ≤ f (y) <H> Disegnare il grafico dif

Determinare supf , inf f , max f , min f

<J> Disegnare il grafico dig(x) = f (x − 1)

<K> Determinare D = {x ∈ R : g(x) ≤ x} e disegnare i grafici di x e g(x) sullo stesso piano cartesiano precisandone le mutue posizioni.

<L> Provare che la successione definita da an=g(an−1)

a0= 1

`

e decrescente, inferiormente limitata e trovarne il limite.

LA1 an`e inferiormente limitata infatti:

LB1 an`e decrescente infatti:

LC1 liman= infatti:

(12)

Seconda Prova Parziale 92/93

y0(x) = x sin y(x)

<A> Stabilire per quali valori x0 ed y0 esiste ed `e unica la soluzione del problema di Cauchy associato

all’equazione assegnata ed al valore inizialey(x0) =y0

Trovare tutte le soluzioni dell’equazione tali chey(0) = 0 e disegnarne il grafico.

<C> Trovare tutte le soluzioni dell’equazione tali chey(0) = 2 e disegnarne il grafico.

<D> Trovare tutte le soluzioni dell’equazione tali chey(0) = 4 e disegnarne il grafico.

<E> Trovare tutte le soluzioni dell’equazione e disegnarne il grafico.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la funzione f (x) = Z +∞ sin x ln(t − 1) t2 dt

<F> Determinare il campo di definizione della funzione assegnata

<G> Studiare il segno dif

<H> Studiare la crescenza dif

Calcolare lim

x→+∞f (x)

<J> Studiare la derivabilit`a dif e disegnarne il grafico.

(13)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame Giugno 1993

Prova d’Esame Giugno 1993

|y0(x)| =p4 −y2_(x)

<A> Trovare tutte le soluzioni dell’equazione tali chey(0) = 0 e disegnarne il grafico.

Trovare tutte le soluzioni dell’equazione tali chey(0) = 2 e disegnarne il grafico.

<C> Trovare tutte le soluzioni dell’equazione e disegnarne il grafico.

<D> Stabilire per quali valori x0 ed y0 esiste ed `e unica la soluzione del problema di Cauchy associato

all’equazione assegnata ed al valore inizialey(x0) =y0

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

g(t) = e

− ln(t4₊₁₎

t − 1

<E> Dopo aver trovato il campo di definizione della funzione assegnata, calcolare l’ordine di infinitesimo di g per t → +∞ e l’ordine di infinito di g per t → 1.

<F> Determinare il campo di definizione di f (x) = Z x2−x

x

g(t)dt

<G> Calcolare, se esiste, lim

x→+∞f (x)

<H> Calcolaref0_(x)

Disegnare il grafico dig per t > 1.

(14)

Prova d’Esame Luglio 1993

y00(x) + |y(x)| = 0

<A> Stabilire se l’insieme delle soluzioni dell’equazione differenziale data costituisce uno spazio vettoriale ed, in caso affermativo, determinarne la dimensione.

Trovare tutte le soluzioni dell’equazione tali chey(0) = 0, precisando il loro campo di definizione

<C> Trovare, se possibile, tutte le soluzioni dell’equazione tali chey(0) = 0 e y0_{(0) = 1, che assumano anche}

valori negativi, precisando il loro campo di definizione

<D> Trovare tutte le soluzioni dell’equazione tali che y(0) = 0 e y0_{(0) = −1 precisando il loro campo di}

definizione

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si considerino le funzioni f (y) = Z y 0 1 2t − 1dt a(x) = 1 1 +x2 b(x) = x 1 +x2

<E> Disegnare il grafico dif

<F> Esprimere f in termini di funzioni elementari.

<G> Disegnare i grafici dia e b avendo cura di precisare la loro mutua posizione.

<H> Determinare il campo di definizione di

g(x) = f (b(x)) − f (a(x))

Calcolareg0_(x).

(15)

Prova d’Esame Settembre 1993

y0(x) = |x|py(x)

<A> Determinare, al variare di (x0, y0), se esiste soluzione del problema di Cauchy ottenuto associando

all’equazione data la condizioney(x0) =y0.

Trovare tutte le soluzioni dell’equazione tali che y(1) = 0, precisando il loro campo di definizione e disegnandone il grafico.

<C> Trovare tutte le soluzioni dell’equazione tali che y(−1) = 0, precisando il loro campo di definizione e disegnandone il grafico.

<D> Trovare tutte le soluzioni dell’equazione tali che y(0) = 0, precisando il loro campo di definizione e disegnandone il grafico.

<E> Precisare l’ordine di infinitesimo delle soluzioni trovate ai punti precedenti inx0.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

f (x) =p|x − 1| ln |x| <F> Determinare il campo di definizione e di derivabilit`a dif

<G> Calcolare la derivata dif .

<H> Determinare l’insieme in cuif `e crescente e quello in cui f `e decrescente

Disegnare il grafico dif .

<J> Calcolare, se esiste, la retta tangente al grafico dif nel punto x0= 1

(16)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame Dicembre 1993

Prova d’Esame Dicembre 1993

f (x) = x x3_{+ 1}

<A> Disegnare il grafico dif

Disegnare il grafico di F (x) = Z x 0 f (t)dt <C> Calcolare lim x→+∞F (x)

<D> Trovare tutte le primitive dif

<E> CalcolareF (.1) a meno di .001

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

(y0(x))2= 1 +y(x)

<F> Determinare una soluzione della equazione differenziale tale chey(0) = 1.

<G> Determinare una soluzione della equazione differenziale tale chey(0) = −2.

<H> Trovare tutte le soluzioni tali chey(0) = −1.

Disegnare il grafico di tutte le soluzioni.

<J> Studiare l’unicit`a delle soluzioni al variare dei valori iniziali.

(17)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame Gennaio 1994

Prova d’Esame Gennaio 1994

f (x) =

Z 2+cos x

sin x

(t − 1) ln(t − 1)dt

<A> Determinare il campo di definizioneD di f

Determinare il sottoinsieme diD in cui f `e continua

<C> Calcolare, dove esiste,f0(x)

<D> Stabilire sef `e crescente o decrescente

<E> Disegnare il grafico dif .

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

y0(x) + cos(y(x)) = sin x con il dato inizialey(0) = 0

<F> Stabilire se la soluzione esiste e se `e unica.

<G> Determinare lo sviluppo di McLaurin diy del primo ordine centrato in 0 e tracciare il grafico qualitativo diy in un intorno di 0.

<H> Scrivere e valutare il resto di Lagrange di ordine 2 (relativo al polinomio di primo grado diy centrato in 0)

Supponendo la soluzioney definita su tutto R, trovare un polinomio di grado 2 maggiorante y ed uno minorante y; disegnarne il grafico ed indicare la zona di piano da essi delimitata entro cui si trova la soluzioney.

(18)

Prova d’Esame Febbraio 1994

Si considerino le funzioni a(x) = x − E(x) , b(x) = 1 + 1 E(x) f (x) = Z b(x) a(x) 1 √ t − 1dt

<A> Disegnare il grafico dia.

Disegnare il grafico dib.

<C> Determinare i puntix ∈ R per i quali a(x) ≤ b(x).

<D> Determinare il campo di definizione dif .

<E> Disegnare il grafico dif precisando se `e crescente, decrescente, se ammette punti di massimo di minimo o di flesso.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

y00(x) + y0(x) = |x2_{− 1|}

<F> Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata

<G> Determinare le soluzioni dell’equazione completa definite per |x| > 1

<H> Determinare le soluzioni dell’equazione completa definite per |x| < 1

Determinare le soluzioni, se esistono, dell’equazione completa definite su tutto R.

(19)

Prima Prova Parziale 93/94

Si consideri, al variare dik ∈ R, la funzione

fk(x) = x3E(arctan x) + kx2

oveE indica la funzione parte intera.

<A> Disegnare il grafico dif0,f1 ef2.

Stabilire se `e possibile trovarek in modo che fksia continua su R e giustificare brevemente l’affermazione.

<C> Determinarek in modo che fk sia monotona in [−2, 0].

<D> Determinare l’inversa difk per i valori dik determinati precedentemente precisandone dominio e rango.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la successione definita per ricorrenza mediante la (a_n+1=a_na_n−1

a0= 1

a1= 2

<E> Determinare una regola di ricorrenza e i primi due termini di una successionekn in modo che

an= 2kn

<F> Determinare i due valorit = λ e t = µ in corrispondenza dei quali kn=tnsoddisfa la regola di ricorrenza

determinata nel punto precedente perkn.

<G> Verificare chekn =αλn+βµn soddisfano la regola di ricorrenza trovata precedentemente.

<H> Determinareα e β in modo che

k0= 0 k1= 1

Trovare una espressione esplicita dikn ean, in funzione di n

<J> Calcolare limkn e liman

(20)

Seconda Prova Parziale 93/94

Si consideri fh(x) =    0_x x < 0 h 0 ≤x ≤ h 1 x > h e l’equazione differenziale lineare

y0_{(x) = f}

h(x)y(x) + kx

ovek ∈ R.

<A> Trovare tutte le soluzioni definite perx < 0

Trovare tutte le soluzioni definite per 0< x ≤ h

<C> Trovare tutte le soluzioni definite perx > h

<D> Trovare tutte le soluzioni definite perx ∈ R

<E> Precisare la struttura dell’insieme delle soluzioni definite su R

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri f (x) = (₀ _{x ≤ 0} 1 0< x ≤ 1 −2 x > 1 ed F (x) = Z x f (x) sin4(t − 3) |t − 3|p|t − 2|dt

<F> Determinare il campo di definizione di F .

<G> Studiare segno, crescenza e decrescenza diF .

<H> Studiare i limiti diF agli estremi del campo di definizione precisando se sono finiti o infiniti.

Calcolare, dove esiste,F0_(x)

<J> Disegnare il grafico diF

(21)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame 14 giugno 1994

Prova d’Esame 14 giugno 1994

Si consideri

f (x) = e

x

p|x| + 1

<A> Determinare campo di definizione e limiti agli estremi del campo dif .

Calcolare, dove esiste,f0₍_{x) e studiarne il segno.}

<C> Determinare eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti dif .

<D> Studiare la derivabilit`a diF (x) =Rx

0 f (t)dt calcolando, ove possibile, F

0_{(x) e studiandone il segno}

<E> Disegnare il grafico diF (x)

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri

f (x, y) = x2₊ 2

y2

<F> Determinare il campo di definizione di f .

<G> Stabilire per quali valori dell’argomentof `e derivabile.

<H> Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico dif nel punto (x0, y0) = (1, 1).

Disegnare le curve di livello dif

<J> Calcolare

Z Z

D

f (x, y)dxdy D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤x ≤ 2 , 2 ≤ y ≤ 3}

(22)

Prova d’Esame 29 giugno 1994

Si consideri

f (t) =nt − 1 t < 0 t2 _{t ≥ 0}

e l’equazione differenziale

y0_{(x) = f (y(x))}

<A> Determinare tutte le soluzioni positive e disegnarne il grafico.

Determinare tutte le soluzioni negative e disegnarne il grafico.

Si consideri poi il problema di Cauchy ottenuto associando all’equazione data, il valore inizialey(x0) =y0

<C> Determinare per quali (x0, y0) ∈ R2 esiste almeno una soluzione.

<D> Determinare per quali (x0, y0) ∈ R2 esiste una sola soluzione.

<E> Trovare le soluzioni che corrispondono ai dati iniziali

(0, 0) (0, 1) (0, −1)

precisandone il campo di definizione e disegnandone il grafico.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri

f (x, y) = x2_{+ 3x + 2xy}

<F> Determinare il campo di definizione di f e disegnarne le curve di livello.

<G> Stabilire per quali valori dell’argomentof `e derivabile parzialmente.

<H> Calcolare ∇f (x, y) Calcolare Z Z D f (x, y)dxdy

<J> Calcolare massimi e minimi assoluti dif su

D = {(x, y) ∈ R2 _{: 0 ≤}_{x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 3 , y ≤ x + 1}}

(23)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame 19 Luglio 1994

Prova d’Esame 19 Luglio 1994

Si consideri f (x) =n−t t > −1 0 t ≤ −1 e l’equazione differenziale y00_{(x) = f (y(x))} y0(0) = 0

<A> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione il cui grafico giace sopra la retta y = −1 e disegnarne il grafico.

Determinare tutte le soluzioni dell’equazione il cui grafico giace sotto la retta y = −1 e disegnarne il grafico.

Si consideri poi il problema di Cauchy ottenuto associando all’equazione data, il valore inizialey(0) = α <C> Studiare al variare di α esistenza ed unicit`a della soluzione e disegnare, ove possibile, il grafico delle

soluzioni al variare del dato inizialeα.

<D> Sia α > 0, indicare quale delle tre seguenti grandezze pu`o essere rappresentata dalla soluzione del problema dato e perch`e.

a) la posizione di un corpo, libero di muoversi su una retta, vincolato mediante una fune elastica all’origine, abbandonato a distanzaα. Sulla retta `e presente un meccanismo che recide la fune non appena il corpo raggiunge distanza 1 dalla parte opposta.

b) la posizione di un corpo, libero di muoversi su una retta, soggetto ad una forza repulsiva inversamente proporzionale alla distanza dall’origine, abbandonato a distanzaα. Sulla retta `e presente un meccanismo che interrompe la forza non appena il corpo raggiunge distanza 1 dalla parte opposta.

c) la posizione del baricentro di una sfera di raggio 1 abbandonata ad altezza α sopra la superficie del mare.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri

f (x, y) = x + y + x2 <E> Determinare il campo di definizione dif .

<F> Disegnarne le curve di livello. <G> Calcolare

∇f (x, y)

e determinare tutti i punti in cui il gradiente si annulla precisando se sono di massimo o di minimo relativo.

<H> Calcolare massimi e minimi assoluti dif su

D = {(x, y) ∈ R2 _{: 0 ≤}_{x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x}2_}

(24)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame 19 Luglio 1994 Calcolare Z Z D f (x, y)dxdy 24- PrG.TEX— [PrG94.TEX]

(25)

Prova d’Esame Settembre 1994

Si consideri

f (x) = eE(ln x)

<A> Disegnare il grafico dif .

Dimostrare che x e ≤ f (x) < x <C> Calcolare lim x→0+f (x) x→+∞lim f (x) <D> Stabilire sef `e integrabile su [1/10, 1] su [1, +∞) e su [1/10, +∞)

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si considerino tutti i rettangoli, i cui lati saranno indicati conx e y, soddisfacenti le seguenti condizioni: -a) la differenza tra i due lati `e superiore o uguale a 1

-b) il lato maggiore `e minore o uguale a 3 ed il lato minore `e compreso tra 1 e 2

<E> Esprimere area, perimetro e diagonale di un generico rettangolo soddisfacente le condizioni sopra scritte, in funzione dix e di y.

<F> Trovare, nel pianox, y i punti che corrispondono a rettangoli aventi la stessa area.

<G> Trovare, nel pianox, y i punti che corrispondono a rettangoli aventi lo stesso perimetro.

<H> Trovare, nel pianox, y i punti che corrispondono a rettangoli aventi la stessa diagonale.

Trovare tra tutti i rettangoli considerati, quello di area, perimetro, diagonale massima e minima.

(26)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame Dicembre 1994

Prova d’Esame Dicembre 1994

Si consideri f (x) =        x2 _{x ≤ 0} (x − 1)3_{− 1} ₀_{< x < 3} 1 /x2 x > 3

Disegnare il grafico dif0 <C> Disegnare il grafico di F (x) = Z x 1 f (t)dt

<D> Trovare tutte le primitive dif

<E> Stabilire se_{f `e monotona e se f `e invertibile su R.}

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

y0(x) =py2₍_x)

<F> Stabilire per quali (x0, y0) c’`e esistenza ed unicit`a della soluzione del problema di Cauchy relativo

all’equazione data ed al dato inizialey(x0) =y0

<G> Determinare la soluzione tale chey(0) = 0 precisarne il campo di definizione e disegnarne il grafico.

<H> Determinare la soluzione tale chey(0) = 1 precisarne il campo di definizione e disegnarne il grafico.

Determinare la soluzione tale chey(0) = −1 precisarne il campo di definizione e disegnarne il grafico.

<J> Disegnare il garfico di tutte le soluzioni dell’equazione data.

(27)

Prova d’Esame Febbraio 1995

Si consideri l’equazione y(x) = Z x 0 1 1 +y2_(t)dt

<A> Provare che ogni soluzione continuay dell’equazione assegnata `e crescente nel suo campo di definizione

Provare che ogni soluzione continuay dell’equazione assegnata `e convessa nella parte del suo campo di definizione che appartiene al semiasse positivo dellex e che `e concava nella restante parte

<C> Determinare il campo di definizione diy

<D> Disegnare il grafico diy

<E> Determinare il polinomio di McLaurin di secondo grado diy

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la funzione definita da

f (x, y) = sin(x) sin(y) (x, y) ∈ [−π, π] × [−π, π]

<F> Indicare nel piano (x, y) le zone in cui f `e positiva e quelle in cui f `e negativa.

<G> Disegnare la curva di livello di altezza 1/2

<H> Determinare massimi e minimi assoluti dif

Stabilire per quali valori diα l’equazione f (x, y) = α ammette soluzioni

<J> Calcolare

Z Z

[−π,π]×[−π,π]

f (x, y)dxdy

(28)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame Marzo 1995

Prova d’Esame Marzo 1995

   y0(x) = ey2(x) Z y(x) 0 e−t2dt y(x0) =y0

<A> Studiare esistenza ed unicit`a della soluzione del problema assegnato

Determinare tutte le soluzioni costanti dell’equazione data

<C> Trovare tutte le soluzioni corrispondenti ax0= 0,y0= 1

<D> Disegnare il grafico delle soluzioni di cui al punto precedente

<E> Disegnare il grafico delle soluzioni del problema assegnato al variare dix0ey0

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

fk(x) = (x3− k2x)e−x

2

<F> Determinare campo di definizione e calcolare i limiti agli estremi del campo difk, al variare dik ∈ R

<G> Calcolaref0

k(0),fk0(k) e limx→+∞fk0(x), al variare di k ∈ R

<H> Tenendo conto chef0

k `e pari stabilire chefk0 ammette uno zero in (0, k) ed uno zero in (k, +∞).

Disegnare il grafico difk

<J> Disegnare il grafico dig(x) =Rx

0 f (t)dt

(29)

Prima Prova Parziale 94/95

(

an+1= −

an

n(n + 3) a1= 1

<A> Provare che

an= (−1)n−1

6 (n − 1)!(n + 2)!

Determinare al variare diα, β ∈ R una espressione esplicita della successione (

bn+1=α

bn

n(n + 3) b1=β

<C> Verificare che la successionebn `e infinitesima di ordine superiore axn ∀x ∈ R+

<D> Stabilire se le successionicn tali che

cn+1=

cn

n(n + 3) formano uno spazio vettoriale.

<E> Determinare, se possibile, la dimensione dello spazio vettoriale di cui al punto precedente.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

f (x) = 1 xα E(x) X k=0 k

ove con_{E(·) si `e indicate la parte intera ed α ∈ R}+.

<F> Determinare il campo di definizione di f e calcolare f (n) per ogni n ∈ N <G> Verificare che sen ≤ x < n + 1 si ha

f (x) ≤ 1 nα

n(n + 1) 2

<H> Stabilire per qualiα ∈ R+f `e decrescente su R+

Disegnare il grafico dif su [1, 4]

<J> Perα = 3 disegnare il grafico di f su R+ e calcolare

lim

x→+∞f (x)

(30)

Seconda Prova Parziale 94/95

   2 ˙x(t) = −x(t) + 2y(t) ˙ y(t) = y(t) + z(t) 2 ˙z(t) = 2z(t) + x(t)

<A> Studiare esistenza ed unicit`a della soluzione del sistema dato

Determinare tutte le soluzioni del sistema

<C> Scrivere una matrice fondamentale del sistema

<D> Trovare tutte le soluzioni del sistema non omogeneo ottenuto in corrispondenza del termine noto

B(t) =   1 0 2  

<E> Trovare le soluzioni del sistema omogeneo tali che x(0) = y(0) e precisare la dimensione dello spazio vettoriale da esse generato.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri il problema di Cauchy    y0(x) = e −x2 p|1 − x2_| y(x0) =y0

<F> Determinare i valorix0, y0∈ R per i quali il problema assegnato ammette soluzione e studiarne l’unicit`a.

<G> Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai valori x0 = y0 = 0 precisandone il campo di

definizione

<H> Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai valorix0= 2 y0= 0 precisandone il campo di

definizione

Disegnare il grafico di tutte le soluzioni del problema assegnato.

<J> Stabilire se le soluzioni del problema sono limitate sul loro campo di definizione

(31)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame 22 Giugno 1995

Prova d’Esame 22 Giugno 1995

f (x, y) = ex_{+ 2y}2_x

<A> Determinare l’insieme in cuif è definita, è derivabile, è differenziabile e il rango di f

Disegnare le curve di livello dif

<C> Calcolare g0₍_{t) dove g(t) = f (x(t), y(t)) e x, y ∈ C}1

(R)

<D> Calcolare

Z Z

[1,2]×[2,3]

f (x, y)dxdy

<E> Calcolare massimi e minimi assoluti dif su [1, 2] × [2, 3]

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si considerino le funzioni φ(x) = ex_{− 1} _{ψ(x) = ln(1 + x)} _{f (x) =}Z φ(x) ψ(x) 1 tdt

<F> Determinare l’insieme di definizione dif

<G> Stabilire sef è prolungabile per continuità dove non è definita

<H> Calcolaref0₍_x)

Studiare le funzioni

1 −e−x _{(x + 1) ln(1 + x)}

(`e utile per il seguito provare che i grafici delle due funzioni sono uno al di sopra ed uno al di sotto di una retta opportuna)

<J> Studiare il segno dif0₍_{x) e disegnare il grafico di f}

(32)

Prova d’Esame Luglio 1995

f (x) =n1 x ≥ 0 0 x < 0

<A> Disegnare il grafico dih(x) = f (sin x) e di g(x) = sin(f (x)) precisando se g ed h sono periodiche, se sono continue su [1, +∞) e se sono integrabili su [−π, π]

Disegnare il grafico dih1(x) = f (x sin x) e di g1(x) = sin(xf (x))

<C> Determinare tutte le primitive dig1, precisandone il campo di definizione

<D> Risolvere il problema di Cauchy

y0_{(x) = f (x)}

y(1) = 0

<E> Risolvere il problema di Cauchy

y0_{(x) = f (y(x))}

y(1) = 0

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

y000(x) + y00(x) + 2y0(x) + 2y(x) = 0

<F> Determinare l’integrale generale dell’equazione data.

<G> Scrivere un sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine equivalente alla equazione data.

<H> Scrivere l’integrale generale del sistema e dell’equazione

Scrivere una matrice fondamentale del sistema

<J> Determinare tutte le soluzioni del sistema che sono limitate, precisando se formano uno spazio vettoriale ed, in caso affermativo, determinare la dimensione di tale spazio

(33)

Prova d’Esame Settembre 1995

Si consideri la funzione f (x) = 1 x Z x 0 et_{− 1} t dt

<A> Determinare il campo di definizione dif

Stabilire sef `e prolungabile nell’origine, ed in caso affermativo trovarne il prolungamento.

<C> Studiare la derivabilit`a dif ed, eventualmente, del suo prolungamento.

<D> Determinare il polinomio di Taylor dif di ordine 1 centrato in 0.

<E> Determinareδ in modo che |f (x) − 1| ≤ δ in [−δ, δ].

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

y0_{(x) = log y(x)}

y(0) = y0

<F> Studiare esistenza ed unicit`a della soluzione y(x, y0) del problema di Cauchy assegnato.

<G> Disegnare il grafico delle soluzioni pery0< 1

<H> Disegnare il grafico delle soluzioni pery0> 1

Provare che esiste

f (y0) = lim

x→0y(x, y0)

<J> Trovare, se esistono, massimo e minimo dif (y0).

(34)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame Novembre 1995

Prova d’Esame Novembre 1995

Si consideri la funzione fa(x) = Z x a 1 sinhtdt (Si ricorda che sinht = et−e−t

2 )

<A> Disegnare il grafico di 1

sinh e stabilire, al variare dia il campo di definizione di fa

Disegnare il grafico difa

<C> Calcolare tutte le primitive di _sinh1

<D> Calcolare la primitiva di _sinh1 che passa per (1, 0)

<E> Pera = 1, determinare, se esiste, l’inversa di fa e disegnarne il grafico.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri il problema di Cauchy    y0(x) = 1 sinh(x) y(0) = a

<F> Studiare, al variare di a ∈ R, esistenza ed unicit`a della soluzione y(x, a) del problema di Cauchy assegnato.

<G> Disegnare il grafico qualitativo della soluzione al variare dia ∈ R.

<H> Studiare concavit`a e convessit`a delle soluzioni nel loro campo di definizione.

Determinare la soluzione

<J> Determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 2 della soluzione centrato inx = 0

(35)

Prova d’Esame Febbraio 1996

f (x) = e

x2

x2₊_x

<A> Stabilire dovef `e definita, continua, derivabile.

Determinare il comportamento ai limiti del campo di definizione

<C> Disegnare il grafico dif

<D> Determinare un funzione razionale che approssimi f a meno di un infinitesimo di ordine superiore al primo in un intorno dix0= 0.

<E> Scrivere la retta tangente al grafico dif nel punto x0= 1

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

f (x, y) = xy

<F> Determinare il campo di definizione di f

<G> Stabilire dovef `e differenziabile

<H> Calcolare ∇f (x, y) e f0₍₍_{x, y), (a, b))}

Determinare massimi e minimi dif sul triangolo di vertici A = (0, 1), B = (1, 0), C = (0, 0)

<J> Determinare il piano tangente al grafico diz = f (x, y) in (1, 1)

(36)

Prima Prova Parziale 95/96

f (x) = (sin(x) − 1)2_{+ 4}

<A> Determinare una funzioneg in modo che f (x) = g(sin x)

Studiare crescenza e decrescenza di g, successivamente disegnarne il grafico e dedurne crescenza e decrescenza dif .

<D> Disegnare con cura il grafico dif su [0, 5] Determinando maggioranti e minoranti, estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo dif su [0, 5]

<E> Verificare chef `e strettamente crescente in [π/2, π] e calcolare l’inversa di f ristretta a tale intervallo

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la successione an+1= an n a0=k 2

<F> Provare chean `e decrescente

<G> Provare chean ammette limite finito e calcolarlo

<H> Calcolare

lim

x→0

sin(x2_{) −}√_x

4e√x_{− 1}

Determinare l’ordine di infinitesimo in 0+ _{di sin(x}2_{) −}_x

<J> Stabilire per quali valori diα la funzione

sin(x2_{) −}√_x

4(e√x_{− 1)}α

`e prolungabile per continuit`a in 0

(37)

Seconda Prova Parziale 95/96

Si consideri la funzione f (x) = Z x −∞ 1 (et_{− 1) ln(1 + t}2₎dt

<A> Determinare il dominio dif e calcolare i limiti agli estremi del campo di definizione

Calcolare la derivataf0 e studiare crescenza e decrescenza dif Si consideri g(x) = Z tan |x| −∞ 1 (et_{− 1) ln(1 + t}2₎dt <C> Disegnare il grafico dig <D> Determinare il rango dig

<E> Calcolare la derivata dig, precisando il suo campo di esistenza

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri il problema di Cauchy    y0(x) = e y(x)_{− 1} x y(x0) =y0

<F> Studiare esistenza ed unicit`a delle soluzioni del problema dato

<G> Determinare la soluzione perx0= 1, y0= 1

<H> Determinare la soluzione perx0= 1, y0= 0

Calcolarey00_{(1) per}_x

0= 1,y0= 1

<J> Disegnare il grafico di tutte le soluzionial variare dix0,y0.

(38)

Prova d’Esame 14 giugno 1996

f (x) = 2x(ln x − 1) +5 2ln(x

2_{+ 1) − 5x arctan x}

<A> Determinare il dominio dif e calcolare i limiti agli estremi del campo di definizione

Disegnare il grafico dif0 _{e studiare crescenza e decrescenza di}_f

<D> Determinare il numero degli zeri dif e determinarne il segno

<E> Disegnare il grafico diRx

0 f (t)dt

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la funzione f (x, y) =x 2 _{|y| ≥ x}2 y |y| < x2

<F> Determinare il campo di definizione di f e precisare dove f `e continua

<G> Disegnare i livelli dif

<H> Studiare la derivabilit`a parziale dif

Calcolare massimi e minimi assoluti dif su Q = [0, 1] × [0, 1]

<J> CalcolareR R_Qf (x, y)dxdy

(39)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame 15 luglio 1996

Prova d’Esame 15 luglio 1996

Si consideri il problema

y(x) = π + Z x

0

cos2y(t)dt

<A> Scrivere un problema di Cauchy equivalente al problema dato.

Determinare la soluzione del problema dato e disegnarne il grafico.

<C> Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 3 della soluzioney del problema dato

<D> Disegnare il grafico diy−1 _{ove `}_{e definita}

<E> Verificare che

|y(x)| ≤ π + |x|

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la funzione f (x, y) = Z x 0 ye−t2dt

<F> Determinare il campo di definizione di f e precisare dove f `e continua

<G> Disegnare i livelli dif

<H> Studiare la derivabilit`a parziale dif

Calcolare massimi e minimi assoluti dif su Q = [0, 1] × [0, 1]

<J> Calcolare le derivate direzionali dif in (0, 0).

(40)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame 1 ottobre 1996

Prova d’Esame 1 ottobre 1996

Si consideri il problema di trovare una funzionef tale che

f (x) = Z x

0

cosf (t)dt

<A> Stabilire se esiste una soluzione del problema.

Determinare la soluzione del problema dato.

<C> Scrivere il polinomio di Mc Laurin di ordine 2 della soluzionef del problema dato

<D> Disegnare il grafico dif e confrontarlo con quello del suo polinomio di Mc Laurin

<E> Disegnare il grafico dif−1 _{in un intorno di 0}

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

f (x) = 4 arctan(√x + 2) −√x + 2

<F> Determinare il campo di definizione di f e precisare dove f `e continua e derivabile

<G> Studiare crescenza, decrescenza, massimi e minimi dif

<H> Studiare convessit`a e flessi dif

Studiare l’esistenza di zeri perf , precisandone il numero ed il segno.

<J> Disegnare il grafico dif−1 _{in un intorno di 0.}

(41)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame 6 Dicembre 1996

Prova d’Esame 6 Dicembre 1996

y0(x) = 2py(x) x2_{− 1}

<A> Studiare esistenza ed unicit`a della soluzione dell’equazione data.

Determinare la soluzione dell’equazione data tale chey(0) = 0.

<C> Determinare la soluzione dell’equazione data tale chey(0) = 2.

<D> Determinare la soluzione dell’equazione data tale chey(0) = −2.

<E> Disegnare il grafico delle soluzioni di cui ai precedenti punti.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

f (x) = E(x2_{− xe}x₎

(Ricordiamo cheE(x) indica la parte intera di x)

<F> Determinare il campo di definizione di f e precisare dove f `e continua e derivabile

<G> Studiare crescenza, decrescenza, massimi e minimi dif

<H> Studiare convessit`a e flessi dif

Studiare l’esistenza di zeri perf , precisandone il numero ed il segno.

<J> Disegnare il grafico diRx

4

0 f (x)dx .

(42)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame 18 febbraio 1996

Prova d’Esame 18 febbraio 1996

   y00(x) + x2_y0_{(x) = x}2 y(0) = 0 y0(0) = 0

<A> Determinare la soluzione del problema, precisandone il campo di definizione

Disegnare il grafico della soluzione, precisando dove `e convessa.

<C> Stabilire se l’insieme delle soluzioni della sola equazione costituisce uno spazio vettoriale o uno spazio lineare affine ed, in caso affermativo, determinarne la dimensione

<D> Determinare, se possibile, l’ordine di infinito della soluzione perx → +∞

<E> Determinare, se possibile, l’ordine di infinito della soluzione perx → −∞

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la funzione f (t) = t 16_{− 256} t32_{− 1} <F> Disegnare il grafico di f <G> Disegnare il grafico dif0

<H> Disegnare il grafico della funzione che rappresenta l’area compresa tra l’asse delle ascisse, il grafico dif e le rette parallele all’asse delle ordinate che hanno ascissa 0 edx

Determinare l’ordine di infinitesimo dif nei punti in cui f `e infinitesima.

<J> Determinare l’ordine di infinito dif nei punti in cui f `e infinita.

(43)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame 9 aprile 1996

Prova d’Esame 9 aprile 1996

<A> Disegnare il grafico di una funzione derivabile con derivata continua su R tale che il coefficiente angolare della retta tangente al suo grafico in un punto `e uguale al valore della funzione nello stesso punto aumentato di 1.

Studiare l’unicit`a della soluzione del problema precedente.

<C> Determinare, se `e possibile una soluzione del problema dato il cui grafico passi per il punto (0, 1)

<D> Dettaf la soluzione del problema di cui al punto precedente, calcolare f0(0)

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la famiglia di funzioni

fk(x) = kx2+x ln x <E> Calcolaref0 k(x) e di fk00(x) <F> Disegnare il grafico di f0 2(x) e di f−1/40 (x) <G> Disegnare il grafico dif2(x) e di f−1/4(x) <H> Disegnare il grafico dif0 k(x)

Disegnare il grafico difk(x)

(44)

Prima Prova Parziale 96/97

f (x) = x

2₊_{x + 1}

x + 1

<A> Studiare la funzioneg(x) = f (x) − x, disegnandone un grafico approssimativo.

Studiare crescenza e decrescenza dif , giustificando brevemente i risultati senza far uso di derivate. (Si possono utilizzare i risultati ottenuti nel punto precedente)

<D> Stabilire se f `e invertibile su [0, +∞) e determinare in caso affermativo la sua inversa disegnandone inoltre il grafico.

<E> Verificare usando la definizione che

lim

x→+∞f (x) = +∞

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri per ognin ∈ N

f (n) = n

2

n!

<F> Determinare

{n ∈ N : f(n) > f(n + 1)}

<G> Determinare estremo superiore e massimo di

n2 n! Siano α = 210 _{β = 10}10 _{f (x) = x}α_{+ 1} _{g(x) = log} βx <H> Disegnare il grafico dif e di g

Disegnare il grafico dif (g(·))

<J> Disegnare il grafico dig(f (·))

(45)

Seconda Prova Parziale 96/97

f (x) = ( ₁

x2_{+ 1} x ≥ 0

ax + b x < 0

<A> Disegnare il grafico dif al variare di a, b ∈ R.

Determinarea, b in modo che f sia derivabile in R

<C> Per i valori dia, b per cui f `e continua, determinare il pi`u grande valore dic in modo che f sia invertibile in (−∞, c]

Siano

g(x) = ex _{h(x) = ln x}

<D> Per i valori dia, b per cui f `e continua, disegnare il grafico di

f (g(x)) f (h(x))

<E> Per i valori dia, b per cui f `e continua, disegnare il grafico di

g(f (x)) h(f (x))

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

an+1=f (n) + an

a0= 1

dovef : R → [0 + ∞) `e una funzione continua.

<F> Dimostrare chean≥ 0 ∀n ∈ N

<G> Dimostrare chean `e crescente

<H> Dimostrare che sean → ` ∈ R allora limnf (n) = 0

Calcolare limnan nel caso in cuif (x) = x

<J> Dimostrare che an= 1 + n−1 X k=0 f (k) 45- PrG.TEX— [PrG97.TEX]

(46)

Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 96/97

Terza Prova Parziale 96/97

Si consideri la funzione f (x) = Z x+1 1 x 2 p(t + 1)|t − 2|dt

<A> Determinare il campo di definizioneD di f .

Stabilire se esistono e se sono finiti i limiti dif agli estremi del campo di definizione.

<C> Stabilire dovef `e derivabile e calcolarne la derivata prima.

<D>

Tracciare il grafico dif senza tenere conto della derivata seconda.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

xy0_{(x) = y}2_{(x) − y(x)}

y(2) = k

<E> Determinare per quali valori dik il problema ammette una soluzione locale e studiarne l’unicit`a.

<F> Determinare la soluzione che corrisponde a k = 3, precisandone il campo di definizione.

<G> Determinare la soluzione che corrisponde ak = −1, precisandone il campo di definizione.

<H> Determinare la soluzione che corrisponde ak = 0.5, precisandone il campo di definizione.

Disegnare il grafico di tutte le soluzioni del problema dato.

<J> Disegnare il grafico delle soluzioni del problema di Cauchy xy0_{(x) = y}2

(x) − y(x) y(0) = k

precisando per qualik la soluzione esiste e studiandone l’unicit`a.

(47)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame 17 Giugno 1997

Prova d’Esame 17 Giugno 1997

Si consideri la funzione f (x) = Z x x 1+x2 √ 4t − 1 et2 dt

<A> Determinare il campo di definizioneD di f .

Stabilire se esistono e se sono finiti i limiti dif agli estremi del campo di definizione.

<C> Stabilire dovef `e derivabile e calcolarne la derivata prima.

<D> Determinare un maggiorante ed un minorante dif nel suo campo di definizione

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri il problema di Cauchy    y00(x) = max{2, y(x)} y(x0) =a y0(x0) =b

<E> Studiare esistenza ed unicit`a locale della soluzione.

<F> Determinare la soluzione che corrisponde a x0= 0,a = 1 e b = 0 precisandone il campo di definizione.

<G> Determinare la soluzione che corrisponde ax0= 0,a = 2 e b = 0 precisandone il campo di definizione.

<H> Determinare il polinomio di McLaurin di grado 2 della soluzione che corrisponde ax0= 0,a = 1 e b = 1

Determinare il polinomio di McLaurin di grado 3 della soluzione che corrisponde ax0= 0,a = 1 e b = 1

(48)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame 14 Luglio 1997

Prova d’Esame 14 Luglio 1997

Si consideri il luogo Γ dei punti del piano tali che

x3₊_{xy + y}3_{= 0}

<A> Determinare, al variare dim il numero ,delle intersezioni di Γ con la retta y = mx

Esprimere, in funzione dim, l’ascissa dei punti di intersezione di Γ con la retta y = mx

<C> Esprimere, in funzione dim, l’ordinata dei punti di intersezione di Γ con la retta y = mx

<D> Disegnare il grafico delle funzioni trovate nei punti precedenti.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la funzioney : [−δ, δ] → R che soddisfa le condizioni:    y0_{(x) = 2 arctan y(x) +}Z x 0 cosy(t)dt y(0) = 0

(si suppone che tale funzione esista e sia unica per ogniδ > 0)

<E> Scrivere il polinomio di McLaurin diy di secondo grado

<F> Trovare un maggiorante pery0 _e_y00_{su [−}_{δ, δ]}

<G> Determinareδ in modo che la differenza tra y e la sua retta tangente sia inferiore a 0.1 su [−δ, δ] .

<H> Calcolarey(4)_(0).

Stabilire se 0 `e un punto di minimo o massimo relativo pery.

(49)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame 29 Settembre 1997

Prova d’Esame 29 Settembre 1997

(xy(x))0_{= ln}_x

y(1) = −1

<A> Stabilire se l’equazione data `e lineare e studiare esistenza ed unicit`a della soluzione del problema.

Determinare esplicitamente la soluzione del problema dato, precisandone il campo di definizione.

<C> Disegnare il grafico della soluzione.

<D> Determinare il polinomio di Taylor di grado 4 della soluzione del problema dato centrato inx = 1

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la successione ( an+1= an n(n + 1) a1= 1

<E> Provare chean `e decrescente.

<F> Provare chean `e positiva.

<G> Stabilire se il limite dian esiste ed, in caso affermativo, calcolarlo.

<H> Provare, se `e vero, che

an =

1 n!(n − 1)!

Scrivere l’enunciato del criterio di convergenza di Cauchy per le successioni.

(50)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame 9 Dicembre 1997

Prova d’Esame 9 Dicembre 1997

Si consideri

y00(x) − y(x) = f (x) dove

f (x) =n0 x < 0 ex_{− 1} _{x ≥ 0}

<A> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione data su R−

Determinare tutte le soluzioni dell’equazione data su R−

<C> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione data su R

<D> Disegnare il grafico della soluzione dell’equazione data tale chey(0) = y0_{(0) = 0}

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

f (x) = |x2_{− |x||e}|x2_−|x||

<E> Studiare definizione continuit´a e derivabilit´a dif .

<F> Disegnare il grafico di f

<G> Stabilire sef `e invertibile su R, giustificando le affermazioni.

<H> Determinare, se possibile, l’inversa dif su [1, +∞)

Calcolare, se esiste (f−1_)0(2e2₎

(51)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame 13 Febbraio 1998

Prova d’Esame 13 Febbraio 1998

y0(x) =py2_{(x) − 1}

<A> Disegnare il grafico della soluzione dell’equazione tale chey(0) = 2

Calcolare una primitiva di

g(t) = √ 1 t2_{− 1}

<C> Determinare una espressione esplicita della soluzioney del problema di Cauchy associato al dato iniziale y(0) = 2

<D> Determinare una espressione esplicita della soluzioney del problema di Cauchy associato al dato iniziale y(0) = 1

<E> Determinare una espressione esplicita della soluzioney del problema di Cauchy associato al dato iniziale y(0) = 0

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la funzionef : R → R continua da sinistra il cui grafico `e rappresentato in figura

<F> Disegnare il grafico di una primitiva di f su R \ {a, 0, b}

<G> Disegnare il grafico di tutte le primitive dif su R \ {a, 0, b}

<H> Stabilire se esistono ed in caso affermativo disegnare il grafico di una primitiva dif che sia prolungabile per continuit`_{a su tutto R}

Esistono primitive dif definite su tutto R

(52)

Analisi 1 Polo di Savona Prova d’Esame 7 Aprile 1998

Prova d’Esame 7 Aprile 1998

   y0(x) = y(x) lny(x) y(0) = y0

<A> Stabilire se esistono soluzioni costanti del problema

Trovare la soluzione pery0=e precisandone il campo di definizione.

<C> Trovare la soluzione pery0= 1/e precisandone il campo di definizione.

<D> Disegnare il grafico delle soluzioni al variare diy0.

<E> Oservando che l’equazione non dipende esplicitamente da x, disegnare il grafico di tutte le soluzioni dell’equazione data.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la funzione f (x) = x − 1 x2_{+ 1} e si definisca F (x) = Z x+1 x f (t)dt <F> Disegnare il grafico di f .

<G> CalcolareF0 _{dove esiste}

<H> Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto diF

Disegnare il grafico diF .

(53)

Prima Prova Parziale 97/98

Si consideri l’insieme A = x 2_{+ 3a} x2₊_a : x ∈ R Dovea ∈ R e a > 0.

<A> Determinare tutti i maggioranti diA.

Determinare tutti i minoranti diA.

<C> Determinare supA.

<D> Determinare infA.

<E> Stabilire seA ammette massimo o ammette minimo ed in caso affermativo trovarli. Si consideri l’insieme B = x y : x, y ∈ R , y 6= 0 <F> Determinare supB. <G> Determinare infB. 53- PrG.TEX— [PrG98.tex]

(54)

Seconda Prova Parziale 97/98

Si considerino le funzioni

f (x) =2x + 1

x + 3 g : [−4, 4] → [−1, 1] doveg si suppone strettamente crescente e surgettiva

<A> Disegnare il grafico dif ed il grafico di una possibile g.

Disegnare il grafico dif (g(x).

<C> Disegnare il grafico dig(f (x))

<D> Disegnare il grafico di (f (x))2

<E> Disegnare il grafico dif (x2₎

<F> Calcolare l’inversa di f precisando dove f `e invertibile.

<G> Provare per induzione che

n

X

k=1

a = na

(55)

Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 97/98

Terza Prova Parziale 97/98

Si consideri la funzione f (x) =        x2_{cos(x) − x}2 xa x > 0 ex_{− b} 2x x < 0

<A> Al variare dia, calcolare

lim

x→0+f (x)

e stabilire sef `e prolungabile per continuit`a inx = 0 da destra

Al variare dib, calcolare

lim

x→0−f (x)

e stabilire sef `e prolungabile per continuit`a inx = 0 da sinistra

<C> Al variare dia, b, stabilire se f `e prolungabile per continuit`a inx = 0 Si consideri la funzione

f (x) =x + 1 x + 2

<D> Disegnare il grafico dif

Si consideri poi la successione definita da

an+1=f (an)

a0=a

<E> Determinare al variare di a gli eventuali limiti della successione an (Non `e necessario giustificare con

calcoli le affermazioni, ma si richiede un risultato corretto supportato da considerazioni sul grafico dif )

(56)

Analisi 1 Polo di Savona Quarta Prova Parziale 97/98

Quarta Prova Parziale 97/98

ATTENZIONE: la somma dei punti assegnati a ciascuna domanda è superiore a10; pertanto non è necessario rispondere a tutte le domande per ottenere il massimo voto. È opportuno tenere presente che la domanda B dipende dalla A e che la D dipemde dalla C. Inoltre la E non dipende da C e D.

I punti ottenuti oltre il10non saranno calcolati nella media ma costituiranno elemento di valutazione positiva in sede d’esame.

<A> Disegnare il grafico della funzione f (x) = ln(|x|) +1

x determinando il punto xm ed il valoref (xm) di

minimo relativo. Provare inoltre chef ammette un solo zero x0 e studiare il segno dif

Disegnare il grafico dig(x) = ex_{ln(|x|) precisando il segno di g(x} 0)

<C> Disegnare nello stesso piano i grafici di ln(x) e di x−1

e−1 e giustificare il fatto che ln(x) ≥ x−1

e−1 ∀x ∈

(57)

Analisi 1 Polo di Savona Quarta Prova Parziale 97/98

[−2, −1] (interpretare adeguatamente le unit`a di misura)

<D> Provare chex0∈ [−2, −1] (x0`e lo zero dif )

<E> Studiare usando la derivata seconda, la convessit`a dig (Riportare nel riquadro i grafici che si ritengono utili).

(58)

Analisi 1 Polo di Savona Quinta Prova Parziale 97/98

Quinta Prova Parziale 97/98

ATTENZIONE: L’esercizio pu`o essere svolto usando la funzione definita in (1) o la funzione definita in (2). Nel caso (2) il punteggio di ogni domanda `e diminuito di1.

I punti ottenuti oltre il10non saranno calcolati nella media ma costituiranno elemento di valutazione positiva in sede d’esame.

<A> Siaf una funzione derivabile infinite volte su R tale che

f0_{(x) = sin(f (x))} _{f (0) =}π

2

OPPURE

(2) Sia f (x) = 2 arctan(ex₎

(1) PER IL CASO (1) Derivare entrambi i membri della (1) e ricavaref00 _{in funzione di}_{f ed f}0 _ed

f000 in funzione dif f0 edf00

(2) PER IL CASO (2) Calcolaref0_{(x), f}00_{(x), f}000_(x)

<C> Calcolare f (0), f0_(0), _f00_(0), _f000_{(0) e scrivere il polinomio di Taylor}_P

2 ed il polinomio di TaylorP3 di

f centrato in 0 di grado 2 e 3, rispettivamente.

<D> Disegnare il grafico diP2 e diP3per |x| ≤ 1

<E> SCONSIGLIATA PER IL CASO (2) Provare che |f0_{(x)| ≤ 1 |f}00_{(x)| ≤ 1 |f}000_{(x)| ≤ 2}

<F> Supponendo verificato che |f000_{(x)| ≤ 2 stimare il resto di Lagrange relativo al polinomio di Taylor di}

grado 2 in funzione dix

(59)

Analisi 1 Polo di Savona Quinta Prova Parziale 97/98

<G> Supponendo verificato che |f000_{(x)| ≤ 2, disegnare un maggiorante ed un minorante di f per |x| ≤ 1}

<H> Supponendo verificato che |f000_{(x)| ≤ 2, determinare un maggiorante dell’errore commesso sostituendo}

f con P2per |x| ≤ 1/2.

Trovare, se possibile,a in modo che f (x) − ax −π

2 sia infinitesima in 0 di ordine superiore al secondo.

(60)

Analisi 1 Polo di Savona Sesta Prova Parziale 97/98

Sesta Prova Parziale 97/98

Sia f (x) =            0 x < −1 − 1 p|x| −1 ≤ x < 0 2x − x2 _{0 ≤}_{x < 1} 1 x4 x ≥ 1

Disegnare il grafico diF (x) =Rx

0 f (t)dt

<C> Calcolare gli eventuali asintoti, i punti di massimo e di minimo ed i punti di flesso per il grafico diF .

(61)

Analisi 1 Polo di Savona Sesta Prova Parziale 97/98

<D> Disegnare il grafico diR_−∞x f (t)dt

<E> Determinare una primitiva dif precisandone il campo di definizione.

(62)

Analisi 1 Polo di Savona Settima Prova Parziale 97/98

Settima Prova Parziale 97/98

Sia

y0(x) = sin(y(x)) sin(x)

<A> Disegnare il grafico della soluzioney relativa al dato iniziale y(π/4) = π/4.

Disegnare il grafico della soluzioney relativa al dato iniziale y(π/4) = π/2.

<C> Disegnare il grafico della soluzioney relativa al dato iniziale y(π/4) = 5π/4.

(63)

Analisi 1 Polo di Savona Settima Prova Parziale 97/98

<D>

Disegnare il grafico di tutte le soluzioni dell’equazione data.

(64)

Analisi 1 Polo di Savona Ottava Prova Parziale 97/98

Ottava Prova Parziale 97/98

Si consideri l’equazione

x3_y0_{(x) = y(x)}

<A> Determinare la soluzione dell’equazione data tale chey(1) = 1

Stabilire, per quali_{a ∈ R esistono soluzioni dell’equazione data tali che y(0) = a, e determinarle.}

<C> Disegnare il grafico di tutte le soluzioni dell’equazione data.

Si consideri l’equazione

y00_{(x) + 4y}0_{(x) + 2y(x) = e}2|x|

<D> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata.

<E> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa su R+.

<F> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa su R.

(65)

Analisi 1 Polo di Savona Recupero Prima Prova Parziale 97/98

Recupero Prima Prova Parziale 97/98

Si consideri l’insieme

A = n + 1

n − 1 : n ∈ N, n > 1

<A> Determinare tutti i maggioranti diA.

Determinare tutti i minoranti diA.

<C> Determinare supA.

<D> Determinare infA.

(66)

Analisi 1 Polo di Savona Recupero Seconda Prova Parziale 97/98

Recupero Seconda Prova Parziale 97/98

Sia f : R → R una funzione strettamente decrescente, convessa e continua su [−1, 1), periodica di periodo 2, tale chef (−1) = 0

Stabilire sef deve essere o pu`o essere continua in R.

<C> Stabilire sef `e invertibile su [−1, 3].

<D> Stabilire sef `e invertibile su [2, 3].

<E> Stabilire se esiste limx→+∞f (x)