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per

l’Analisi Finanziaria

Savona, 21 Febbraio 2002

L’equazione di Black-Scholes

Stima del prezzo f di un’opzione di acquisto o di vendita di un bene il cui valore S cresce nel tempo con tasso µ ed `e affetto da un fattore casuale gaussiano con media 0 e varianza σ con riferimento ad un tasso di investimento senza rischio r.

Il possesso di una opzione di acquisto o di vendita conferisce il diritto di acquistare o vendere una unita’ del bene S al tempo stabilito T ad un prezzo stabilito K.

Il prezzo di una opzione deve essere tale che sia possibile trovare una combinazione di quote del bene e quote di investi-mento privo di rischio che garantiscano un rendiinvesti-mento pari a quello privo di rischio.

Il valore del bene S cresce seguendo la legge

dS = µSdt + σSdW

Il valore dell’investimento privo di rischio B cresce seguendo la legge

dB = rBdt

Il prezzo dell’opzione `e funzione del tempo t e del prezzo S

del bene sottostante

f (t, S(t))

I ´e un portafoglio composto da beni S, opzioni f ed investi-menti B a tasso r privo di rischio

In ipotesi di autofinanziamento ed usando la formula di It ˆo si ottiene dI =  (−ft + µSfS + 1 2σ 2 S2fSS) + (αµS + βrB)  dt+(−fS+α)σSdW Per eliminare il rischio si richiede che

−f_S + α = 0 =⇒ α = fS Supponendo impossibile l’arbitraggio

Combinando le due espressioni di dI si ottiene l’equazione di Black-Scholes ft + rSfS + 1 2σ 2_S2_f SS = rf t < T

alla quale si associa (nel caso di una opzione di vendita, tipo PUT) la condizione

f (T, S) = max(K − S, 0)

che si pu `o usare per determinare f (t, S(t)).

Per le opzioni di tipo CALL di acquisto si usa la condzione

Variabili aleatorie e Processi Stocastici

(Ω, F , P )

uno spazio di probabilit `a.

• Ω , spazio dei campioni;

• F , σ−algebra di sottoinsiemi di Ω

( Famiglia di sottoinsiemi di Ω chiusa rispetto a com-plementazione, unione ed intersezione numerabili)

• P misura di probabilit `a su (Ω, F )

ESEMPIO 0.1. Consideriamo gli eventi che si presentano quando si

lanciano due dadi: possiamo identificare l’esito del lancio con la cop-pia di numeri (i, j) (punteggio) che si leggono sulla faccia superiore dei dadi.

ogni evento `e equiprobabile e

P(Ai,j) =

1 36

Ω = insieme delle coppie di valori (i, j) con i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 F = famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω

P(A) = ₃₆1 numero degli elementi diA

Chiamiamo Variabile Aleatoria una funzione

X : Ω → R

ESEMPIO 0.2.

X definisce su _R una misura di probabilit `a ξ mediante la

ξ((α, β)) = P (α ≤ X ≤ β) =

= P ({ω ∈ Ω : α ≤ X(ω) ≤ β}) =

= P (X−1((α, β)))

Naturalmente deve risultare che

X−1((α, β)) ∈ F

L’ultima condizione si esprime dicendo che

si pu `o verificare che, sotto ipotesi non restrittive, esiste una funzione _{ϕ : R → R} tale che

P (α ≤ X ≤ β) = ξ((α, β)) = Z β

α

ϕ(s)ds ϕ `e la densit `a di probabilit `a di X

Abbiamo anche che

Z Ω X(ω)dω ≈ XαP (X−1(α, β)) ≈ X Z β α sϕ(s)ds = Z b a sϕ(s)ds

P (α ≤ X ≤ β) = ξ((α, β)) = R_αβ ϕ(s)ds R ΩX(ω)dω ≈ P αP (X −1_{(α, β)) ≈} P Rβ α sϕ(s)ds = Rb a sϕ(s)ds

ESEMPIO 0.3. Nel caso del punteggio ottenuto con i dadi la

P (α ≤ X ≤ β) = ξ((α, β)) = Z β

α

Chiamiamo Processo Stocastico una funzione

R 3 t 7→ X(t)

dove X(t) `e una variabile aleatoria su Ω

Avremo

X = X(t, ω) _{(t, ω) ∈ R × Ω}

R × Ω 3 (t, ω) 7→ X(t, ω)

Per ogni t fissato X(t, ω) ha una densit `a di probabilit `a ϕ(t, s) P (α ≤ X(t) ≤ β) = Z β α ϕ(t, s)ds E(X(t)) = Z +∞ −∞ sϕ(t, s)ds

Il Processo di Wiener

E un processo stocastico W con le seguenti caratteristiche:

• W (0) = 0

• W (t) − W (s) ha una densit `a di probabilit `a Gaussiana nor-male di media 0 e varianza (t − s), N (0,√t − s).

• W ha incrementi indipendenti: cio `e

W (t₁) − W (s₁) e W (t₂) − W (s₂) sono variabili aleatorie indipendenti.

`

E possibile costruire un processo stocastico con le caratteri-stiche indicate. Si ha P (α ≤ W (t) − W (s) ≤ β) = 1 p2π(t − s) Z β α e− 1 2(t−s)τ 2 dτ

La funzione t 7→ W (t, ω) `e continua per quasi ogni ω ∈ Ω e non `e derivabile con probabilit `a 1.

Modelli di Crescita

Sia x una quantit `a scalare che cresce nel tempo con tasso

costante a

Allora

x(t + h) − x(t)

h = a

La precedente uguaglianza pu `o essere espressa in diversi modi

˙x(t) = a , dx dt = a dx = adt , Z t 0 dx = Z t 0 ads x(t + h) = x(t) + Z t+h t ads = x(t) + ah

Se x cresce con tasso proporzionale alla sua consistenza

Allora

x(t) − x(s)

t − s = µx(t)

La precedente uguaglianza pu `o essere espressa da

˙x(t) = µx(t) , dx dt = µx , dx = µxdt , Z t 0 dx = Z t 0 µx(s)ds

Non si pu `o procedere esplicitamente con l’integrazione,

Si pu `o usare la definizione di integrale per ottenere una for-mula discreta che approssima x (Metodo di Eulero).

x(t + h) = x(t) +

Z t+h

t

Crescita con tasso costante alterata da un fattore di incertez-za W. Avremo x(t) + σW (t) − (x(s) + σW (s)) = µ(t − s) da cui x(t) − x(s) = µ(t − s) + σ(W (t) − W (s)) e dx = µdt + σdW

Possiamo integrare numericamente

Z t+h t dx = Z t+h t µdt + Z t+h t σdW

se siamo in grado di dare una definizione di

Z t+h

t

Nel caso in cui σ sia costante possiamo usare l’idea di inte-grale di Riemann: Z t 0 σdW ≈ n−1 X i=1 σ(W (t_i+1) − W (t_i) = σ(W (t) − W (0)) = σW (t) Osserviamo che E n−1 X i=1 σ(W (t_i+1) − W (t_i) ! = 0 Var n−1 X i=1 σ(W (t_i+1) − W (t_i)) ! = n−1 X i=1 σ2(t_i+1−t_i) = σ2(t−0) = σ2t Ne viene che Z t 0 σ2dW

Nel caso in cui σ sia funzione della sola t possiamo appros-simare

Z t

0

σ(s)dW (s)

mediante le somme di Riemann - Stieltjes n−1

X

i=1

σ(si)(W (ti+1) − W (ti))

Paley e Wiener hanno dimostrato che le somme di Riemann, in questo caso, convergono ad un processo stocastico nel caso in cui

σ ∈ C1

Non `e difficile estendere la definizione a funzioni della sola t

Il caso in cui σ = σ(t, W ) `e necessario per poter considerare equazioni del tipo

dX = µ(t, X(t))dt + σ(t, X(t))dW

Per questo scopo `e necessario definire

Z t

0

σ(s, X(s))dW

dove X `e un processo stocastico.

Calcoliamo ad esempio il pi `u semplice di questi integrali:

Z t

0

Procedendo come per gli integrali di Riemann-Stieltjes

Consideriamo una partizione dell’intervallo [0, t] 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn−1 < tn = t ed una scelta di punti si

t_i ≤ s_i ≤ t_i−1

Le corrispondenti somme di Riemann Stieltjes sono

RS_n =

n−1

X

i=1

Si ha

W (s_i)(W (t_i) − W (t_i−1)) =

= W (ti−1)(W (ti)−W (ti−1))+(W (si)−W (ti−1))(W (ti)−W (ti−1)) =

1 2W (ti−1)(W (ti) − W (ti−1)) + 1 2W (ti−1)(W (ti) − W (ti−1))+ + (W (s_i) − W (t_i−1))(W (t_i) − W (t_i−1)) = 1 2(W (ti)+W (ti−1))(W (ti)−W (ti−1))− 1 2(W (ti)−W (ti−1))(W (ti)−W (ti−1))+ + (W (si) − W (ti−1))(W (ti) − W (ti−1))

Inoltre

(W (s_i) − W (t_i−1))(W (t_i) − W (t_i−1)) =

= (W (s_i)−W (t_i−1))(W (t_i)−W (s_i))+(W (s_i)−W (t_i−1))(W (s_i)−W (t_i−1))

per cui W (s_i)(W (t_i) − W (t_i−1)) = = 1 2 (W 2 (ti) − W2(ti−1)) − (W (ti) − W (ti−1))2
+

Ne deduciamo che RS_n = n X i=1 W (s_i)(W (t_i) − W (t_i−1)) = 1 2 W 2_{(t) − W}2_(0)
− 1 2 n X i=1 (W (t_i) − W (t_i−1))2+ + n X i=1 (W (si) − W (ti−1))2+ + n X i=1 (W (si) − W (ti−1))(W (ti) − W (si))

Se s_i = (1 − θ)t_i−1 + θt_i si ha E 1 2 n X i=1 (W (t_i) − W (t_i−1))2 ! = n X i=1 (t_i − t_i−1) = 1 2(t − 0) E n X i=1 (W (s_i) − W (t_i−1))2 ! = n X i=1 (s_i − t_i−1) = θ(t − 0) E n X i=1 (W (si) − W (ti−1))(W (ti) − W (si)) ! = 0 Si dimostra che RSn → 1 2 W 2_{(t) − W}2_(t 0)
+  θ − 1 2  (t − 0)

Stratonovich propose di scegliere θ = 1₂: continua a valere la formula di integrazione per parti.

It ˆo propose di scegliere θ = 0:

• non vale l’integrazione per parti

• ma la variabile aleatoria

X(t) = Z t

0

W dW

che si ottiene `e non anticipativa.

Con metodi simili si prova che n X i=1 (W (t_i) − W (t_i−1))2 → (t − 0) = t pi `u precisamente n X i=1 (W (t_i) − W (t_i−1))2

tende ad una variabile aleatoria di media t e di varianza 0. Si esprime questo fatto dicendo che

Z t t₀ (dW )2 = Z t t₀ dt

ed introducendo la regola formale

Analogamente si prova che `e ragionevole introdurre anche le seguenti regole formali

dtdW = dW dt = 0

Usando le precedenti informazioni possiamo farci un’idea su come si deriva la formula di It ˆo.

Si tratta essenzialmente di stabilire una formula di derivazio-ne di funzioderivazio-ne composta.

La Formula di It ˆo

Sia

X un processo stocastico tale che

dX = a(t, X(t))dt + b(t, X(t))dW (t) g : R × R → R

Consideriamo

y(t) = g(t, X(t))

It ˆo ha dimostrato che dy(t) =  gt(t, X(t)) + a(t, X(t))gx(t, X(t)) + b2(t, X(t)) 2 gxx(t, X(t))  dt+ + b(t, X(t))gx(t, X(t))dW (t)

La formula si dimostra in forma integrale:

y(t) − y(t₀) = g(t, X(t)) − g(t₀, X(t₀)) = = Z t t₀  gt(t, X(t)) + a(t, X(t))gx(t, X(t)) + b2(t, X(t)) 2 gxx(t, X(t))  dt+ + Z t t₀ b(t, X(t))g_x(t, X(t))dW (t)

Si pu `o ricavare formalmente usando la Formula di Taylor e le regole formali di moltiplicazione di dt e dW

Equazione di crescita per il prezzo di un

bene

Il prezzo S(t) di un bene si pu `o descrivere mediante l’equa-zione

dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW (t) S(t) = S(t, ω) `e un processo stocastico

Se consideriamo

g(t) = ln(S(t))

usando la formula di It ˆo si ottiene

dg(t) = d ln(S(t)) = dS(t) S(t) − 1 2  σ2_S2_(t) S2_(t)  dt = rdt−σ 2 2 dt+σdW (t)

Si ha g(t) − g(0) = ln S(t) S(0)  = rt − tσ 2 2 + σW (t) e di conseguenza S(t) = S(0)ert−tσ22 +σW (t)

Le figure che seguono riportano i grafici di una soluzione, il grafico della soluzione senza rumore e le bande di confidenza corrispondenti a σ, 2σ e 3σ.

L’equazione di Black-Scholes

f (t, S(t))

il prezzo dell’opzione di vendita di un bene S e sia B un investi-mento privo di rischio con rendiinvesti-mento r;

consideriamo un portafoglio

I = −f + αS + βB

La variazione di I pu `o essere calcolata mediante la

df pu `o essere calcolato mediante la formula di It ˆo. per cui dI = (−ft+µSfS+ 1 2σ 2 S2fSS)dt+fSσdW +α(µSdt+σSdW )+βrB = =  (−f_t + µSf_S + 1 2σ 2_S2_f SS) + (αµS + βrB)  dt+(−f_S+α)σSdW

Per eliminare la componente di incertezza occorre imporre che α = fs ed in tal caso dI = (−ft + µSfS + 1 2σ 2_S2_f SS)+ + (f_SµS + βrB)
dt + (−f_S + f_S)σSdW = = (−ft + µSfS + 1 2σ 2_S2_f SS)+ + (f_SµS + βrB)
dt =

In condizioni di non arbitraggio si ha dI = rIdt per cui dI = r(−f + αS + βB)dt = r(−f + f_SS + βB)dt e r(−f + αS + βB)dt = r(−f + fSS + βB)dt = dI = = rI = r(f + αS + βB)dt = r(f − fSS − βB)dt

Si ottiene infine che ft + rsfs + 1 2σ 2_S2_f SS = rf t < T con la condizione f (s, T ) = max(K − s, 0)

Il seguente `e un programma scritto in Matlab che integra l’equazione stocastica

(

dX = λ ∗ Xdt + σ ∗ (X)dW X(0) = Xzero.

clf

randn(’state’,1)

T = 1; N = 28; Delta = T/N;

lambda = 0.05; sigma = 0.8; Xzero = 1; Xem = zeros(1,N+1);

Xem(1) = Xzero; for j = 1:N

Winc = sqrt(Delta)*randn;

Xem(j+1) = Xem(j) + Delta*lambda*Xem(j) + sig-ma*Xem(j)*Winc;

end

Riferimenti Bibliografici

• Kyoung-Sook Moon - Anders Szepessy - R `aul Tempo-ne - Georgios Zouraris Stochastic and partial Differential Equations with Adapted Numerics Download

• Tomas Bjork Stochastic Calculus Download

• L. Smith Introduction to Probability and Statistics Download • John F. Price Optional Mathematics Is Not Optional Download

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