11. Prodotto scalare. Equazione del piano nello spazio.

(1)

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it

Prodotto scalare in Rn_{. Piani nello spazio.} 19 Dicembre 2016

Indice

1 Prodotto scalare nello spazio 2

1.1 Riassunto delle propriet`a del prodotto scalare nello spazio . . . 2

1.2 Coordinate cartesiane ortogonali . . . 3

1.3 Il prodotto scalare in coordinate cartesiane . . . 4

1.4 Angolo tra due vettori . . . 4

1.5 Prodotto scalare standard in Rn . . . 4

1.6 Proiezione di un vettore lungo un vettore in Rn . . . 5

1.7 Il teorema di Pitagora . . . 6

1.8 La disuguaglianza di Schwarz . . . 7

1.8.1 Angolo tra due vettori in Rn . . . 8

2 Piani nello spazio 9 2.1 Equazione vettoriale e equazione cartesiana di un piano nello spazio . . . 9

2.2 Equazione di un piano in forma normale . . . 11

2.3 Distanza di un punto da un piano . . . 12

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1 Prodotto scalare nello spazio

1.1 Riassunto delle propriet`a del prodotto scalare nello spazio

Ricordiamo che nello spazio tridimensionale, fissata un’unit`a di misura delle lunghezze, si defi-nisce il prodotto scalare fra due vettori nel modo seguente:

Definizione 1.1. Il prodotto scalare di due vettori a, b `e il numero (positivo, negativo o nullo) dato da

a · b = |a| |b| cos ϑ (Definizione intrinseca di prodotto scalare) dove |a|, |b| denotano le lunghezze di a, b e ϑ `e l’angolo compreso tra di essi.

Si noti che, in particolare, il prodotto scalare di un vettore con se stesso `e uguale al quadrato della sua lunghezza:

a · a = |a|2 (Quadrato della lunghezza)

Definizione 1.2. Due vettori a, b si dicono ortogonali se

a · b = 0 (Vettori ortogonali)

Teorema 1.3 (Proiezione di un vettore lungo un altro vettore). Pba =

a · b b · b

b (Proiezione di a lungo b)

In particolare, se u `e unitario (|u| = 1):

Pua = (a · u) u (Proiezione lungo un vettore u unitario)

u a

Pua

Figura 1: Il vettore Pua = (a · u) u `e la proiezione ortogonale di a lungo il vettore unitario u.

Teorema 1.4 (Bilineare simmetrico). Il prodotto scalare `e bilineare simmetrico:

a · b = b · a (1.1)

(λa) · b = λ (a · b) (1.2)

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1.2 Coordinate cartesiane ortogonali

Introduciamo nello spazio tridimensionale un sistema di coordinate cartesiane ortogonali. z y x e3= (0, 0, 1) e1 = (1, 0, 0) e2 = (0, 1, 0) 0

Figura 2: Base canonica in R3e assi cartesiani ortogonali. Ricordiamo che questo significa fissare:

1) un punto O come origine;

2) una base ortonormale di vettori e1, e2, e3: ciascuno di questi tre vettori ha lunghezza unitaria e, a due a due, sono ortogonali tra loro:

ei· ej = δij = (

1, se i = j

0, se i 6= j (1.4)

Ogni punto X dello spazio si identifica con il vettore X che ha come primo estremo l’origine e come secondo estremo il punto X. Se il vettore X si scrive

X = xe1+ ye2+ ze3 (1.5)

identifichiamo X con la terna ordinata delle sue coordinate cartesiane (x, y, z), e scriviamo X = (x, y, z)

Ad esempio, avremo:

e1= (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1), (1.6) Lo spazio R3 delle terne ordinate di numeri reali diventa allora un modello per lo spazio tridimensionale; esattamente come succede in dimensione due, dove un modello per il piano della geometria `e R2.

Le tre rette, tra loro ortogonali, passanti per l’origine e dirette come e1, e2, e3 si chiamano assi coordinati (oppure, asse x, asse y, asse z).

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1.3 Il prodotto scalare in coordinate cartesiane

Teorema 1.5. In coordinate cartesiane ortogonali, il prodotto scalare di due vettori a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) `e dato da

a · b = a1b1+ a2b2+ a3b3 (1.7)

Dimostrazione Usando la bilinearit`a, la simmetria e le (1.4), si ha:

a · b = (a1e1+ a2e2+ a3e3) · (b1e1+ b2e2+ b3e3) (1.8) = 3 X i,j=1 aibjei· ej (1.9) = 3 X i,j=1 aibjδij (1.10) = 3 X i=1 aibi = a1b1+ a2b2+ a3b3 (1.11)

1.4 Angolo tra due vettori

Sappiamo che il prodotto scalare di due vettori non nulli a, b `e espresso, in forma geometrica intrinseca (cio`e , indipendente dalle coordinate), da

a · b = |a| |b| cos ϑ (1.12)

dove |a|, |b| denotano le lunghezze di a, b e ϑ `e l’angolo compreso tra di essi. Dunque cos ϑ = a · b

|a| |b| (1.13)

In coordinate cartesiane ortogonali, se a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), la (1.13) si scrive: cos ϑ = a1b1+ a2b2+ a3b3

pa2

1+ a22+ a23pb21+ b22+ b23

(1.14)

1.5 _{Prodotto scalare standard in R}n

Nello spazio tridimensionale R3, dove sono familiari dalla geometria le nozioni di lunghezza, angolo e coseno di un angolo, abbiamo definito il prodotto scalare standard

a · b = |a| |b| cos ϑ (1.15)

e abbiamo poi dimostrato che, in coordinate cartesiane ortogonali, se a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), il prodotto scalare si scrive

(5)

Per analogia con R3, anche nello spazio n-dimensionale Rn (n intero positivo qualunque) delle n-ple ordinate dei numeri reali si definisce il prodotto scalare standard. In questo caso, l’approccio sar`a, almeno inizialmente, puramente algebrico.

Definizione 1.6. Il prodotto scalare standard (o prodotto interno, o prodotto scalare euclideo) in Rn a ogni coppia a = (a1, ..., an), b = (b1, ..., bn) di vettori di Rn associa il numero reale

a · b = a1b1+ ... + anbn (1.17)

(Si legge “a scalare b” o “a interno b”.)

Si dimostra facilmente che il prodotto scalare standard in Rn è bilineare simmetrico, cioè soddisfa le seguenti proprietà.

1. Bilinearit`a (ossia, linearit`a in entrambi gli argomenti): Per ogni a, b, c ∈ Rn, per ogni λ ∈ R,

a · (b + c) = a · b + a · c a · (λb) = λ(a · b) (a + b) · c = a · c + b · c (λa) · b = λ(a · b) 2. Simmetria: Per ogni a, b ∈ Rn_, a · b = b · a 3. Positivit`a (o definita positivit`a):

Per ogni a non nullo in Rn,

a · a > 0

1.6 _{Proiezione di un vettore lungo un vettore in R}n

Teorema 1.7 (Proiezione di un vettore lungo un altro). Sia b ∈ Rnun vettore non nullo. Ogni vettore a ∈ Rn si scrive in modo unico come

a = ak+ a⊥ (1.18)

con ak parallelo a b e a⊥ ortogonale a b. Si ha: ak = a · b b · bb (1.19) e, di conseguenza, a⊥= a − a · b b · bb (1.20)

(6)

b a

ak a⊥

Figura 3: Il vettore ak`e la proiezione ortogonale di a lungo b, o componente di a lungo b.

Dimostrazione Il nostro obiettivo è di trovare un vettore akche sia parallelo a b, cioè multiplo di b, e tale che la differenza a − ak sia ortogonale a b. Ora, un multiplo tb (t ∈ R) del vettore b ha la proprietà che a − tb è ortogonale a b se e solo se

(a − tb) · (b) = 0 ossia

a · b − t(b · b) = 0

Quest’ultima `e un’equazione di primo grado in t, la cui unica soluzione `e t = a · b

b · b

(Si noti che b · b 6= 0, perch´e b 6= 0). Sostituendo tale valore di t, troviamo che la proiezione ortogonale di a lungo b `e data da 1.19:

ak = a · b

b · bb (1.21)

Allora, per differenza, avremo la 1.20:

a⊥= a − ak= a − a · b

b · bb (1.22)

2 Si noti che se, in particolare, il vettore u è unitario, cioè u · u = 1, allora la proiezione ak di a lungo u è data dalla formula più semplice:

ak = (a · u) u (Se |u| = 1). (1.23)

Si osservi anche che, sostituendo al posto di b un suo qualunque multiplo (non nullo) λb (λ ∈ R), la proiezione ak non cambia. Infatti,

a · λb λb · λbλb =

a · b b · bb

Dunque, la proiezione ak si puøvedere come la proiezione di a lungo la retta orientata del vettore b.

1.7 Il teorema di Pitagora

Teorema 1.8 (Teorema di Pitagora). Se a, b ∈ Rn sono ortogonali, allora

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Dimostrazione ka + bk2 = (a + b) · (a + b) = a · b + 2 a · b + b · b = kak2+ kbk2 2 1.8 La disuguaglianza di Schwarz

Teorema 1.9 (Disuguaglianza di Schwarz). Per tutti i vettori a, b in Rn vale la disuguaglianza

|a · b| ≤ |a| |b| (1.25)

(A sinistra, |a · b| denota il valore assoluto del numero reale a · b; a destra, |a| |b| denota il prodotto della lunghezza di a per la lunghezza di b.)

Se a = (x1, ..., xn) e b = (y1, ..., yn), la disuguaglianza (1.25) si scrive: n X i=1 xiyi = v u u t n X i=1 x2_i v u u t n X i=1 y2_i

Prima dimostrazione (della disuguaglianza di Schwarz (1.25)).

Se b = 0, la disuguaglianza (1.25) `e ovvia, perch´e entrambi i membri sono zero.

Supponiamo allora b diverso dal vettore nullo. Si consideri la funzione q(t) della variabile reale t (i vettori a, b sono fissi) definita da

q(t) = |a + tb|2 Facendo i conti, otteniamo:

q(t) = |a + tb|2 = (a + tb) · (a + tb) = (a · a) + 2 (a · b) t + (b · b) t2 = |a|2+ 2(a · b) t + |b|2t2

Vediamo allora che q(t) è un trinomio di secondo grado in t. Del resto q(t) ≥ 0 per ogni t ∈ R, perché q(t) = |a + tb|2 è il quadrato di una norma. Allora, come è ben noto, il discriminante del trinomio q(t) deve essere minore o uguale a zero:

(a · b)2− |a|2|b|2 ≤ 0

Questa disuguaglianza equivale alla disuguaglianza (1.25). 2

Seconda dimostrazione (della disuguaglianza di Schwarz (1.25)).

Se b = 0 la disuguaglianza (1.25) `e ovvia, perch´e entrambi i membri sono zero.

Supponiamo allora b 6= 0. Scriviamo a = ak+ a⊥ con ak multiplo di b e a⊥ ortogonale a b. Per il teorema di Pitagora,

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|a|2 =a_k 2 + |a⊥|2 ≥ a_k 2 = a · b b · bb 2 = a · b b · b 2 |b|2 = |a · b| 2 |b|2

Moltiplicando per |b|2 si ha la tesi. 2

1.8.1 Angolo tra due vettori in Rn

Nel piano ordinario, o nello spazio ordinario, dove la nozione di angolo tra due vettori è già nota per via geometrica, il prodotto interno (il prodotto scalare standard) è dato, come è noto, dal prodotto della lunghezza di a, per la lunghezza di b, per il coseno dell’angolo da essi individuato:

a · b = |a| |b| cos ϑ (1.26)

La disuguaglianza di Schwarz permette di definire l’angolo tra due vettori nello spazio Rn. Si procede nel modo seguente. Dalla disuguaglianza di Schwarz (1.25) segue che, se a e b sono entrambi non nulli, il valore assoluto del rapporto

a · b |a| |b| `

e minore o uguale a 1, vale a dire

−1 ≤ a · b |a| |b| ≤ 1 Poich´e la funzione

[0, π]−→ [−1, 1]cos `

e invertibile, esiste un unico ϑ in [0, π] tale che cos ϑ = a · b

|a| |b| (1.27)

Di conseguenza, esiste un unico angolo ϑ soddisfacente 0 ≤ ϑ ≤ π, tale che cos ϑ = a · b

|a| |b| (1.28)

Tale angolo si chiama l’angolo tra a e b.

Con questa definizione di angolo tra due vettori, l’uguaglianza

a · b = |a| |b| cos ϑ (1.29)

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2 Piani nello spazio

2.1 Equazione vettoriale e equazione cartesiana di un piano nello spazio

Vediamo come trovare un’equazione che rappresenti un piano P nello spazio.

Sia n = (a, b, c) un qualunque vettore non nullo ortogonale al piano P e sia X0 = (x0, y0, z0) un punto (qualunque) appartenente al piano.

Un punto X = (x, y, z) appartiene al piano P se, e solo se, il vettore X − X0 `e ortogonale a n. Dunque l’equazione del piano P `e , in forma vettoriale,

n · (X − X0) = 0 (2.1) X − X0 O X0 X n n P

Figura 4: Un punto X appartiene al piano P passante per il punto X0 e ortogonale al vettore n se, e

solo se, il vettore X − X0`e ortogonale a n.

In coordinate cartesiane ortogonali, l’equazione vettoriale (2.1) del piano P si scrive

a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0 (2.2) Facendo i conti, l’equazione (2.2) si scrive

ax + by + cz + d = 0 (2.3)

dove si `e posto d = −ax0− by0− cz0.

Riassumiamo. Ogni piano P `e rappresentato da un’equazione di primo grado in x, y, z

ax + by + cz + d = 0 (2.4)

dove almeno uno dei tre coefficienti a, b, c `e diverso da zero. La (2.4) si chiama equazione cartesiana del piano. Il vettore non nullo v = (a, b, c) ha una interpretazione geometrica: `e un vettore ortogonale al piano P.

(10)

Viceversa, sia

ax + by + cz + d = 0 (2.5)

una qualunque equazione di primo grado in x, y, z, con almeno uno dei tre coefficienti a, b, c non nullo. Dimostriamo che l’insieme delle soluzioni dell’equazione (2.5), cio`e l’insieme dei punti X = (x, y, z) in R3 le cui coordinate soddisfano (2.5), `e un piano nello spazio. Infatti, sia X0 = (x0, y0, z0) un punto (qualunque) dello spazio le cui coordinate soddisfino l’equazione (2.5):

ax0+ by0+ cz0+ d = 0 (2.6)

(Un tale punto X0 esiste sicuramente. Ad esempio, se c 6= 0, basta dare a x un valore arbitrario x0, a y un valore arbitrario y0, e poi ricavare il valore z0 di z risolvendo l’equazione ax0+ by0+ cz + d = 0.) Da questa uguaglianza ricaviamo d = −ax0− by0− cz0. Sostituendo questo valore di d in (2.5), possiamo scrivere l’equazione (2.5) come

a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0 (2.7) oppure, in forma vettoriale, come

v · (X − X0) = 0 (2.8)

dove v = (a, b, c) e X − P0 = (x − x0, y − y0, z − z0). Quest’ultima equazione (2.8) ha un evidente significato geometrico: rappresenta il luogo dei punti X dello spazio per i quali il vettore X − X0 `e ortogonale al fissato vettore v. Dunque, anche l’equazione (2.5), equivalente a (2.8), rappresenta un piano: precisamente il piano passante per X0= (x0, y0, z0) e ortogonale al vettore v = (a, b, c).

Riassumendo:

Ogni piano nello spazio R3 si rappresenta con un’equazione cartesiana

ax + by + cz + d = 0 (2.9)

dove almeno uno dei coefficienti a, b, c non `e nullo. Viceversa, ogni equazione di questo tipo rappresenta un piano.

Il vettore v = (a, b, c) le cui componenti sono i coefficienti di x, y, z, `e ortogonale al piano di equazione ax + by + cz + d = 0.

Si noti un caso particolare. Se il piano P passa per l’origine, nelle equazioni (2.1) e (2.2) possiamo scegliere P0 = O; quindi l’equazione di un piano passante per l’origine `e , in forma vettoriale

n · X = 0 (2.10)

e, in forma cartesiana,

(11)

X P O

n

Figura 5: Sia P un piano passante per l’origine; sia n = (a, b, c) vettore non nullo ortogonale a P. Allora un punto X = (x, y, z) appartiene al piano P se, e solo se, X · n = 0. Questa equazione vettoriale si legge, in coordinate cartesiane ortogonali: ax + by + cz = 0. Quest’ultima `e dunque l’equazione cartesiana di un piano passante per l’origine.

2.2 Equazione di un piano in forma normale

Sia P un piano, non passante per l’origine, di equazione cartesiana

ax + by + cz + d = 0 (d 6= 0) (2.12)

A meno di moltiplicare il primo membro per −1, possiamo suppporre d < 0.

Ricordiamo che n = (a, b, c) è un vettore ortogonale al piano. Se normalizziamo n (cioè lo dividiamo per la sua lunghezza |n|), otteniamo il vettore unitario (cioè di lunghezza 1)

ˆ n = n |n| = ( a √ a2_{+ b}2_{+ c}2, b √ a2_{+ b}2_{+ c}2, c √ a2_{+ b}2_{+ c}2) (2.13) Le componenti di ˆn, date da (2.13), sono i coseni degli angoli ε1, ε2, ε3 che ˆn forma con i vettori e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) (i versori degli assi coordinati). Infatti, usando la formula che esprime l’angolo fra due vettori unitari,

cos ε1= ˆn·e1 = a √ a2_{+ b}2_{+ c}2, cos ε2= ˆn·e2 = b √ a2_{+ b}2_{+ c}2, cos ε3= ˆn·e3 = c √ a2_{+ b}2_{+ c}2 (2.14) Se dividiamo entrambi i membri dell’equazione (2.12) per |n| =√a2_{+ b}2_{+ c}2 _{otteniamo allora} l’equazione (che ovviamente rappresenta ancora lo stesso piano P)

a √ a2_{+ b}2_{+ c}2x + b √ a2_{+ b}2_{+ c}2y + c √ a2_{+ b}2_{+ c}2z + d √ a2_{+ b}2_{+ c}2 = 0 (2.15) ossia

cos ε1+ y cos ε2+ z cos ε3 = δ (2.16)

dove si `e posto δ = −d/√a2_{+ b}2_{+ c}2_{. La (2.16) si chiama equazione del piano in forma normale.} In forma vettoriale, l’equazione in forma normale (2.16) si scrive

X · ˆn = δ (2.17)

L’equazione (2.17) esprime il fatto che per tutti i punti X che appartengono al piano P, e soltanto per essi, la proiezione PnˆX = (X · ˆn) ˆn `e data da

(12)

dove δ è positivo. Il numero δ è la distanza del piano dall’origine, come è spiegato nella figura qui sotto. ˆ n O ϑ H X P

Figura 6: Sia ˆn il vettore unitario, spiccato dall’origine, ortogonale al piano P e che punta verso P. Sia H il punto in cui la semiretta di ˆn interseca P. Poniamo |OH| = δ; allora δ `e la distanza del piano dall’origine. Un punto X appartiene al piano P se, e solo se, la proiezione PˆnX = (X · ˆn) ˆn `e uguale al

vettore−−→OH = δ ˆn, ossia se, e solo se, X · ˆn = δ.

Abbiamo cos`ı dimostrato:

La distanza del piano ax + by + cz + d = 0 dall’origine, `e il valore asoluto di d(O, P) = d √ a2_{+ b}2_{+ c}2 (2.19)

2.3 Distanza di un punto da un piano

Teorema 2.1. Nello spazio, riferito a un sistema di coordinate cartesiane, la distanza del punto Z = (z1, z2, z3) dal piano P di equazione cartesiana

ax + by + cz + d = 0 (2.20) ` e data da: d(Z, P) = az1_√+ bz2+ cz3+ d a2_{+ b}2_{+ c}2 (2.21)

Dimostrazione Poniamo n = (a, b, c) e ˆ n = n |n| = ( a √ a2_{+ b}2_{+ c}2, b √ a2_{+ b}2_{+ c}2, c √ a2_{+ b}2_{+ c}2) (2.22) L’equazione di P in forma normale `e

a √ a2_{+ b}2_{+ c}2x + b √ a2_{+ b}2_{+ c}2y + c √ a2_{+ b}2_{+ c}2z + d √ a2_{+ b}2_{+ c}2 = 0 (2.23)

(13)

o, in forma vettoriale,

X · ˆn − δ = 0 (2.24)

dove δ = −d/√a2_{+ b}2_{+ c}2_.

Sia ora X0 = (x0, y0, z0) un punto (qualunque) appartenente a P. Pertanto, X0 soddisfa

X0· ˆn − δ = 0 (2.25)

La figura mostra che:

Il valore assoluto del prodotto scalare

(Z − X0) · ˆn (2.26)

`

e uguale alla distanza d(Z, P) del punto Z dal piano P.

Dunque, la distanza d(Z, P) del punto Z dal piano P `e data da d(Z, P) = |(Z − X0) · ˆn|

= |Z · ˆn − X0· ˆn| = |Z · ˆn − δ|

L’espressione finale |Z · ˆn − δ| `e il valore che il primo membro dell’equazione normale (2.24) assume quando si sostituisce al posto di X il punto Z = (z1, z2, z3). Dunque

d(Z, P) = a √ a2_{+ b}2_{+ c}2z1+ b √ a2_{+ b}2_{+ c}2z2+ c √ a2_{+ b}2_{+ c}2z3+ d √ a2_{+ b}2_{+ c}2 (2.27) = az1_√+ bz2+ cz3+ d a2_{+ b}2_{+ c}2 (2.28) Z = (z1, z2, z3) X0 = (x0, y0, z0) ˆ n n Z00 Z0 Y P

Figura 7: Il punto del piano P a distanza minima dal punto Z è l’intersezione Z0 del piano P con la retta passante per Z e ortogonale a P. Infatti, se Y è un qualunque altro punto di P, nel triangolo rettangolo ZZ0Y , l’ipotenusa ZY è piú lunga del cateto ZZ0. Per calcolare la distanza d(Z, P) non è peró necessario trovare il punto Z0, proiezione di Z sul piano P. Infatti, se X0 è un qualunque punto

appartenente a P, la distanza d(Z, Z0_{) `}_{e uguale al valore assoluto del prodotto scalare (Z − X}

0) · ˆn, perch´e

questo prodotto scalare `e la lunghezza (con segno) della proiezione del vettore Z − P0 lungo il vettore

(14)

In modo del tutto analogo, si dimostra che, nel piano R2, la distanza del punto Z = (z1, z2) dalla retta r di equazione ax + by + c = 0 `e data da

d(Z, r) = az_√1+ bz2+ c a2_{+ b}2 (2.29) 2.4 Fascio di piani

Fissata, nello spazio tridimensionale, una retta r, l’insieme dei piani P dello spazio che conten-gono r (nel senso che r ⊂ P) si dice fascio di piani di sostegno la retta r.

Proposizione 2.2. Sia r una retta dello spazio tridimensionale, di equazioni cartesiane r :

ax + by + cz + d = 0

a0x + b0y + c0z + d0= 0 (2.30)

I piani del fascio di sostegno r sono esattamente quelli la cui equazione `e del tipo:

λ (ax + by + cz + d) + µ (a0x + b0y + c0z + d0) = 0 (2.31) dove λ e µ sono numeri arbitrari (non entrambi nulli).

Dimostrazione. 1) Dimostriamo che ogni piano1 di equazione cartesiana (2.31) appartiene al fascio il cui sostegno `e la retta r. A questo scopo, sia P0 = (x0, y0, z0) un punto qualunque della retta r:

ax0+ by0+ cz0+ d = 0, a0x0+ b0y0+ c0z0+ d0 = 0 Allora, per ogni λ, µ, anche

λ (ax0+ by0+ cz0+ d) + µ (a0x0+ b0y0+ c0z0+ d0) = 0

Quindi tutti i piani (2.31) contengono P0. Poich´e P0 `e un punto arbitrario della retta r, si conclude che ogni piano del tipo (2.31) include la retta r.

2) Dimostriamo che se un piano P appartiene al fascio di sostegno r (cio`e , r ⊂ P), allora ha equazione del tipo (2.31). A questo scopo, fissiamo un punto P1 = (x1, y1, z1) che appartenga al piano P, ma non alla retta r, consideriamo un generico piano di equazione (2.31) e imponiamo la condizione

λ (ax1+ by1+ cz1+ d) + µ (a0x1+ b0y1+ c0z1+ d0) = 0 (2.32) che esprime l’appartenenza del punto P1al piano (2.31). Ora si vede subito che questa equazione, nelle incognite λ, µ, ha sempre infinite soluzioni, che sono tutte proporzionali2 _{tra loro e quindi} individuano uno stesso piano che, contenendo sia la retta r che il punto P1, non pu´o che coincidere

con il piano assegnato P. 2

1

L’equazione (2.31), che si puó scrivere (λa + µa0)x + (λb + µb0)y + (λc + µc0)z + (λd + µd0) = 0 rappresenta effettivamente un piano, perché è di primo grado in x, y, z e non si puó avere λa + µa0= λb + µb0= λc + µc0= 0, perché altrimenti i piani ax + by + cz + d = 0 e a0x + b0y + c0z + d0= 0 sarebbero paralleli, il che è escluso.

2

Almeno uno dei due coefficienti A = ax1+ by1+ cz1+ d e B = a0x1+ b0y1+ c0z1+ d0 `e diverso da zero (altrimenti il punto P1 apparterrebbe a r). Quindi le soluzioni (λ, µ) dell’equazione Aλ + Bµ = 0 sono tutti i multipli della coppia (B, −A).

(15)

Esempio Cerchiamo un’equazione cartesiana per il piano che contiene la retta r di equazioni cartesiane r : x − y = 0 x + y + 8z − 1 = 0 (2.33)

e che passa per il punto P = (0, 1, 1). L’equazione del fascio di sostegno r `e

λ(x − y) + µ(x + y + 8z − 1) = 0, λ, µ ∈ R P = (0, 1, 1) Il passaggio per il punto P = (0, 1, 1) impone la condizione

λ(0 − 1) + µ(0 + 1 + 8 − 1) = 0, ossia − λ + 8µ = 0

le cui soluzioni sono tutti i multipli della coppia ordinata (8, 1). Quindi un’equazione del piano cercato `e