• Non ci sono risultati.

2   EQUAZIONI E SISTEMI DI EQUAZIONI

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "2   EQUAZIONI E SISTEMI DI EQUAZIONI"

Copied!
14
0
0

Testo completo

(1)

UNITÀ 2 EQUAZIONI E SISTEMI DI EQUAZIONI 1. I numeri reali.

2. I radicali.

3. Le operazioni con i radicali.

4. Le equazioni di secondo grado pure, spurie e complete. 5. Sistemi di secondo grado con due equazioni in due incognite. 6. Sistemi di secondo grado con tre equazioni in tre incognite.

7. Problemi vari che si risolvono con equazioni o con sistemi di equazioni di secondo grado. 8. Generalità sulle equazioni di grado superiore al secondo.

9. Equazioni che si risolvono per scomposizione. 10. Equazioni binomie.

11. Equazioni biquadratiche. 12. Equazioni trinomie.

13. Sistemi con un’equazione di primo grado e una di grado superiore al secondo. 14. Sistemi con due equazioni di secondo grado.

(2)

1. I numeri reali.

L’insieme dei numeri reali R comprende l’insieme dei numeri razionali Q e l’insieme dei numeri irrazionali I.

Un numero irrazionale è un numero decimale con infinite cifre, non periodico e quindi non è un numero razionale perché non si può trasformare in una frazione.

Per esempio: √2 = 1,41421 … … √3 = 1,73205 … … π = 3,14159……. e = 2,71828….

I numeri irrazionali sono infiniti e sono più numerosi dei numeri razionali. Q e I non hanno alcun elemento in comune, cioè sono disgiunti: Q ∩ I = ɸ L’unione di Q e I forma l’insieme dei numeri reali Q Ụ I = R L’insieme dei numeri reali è ordinato,

cioè ∀ a,b ∊ R risulta sempre una delle seguenti possibilità: a < b oppure a = b oppure a > b

L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione,

cioè ∀ a,b ∊ R è sempre possibile calcolare a+b, a-b, a·b, 𝑎

𝑏

𝑐𝑜𝑛 𝑏 ≠ 0

l’insieme dei numeri reali è denso,

cioè ∀ a,b ∊ R esiste almeno un altro numero reale compreso tra essi, per esempio il valore medio 𝑎+𝑏

2

Inoltre c’è corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e i punti della retta. Cioè ad ogni numero reale corrisponde un punto della retta e, viceversa, ad ogni punto della retta corrisponde un numero reale.

(3)

2. I radicali.

I radicali sono numeri, monomi, polinomi o frazioni algebriche che si trovano sotto il simbolo di radice. Esempi: √5 √33 2 √𝑎𝑏 √𝑥2+ 3𝑥 + 2 √𝑥+2

𝑥 Si possono anche trasformare in potenze con esponente frazionario:

3√72 = 723 √2 = 2 1 2 √𝑥 + 1 = (𝑥 + 1) 1 2 √(𝑥−2 4 ) 3 4 = (𝑥−2 4 ) 3 4

Se l’indice di radice è pari devono verificare la condizione di esistenza, cioè il radicando deve essere positivo o nullo.

Per esempio nel radicale √2𝑥 − 1 deve essere 2𝑥 − 1 ≥ 0 cioè 2𝑥 ≥ 1 e quindi 𝑥 ≥1 2

(4)

3. Le operazioni con i radicali.

L’addizione e la sottrazione si possono eseguire solo se i radicali sono simili. Per esempio: 2√𝑎 − 5√𝑏 + 4√𝑎 + 8√𝑏 = 6√𝑎 + 3√𝑏

Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è uguale ad un radicale avente come indice lo stesso indice e come radicando il prodotto dei radicandi.

Per esempio √2𝑥3 ∙ √𝑦3

= √2𝑥𝑦3

Il quoziente di due radicali con lo stesso indice è uguale ad un radicale avente come indice lo stesso indice e come radicando il quoziente dei radicandi.

Per esempio √2𝑥 3 √𝑦 3

= √

2𝑥 𝑦 3

Se i radicali hanno indici diversi bisogna prima trasformarli in modo che abbiano lo stesso indice. Per fare ciò si moltiplica per uno stesso valore opportuno l’indice di radice e l’esponente del radicando.

√4

3

· √3

4

= √4

3·4 4

· √3

4·3 3

= √4

12 4

· √3

12 3

= √256

12

· √27

12

= √256 · 27

12

= √6912

12

La potenza di un radicale si calcola elevando a potenza il radicando. Per esempio: (√𝑥3 )2= √𝑥3 2

La radice di un radicale è uguale ad un radicale avente lo stesso radicando e come indice di radice il prodotto degli indici.

Per esempio: √3 √𝑥4 = √𝑥12

Trasporto di un fattore dentro il segno di radice

Si esegue in questo modo: 2√33 = √23 3· √33 = √23 3· 3= √8 · 33 = √243 Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice

Si esegue in questo modo: √50 = √25 · 2 = √25 · √2 = 5 · √2 Razionalizzazione del denominatore di una frazione.

Razionalizzare il denominatore di una frazione vuol dire eliminare i radicali dal denominatore. Per fare ciò bisogna moltiplicare Numeratore e Denominatore della frazione per un opportuno radicale.

Questa operazione è necessaria quando bisogna sommare frazioni che contengono radicali al Denominatore e bisogna calcolare il minimo comune multiplo.

I radicali doppi.

Si chiama radicale doppio una espressione del tipo √𝑎 ± √𝑏 che a volte si può trasformare in una somma algebrica di radicali normali utilizzando questa formula:

√𝑎 ± √𝑏 =√

𝑎+√𝑎2−𝑏

2

± √

𝑎−√𝑎2−𝑏

2

(5)

4. Le equazioni di secondo grado pure, spurie e complete.

Un’equazione di secondo grado si dice pura quando contiene il termine di secondo grado, il termine noto e non contiene il termine di primo grado. Per esempio: 𝑥2− 9 = 0

Si risolvono portando il termine noto al secondo membro e calcolando la radice ai due membri.

Un’equazione di secondo grado si dice spuria quando contiene il termine di secondo grado, il termine di primo grado e non contiene il termine noto. Per esempio: 2𝑥2− 5𝑥 = 0

Si risolvono raccogliendo l’incognita a fattore comune e scomponendo l’equazione di secondo grado in due equazioni di primo grado, grazie alla legge di annullamento del prodotto.

Un’equazione di secondo grado si dice completa quando contiene il termine di secondo grado, il termine di primo grado e il termine noto. Per esempio: 2𝑥2− 5𝑥 − 3 = 0

Si risolvono calcolando il discriminante ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 e calcolando l’incognita attraverso la formula:

𝑥 =

−𝑏±√∆

(6)

5. Sistemi di secondo grado con due equazioni in due incognite.

Questi sistemi contengono un’equazione di primo grado con due incognite e un’equazione di secondo grado con due incognite.

Si risolvono con il metodo di sostituzione, ricavando un’incognita dall’equazione di primo grado e sostituendo l’espressione trovata nell’equazione di secondo grado.

Risolvendo questa, si trovano i valori della prima incognita che, sostituiti nell’altra equazione, permettono di trovare i valori dell’altra incognita.

Per esempio risolvere il sistema:

   = − = − − − 0 3 0 4 2 5 2 2 y x x y x

Dalla seconda equazione si ricava la x e si sostituisce la sua espressione nella prima equazione.

   = = − − − y x x y x 3 0 4 2 5 2 2    = = − − − y x y y y 3 0 4 6 5 9 2 2    = = − − y x y y 3 0 4 6 4 2    = = − − y x y y 3 0 2 3 2 2

Si ricavano le soluzioni della prima equazione:

=

b

2

4

ac

=

9

+

16

=

25

= 2 1 4 2 4 5 3− == = −   =  = 4 5 3 2a b x = 2 4 8 4 5 3+ = =

Tornando al sistema abbiamo:

       = = − = y x y y 3 2 2 1 2 1          =  = = − =      −  = = = − = 6 2 3 3 2 3 2 1 3 3 2 2 1 2 2 1 1 2 1 y x y x y y          = − = = − = 6 2 3 2 2 1 2 1 2 1 x x y y

Quindi le soluzioni del sistema sono le seguenti coppie di valori:

      = 2 1 ; 2 3 ) ; (x1 y1 e (x2; y2)=

( )

6; 2

(7)

6. Sistemi di secondo grado con tre equazioni in tre incognite.

Questi sistemi contengono un’equazione di secondo grado con tre incognite e due equazioni di primo grado con tre incognite.

Si risolvono ricavando un’incognita da un’equazione di primo grado e sostituendo la sua espressione nelle altre due equazioni.

Per esempio risolvere il sistema:      = + + = − + = + + 1 3 3 8 2 2 1 2 2 z y x z y x z y x

Dalla prima equazione si ricava la x e si sostituisce la sua espressione nelle altre due equazioni.

     = + + − −  = − + − −  − − = 1 3 ) 1 ( 3 8 2 ) 1 ( 2 1 2 2 z y z y z y z y z y x      = − + + + − − + +  = − − + − − − − = 0 1 3 ) 2 2 2 1 ( 3 0 8 2 2 2 2 1 2 2 2 z y yz z y z y z y z y z y x      = − + + + − − + + = − − − − = 0 1 3 6 6 6 3 3 3 0 6 3 1 2 2 2 z y yz z y z y z z y x      = + − − + + − = − − = 0 6 3 6 3 4 2 2 1 2 2 yz z y z y z z y x      = − + − + + − = − − − = 0 12 6 6 12 4 2 2 ) 2 ( 1 2 y y y z y x      = − + − = + − = 0 18 4 20 2 2 1 2 y y z y x      = + − − = − = 0 20 18 4 2 3 2 y y z y x      = + − − = − = 0 10 9 2 2 3 2 y y z y x

Si risolve l’equazione di secondo grado:

=

b

2

4

ac

=

81

80

=

1

= 2 4 8 4 1 9− = = = −   =  = 4 1 9 2a b

y Tornando al sistema abbiamo: = 2 5 4 10 4 1 9+ = =         = = − = − = 2 5 2 2 3 2 1 y y z y x            = = − = = − = − = − = = − = − = 2 5 2 2 2 1 2 5 6 2 5 3 3 1 2 3 3 2 1 2 2 1 1 y y z y x y x

Quindi le soluzioni sono le seguenti terne di valori:

(

)

(

)

     = − = ; 2 2 5 ; 2 1 ; ; e 2 ; 2 ; 1 ) ; ; (x1 y1 z1 x2 y2 z2

(8)

7. Problemi vari che si risolvono con equazioni o con sistemi di equazioni di secondo grado.

8. Generalità sulle equazioni di grado superiore al secondo.

Generalmente le equazioni di grado superiore al secondo si risolvono portando tutti i termini al primo membro, riducendo l’equazione nella forma normale P(x)=0 e scomponendo il polinomio al primo membro in più fattori di primo grado o di secondo grado.

Si applica poi la legge di annullamento del prodotto e si risolvono le singole equazioni ottenute. Il numero delle soluzioni reali ottenute è, al massimo, uguale al grado del polinomio.

Tuttavia, per alcune equazioni particolari (binomie, biquadratiche, trinomie) si possono utilizzare metodi alternativi più semplici.

9. Equazioni che si risolvono per scomposizione.

In generale, per risolvere un’equazione di grado superiore al secondo, bisogna trasformarla in forma normale e scomporre il polinomio che si trova al primo membro in più fattori di primo grado o di secondo grado, utilizzando uno dei seguenti metodi:

- raccoglimento a fattore comune totale; - raccoglimento a fattore comune parziale;

- le formule dei prodotti notevoli, per es. 3 2 3

) 1 ( 1 3 3 + + = + + x x x x

- il teorema di Ruffini (se un polinomio si annulla per x=a, allora esso è divisibile per x-a). Esempi: x3 +2x2 −8x=0 [0;-4;2] 3x3−x2 −2x=0 [0;-2/3;1] x3 +4x2 −9x−36=0 [-4; -3; 3] 2x3 +x2 +6x+3=0  =−  2 1 x x3+6x2 +12x+8=0 [-2] 2 1 0 1 6 12 8x3− x2+ x− = x3 +x2 −10x+8=0

1,2,−4

x3 −4x2 −19x−14 =0 [-1,-2,7]

(9)

10. Equazioni binomie.

In queste equazioni il polinomio al primo membro è un semplice binomio di grado uguale al grado dell’equazione. Si risolvono portando il termine noto al secondo membro ed effettuando semplici calcoli. Esempi: x3−27=0 16x4−1=0 x5 +4=0 x6+2=0

11. Equazioni biquadratiche.

Il polinomio al primo membro contiene un termine con l’incognita elevata al quadrato, un termine con l’incognita elevata alla quarta e un termine noto. Si risolvono effettuando il cambiamento di variabile

t

x =2 e trasformandole in equazioni di secondo grado.

Una volta ricavata l’incognita t si sostituiscono i valori trovati e si ricava l’incognita x. Esempio 1 x4 − x3 2+2=0 Si pone x =2 t e di conseguenza x =4 t2 L’equazione diventa: t2− t3 +2=0 =9−412=9−8=1 =  = 2 1 3 t 1 e 2 t=1x2 =1x=1 t=2x2 =2x= 2

Si ottengono perciò le quattro soluzioni:

x

1

=

1

;

x

2

=

1

;

x

3

=

2

;

x

4

=

2

Esempio 2 x4 = x6 2 −8

 e2  2

Esempio 3 9x4 +1=10x2    3 1 1 e 12. Equazioni trinomie.

Il polinomio al primo membro contiene un termine con l’incognita elevata ad un certo esponente n, un termine con l’incognita elevata ad un esponente doppio 2n e un termine noto. Si risolvono effettuando un cambiamento di variabile ponendo xn =te trasformandole in equazioni di secondo grado.

Una volta ricavata l’incognita t si sostituiscono i valori trovati e si ricava l’incognita x. Esempio1 x6 + x9 3+8=0 Si pone x =3 t e di conseguenza x =6 t2 L’equazione diventa: t2 − t9 +8=0 =81−32=49 =−  = 2 7 9 t -8 e -1 t =−8 x3 =−8x=−2 t =−1x3 =−1 x=−1 Si ottengono perciò le due soluzioni: x1=−2; x2=−1

Esempio2 x8 = x9 4−8

 e1 4 8

(10)

13. Sistemi con un’equazione di primo grado e una di grado superiore al secondo.

Questi sistemi contengono un’equazione di primo grado con due incognite e un’equazione di grado superiore al secondo con due incognite. Si risolvono col metodo di sostituzione partendo dall’equazione di primo grado.

Per esempio risolvere il sistema:

   = − − = + 0 1 1 3 xy x y x

Conviene ricavare la y dalla prima equazione:

   = − −  − − = 0 1 ) 1 ( 1 3 x x x x y    = − + − − = 0 1 1 2 3 x x x x y    = − − + − = 0 1 1 2 3 x x x x y

Si risolve l’equazione di secondo grado mediante raccoglimento a fattore comune parziale:

x3+x2 −x−1=0 x2(x+1)−1(x+1)=0 (x+1)(x2 −1)=0 x+1=0x=−1

(x+1)(x+1)(x−1)=0 x+1=0x=−1

x−1=0x=1

Si ottengono allora due soluzioni distinte: x1=−1 e x2 =1 Tornando al sistema abbiamo:

     = − = − = 1 1 1 2 1 x x x y        = − = = − = − = = + = − − = − = 1 1 0 1 1 1 2 1 1 ) 1 ( 1 1 2 1 2 2 1 1 x x x y x y

Le soluzioni del sistema sono le seguenti coppie di valori:

(11)

14. Sistemi con due equazioni di secondo grado.

Questi sistemi contengono due equazioni di secondo grado con due incognite.

Si possono risolvere con una sostituzione opportuna che va scelta di volta in volta, oppure con una scomposizione opportuna in qualche equazione per poi applicare la legge di annullamento del prodotto.

Esempio 1. risolvere il seguente sistema con una sostituzione opportuna:     = + − + + = − + + 0 10 9 3 0 3 2 2 2 2 y x y x y x y x

Si può osservare che, ricavando l’espressione 2 2

y

x + dalla prima equazione e sostituendola nella seconda, si ottiene un’equazione di primo grado che si risolve facilmente rispetto ad una incognita.

   = + − + + − + − = + 0 10 9 3 3 3 2 2 y x y x y x y x    = + − + − = + 0 10 6 2 3 2 2 y x y x y x    = + − + − = + 0 5 3 3 2 2 y x y x y x    − = + − = + 5 3 3 2 2 y x y x y x    − = + + − = + − 5 3 3 5 3 ) 5 3 ( 2 2 y x y y y y    − = = − − + + + − 5 3 0 3 5 3 25 30 9 2 2 y x y y y y y    − = = + − 5 3 0 20 30 10 2 y x y y    − = = + − 5 3 0 2 3 2 y x y y

Si risolve l’equazione di secondo grado: =b2 −4ac=9−8=1

= 1 2 2 2 1 3 = = − = −   =  = 2 1 3 2a b

y Tornando al sistema abbiamo: = 2 2 4 2 1 3+ = =      − = = = 5 3 2 1 2 1 y x y y        = − = −  = − = − = − = −  = − = = = 1 5 6 5 2 3 5 3 2 5 3 5 1 3 5 3 2 1 2 2 1 1 2 1 y x y x y y        = − = = = 1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y

Le soluzioni del sistema sono le seguenti coppie di valori:

(12)

Esempio 2. Risolvere il seguente sistema con una sostituzione opportuna:    = = + 15 34 2 2 xy y x

Si può ricavare la y dalla seconda equazione e sostituire la sua espressione nella prima equazione.

    = = + x y y x 15 34 2 2       = = − + x y x x 15 0 34 225 2 2       = = − + x y x x x 15 0 34 225 2 2 4     = = + − x y x x 15 0 225 34 2 4

Nella prima equazione si pone x =2 t e di conseguenza x =4 t2

L’equazione diventa: t2− t34 +225 =0 =342−41225 =1156−900=256 =  = 2 16 34 t 9 e 25 t =9x2 =9x=3 t=25 x2 =25 x=5

Si ottengono perciò le quattro soluzioni: x1 =−3; x2 =3; x3 =−5; x4 =5 Il sistema diventa:            = = − = = − = x y x x x x 15 5 5 3 3 4 3 2 1

Sostituendo tutti i valori di x si possono ricavare tutti i valori di y.

5 3 15 15 1 1 =− − = = x y 5 3 15 15 2 2 = = = x y 3 5 15 15 3 3 =− − = = x y 3 5 15 15 4 4 = = = x y Le soluzioni del sistema sono perciò:

(

3; 5

)

) ;

(13)

Esempio 3.

Risolvere il seguente sistema mediante scomposizione di un’equazione:     = + + = + − − 1 0 3 3 2 2 2 x y x y x xy x    = + + = − − − 1 0 ) ( 3 ) ( 2 2 x y x y x y x x    = + + = − − 1 0 ) 3 )( ( 2 2 x y x x y x

Per la legge di annullamento del prodotto la prima equazione è verificata quando x− y=0 oppure quando x−3 =0. Perciò il sistema è equivalente all’unione di due sistemi:

   = + + = − 1 0 2 2 x y x y x     = + + = − 1 0 3 2 2 x y x x    = − + + = 0 1 2 2 y y y y x     = − + + = 0 1 3 9 3 2 y x    = − + = 0 1 2y2 y y x     = + = 0 11 3 2 y x 9 8 1 4 2 − = + = =  b ac =−1 = −  = 4 3 1 yy2 =−11 non ha soluzioni 2 1 =

Tornando ai sistemi abbiamo:

       = − = = 2 1 1 2 1 y y y x            = − = = − = 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 y y x x  

Le soluzioni del primo sistema sono: (x1; y1)=

(

−1; −1

)

e       = 2 1 ; 2 1 ) ; (x2 y2 Il secondo sistema non ha soluzioni.

(14)

Esempio 4.

Risolvere il seguente sistema mediante scomposizione di un’equazione:

   + = − − = − − + y x xy y x y xy 3 8 6 4 0 3 2 6 2    = − − − − = + − + 0 3 8 6 4 0 ) 3 ( 1 ) 3 ( 2 y x xy y x y x y    = − − − − = − + 0 3 8 6 4 0 ) 1 2 )( 3 ( y x xy y y x

Per la legge di annullamento del prodotto la prima equazione è verificata quando 3x+ y=0 oppure quando 2y−1=0. Perciò il sistema è equivalente all’unione di due sistemi:

   = − − − − = + 0 3 8 6 4 0 3 y x xy y x     = − − − − = − 0 3 8 6 4 0 1 2 y x xy y    = − − − − − − − = 0 ) 3 ( 3 8 6 ) 3 ( 4 3 x x x x x y      = − − −  − = 0 2 3 8 6 2 1 4 2 / 1 x x y    = + − − − = 0 9 8 6 12 3 2 x x x x y      = − − − − = 0 2 3 8 6 2 2 / 1 x x y    = − + − = 0 6 12 3 2 x x x y      − = − − = − − = = 2 15 2 3 12 2 3 6 10 2 / 1 x y 289 288 1 4 2 = + = =  b ac 4 3 12 9 24 18 = = − = =−  = 24 17 1 x 3 2 6 4 12 8 24 16 = = = = Tornando ai sistemi abbiamo:

     = − = − = 3 / 2 4 / 3 3 2 1 x x x y      − = − = − = = 2 15 4 3 20 15 2 / 1 x y             = − = − =  − = =      −  − = 3 2 4 3 2 3 2 3 4 9 4 3 3 2 1 2 1 x x y y        − 2 1 ; 4 3

Le soluzioni del sistema sono: 

    − = 4 9 ; 4 3 ) ; (x1 y1       = ; -2 3 2 ) ; (x2 y2      − = 2 1 ; 4 3 ) ; (x3 y3

Riferimenti

Documenti correlati

Il progetto ha lo scopo di far riflettere gli allievi sulla comunicazione in tutte le sue forme e di sviluppare la competenza di esprimersi per comunicare. La competenza

Per determinare gli eventuali punti d’intersezione tra la retta e la circonferenza, dobbiamo risolvere il seguente sistema di 2° grado:. Metodo di sostituzione: ricaviamo la x

Incontriamo spesso equazioni come quella vista quando utilizziamo il Teorema di Pitagora.. Un cateto di un triangolo rettangolo misura 9 cm, l’ipotenusa

Queste, in particolare, sono EQUAZIONI DI PRIMO GRADO ad UNA

Conoscere il concetto di un equazione di secondo grado completa e tecniche di risoluzione di equazioni frazionarie e di equazioni intere letterali.. Particolari

I ragazzi solitamente ricorrono a soluzioni di altro tipo (metodi intuitivi) e solo una piccola parte fa uso delle equazioni. Queste esperienze evidenziano che alcuni

Hence, RTE spelt salad has been selected to investigate quality and safety changes during mixing of conventional ingredients and preparation of the final product, because this

La riduzione dell’attività COX, il calo della velocità OXPHOS e la deplezione dei livelli intracellulari di ATP sono responsabili del danno bioenergetico;