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Esempio 13 (razionali fratte p308n44-45)Studiare dominio e segno della seguente funzione: 2 2
2
7
3
3
2
x
x
y
x
x
−+
=
−
+
Studio del Dominio
Una funzione razionale fratta è definita solo per valori della x che non annullano il denominatore:
{
}
2 3 2 0 1 2 : 1;2
x − x+ ≠ ⇒ x≠ ∧x≠ ⇒ D ℝ− I n corrispondenza di questi valori tracceremo linee verticali se essi non annullano anche il numeratore, come in questo caso.
Studio del Segno
Occorre fare il prodotto del segno dei singoli fattori:
2 1 2 7 3 0 3 2 x − x+ ≥ ⇒ x≤ ∨ ≥x 2
3
2
0
1
2
x
−
x
+ >
⇒
x
< ∨ >
x
Confronto con l’asintoto orizzontale
Eseguendo la divisione fra numeratore e denominatore si ottiene per risultato −2 con il resto di x+ . Allora, proprio come ad esempio1 23 2
8 = con il resto di 5 si può scrivere 23 16 5 2 5
8 8 8
+
= = + anche per questa funzioni razionale fratta si scrive:
( ) 2 2 2 1 2 7 3 2 3 2 3 2 x x x y x x x x − − − + = = + − + − +
il che significa che il grafico della funzione: - giace sopra alla retta y= se 2
2 1 0 3 2 x x x − − > − +
perché risulta y = +2 numero positivo - giace sotto alla retta y = se 2
2 1 0 3 2 x x x − − < − +
perché risulta y = +2 numero negativo
Studiano il segno della quantità 2 1
3 2
x
x x
− −
− + si possono quindi aggiungere altre informazioni al grafico cancellando le regioni sopra o sotto alla retta orizzontale trovata 1 2
−
+
+
2 2 2 2 7 3 3 2 2 6 4 2 0 1 x x x x x x x − + − + − − − − 3 1 2+
−
+
12 3 segno di: 2 2 2 7 3 ( )3
2
x x f xx
x
− +−
+
2 + + +−
−
−
1 + + + +−
−
−
+ + 1 2 0 1 2 3 segno di: 2 13
2
xx
x
− −−
+
1 − 2−
+ + + 1 + +−
−
−
+−
−
1 2 0 1 2 3 2 y = 1 −17
Esempio 14 (Esponenti reali ReF p. 309 da 60 a 63)Studiare dominio e segno della seguente funzione:
2 3
3 9 2 7 3
2 2
y=x + x + x−
Studio del Dominio
Una potenza ad esponente razionale (non intero) oppure irrazionale, accetta solo valori positivi o nulli come base. La condizione di esistenza è pertanto:
3 9 2 7 3 0
2 2
x + x + x− ≥
Si faccia attenzione che applicando le proprietà degli esponenti ottiene
2
3 2
3 9 7 3
2 2
y= x + x + x− , il cui dominio è ℝ. Ma le proprietà degli esponenti valgono solo se la base è positiva, il che riconduce alla condizione di esistenza già scritta. Cerchiamo le radici dell’equazione associata:
3 9 2 7 3 0 2 2 x + x + x− = 3 2 2x +9x +7x− =6 0
trasformata in un’equazione a coefficienti interi possiamo individuare dei candidati ad essere soluzioni razionali. Essendo i divisori del termine noto 6, 3, 2,1 mentre 2,1 sono i divisori del termine di grado massimo, le radici razionali sono da ricercare fra i numeri 6, 3, 2, 3, 1, 1
2 2 ± ± ± ± ± ± . Proviamo x = ed 1 1 2 x = . Come si vede 1 2
x = è radice. Val la pena di ricordare che la regola di Ruffini, applicata ad un numero che non è radice, produce il valore del polinomio nel punto che abbiamo utilizzato. Scomponiamo: 2 1 (x− 2)(2x +10x+12)= 0 1 0 1 2 2 x− ≥ ⇒ x ≥ 2 2x +10x+12≥0 ⇒ x ≤ − ∨3 x ≥ − 2 quindi D: [ 3; 2] [− − ∪ 12;+∞ )
Studio del Segno
Una potenza con esponente reale, a base quindi necessariamente positiva, dove esiste è sempre positiva quindi risulta ( )f x ≥0 ∀ ∈x D. 7 2 9 6 1 2 1 5 6 2 10 12 0 − 7 2 9 6 1 2 11 18 2 11 18 12 − valore del polinomio in x=1 2 − 3 −
