Torsione e taglio

Sollecitazione di Taglio

In linea teorica si può avere solo sollecitazione di taglio,

ma in realtà essa si accompagna sempre a momento

flettente

x

y

T T

Ciononostante, anche in presenza di taglio il momento flettente si calcola allo

stesso modo, in quanto esso fornisce, nel riferimento assiale (x-y) tensioni

normali, mentre il taglio dà tensioni tangenziali

Spesso, in I approssimazione, si considera il taglio

uniformemente distribuito sulla sezione resistente

T

A

 

Il calcolo della tensione di taglio su una sezione è in realtà

assai più complesso, esso varia sia secondo x che y (in forma

parabolica per una sezione rettangolare)

Sezione rettangolare: Sezione circolare: max

3

2

T

A





A

T

3

4

max





La formula fornisce le seguenti soluzioni elementari

In modo più esatto, ma sempre approssimato (Jourawsky) , esso

viene mediato lungo la direzione dello spessore (z) con la formula

_J

_b

S

T





T T M M+dM i i j j r r s s _yx _xy _xy b dx x y

Si considera di isolare un elementino assiale (lunghezza dx)

Si consideri l’equilibrio del parallelepipedo ii - rr - ss - jj in direzione x

Faccia sinistra (in x) agisce momento M - tensione massima



Faccia destra (in x+dx) agisce momento M+dM - tensione massima



₁





dA

_yx

b

_i

dx

0

) jj ii ( A



1















Su di esso agiscono le tensioni normali



_x

(dovute al momento su ii-rr e jj-ss) ed il

taglio



_yx

sulla faccia ii-jj.

Ricordando che 1

y -

y

M

dM

M

dM

Tdx

y

y

J

J

J

J



   





Si ha c.d.d. ( ) ( ) i yx i yx A ii jj A ii jj i i

Tdx

T

T S

y dA

b dx

y dA

J





 



 

J b







J b

Nella precedente S_i è il momento statico della ii-rr rispetto all’asse neutro, J è invece il momento d’inerzia dell’intera sezione

Pertanto, il taglio presenta, lungo y, un andamento dominato dal

momento statico – esso si annulla al top/bottom e risulta massimo nella sezione baricentrica

Nel caso di sezione rettangolare, ad esempio, il momento statico si può calcolare come area della parte sottesa alla corda ii per la distanza del suo baricentro dall’asse neutro

 

1 2 2 1 1 1 1

2

2

2

2

4

h

y

h

b h

S y



b



_



y

_





y







_





_



y



_







_

_

 

2 2

2

4

yx

T

h

y

y

J









_



_





Il valore massimo (y=0)

 

2

3

8

2

yx

Th

T

y

J

A







taglio y x

La formula di Jourawsky è applicabile anche a sezioni non regolari

Il tensore delle tensioni dovrà comunque risultare sempre tangente al profilo esterno, pertanto, occorre sovrapporre alle tensioni di taglio di Jourasky un’altra componente _xz (antisimmetrica) che riorienti localmente le



.

Lo sforzo di taglio induce l’elemento a variare di forma (ma non di volume) secondo un angolo di scorrimento 

Dato che esiste il semplice legame



=



/ G tra scorrimento quest’ultimo sarà massimo al centro e nullo al top / bottom

Le sezioni, inizialmente ortogonali all’asse, si ingobbano

Tuttavia, lo scorrimento è uguale per ogni fibra assiale, per cui non si instaurano (per sezioni costanti) sollecitazioni o deformazioni assiali (taglio puro senza flessione)

Lo spostamento tra due sezioni può essere valutato mediante la deformazione (scorrimento) media

media

d

  

dx

media

T

GA



 

Fattore di taglio

Il lavoro di deformazione, in accordo al teorema di Clapeyron, è pari all’integrale, lungo la linea, della metà della tensione di taglio per lo scorrimento medio

2

1

2

_L

T

W

dx

GA







od anche 2 2 2 2 i i 2 2 2 2 S 1 1 S J 2 2 G J A A i i L L L T T W dW dA dx dA dx b G b 









 

A A

dA

b

J

S

A

A 2 i 2 2 i







i i

T S

J b

 

Il fattore di taglio può essere calcolato analiticamente 2 2 i 2 2 S 1 J 2 A i L L T W dW dA dx b G 







Esempio: andamento del taglio in una sezione triangolare

G T h b y

 

₀ i y i

T S

y

J b







 

0

2

3

3

y

h

y h

y

h

h

y

S y

b

y

h











 





_

_{ }



 

_



 



 

₀

2





2

2

3

3

y

b h

y

y

h

y h

y

S y

b

y

h

h















_

_









 

_{y 0}

h

y

b y

b

h







 

y

_{y 0}

12

T h



₃

y y



bh









3 2 3

1

12

2

9

36

G

bh

bh h

J









bh

Il massimo del taglio si ha quando y= h/2

 

2

3

h y

T

y

bh







 

₀





2 3

1

1

3

36

y

b h

y

y

y

T

h

y

h

_{bh b}

h









_

Sollecitazione di Torsione

È una sollecitazione che si verifica molto frequentemente, ad es. negli organi che

trasmettono potenza (assi e alberi), viti, albero di sterzo, …

La soluzione si presenta semplice solo nel caso di sezioni circolari (del resto

assai diffuse nella tecnica)

Sezioni piane restano tali ma ruotano

Lo stato di tensione è piano

Ipotesi:

Lo scorrimento è

 

CC

1









G

Perché tutti i punti di una sezione ruotino del medesimo angolo, scorrimento e taglio debbono crescere linearmente

max

L’equilibrio a torsione sull’intera sezione dà: 2 max max p

J

R

t A A

r

M

r dA

dA

R



 



 





Grandezze locali nella sezione:

 

 

 

max p p p p

;

;

;

J

J

J

J

t t t

r

t

M R

M r

M r

M

r

r

G

r

G















 



Globalmente si possono considerare l’angolo di torsione globale e il lavoro di torsione 2 max p p

1

;

J

2

2 J

t t t

L

M L

M L

W

M

R

G

G



 





 

Angolo di torsione unitario N.B. Non dipende da r

Ricordando infine che

4 p

J

32

D





max 3

16

D

t

M







Lo stato di tensione indotto dalla torsione, nel riferimento assiale si compone di sole



Nel piano di Mohr si trovano i punti caratteristici (A-B) che corrispondono all’assenza di sollecitazioni normali

A B





A B 1



2



3



Ruotando di 45° (90°) nel piano di Mohr, si trova l’orientazione che annulla le 

Esempio 1: Grippaggio

In un albero in acciaio di diametro d= 80 mm è fissata una massa volanica, anch’essa in acciaio, con diametro D= 800 mm e spessore s= 50 mm. Mentre l’albero ruota a 60 giri/m, si determina un grippaggio al cuscinetto destro. Calcolare la sollecitazione conseguente.

Massa ed inerzia polare del volano risultano:

2 2

7800 0.05

0.8

196

4

4

m

 

s



D





 





kg

2 2

1

15.68

2

2

D

I



m

 

_{ }



kg m

 

Trascurando la massa dell’albero, tutta l’energia cinetica si trasforma in energia elastica immagazzinata nella torsione, una volta grippato il cuscinetto

2 2

1

2

60

0.5 15.68

309.6

2

60

c

E



I

 







_

 



_



J





Il lavoro di deformazione invece vale 2

1

2

tors tors p

M

W

L

G J



con





11 10

2.1 10

8.077 10

2 1

2 1.3

E

G











Pa

 



4 6 4

4.02 10

32

p

J





d







m

Imponendo l’uguaglianza delle due energie: 2 2

1

1

2

2

tors p

M

L

I

G J





10 6

₂

₆₀

_{8.077 10 15.68 4.02 10}

14177

60

1

p tors

G I J

M

Nm

L

















 



_

_







Di conseguenza, considerando che il momento sia applicato staticamente, ossia che non si abbiano effetti dinamici dell’albero sovrapposti

2 max 3 3

16

16 14177

141

/

0.08

tors

M

N mm

d















A questa sollecitazione massima, corrisponde una rotazione unitaria e totale pari a

5 max

2

2 141

4.36 10

/

80770 80

unit

rad mm

G d







 















5

4.36 10

1000

0.044

2.448

unit

l

rad



  













Esempio 2: Calcolo di sollecitazione mediante sovrapposizione di effetti

Calcolare tensore tensioni nel punto P

Azioni interne:

Piani Verticali

Piani

Si calcolano separatamente i contributi in P

• 1) Momento flettente dovuto a P₁ P giace sul piano neutro e quindi

 

, 1

0

x

Mpa





• 2) Momento flettente dovuto a P_{2 P è sulle fibre compresse}

  2 , 2 3 3

32

_{32 3000 400}

56.59

60

f x

M

MPa

d







 

 

 





• 3) Sforzo normale dovuto a P₂ P ha la sollecitazione di tutta sezione

  2 , 3 2 2

4

4 3000

1.06

60

x

P

MPa

d





 

 

 





Sommando tutte le tensioni normali in P

     

, 1 , 2 , 3

0 56.59 1.06 = - 57.65

x x x x

MPa

Contributo di taglio in P

• 1) Azione tagliante dovuta a P₁

P si trova proprio dove è massimo lo sforzo tangenziale

1 2 2

4

4

16 2000

0.94

3

d

3

60

xy

P

MPa



 









• 2) Azione del momento torcente imposto da P₁

Si hanno sforzi tangenziali che sono massimi nelle fibre esterne (punto P)

3 3

16

16 2000 400

18.86

d

60

t zy

M

MPa





 









Tensione _risultante A B  A   A B  

57.65

2

3 18.86

2

3 0.94

2

66.28

eq VonMises

MPa





 

 



57.65 0.94 18.86

0.94

0

0

18.86

0

0

MPa











 











σ

Per sezioni non circolari problema più complesso, risolto nel passato mediante analogie: Idrodinamica (Greenhill - 1871) membranale (Prandtl - 1926) Sezioni rettangolari 3 t 2 t MAX

G a b

M

;

b

a

M

_

_

_







Andamento a (pseudo)-farfalla

2

;

3 t t MAX

M

M

a b

G a b





3

 

3

Rettangolari allungate:





i 3 i i tors

h

s

3

1

J

Sottili semplicemente connesse:

tors t tors MAX t MAX

G J

M

;

J

s

M

_

_





Soluzione approssimata sezione rettangolare qualunque: (n= b/a)

63

.

0

n

n

3

;

n

8

.

1

3













p t 4 p

J

G

M

q

;

A

J

40

q







Deformabilità sezioni “raccolte” (St.Venant) (n= b/a)

Formula che approssima la precedente tabella

N.B. Il massimo si ha dove lo spessore è massimo

Torsione nelle travi tubolari in parete sottile

Quando le sezioni sono sottili e chiuse, l’andamento della  di torsione può pensarsi costante e non a farfalla su ogni possibile taglio, si utilizzano le formule di Bredt

s

G

4

c

M

;

s

2

M

2 t t













 = area racchiusa sezione media s = spessore (piccolo)

c = lunghezza linea media

Sezione costante:

















i i i 2 t MIN t MAX

s

c

G

4

M

;

s

2

M

Esempio: Trave a cassone

Una trave a cassone di lunghezza L, è soggetta a momento torcente M_t. Si determini:

1) Lo spessore minimo dei due piatti orizzontali, sapendo che la _amm= 160 MPa

2) L’angolo di torsione sapendo che una estremità è libera e l’altra incastrata

In termini di , la sollecitazione ammissibile è

160

92.4

3

amm

MPa







L’area sottesa dalla linea vale 2

200 140

28000 mm

 





2

t MAX MIN

M

s







3

25000 10

4.8

2

2 28000 92.4

t MIN adm

M

s









mm

 





Utilizzando ora la formula di Bredt per spessori non costanti si ha 3 5 2

25000 10

200

140

2

2

1.12 10

4

4 80770 28000

4.8

10

t i unit i

M

c

rad

G

s





_

_

 



_



 

_













_

_

5 2

1.12 10

3000

3.36 10

Tot unit

L

rad

 