L’ECONOMIA E LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE
(COSTO FISSO E VARIABILE, COSTO TOTALE, MEDIO E
MARGINALE)
Ogni bene che viene prodotto ha un costo che deriva dalla combinazione di diversi fattori: la mano d’opera, le materie prime, la gestione del magazzino, i macchinari, etc …
Una corretta valutazione dei costi è di grande importanza per la gestione di un’azienda, in quanto da essa si possono ricavare importanti informazioni e prendere opportune decisioni.
Hai già affrontato questi argomenti nel corso di Economia Aziendale. Nel nostro caso vogliamo ora rivedere tali argomenti, soffermandoci sugli aspetti matematici della teoria dei costi per stabilire dei legami tra costi, ricavi, profitti e prezzo.
L’obiettivo principale di un’impresa è stabilire quale quantità di bene è opportuno produrre per raggiungere il massimo profitto, minimizzando i costi.
Anche in questo caso verranno analizzati dei modelli matematici che ben rappresentano la situazione reale, pur se semplificati.
LA FUNZIONE DEL COSTO Nella produzione di un bene intervengono diversi fattori di costo come materie prime, mano d’opera, mezzi di produzione, … La teoria di Marshall raggruppa i fattori di produzione di un bene in tre categorie: Terra – Lavoro – Capitale che equivalgono, sostanzialmente, ai fattori indicati sopra. Terra: materie prime. Lavoro: mano d’opera. Capitale: mezzi di produzione tra cui macchinari, energia elettrica, etc… Dal punto di vista matematico, quindi, la funzione dei costi dovrebbe essere una funzione di più variabili. C = f (x1, x2, …. )
Nel modello semplificato, invece, si considera che in un dato lasso di tempo i fattori su indicati rimangano costanti (il numero dei dipendenti rimane fisso, il capitale a disposizione dell’azienda non cambia, …), pertanto possiamo costruire un modello in cui il costo totale di un bene dipenda solo dalla quantità prodotta.
COSTI FISSI: Costi che non dipendono dalla quantità di bene prodotta. Nel diagramma cartesiano sono dunque rappresentati da una retta parallela all’asse x. Sono costi fissi i costi di affitto dei locali, gli stipendi dei dipendenti, le assicurazioni contro furto e incendio, la pubblicità, … COSTI VARIABILI: Costi che dipendono dalla quantità di bene prodotta. Sono costi variabili le materie prime, le spese di magazzinaggio, eventuali straordinari pagati ai dipendenti, … COSTI TOTALI: la somma di Costi Fissi e Costi Variabili CT = CF + CV C(q) = CF + CV La variabile q indica la quantità di bene prodotto, pertanto sarà sempre positiva. Inoltre, a causa di limiti di produzione, essa non potrà superare un certo valore massimo l. Pertanto: 0 ≤ 𝑞 ≤ 𝑙
La funzione dei costi fissi, essendo una funzione costante, che non dipende dalla quantità prodotta, sarà rappresentata da una retta parallela all’asse x.
I costi variabili, invece, possono essere rappresentati mediante diversi modelli matematici (lineare, parabolico, esponenziale, ad “S rovesciata”)
In ogni caso, sarà una funzione crescente della quantità prodotta, in quanto i costi tendono comunque ad aumentare al crescere della quantità di bene immessa sul mercato.
Il modello ad “S rovesciata” ben rappresenta l’andamento dei costi variabili. Esso mostra che in un primo periodo, quando la quantità prodotta è bassa, i costi variabili crescono rapidamente, in quanto i costi si ripartiscono su pochi beni prodotti. Col crescere della produzione, invece, i costi variabili tendono a crescere meno rapidamente, raggiungendo un valore minimo in corrispondenza di un valore ottimale di q, per il quale i costi si distribuiscono su ogni unità di bene prodotto.
Col crescere ulteriore della quantità prodotta, però, i costi tendono nuovamente ad aumentare in modo repentino, in quanto per produrre molto bene sarà necessario pagare straordinari ai dipendenti o acquistare nuovi macchinari. La funzione dei costi si compone dalla somma delle due funzioni, costi fissi e costi variabili. Da un punto di vista analitico, una funzione ad S rovesciata può essere rappresentata da un polinomio del tipo: 𝐶 𝑞 = 𝑎𝑞! − 𝑏𝑞! + 𝑐𝑞 + 𝑑 per opportuni valori di a, b, c e d
Noi analizzeremo essenzialmente i modelli lineare e parabolico. Modello lineare: C(q) = mq +b COSTI VARIABILI Dove m rappresenta il coefficiente angolare che deve essere positivo, poiché la funzione è da considerarsi crescente. m > 0 COSTI FISSI dove b rappresenta l’ordinata all’origine e indica i costi FISSI, pertanto non può essere negativa b > 0
Modello parabolico: 𝐶 𝑞 = 𝑎𝑞! + 𝑏𝑞 + 𝑐 In tal caso c deve essere necessariamente positivo, in quanto rappresenta i costi fissi che non possono essere negativi. C > 0 Il parametro a, invece, può essere sia positivo, sia negativo, per cui è possibile considerare parabole con concavità rivolta verso l’alto o verso il basso ma in ogni caso va considerato solo il tratto in cui la curva sarà crescente. Esempio: 𝐶 𝑞 = −𝑞! + 200𝑞 + 10000 sarà una funzione dei costi solo con 0 ≤ 𝑞 ≤ 100 Osservazione: i costi fissi sono sempre positivi e sono dati dall’intersezione della funzione dei costi con l’asse y.
IL COSTO MEDIO
Si definisce costo medio o costo unitario di un bene, il rapporto tra il costo totale C, necessario per produrre un bene, e la quantità prodotta. 𝐶!"#$% = 𝐶!"!#$% 𝑞 Tale rapporto permette di comprendere il costo per unità di bene prodotto, supponendo che ogni unità abbia lo stesso costo. E’ interessante calcolare, con i metodi dell’analisi, il valore del minimo del costo medio, che indica il valore del costo unitario più basso. Esempio: 𝐶 𝑞 = 0,08𝑞! + 16𝑞 + 28800 Il costo medio è: 𝐶! = !,!"!!!!"!!!""##! = 0,08𝑞 + 16 +!""##! rappresenta un’iperbole con asintoto verticale q = 0, asintoto obliquo C = 0,08q +16 e punto di minimo in m (600; 112)
IL COSTO MARGINALE
Il costo marginale aiuta il produttore a comprendere di quanto aumenta il costo del bene prodotto, modificando la propria produzione, ossia aumentandola o diminuendola.
Il costo marginale si calcola in maniera diversa, a seconda se per il bene consideriamo quantità discrete o continue. CASO DISCRETO Il costo marginale Cma è il costo che si deve sostenere per aumentare di una unità la produzione di un bene. 𝐶!" = 𝐶 𝑞 + 1 − 𝐶(𝑞) CASO CONTINUO Nel caso continuo, le variazioni di prodotto possono essere diverse dall’unità, pertanto il costo marginale sarà dato dal rapporto tra l’aumento di costo che si deve sostenere per un aumento Δ𝑞 della quantità, e l’incremento Δ𝑞 stesso. 𝐶!" = ! !!! !!(!)!!
Essendo questo il rapporto incrementale della funzione dei costi, possiamo sicuramente affermare che, se la funzione dei costi è derivabile, il Costo Marginale è dato dalla derivata della funzione dei costi.
CONFRONTO TRA COSTO MEDIO E COSTO MARGINALE
Bibliografia:
• Re Fraschini, Grazzi, Spezia, Matematica per l’economia, ATLAS, 2007 • Bergamini, Trifone, Barozzi, Matematica.rosso, Zanichelli, 2013
• Prof. Pasca Di Magliano, Lezioni di Economia Politica, 2015
• Prof. Luigi Bosco, Il Mercato di Concorrenza perfetta, Lezioni di Microeconomia, Università degli Studi di Siena
• Il Mercato, ITC Calamandrei:
