il moto e’ per assunzione fisso nel tempo percio’ etc.quindi t

Dato il vettore posizione

^{r( t )} = ^{cos 2} ( ) ⁴ t i sen ^ˆ + ² ( ) ⁴ t j ^ˆ + − ( t ^{3 ˆ} )k

calcolare le espressioni dei versori

ed il raggio di curvatura della traiettoria

v dr

= dt

v a d

= dt

( ) ^{4 ˆ} ( ) ^{4 ˆ ˆ}

8 sen t i 8cos t j k

= − + +

( ) ^{4 ˆ} ( ) ^{4 ˆ}

32 cos t i 32sen t j

= − −

➢ Velocita’

ma come specificato

v dr

= dt

( )

( )

dt dt

 

=   +

➢ Accelerazione

( ) ( )

2 4 2 4 ˆ

d dj

+ sin t j sin t

dt + dt

 

 

  ^d

(

)

(

)

dt dt

 

 

+ + −

 − 

diˆ dt = 0

il moto e’ per assunzione fisso nel tempo percio’ etc. quindi il sistema di riferimento rispetto al quale si descrive

tangente, normale e binormale al generico tempo

t

( ) ( )

2 2

v = 64 sen 4 t + 64 cos 4 t + 1 ^{= 64} ( ^sen

( ) ^{4 t + cos}

( ) ^{4 t} ) ^{+ 1}

v = 65 ¹ ( ( ) ( ) )

65

4 ˆ 4 ˆ ˆ

ˆt = − 8 sen t i 8cos + t j k +

v ˆt = v

Versore tangente

ˆt

( ) ( )

v = − 8 sen 4 t i 8cos ˆ + 4 t j k ˆ + ˆ

se

t

ˆ

ˆ

a = a t a u +

( ) ( )

( ^{4 4} ) ¹ ( ^{( ) 4 ( ) 4} )

65

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

32 cos t i 32sen t j  8 sen t i 8cos t j k 

= − −   − + + 

 

t

ˆ

a =  = a t

( ) ( ) ( ) ( )

( )

32 4 4 4 4 0

65 +8 sen t cos t 8 sen t cos t

= − =

t

ˆ 0

a =  = a t

( ) ⁴ ( ) ⁴

c

32 cos t i 32sen ˆ t j ˆ

a  = a − −

➢ accelerazione tangenziale e centripeta

( ) ( )

2 2 2 2

4 4

a

= 32 sen t + 32 cos t a

= 32

( ) ⁴ ( ) ⁴

32

c c

c

ˆ ˆ

32 cos t i 32sen t j ˆu a

a

− −

= =

( ) ⁴ ( ) ⁴

c

ˆ ˆ

ˆu = − cos t i sen − t j

Versore centripeto ( normale)

ˆu

v

c c

a a

= =  ^v

a

 =

v = 65 a

= 32 65

 = 32

Raggio di curvatura



la curvatura

k

del raggio di curvatura

 k 1

= 

per definizione e’ uguale all’inverso

k

ˆ ˆ

b=t u  =

( ) ( )

( ) ^{( ( ) ( ) )}

1 4 4 4 4

65

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

8 sen t i 8cos t j k cos t i sen t j

= − + +  − −

ˆ ˆ ˆ

(

) (

) (

) a b  = a b − a b i + a b − a b j + a b − a b k

( ) ( ( ) ) ^{( ) 4}

1 4 4

65   8cos t  0 − 1  − sen t   ˆ i = − sen 65 t ˆ i

( ^{ˆt u }

)

⁼ ( ^{ˆt u }

)

⁼

( ^{ˆt u }

)

⁼

( ( ) ) ( ^{( )} ) ^{( ) 4}

1 1 4 4 0

65 65

ˆ t ˆ

cos t 8 sen t cos

j

 − −  j = −

  −  

( ) ( ( ) )

( ) ( ^{( ) ( ( ) )} )

1 8

4 4 4 4

65 65

ˆ ˆ

8sen t sen t 8cos t cos t k k

 − − −  = +

 − 

Versore binormale)

ˆu

1 ( )

65 4

ˆ ˆ

b= −  sen t i ^{− cos} ( ) ^{4 t j ˆ + k  8ˆ} _

si definisce torsione di una curva la grandezza

db ˆ = ds



la torsione fornisce una misura di quanto la curva esca dal piano osculatore

 = 0

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