Successioni e Serie di funzioni

0 B8 , dipendenti, oltre che dalla variabile , dall'indice naturale B 8 −N .

Assegnato un valore all'indice, , avremo una funzione 8! 08! B À‘Ä‘; scelto invece il valore di , diciamo , otteniamo al variare di una successione di termine generaleB B! 8

0 B8 ! .

Un insieme di funzioni così costituito prende il nome di Successione di funzioni.

Detta l'intersezione dei campi d'esistenza delle funzioni · 0 B8 , determineremo anzitutto G, insieme dei valori B −· per cui la Successione 0 B8 è convergente, ovvero l'insieme

dei valori per cui B lim0 B esiste ed è finito.

8Ä∞ 8

Chiameremo insieme di convergenza della Successione di funzioni.G Il valore del limite dipenderà dal valore di , e lo indicheremo con B 0 B .

Diremo funzione limite della Successione di funzioni 0 B8 la funzione 0 B À G Ä‘, B Ä 0 B , ovvero la funzione che associa ad ogni dell'insieme di convergenza, come im-B magine, il valore del limite 0 B .

Esempio 1 Determiniamo insieme di convergenza e funzione limite della Successione diÀ funzioni: .0 B œ "  "

8

8

8B

Š ‹

Essendo, a B − , 0 B œ "  " œ / , si ha G œ e la funzione limite è la 8 ‘ lim _{”Œ •} ‘ 8Ä∞ 8 B B 0 B œ /B. Vedere Figura n. 1.

Esempio 2 Determiniamo l'insieme di convergenza e la funzione limite della Successione diÀ funzioni: .0 B œ  "8 8† /8 "B

#

Si ha che lim esiste finito e vale , e quindi la Successione è convergente, se risulta

8Ä∞0 B8 Ð !Ñ

"  B  !# , ovvero per B   " e per B  ".

Per B œ „ " si ha che 08 „ " œ  " 8, Successione indeterminata; per  "  B  " la Successione non converge diverge oscillando .Ð Ñ

Avremo quindi che G œ Ó  ∞  "Ò ∪ Ó  "  ∞Ò, , , e che 0 B œ !. Vedere Figura n. 2. Possiamo quindi formulare la:

Definizione 1 di convergenza alla funzione limite :Ð Ñ

Si dice che la Successione di funzioni 0 B8 è convergente alla funzione limite 0 B se a B − G e a  !& , si può determinare in corrispondenza un indice 8 œ 8 & tale che, a 8  8 & , si abbia: k0 B  0 B8 k &.

Ovvero: a B − G e a  ! b 8& , & : 8  8 & Ê 0 B  0 Bk 8 k &. CONVERGENZA PUNTUALE E UNIFORME

E' logico aspettarsi che l'indice 8 & dipenda non solo da ma anche dal punto considerato;& B sarà quindi più corretto scrivere 8 œ 8 ß B& .

Se la scelta di 8 & in funzione di può essere fatta indipendentemente da , ovvero se,& B diciamo ad esempio in un certo intervallo c d+ß , , una volta scelto , l'indice & 8 & che si può determinare è sempre lo stesso, qualunque sia il punto , allora la convergenza dellaB Successione di funzioni è detta uniforme, e la precedente Definizione, per distinguerla, verrà detta invece di convergenza puntuale. Avremo quindi la

Si dice che la Successione di funzioni 0 B8 converge uniformemente in c d+ß , alla funzione limite 0 B se a  !& si può determinare in corrispondenza un indice 8 œ 8 & tale che,

a 8  8 & , qualunque sia B − +ß ,c d, si abbia k0 B  0 B 8 k &. Ovvero: , a  ! b 8& & : a B − +ß , 8  8c d, & Ê 0 B  0 B k 8 k &. E' di immediata dimostrazione il seguente:

Teorema 1 Se una Successione di funzioni è convergente uniformemente in un intervalloÀ c d+ß , , allora in esso converge anche puntualmente, mentre non vale il viceversa.

Esempio 3 Studiamo la Successione di funzioni À 0 B œ #8 8B.

Si vede facilmente che la Successione 0 B8 è definita a B −‘. Si ha poi che: lim 8Ä∞ , 0 B œ  ∞ a B  !8 ; 0 ! œ lim 0 ! œ 0 ! œ " B œ ! 8Ä∞ , 8 8 per ; 0 B œ lim 0 B œ ! a B  ! 8Ä∞ , 8 .

L'insieme di convergenza è quindi l'intervallo G œ Ò!  ∞Ò, , e la funzione limite la: 0 B œ " B œ !

! B  !

œ , per _{, per} . Vedere figura n. 3.

Vediamo poi che la Successione non è uniformemente convergente in ,Ò!  ∞Ò.

Se imponiamo che sia k0 B  0 B œ #8 k k 8B ! k &, abbiamo che questa è verificata per 8  " † " 8 œ " † "  " B Ä ! 8 Ä  ∞

B log#Œ . Posto ”B log#Œ • , se , allora ,

& & & &



quindi non si può determinare un indice 8 & che dipenda solo da e non da .& B

Consideriamo allora un intervallo del tipo Ò<ß  ∞Ò, con <  !. Se prendiamo B  <  !,

sarà: log log , e quindi, preso log , si ha che

r

" " " " " "

< † #Œ&  B † #Œ& 8 & œ” † #Œ& • "

8 & non dipende più da e la convergenza uniforme è assicurata in ogni intervallo del tipoB Ò<ß  ∞Ò a <  !, .

Vale inoltre il seguente:

Teorema 2 condizione di Cauchy per la convergenza uniformeÐ Ñ À

Condizione necessaria e sufficiente affinchè una Successione di funzioni 0 B8 sia uniforme-mente convergente in _{c d}+ß , è che a  !& si possa determinare un indice 8 œ 8 & tale che,

a B − +ß ,c d e a 8 8 À 8  8", # " & , 8  8# & , si abbia k08# B  08" B k &.

Sia poi 8  8# "; ponendo 8 œ 8  :# " , la precedente condizione può essere riformulata dicendo che deve risultare k08 :" B  08" B k &, a 8  8" & e a : numero naturale qualunque.

Dimostrazione: Vediamo anzitutto che la condizione è necessaria.

Se 0 B8 converge uniformemente in c d+ß , alla 0 B , a  ! b 8& & : a B − +ß ,c d e a 8  8 & si ha k0 B  0 B 8 k & e quindi, a : −, sarà anche k08: B  0 B k &. Posto 8 œ 8", 8  : œ 8#, avremo: k08" B  08# B œk

œ 0k 8" B  0 B  Ð08# B  0 B Ñ Ÿ 0k k 8" B  0 B  0 B  0k k 8# B  #k & ,

ovvero vale la condizione di Cauchy.

La condizione è sufficiente: se è soddisfatta la condizione di Cauchy, fissato , la successioneB numerica 0 B8 soddisfa la condizione di Cauchy e quindi è convergente.

Detto 0 B il valore del suo limite, sarà lim0 B œ lim0 B œ 0 B .

Se vale la condizione di Cauchy, a  ! b 8& & : a B − +ß , a 8  8c d, & e a: − , si ha che k0 B  08 8: B k &. Se facciamo tendere a :  ∞ in quest'ultima disequazione otte-niamo che k0 B  0 B 8 k &, cioè che la Successione di funzioni converge uniformemente in _{c d}+ß , a .0 B

Se nello spazio delle funzioni 0 B À +ß , Äc d ‘ definiamo una metrica mediante la distanza: d Sup _{ek kf}, si può dimostrare che vale il:

c d

0 B ß B œ 0 B  B

B − +ß ,

g g

Teorema 3 La successione di funzioni À 0 B8 è convergente uniformemente in c d+ß , alla funzione 0 B se e solo se, a B − +ß , , si haÀ Sup 0 B  0 B œ !.

B − +ß ,

c d e f

c d k k

lim

8Ä∞ 8

Esempio 4 Consideriamo la Successione di funzioni À 0 B œ B8 8 B œ /8 B B.

8 8_log

Anzitutto avremo che · œ Ó !ß  ∞Ò.

Per !  B  " si ha 0 B œ lim 0 B œ ";

8Ä∞ 8

per B œ " si ha 0 " œ 0 " œ8 0 " œ "8 ;

8Ä∞lim

per B  " la 0 B8 è divergente.

Quindi G œ Ó !ß "Ó e la funzione limite è la 0 B œ " a B − G, .

Se studiamo l'andamento delle funzioni 0 B8 , avremo 0 B œ B8w 8 B 8 B8" 8logB  " ,

8

per cui 0 B   ! per B   " . La generica 0 B ha, per B œ " , un punto di

mini-/ /

8w 8È 8 8È

mo di ordinata 0 " œ " . All'aumentare di 8 " , ascissa del punto di

mini-/ / /

8 8È Œ 8È

" /

mo, tende a , mentre la sua ordinata rimane costante." Essendo la funzione limite costante, 0 B œ ", avremo che:

Sup , quantità costante e , per cui la Successione di

B − G 0 B  0 B œ "  Á ! " / ek 8 kf _Œ " /

funzioni, per il Teorema 3, non può essere uniformemente convergente in Ó !ß "Ó. Vedere Figura n. 4.

TEOREMI DELLA SCAMBIABILITA'

Diamo ora una rassegna di Teoremi che analizzano la possibilità di scambiare l'ordine di ese-cuzione tra l'operazione di passaggio al limite in una Successione di funzioni con quelle di derivata, d'integrale e di limite stessa. Vale anzitutto il seguente:

Teorema 4 del limite : Sia Ð Ñ 0 B8 una Successione di funzioni uniformemente convergente ad 0 B in . Sia punto di accumulazione per ed esista finito, G B! G a 8, 0 B œ8 8.

BÄBlim!

¿ Allora esiste finito lim ed è lim .

BÄB! 8Ä∞ 8

0 B œ¿ ¿œ ¿

Dimostrazione: Dimostriamo anzitutto che lim esiste finito con il Teorema di Cauchy.

BÄB!

0 B Per ogni coppia di punti B ß B − G" # avremo:

k0 B"  0 B# k kœ 0 B"  0 B8 "  0 B8 "  0 B8 #  0 B8 #  0 B# kŸ Ÿ 0 Bk "  0 B8 " k k 0 B8 "  0 B8 # k k 0 B8 #  0 B# k.

Per il Teorema di Cauchy sul limite, essendo lim , scelto , esiste

BÄB! 8 8

0 B œ¿ & ! $ &  ! tale che, se !  B  B k " !k $ & e !  B  B k # !k $ & allora k0 B8 "  0 B8 # k&.

Essendo e punti di ed essendo B" B# G 0 B8 uniformemente convergente ad 0 B , a  !& si potrà determinare un 8 & tale che i rimanenti due termini siano ambedue minori di se&

8  8 & .

Quindi k0 B"  0 B# k può essere resa piccola quanto si vuole, ovvero 0 B ammette limite finito quando tende ad ; diciamo questo limite .B B! ¿

Dimostriamo ora che lim . Sarà:

8Ä∞¿8 œ¿

k¿8¿k kŸ ¿8 0 B  0 B  0 B  0 B 8 k k 8 k k ¿k.

Il primo termine si può rendere piccolo a piacere in quanto lim ; così il secondo

BÄB! 8 8

0 B œ ¿

in quanto 0 B8 converge uniformemente ad 0 B , e così anche il terzo per quanto dimostrato in precedenza, ed il Teorema è quindi dimostrato.

Si può riassumere il Teorema del limite scrivendo che, nell'ipotesi di una convergenza unifor-me À

lim lim lim lim lim lim

8Ä∞¿ œ8 8Ä∞ BÄB!0 B œ8 BÄB 8Ä∞! 0 B œ8 BÄB!0 B

. Come immediata conseguenza del Teorema del limite abbiamo il

Teorema 5 della continuità : Se Ð Ñ 0 B8 è una Successione di funzioni continue in B − G! e se la Successione di funzioni converge uniformemente in ad G 0 B , allora 0 B è continua in B!.

Da questo deduciamo che se una Successione di funzioni continue ha una funzione limite di-scontinua, essa non può essere uniformemente convergente.

Rimanendo nell'ambito dell'ipotesi di continuità, vediamo ora un Teorema che fornisce una condizione sufficiente per la convergenza uniforme in un intervallo limitato e chiuso:

Teorema 6 (del Dini): Se 0 B8 è una Successione di funzioni continue in c d+ß , © G, con-vergente in c d+ß , ad 0 B in modo monotòno 08" B Ÿ 0 B8 oppure 08" B   0 B8 , e se la funzione limite 0 B è continua in c d+ß , , allora 0 B8 è convergente uniformemente in c d+ß , .

Esempio 5 Studiamo la Successione di funzioni À 0 B œ " . "  B

8 _#8

La Successione è convergente a B − ‘ e si ha:

per B œ „ " À 0 Ð „ "Ñ œ 0 Ð „ "Ñ œ 0 Ð „ "Ñ œ "; # lim 8Ä∞ 8 8 per  "  B  " À 0 B œ lim 0 B œ "; 8Ä∞ 8 per .k kB  " À 0 B œ lim0 B œ ! 8Ä∞ 8

La funzione limite non è continua nei punti B œ „ ", e la convergenza non può quindi essere uniforme su tutta la retta reale.

Consideriamo allora un intervallo del tipo c <ß <d, con <  ".

In questo intervallo la funzione limite è la 0 B œ ", e dovremo per la definizione di limite verificare quando è soddisfatta la: _º " _º .

Questa è vera se B , e questa è soddisfatta, essendo , per "  B  Ê B  "  B  " #8 #8 #8 # & & & 8  "  < À !  B  <  " B  <  <  "

B . Preso , sarà anche: , da cui segue

log log & & # # #

logB # log r , ed essendo il valore di questi due logaritmi negativo, avremo:

log log log

log log , per cui log è l'indice cercato e la

Š ‹ Š ‹ Ô Š ‹ ×

Ö Ù

Õ Ø

& & &

& & _& &

"  "  " 

<  B# 8 œ <  "

convergenza è uniforme in ogni intervallo c <ß <d, con <  ".

In maniera analoga si può verificare che la convergenza di 0 B œ " è uniforme in "  B

8 _#8

ogni intervallo del tipo Ó  ∞ß  <Ó e Ò <ß  ∞Ò, con <  ". Vedere Figura n. 5. Usiamo poi il Teorema del limite per dimostrare il seguente:

Teorema 7 della derivabilità : Sia Ð Ñ 0 B8 una Successione di funzioni definite e derivabili nell'intervallo c d+ß , . Se la Successione 0 B8 converge, anche solo puntualmente, ad 0 B in c d+ß , e se la Successione di funzioni 0 B₈w converge uniformemente in c d+ß , , allora 0 B è derivabile in ogni punto di c d+ß , ed è 0 B œw 0 Bw .

8Ä∞lim 8

Dimostrazione ÀPreso in modo che 2 B  2 − +ß ,c d, definiamo una nuova Successione di funzioni della variabile 2 À 1 28 , definite mediante i rapporti incrementali delle 0 B8 :

1 2 2 B

2

8 œ 8 8

0 B   0 .

Essendo 0 B8 derivabile in +ß , , sarà 1 2 œ 0 B8 , e basterà provare che la

Succes-2Ä! 8

w

c d lim

sione delle 1 28 è uniformemente convergente, per applicare ad essa il Teorema del limite e dimostrare quindi il Teorema della derivabilità. Avremo che:

1 2  1 2 œ 0 2  0 B  0 2  0 B œ 2 8: 8 c 8: 8: d c 8 8 d B  B  œ 0 2  0 2  0 B  0 B 2 . c 8: B  8 B  d c 8: 8 d

La funzione 08: B  0 B8 è continua e derivabile nell'intervallo cBß B  2d; per il Teorema di Lagrange esiste almeno un punto : 5 B  5 B  2, nel quale si ha che:

1 2  1 2 œ 0 2  0 2  0 B  0 B œ

2

8: 8 c 8: 8 d c 8: 8 d

B  B 

œ 0c 8:Ð Ñ  0 Ð Ñ œ 05 8 5 dw 8:w Ð Ñ  0 Ð Ñ5 8w 5 .

Essendo 0 B₈w uniformemente convergente, a  ! b 8& & Àse 8  8 & , a : − , si ha: ¸0_8:w Ð Ñ  0 Ð Ñ 5 ₈w 5 ¸ &, a5 − +ß ,_{c d}, e quindi _k18: 2  1 2 8 _k &.

La Successione di funzioni 1 28 è quindi uniformemente convergente, ed applicando ad essa il Teorema del limite avremo:

lim lim lim lim

8Ä∞2Ä!1 2 œ8 2Ä!8Ä∞1 2 .8

Ma lim lim lim mentre

8Ä∞2Ä! 8 8Ä∞ 8

w

1 2 œ 0 B

lim lim lim lim lim

2Ä!8Ä∞ 8 2Ä!8Ä∞ 2Ä! 8 8 w 1 2 œ 0 2  0 B œ 0 2  0 B œ 0 B 2 2 B  B  , e quindi lim , ovvero il Teorema.

8Ä∞ 8

w w

Esempio 6 Verifichiamo che la Successione di funzioni À 0 B œ B  B non soddisfa al 8

8

8

Teorema della derivabilità. Determiniamo anzitutto l'insieme di convergenza e la funzione li-mite. Si ha:

se B   " À lim0 B œ ∞, cioè la Successione diverge oscillando;

8Ä∞ 8 se ;B œ  " À lim 0 œ  " 8Ä∞ 8  " se ; "  B  " À lim0 B œ B 8Ä∞ 8 se ;B œ " À lim0 " œ " 8Ä∞ 8 se ."  B À lim 0 B œ  ∞ 8Ä∞ 8

Quindi G œ  "ß "c d e 0 B œ B a B − G, . Consideriamo ora 0 B œ "  B₈w 8".

La Successione delle derivate per B œ  " non converge, in quanto è indeterminata; quando  "  B  " si ha lim 0 B œ ", mentre per B œ " si ha lim 0 " œ !, quando invece

8Ä∞ 8 8Ä∞ 8

w w

è 0 " œ "w . Nel punto B œ ", quindi, la derivata della funzione limite non è uguale al limite della Successione delle derivate, e si può osservare come la Successione delle derivate 0 B₈w

converga in Ó  "ß "Ó solo puntualmente e non uniformemente, anche se è convergente unifor-memente in _c "ß "_d la Successione 0 B8 .

Vedere Figure n. 6 e n. 7. Dimostriamo infine il

Teorema 8 dell'integrabilità : Sia Ð Ñ 0 B8 una Successione di funzioni continue in c d+ß , uni-formemente convergente ad 0 B . Definiamo una nuova Successione di funzioni, 1 B8 , come:

1 B œ8 0 >8 > 1 B œ 0 > > B − +ß ,

B B

+ + c d

( d e sia ( d , con .

Allora 1 B8 è uniformemente convergente in c d+ß , alla funzione limite 1 B , cioè: 1 B œ lim 1 B ( lim 0 > > œ lim ( 0 > >

8Ä∞ 8 8Ä∞ 8 8Ä∞ 8

B B

+ +

ovvero d d .

Dimostrazione: Dalla definizione di 1 B8 e di 1 B avremo:

k1 B  1 B8 k œ _º( 0 >8 > ( 0 > > œ_{º º}( Ð0 >  0 > Ñ >8 _º B B B + + + d d d . Ma d_º( B _{º ( k}B kd . + + 8 8 Ð0 >  0 > Ñ > Ÿ 0 >  0 > >

Se k0 B  0 B 8 k &, sarà allora k1 B  1 B Ÿ8 k &kB  + Ÿk &k,  +k e quindi la tesi. Esempio 7 Verifichiamo se la Successione di funzioni À 0 B œ 8 B "  B8 ˆ # 8‰ soddisfa, nell'intervallo c d!ß ", al Teorema dell'integrabilità.

L'insieme di convergenza è dato dall'intervallo G Ó È È#ß #Ò, e la funzione limite è la 0 B œ ! .

Calcoliamo ₍ " d e ₍ " d .

! 8Ä∞ 8 8Ä∞ ! 8

lim 0 B B lim 0 B B

Per il primo avremo, calcolato il limite, ₍ " d ₍ " d ,

! !

0 B B œ ! B œ !

mentre per il secondo sarà lim d lim .

8Ä∞ 8Ä∞ " ! # 8 ( 8 B "  Bˆ ‰ B œ 8 œ " #8  # #

L'integrale del limite non è uguale al limite degli integrali. La differenza tra i due risultati è dovuta al fatto che la Successione di funzioni data non converge uniformemente nell'intervallo .c d!ß "

La generica 0 B8 presenta infatti un andamento crescente da B œ ! fino ad un punto di massimo avente ascissa B œ " , la cui ordinata 8 " #8 cresce

illi-#8  " #8  " #8  "

È È Œ

8

mitatamente al crescere di , e dato che la funzione limite è la 8 0 B œ !, avremo:

lim lim

8Ä∞ 8 8Ä∞

8

Sup . Vedi Figura n. 8.

B − !ß "

0 B  0 B œ 8 " #8 œ  ∞

#8  " #8  "

c dk k È Œ

L'uniforme convergenza è quindi una condizione sufficiente a garantire la scambiabilità tra l'operazione di passaggio al limite in una Successione di funzioni e le operazioni di derivata, d'integrale e di limite stessa.

E' bene comunque notare come l'uniforme convergenza sia condizione sufficiente ma non ne-cessaria per la validità di questi Teoremi. La Successione di funzioni dell'esempio 4 ha la fun-zione limite continua anche se non è convergente uniformemente.

SERIE DI FUNZIONI

Data una Successione di funzioni 0 B8 , introducendo tra i suoi elementi in modo puramente formale il simbolo di somma, definiamo una Serie di funzioni come:

8œ! ∞

8 ! " # 8

...0 B œ 0 B  0 B  0 B   0 B ...

Se fissiamo il valore di , otteniamo una Serie numerica, che potrà essere convergente, diver-B gente o indeterminata. Chiameremo insieme di convergenza della Serie di funzioni l'insieme

G §· , formato dai valori che danno luogo a Serie numeriche convergenti.B CONVERGENZA PUNTUALE E UNIFORME

Analogamente alle Serie numeriche, da una Serie di funzioni definiamo una Successione di funzioni, W B8 , dette Somme Ridotte , come: Ð Ñ W B œ8 0 B5 .

5œ! 8

Definizione 3 di funzione somma :Ð Ñ

Dicesi funzione somma della Serie di funzioni , , la funzione limite della

8œ! ∞ 8 0 B a B − G Successione W B8 : W B œ .W B8 8Ä∞lim

Avremo quindi la:

Definizione 4 di convergenza puntuale :Ð Ñ

Si dice che la Serie di funzioni converge alla funzione somma se:

8œ! ∞

8

0 B W B

a B − G e a  ! b 8& , & À 8  8 & Ê W B  W B k 8 k &. Come per le Successioni di funzioni, avremo la

Si dice che la Serie di funzioni converge uniformemente nell'intervallo _{c d} alla

8œ! ∞

8

0 B +ß ,

funzione somma W B quando converge uniformemente in c d+ß , ad W B la Successione delle Ridotte W B8 , ovvero se:

a  ! b 8& , & À a B − +ß , 8  8c d, & Ê W B  W B k 8 k &. Esempio 8 Consideriamo la Serie di funzioni À sen B.

8œ! ∞

#8

Essa è una Serie geometrica di ragione sen#_B, e quindi convergerà _{a B Á  5} , in quanto # 1 1 ¸sen#_{B  " a B Á}¸ , ._{ 5} # 1 1

Per B œ  5 otterremo " , Serie divergente. # 1 1 8œ! ∞ 8

Come Serie geometrica, la funzione somma sarà , . Vedia-sen

W B œ " a B Á  5 "  #B #

1 1 mo poi se la convergenza è uniforme, limitandoci, data la periodicità, all'intervallo _’!ß _’.

# 1 Sempre come Serie geometrica, avremo che:

kW B  W B k œ _º"  B  " _º B  B Á ! "  B "  B "  B 8 #8 #8 # # # sen sen

sen sen & se sen &, da cui, posto ,

per log sen . Posto log sen , si può vedere

co-log sen co-log sen

8  "  B 8 œ "  B  " B ” B • & & & # # # #

me, se B Ä ! , allora 8 Ä ", mentre se B Ä , 8 diventa illimitatamente gran-#

 _{& Š ‹}1  _&

de. In questo intervallo la convergenza non può essere uniforme, dato che, a parità di ,& dobbiamo scegliere 8 sempre più grande via via che si avvicina a B .

#

& 1

Consideriamo allora < À !  <  . Per ogni B − !ß < , avremo sen <  sen B, da cui: #

1

c d # #

log sen#_{< }log sen#_B, ed essendo questi due valori negativi, sarà anche:

log sen log sen log sen

log sen log sen , per cui, se ” log sen • ,

& & &

&

"  < "  B "  <

<  B 8 œ <  "

# # #

# # #

avremo garantita l'uniforme convergenza in ogni intervallo del tipo c d!ß < , se <  . # 1 Vedere Figura n. 9.

Applicando il Teorema di Cauchy per l'uniforme convergenza, avremo il

Teorema 9 Condizione necessaria e sufficiente affinchè la Serie di funzioni À 0 B

8œ! ∞

8

converga uniformemente in c d+ß , alla funzione somma W B è che:

a  ! b 8& & À a B − +ß , a : −c d, À 8  8 & Ê Wk 8: B  W B 8 k &. Ma sarà anche:

kW8: B  W B œ8 k _» 0 B 5 0 B5 _{» »}œ 0 B5 _»œk 8ß: B k

5œ! 5œ! 5œ8"

8: 8 8:

R &

dove con R8ß: indichiamo il Resto di ordine , della Serie 8 .

8œ! ∞

B 8 : 0 B

Da questo si può dedurre, ponendo : œ ", che a B − +ß , § Gc d risulta lim 0 B œ !.

CONVERGENZA TOTALE

Definizione 6 di convergenza totale :Ð Ñ

Una Serie di funzioni è detta essere totalmente convergente nell'insieme A se si

8œ! ∞

8

0 B

può determinare una Serie numerica a termini positivi convergente M , tale che, A

8œ! ∞

8 a B −

e a 8 − si abbia: k0 B Ÿ8 k M .8

Vale il seguente:

Teorema 10 di Weierstrass : Se una Serie di funzioni è totalmente convergente in A, ivi essaÐ Ñ è anche uniformemente convergente, e la Serie numerica ottenuta dando alla un qualunqueB valore in A è una Serie numerica assolutamente convergente.

Dimostrazione: Scelto &  ! b 8, & À a 8  8 & e a : − si ha: kR8ß: B œ 0k k 8" B  0 8# B  ...  08: B Ÿk

Ÿ 0k 8" B  0k k 8# B k ... 0k 8: B Ÿk M8"M8#...M8: &

in quanto la Serie M è convergente, e l'ultimo termine è il suo Resto di ordine , e

∞

8

8 8ß :

quindi il Teorema è dimostrato.

Esempio 9 Consideriamo la Serie di funzioni À cos8B. 8

8œ" ∞

$

Essendo, a B − À cos8B Ÿ " œ M , ed essendo M convergente

assolutamen-8 8

‘ ¹ _$ ¹ _{º º$} 8 8

8œ" ∞

te, la Serie di funzioni data è convergente a B − ‘.

Un modo pratico per determinare l'eventuale Serie numerica maggiorante M può essere

∞

8 8

quello di considerare Sup , dove A rappresenta l'insieme in cui determinare l'even-A

B − k0 B8 k

tuale convergenza totale. Basterà porre M Sup per avere la Serie desiderata, se A

8œ 0 B8

B − k k

questa ovviamente dovesse risultare convergente. Vale per le Serie di funzioni anche il:

Teorema 11 (del Dini): Data una Serie di funzioni , se ciascuna è una

fun-8œ! ∞

8 8

0 B 0 B

zione continua in un intervallo c d+ß , © G, se le funzioni 0 B8 sono tutte positive (negative) in _{c d}+ß , , e se la funzione somma della Serie è continua in _{c d}+ß , , allora 0 B converge

8œ! ∞

8

uniformemente in c d+ß , .

Basta osservare che il segno costante delle funzioni 0 B8 implica la convergenza monotòna della Successione delle somme ridotte.

Esempio 10 Consideriamo la Serie di funzioni À / .

8œ! ∞

La generica funzione 0 B œ /8 8 B8 , sempre positiva a B e a 8, ha per asintoto

oriz-#

zontale, sia a destra che a sinistra, l'asse delle e presenta un punto di massimo di ordinataB

/ B œ 8 œ / œ 0 B œ 0 B

B − B −

8 8

8 8 8

nel punto di ascissa . Posto M Sup Max , avremo

‘k k ‘k k

che la convergenza della Serie data è totale e quindi uniforme a B −‘ in quanto / è

8œ! ∞

8

convergente.

E' bene notare come questo Criterio costituisca una condizione solo sufficiente, e non necsaria, per l'uniforme convergenza di una Serie di funzioni; infatti una Serie di funzioni può es-sere uniformemente convergente in c d+ß , anche senza essere ivi totalmente convergente, così come non sono legate tra di loro la convergenza uniforme e la convergenza assoluta; in un punto si può avere infatti una Serie assolutamente convergente senza che faccia parte diB B un insieme in cui la Serie di funzioni è uniformemente convergente e viceversa.

INSIEME DI CONVERGENZA

Per la determinazione dell'insieme di convergenza di una Serie di funzioni si possono usare i normali criteri di convergenza delle Serie numeriche. Vanno ricercati i valori della variabile B per i quali il criterio usato è soddisfatto, dopodichè si devono esaminari quei valori particolari, se ce ne sono, per i quali il criterio non fornisce risposta.

Esempio 11 Studiare la Serie di funzioni À . 8  B

8œ"

∞ 8

#

 "

Questa, a B − , è una Serie a segni alterni, per la quale œ !, e, a 8 − , si 8  B ‘ lim  8Ä∞ 8 # º  " º

ha: _º  " _{º »}  " _», quindi, per il Criterio di Leibnitz, è una Serie convergente.

8 8"

# #

8  B  8  "  B

Fissato , essendo una Serie a segni alterni, sarà B kW B  W B  08 k k 8" B k da cui: kW B  W B k "  8  "  "  B

8  "  B

8 & _# & #

&

se , ovvero per .

Ma "  "  "  B , per cui basterà prendere 8 œ "  " per avere che la Serie di

& & & &

#

” • funzioni converge uniformemente su tutta la retta reale.

Se poi, fissato il valore di , studiamo la convergenza assoluta della corrispondente Serie nu-B merica, avremo che è divergente , avendo lo stesso comportamento

8œ" ∞

#

"

8  B a B − ‘

della Serie armonica basta applicare il Criterio del Confronto asintotico .Ð Ñ

La Serie di funzioni data converge uniformemente su tutta la retta reale senza essere, in alcun punto, assolutamente convergente. Vedere Figura n. 10.

Esempio 12 Studiare la Serie di funzioni À " † B  " .

8 ΠB

8œ" ∞

#

8

Abbiamo che ·œ‘Ï !e f. Per determinare supponiamo fissato il valore di , ed appli-G B chiamo alla Serie numerica ottenuta il Criterio della radice. Si ha quindi:

lim

8Ä∞ #

8

8 " † B  " œ B  " " B  "

8 B B #

Per B œ " avremo , Serie convergente assolutamente. # _8œ" 8 ∞ 8 #  " Quindi .G œ "ß  ∞ # ’ ’

Inoltre, a B − G, essendo B  "  ", si ha che " † B  " Ÿ " , e questo è il

ter-B 8 B 8

º º º _# Š ‹8º _#

mine generale di una Serie numerica a termini positivi e convergente, e quindi la Serie di funzioni data converge totalmente, e quindi uniformemente, a B − G.

TEOREMI DELLA SCAMBIABILITA'

Applicando alla Successione delle Ridotte di una Serie di funzioni i Teoremi della continuità, della derivabilità e dell'integrabilità per le Successioni di funzioni, avremo subito i seguenti: Teorema 12 della continuità : La funzione somma di una Serie uniformemente convergenteÐ Ñ di funzioni continue in c d+ß , è continua in c d+ß , .

Teorema 13 di derivazione per Serie : Sia data una Serie di funzioni Ð Ñ 0 B , derivabili

8œ! ∞

8

in c d+ß , , e convergente alla funzione somma W B ; consideriamo la Serie derivata 0 B ;

8œ! ∞

8w

se essa converge uniformemente in c d+ß , , allora la sua funzione somma è data da Sw B . Si dice, in questo caso, che la Serie di funzioni è derivabile termine a termine.

Teorema 14 di integrazione per Serie : Sia data una Serie di funzioni Ð Ñ 0 B , continue in

8œ! ∞

8

c d+ß , ed uniformemente convergente alla funzione somma W B ; preso B − +ß ,c d, definiamo una Successione di funzioni, 1 B8 , nel modo seguente:

1 B œ8 0 >5 > 1 B œ > >

5œ!

8 B B

+ +

( d , e sia ( S d .

Allora 1 B8 converge uniformemente a 1 B in c d+ß , , ovvero si ha:

lim lim lim lim

8Ä∞ 8 8Ä∞ 5 8Ä∞ 5 8Ä∞ 5 5œ! 5œ! 5œ! 8 B B 8 B 8 + + + 1 B œ ( 0 > d> œ ( 0 > d> œ ( 0 > d> œ œ( 0 > > œ ( > > œ 1 B B B + _8œ! + ∞ 8 d S d . SERIE DI POTENZE

Le Serie di potenze non sono altro che quelle particolari Serie di funzioni esprimibili nella forma: , dove è un qualunque numero reale e gli sono gli elementi di

8œ! ∞

8 ! 8 ! 8

+ B  B B +

una Successione numerica; , per motivi che vedremo in seguito, è detto centro della Serie diB!

potenze.

INTERVALLO DI CONVERGENZA

Si può dimostrare che l'insieme di convergenza di una Serie di potenze è sempre costituito da un intervallo, simmetrico rispetto al punto .B!

Per vedere questo, osserviamo anzitutto come ogni Serie di potenze sia convergente nel suo centro B œ B!, riducendosi ogni termine, eccettuato tutt'al più il primo, a zero, e dimostriamo poi il

Teorema 15 Se una Serie di potenze è convergente in un punto , allora essa è convergenteÀ B"

assolutamente in ogni punto tale cheB À B  B  B  Bk !k k " !k.

Dimostrazione ÀSupponiamo che la Serie di potenze sia convergente in un punto B Á B" !, e

consideriamo un qualunque altro punto tale cheB À B  B  B  Bk !k k " !k.

Essendo la Serie numerica per ipotesi convergente, il suo termine

8œ! ∞

8 " ! 8

+ B  B

generale tende a zero, e quindi, a  ! b 8& , & À 8  8 & Ê +k 8 B  B" ! 8k&. Allora, per quegli tali cheB À B  B  B  Bk !k k " !k risulterà che, a 8  8 & :

k+ B  B k kœ + B  B _{k º}† B  B _º †_º B  B _º B  B B  B 8 ! 8 8 " ! 8 ! ! 8 " ! 8 " ! 8 & ,

termine generale di una Serie geometrica di ragione _º B  B _º , quindi convergente; B  B  "

! " !

usando il Criterio del confronto il Teorema è allora dimostrato.

La convergenza in un punto ci assicura quindi la convergenza non solo semplice ma anziB"

assoluta all'interno di un intervallo di centro ed ampiezza B! kB  B" !k. Diamo quindi la

Definizione 7 di raggio di convergenza :Ð Ñ

Dicesi raggio di convergenza di una Serie di potenze l'estremo superiore dei numeri kB  B!k

per cui la serie numerica risulta convergente. Denotiamo il raggio di

8œ! ∞

8 ! 8

+ B  B convergenza con .3

Il Teorema 15 ci assicura che ogni Serie di potenze è assolutamente convergente all'interno dell'intervallo di convergenza, non convergente all'esterno, mentre nulla si può dire riguardo ai due punti estremi B ! 3 e B ! 3, nei quali si tratterà di valutare caso per caso.

Se 3 œ !, la Serie di potenze è convergente solo nel centro , mentre se B! 3 œ  ∞ la Serie di potenze è convergente a B − ‘.

Vale poi il seguente :

Teorema 16 Una Serie di potenze converge totalmente, e quindi uniformemente, in ogni in-À tervallo .c d+ß , § ÓB  ß B  Ò! 3 ! 3

Dimostrazione: Sia c d+ß , § ÓB  ß B  Ò! 3 ! 3 e sia, ad esempio, k,  B  +  B!k k !k.

La Serie numerica è convergente, in quanto b è punto interno all'intervallo

8œ! ∞

8 ! 8

+ ,  B

di convergenza, e quindi, qualunque sia B − +ß ,c d, sarà: k+8 B  B! 8k k k kœ + † B  B8 ! 8k k k kŸ + † ,  B8 ! 8kœM ,8

e la Serie di potenze è allora totalmente e quindi uniformemente convergente in _{c d}+ß , . Riguardo alla determinazione del raggio di convergenza, valgono i seguenti:

Teorema 17 Se À + Á ! a 8, , e se esiste + , si ha che œ + .

+ + 8 8Ä∞ 8Ä∞ 8 8 8" 8" lim _{º º} 3 lim _{º º}

Dimostrazione: Per il Criterio del rapporto, supposto di aver fissato il valore di , la SerieB numerica sarà convergente se risulta minore di il limite:

8œ! ∞

8 ! 8

+ B  B "

lim lim lim

8Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞

8" ! 8" 8" 8

8 ! 8 ! 8 ! 8"

, ovvero se .

Esempio 13 Determiniamo dove converge la Serie di potenze À 8  " † B  $ . 8 x

8œ!

∞ #

8

Il centro della Serie è il punto B œ $. Calcolando il raggio di convergenza, si ha: 3 œ + œ 8  " † 8  " x œ  ∞ + 8 x 8  #8  # lim lim 8Ä∞ 8Ä∞ 8 8" # #

º º º º , quindi la Serie di potenze è

convergente su tutta la retta reale.

Esempio 14 Studiare la Serie di potenze À 8 x † B . 8  "

8œ! ∞

8

Il centro della Serie è il punto B œ !. Calcolando il raggio di convergenza, si ha:

3 œ + œ 8 x † 8  # œ ! + 8  " 8  " x lim lim 8Ä∞ 8Ä∞ 8 8"

º º º º , e quindi la Serie converge solo nel centro B œ !, dove la sua Somma è Sœ + œ "! .

Con analoga procedura di dimostrazione, si prova che vale il:

Teorema 18 Se À + Á ! a 8, , e se esiste " , si ha che œ " .

+ +

8

8Ä∞lim 8Èk k₈ 3 8Ä∞lim 8Èk k₈

Esempio 15 Studiamo la Serie di potenze À + B  " , con + œ " per n pari_{per n dispari}, # œ 8œ! ∞ 8 8 8 cioè: ... . 8œ! ∞ 8 8 # $ % + B  " œ "  # B  "  B  "  # B  "  B  " 

Se per determinare il raggio di convergenza calcoliamo lim , avremo che tale limite

8Ä∞ 8 8"

º₊+ º

non esiste, assumendo il quoziente valore per dispari e valore per pari. Abbiamo in-# 8 " 8 # vece: lim 8Ä∞ 8 ₈ " + œ " œ " B œ "

Èk k , e quindi 3 . Essendo il centro nel punto , la Serie di potenze data converge almeno in Ó!ß #Ò. Esaminiamo infine il comportamento negli estremi.

Per B œ ! si ha: "  #  "   " # #  " $  " %...œ "  #  "  #  " ... , Serie a Segni alterni, il cui termine generale non tende a zero, e che si vede facilmente essere divergente negativamente.

Per B œ # si ha invece : "  #  "  #  " ... , Serie divergente positivamente. Quindi .G œ Ó!ß #Ò

Dato che massimo e minimo limite esistono per qualunque Successione, il Teorema 18 può essere enunciato nella sua forma più generale, ovvero:

Teorema 19 Se , , allora . Max À + Á ! a 8 œ " + 8 8Ä∞ 8 3 limÈk k8

Non vale un analogo di quest'ultimo Teorema per Maxlim .

8Ä∞ 8 8"

º₊+ º FUNZIONE SOMMA

Come per tutte le Serie di funzioni, ad ogni Serie di potenze potremo associare la sua funzione somma W B , e scriveremo, anche se solo formalmente W B œ + B  B .

8œ! ∞

8 ! 8

Applichiamo alle Serie di potenze, che sappiamo essere uniformemente convergenti per il Teorema 16, i Teoremi di continuità, di derivazione ed integrazione per Serie, ed avremo an-zitutto il:

Teorema 20 La funzione somma di una Serie di potenze è continua all'interno dell'intervalloÀ di convergenza.

Questo Teorema può essere esteso anche agli estremi dell'intervallo, mediante il

Teorema 21 di Abel : Se una Serie di potenze è convergente anche in uno degli estremi del-Ð Ñ l'intervallo di convergenza, allora la funzione somma risulta, in questo estremo, continua Ðsolo da destra o solo da sinistra a seconda che l'estremo considerato sia l'inferiore o il superiore dell'intervallo di convergenza .Ñ

Vale poi il

Teorema 22 di derivazione per Serie di potenze : Ogni Serie di potenze è derivabile termineÐ Ñ a termine all'interno dell'intervallo di convergenza; la Serie derivata ha lo stesso raggio di convergenza nulla si può dire per gli estremi dell'intervallo , e la sua funzione somma è laÐ Ñ derivata della funzione somma della Serie di potenze, ovvero:

se W B œ + B  B allora S B œ 8 + B  B .

8œ! 8œ!

∞ ∞

8 ! 8 w 8 ! 8"

Esempio 16 Studiamo la Serie di potenze À 8 † ÐB  "Ñ . 8  "

8œ! ∞

#

8

Il centro della Serie è il punto B œ  ". Determiniamo poi il raggio di convergenza

mediante il lim . Avremo lim .

8Ä∞ 8Ä∞

8

8" #

#

º₊+ º 3 œ º_{8  "}8 † 8  #8  #_{8  "} ºœ "

Quindi la Serie converge almeno in Ó  #ß !Ò. Analizziamo infine il carattere nei due estremi. Per B œ  # avremo † 8 , che si vede essere convergente con il Criterio di

8  " 8œ! ∞ 8 #  "

Leibnitz; per B œ ! otteniamo invece 8 , che si vede essere divergente mediante 8  "

8œ! ∞

#

confronto asintotico con la Serie Armonica. L'intervallo di convergenza è allora Ò  #ß !Ò. Studiamo poi la Serie derivata di questa Serie di potenze: .

8œ" ∞ # # 8" 8 8  " † ÐB  "Ñ

Essa converge almeno in Ó  #ß !Ò. Per B œ  # si ha † 8 , Serie a segni al-8  " 8œ" ∞ 8 # #  "

terni che non converge in quanto il suo termine generale non tende a zero, mentre per B œ ! si ha , Serie chiaramente divergente, per cui .

8œ"

∞ #

#

8

8  " G œ Ó  #ß !Ò

Esempio 17 Studiare la Serie di potenze À ÐB  "Ñ . 8 † #

8œ"

∞ 8

Il centro è B œ  ", e per il raggio di convergenza si ha œ " œ #, per cui la +

3 lim

8Ä∞ 8Èk k₈

Serie converge almeno in Ó  $ß "Ò. Valutando poi gli estremi:

per B œ  $ abbiamo , Serie convergente assolutamente, e 8

8œ"

∞ 8

#

 "

per B œ " abbiamo " , Serie anche questa convergente assolutamente. 8

8œ" ∞

#

L'intervallo di convergenza è quindi dato da Ò  $ß "Ó.

Consideriamo ora la Serie derivata : , e vediamone il carattere negli estremi

8œ"

∞ 8"

8

ÐB  "Ñ 8 #

dell'intervallo Ó  $ß "Ò. Nel punto B œ  $ otteniamo , Serie a segni alterni # 8

8œ"

∞ _{ "} 8"

convergente semplicemente, ma non assolutamente, mentre per B œ " abbiamo " , cioè #8

8œ" ∞

la Serie armonica, divergente. Quindi l'intervallo di convergenza della Serie derivata è Ò  $ß "Ò .

Vale infine il

Teorema 23 di integrazione per Serie di potenze : Se Ð Ñ W B œ + B  B , e se

l'inter-8œ! ∞

8 ! 8

vallo c d+ß , è contenuto nell'intervallo di convergenza della Serie di potenze, allora, a B − +ß ,c d si ha: ( B ( B ( B + + _{8œ! 8œ!} + ∞ ∞ 8 ! 8 8 ! 8 S > d > œ + >  B d> œ + >  B d> œ œ + B  B  +  B 8  " – — 8œ! ∞ 8 ! ! 8" 8" . POLINOMIO DI TAYLOR

Data una funzione 0 B , vogliamo determinare un polinomio di grado , che indicheremo con8 P₈ Bß B_! , che possa essere utilizzato per calcolare valori approssimati della funzione.

Affinchè tale approssimazione sia valida vogliamo che l'errore che si commette sostituendo alla funzione 0 B il polinomio P8 Bß B! tenda a zero più rapidamente di B  B! 8, quando

B Ä B!, con numero naturale da scegliersi opportunamente.8

Questo corrisponde ad imporre che sia: lim P , ovvero che risulti:

BÄB 8 ! ! 8 ! 0 B  Bß B B  B œ ! 0 B P8 Bß B! œ 9 B  B! 8 .

Si dimostra che ciò è possibile se la funzione 0 B risulta derivabile volte in un intorno del8

punto , e se valgono le uguaglianze: P , ,

P B 8  " 0 B œ B ß B a 5 À " Ÿ 5 Ÿ 8 0 B œ B ß B ! ₅ ! 8 ! ! ! 85 ! ! œ

ovvero se nel punto coincidono i valori della funzione e del polinomio e delle loro derivateB!

fino all'ordine .8

Infatti, nel lim P , il denominatore, per , risulta infinitesimo; quindi

BÄB 8 ! ! 8 ! ! 0 B  Bß B B  B B Ä B

forma indeterminata se poniamo che sia ! P , ovvero che la ! BÄBlim!0 B œ 0 B! œ 8 B ß B! !

funzione 0 B sia continua nel punto .B!

Supponendo poi che la funzione 0 B sia derivabile in un intorno di , possiamo applicare laB!

Regola di De L'Hopital, e calcolare lim P .

BÄB w w 8 ! ! 8" ! 0 B  Bß B 8 B  B

Il denominatore tende ancora a zero per cui, ripetendo il ragionamento precedente, otterremo la forma indeterminata se supponiamo che sia ! P ; per

otte-! BÄBlim0 B œ 0 B œ B ß B

w w w

! 8 ! !

!

nere questo occorre che anche la funzione 0 Bw sia continua nel punto .B!

Ripetendo volte tale procedura, e supponendo di volta in volta la funzione 8 0 B ulterior-mente derivabile nell'intorno di , si arriverà, dopo aver applicato volte la Regola di DeB! 8 L'Hopital, a calcolare P , e questo risulterà infine uguale a zero se

! lim BÄB 8 8 8 ! ! 0 B  Bß B 8

poniamo che sia lim P , ovvero l'ultima delle condizioni

ri-BÄB 8 8 8 ! 8 ! ! ! 0 B œ 0 B œ B ß B chieste.

Le condizioni P , , ci consentono anche di

P

8  " 0 B œ B ß B a 5 À " Ÿ 5 Ÿ 8

0 B œ B ß B

œ 5 ! 8 ! !

! 85 ! !

determinare i coefficienti del polinomio cercato.

Esprimiamo il polinomio P8 Bß B! mediante le potenze del binomio B  B! e poniamo: P8 Bß B! œ +8 B  B! 8 +8" B  B! 8" ... + B  B" !  +! .

Imponiamo poi che nel punto coincidano i valori del polinomio e della funzione, nonchè diB!

tutte le loro derivate fino all'ordine .8 Avremo, dalla 0 B! œP8 B ß B! ! :

P8 B ß B! ! œ +8 B  B! ! 8 +8" B  B! ! 8"... + B  B" ! !  + œ + œ 0 B! ! ! . Passando alla derivata prima:

Pw ...

8 Bß B! œ 8 +8 B  B! 8" 8  " +8" B  B! 8#  # + B  B# !  +"

da cui, ponendo 0 Bw ! œPw8 B ß B! ! , otteniamo:

Pw ... w .

8 B ß B! ! œ 8 +8 B  B! ! 8"  # + B  B# ! !  + œ + œ 0 B" " !

Operando in maniera analoga dalla derivata seconda fino alla derivata -esima si ha:8

Pww ... , da cui: 8 Bß B! œ 8 8  " +8 B  B! 8#  $ † # + B  B$ !  #+# Pww ... ww 8 B ß B! ! œ 8 8  " +8 B  B! ! 8#  $ † # + B  B$ ! !  # + œ # + œ 0 B# # ! e quindi ricaviamo: + œ 0 B ; # # ww ! Pwww , e quindi ; 8 ! ! $ $ www ! B ß B œ $ † # + + œ 0 B $ x P% , e quindi , 8 ! ! % % % ! B ß B œ % † $ † # + + œ 0 B % x per giungere infine alla:

P ... , da cui ricaviamo . ! 8 8 ! ! 8 8 8 ! B ß B œ 8 8  " # + + œ 0 B 8

Abbiamo quindi ottenuto, per i coefficienti , l'espressione , che, per come è ! + + œ 0 B 5 5 5 5 !

stata ottenuta, risulta evidentemente unica, e quindi è unico il polinomio che con tale procedu-ra si determina. Ponendo 0 B œP8 Bß B!  9 B  B! 8 , abbiamo la cosiddetta formula di Taylor:

0 B œ Bß B  9 B  B œ 0 B † B  B  9 B  B 5 P . ! 8 ! ! 8 ! 5 ! 8 5œ! 8 5 !

Nel caso particolare B œ !! , la formula viene invece denominata polinomio di Mac Laurin. Quanto visto finora costituisce la dimostrazione del seguente :

Teorema 24 Data À 0 B continua e derivabile volte in un intorno del punto , esiste ed è8 B!

unico il polinomio P_{8 !} per il quale P_{8 ! !} 8 e risulta:

Bß B 0 B œ Bß B  9 B  B P . ! 8 ! ! 5œ! 8 5 ! 5 Bß B œ 0 B † B  B 5

Scrivendo la formula per esteso avremo anche:

P_{8 ! !} w _{! !} ww ! _! # www ! _! $ ...

Bß B œ 0 B  0 B † B  B  0 B † B  B  0 B † B  B 

# '

mentre nel caso di un polinomio di Mac Laurin si ottiene:

P ... . ! 8 w # $ 8 ww www 8 Bß ! œ 0 !  0 ! † B  0 ! † B  0 ! † B   0 ! † B # ' 8

Nel caso 8 œ ", ovvero del polinomio di Taylor di primo grado, ritroviamo la formula di ap-prossimazione basata sul differenziale ovvero sull'equazione della retta tangente:

0 B œ 0 B!  0 Bw ! † B  B!  9 B  B! .

Ponendo 0 B œP8 Bß B!  9 B  B! 8 , abbiamo la cosiddetta formula di Taylor: 0 B œ Bß B  9 B  B œ 0 B † B  B  9 B  B 5 x P_{8 ! !} 8 _! 5 _! 8 , 5œ! 8 Ð5Ñ !

dalla quale, posto R8 Bß B! œ 0 B P8 Bß B! , abbiamo il cosiddetta Resto, per il quale si

ha che lim R . BÄB 8 ! ! 8 ! Bß B B  B œ !

Vari sono i modi per rappresentare il Resto R8 Bß B! , ovvero l'errore che si commette sosti-tuendo ad 0 B il polinomio P8 Bß B! .

Accenniamone alcuni, senza darne dimostrazione : Forma di Peano ÀSe esiste finita 0 8" B! , si ha :

R , con . n 8 ! ! ! 8" ! ! 8" BÄB Bß B œ 0 B  B  B † B  B B  B œ ! Ð  "Ñ x " " lim !

Forma di Lagrange À Se 0 8" B esiste in tutti i punti di un opportuno intorno di , ancheB!

senza esistere in , abbiamo la: RB Bß B œ 0 Ð Ñ † B  B , con punto opportu-8  " x ! 8 ! ! 8" 8" 5 5 no tale che: kB ! 5k k B  B! k.

Ed infine vale la:

Forma Integrale À Bß B œ " † B  > † 0 > > 8 x R8 ! d . B B 8 8" ( !

SVILUPPO IN SERIE DI UNA FUNZIONE

In un ottica più generale, data una funzione 0 B definita in c d+ß , , e data una Successione di funzioni reali 1 B8 , definite in c d+ß , , si cerca di determinare una Successione numerica ,+8

in modo che la funzione 0 B sia la funzione somma, a B − +ß ,c d, della Serie di funzioni

8œ! ∞

8 8

+ 1 B .

Se tale Successione esiste, si dice che la funzione +8 0 B è sviluppabile in Serie di funzioni 1 B8 nell'intervallo c d+ß , .

Come caso particolare, anche se a questo si ricorre con maggiore frequenza, dato un punto B − Ó+ß ,Ò! , si vuole determinare una Serie di potenze, con centro il punto , il cui intervalloB!

di convergenza sia contenuto in c d+ß , e la cui funzione somma sia 0 B . La Serie di potenze ottenuta si dirà sviluppo della funzione 0 B in Serie di Mac Laurin se B œ !! , di Taylor per ogni altro valore, e scriveremo formalmente 0 B œ 0 B † B  B .

8 x

8œ!

∞ 8

!

! 8

E' naturale chiedersi quando questo sia possibile. E' facile vedere come i coefficienti deb-+8

bano essere costruiti con la stessa legge trovata per il Polinomio di Taylor. Sarà quindi neces-sario che la funzione 0 B sia derivabile infinite volte nel punto , per avere B + œ 0 B .

5 x

! 5

5 !

Questo però, anche se permette di scrivere l'espressione della Serie di potenze, non è comun-que sufficiente a garantire che la Serie di potenze trovata abbia come funzione somma proprio la funzione 0 B .

Esempio 18 La funzione À 0 B œ / À B Á !, risulta continua e derivabile infinite

! À B œ !

œ B

#

volte nel punto B œ !, ma non è comunque sviluppabile in Serie di Mac Laurin. Per la derivata della funzione nel punto B œ !, usando la definizione, avremo:

0 ! œ " † /  ! œ ! 0 ! œ " † # † /  ! œ ! 2 2 2 w 2 ww 2 2Ä!lim Š ‹ 2Ä!lim Œ $ # # . Analogamente, ,

e così procedendo si può dimostrare che la funzione data ammette derivate di qualunque ordi-ne ordi-nel punto B œ !, e che queste sono tutte nulle. La Serie di Mac Laurin che così otteniamo ha tutti i coefficienti uguali a zero, e quindi ha per funzione somma la funzione 0 B œ !,

a B − ‘ , e non la funzione data.

Occorrono quindi anche condizioni sufficienti per garantire lo scopo proposto. Vale, anzitutto, il seguente:

Teorema 25 Condizione necessaria e sufficiente affinchè la funzione À 0 B sia sviluppabile in Serie di Taylor di centro il punto è che sia B! R8 Bß B! œ !.

8Ä∞lim

Varie sono le condizioni sufficienti a garantire che il Resto R8 Bß B! sia infinitesimo al ten-dere di all'infinito. Valgono, tra gli altri, i seguenti Teoremi:8

Teorema 26 Sia À 0 B una funzione derivabile infinite volte in un intorno ½ B ß! $ del pun-to , ed esista, B! a 8   ! e per ogni B −½ B ß! $ , un numero M tale che ¸0 8 B ¸M siÐ dice allora che la funzione 0 B e le sue derivate sono equilimitate . Allora Ñ 0 B è sviluppabi-le in Serie di Taylor di centro .B!

Dimostrazione: Esprimendo R8 Bß B! nella forma di Lagrange, essendo l'ampiezza dell'in-$ torno considerato, e detta W B8 la Ridotta -esima della Serie di potenze calcolata nel punto8 B, avremo: kR8 ! k k 8 _{k »} ! _» 8" 8" Bß B œ W B  0 B œ 0 † B  B 8  " x 5 Ma _» 0 _» M kB  B k M , 8  " x † B  B  † 8  " x  † 8  " x 8" 8" ! 8" ! 8" 5 $

e quest'ultima è una quantità che tende a se ! 8 Ä  ∞. Un'altra condizione sufficiente è fornita dal

Teorema 27 Affinchè una funzione À 0 B , derivabile infinite volte in un intorno ½ B ß! $ del punto , sia sviluppabile in Serie di potenze di centro , è sufficiente che esistanoB! B!

M  ! e L  ! tali che ¸0 8 B ¸Ÿ M L , † 8 a 8 − e a B − ½ B ß! $ . La dimostrazione si ottiene rapidamente usando per il Resto la forma di Lagrange. Con il Resto sotto forma d'integrale, un'altra condizione sufficiente è fornita dal

Teorema 28 Affinchè la funzione À 0 B , derivabile infinite volte in un intorno del punto ,B!

sia sviluppabile in Serie di potenze di centro , è sufficiente che esista una costante MB!  ! tale che:

¸0 8 B ¸ M , 8 a 8 − e a B −½ B ß! $ .

Concludiamo questa breve rassegna di condizioni sufficienti per la sviluppabilità in Serie di potenze di una funzione con il

Teorema 29 di Bernstein : Sia Ð Ñ 0 B derivabile infinite volte in ½ B ß! $ , e siano 0 B   ! e 0 8 B   ! a B −½ B ß! $ , a 8 −; allora 0 B è sviluppabile in Serie di potenze di centro B! in ½ B ß! $ .

SVILUPPO IN SERIE DI MAC LAURIN DELLE FUNZIONI ELEMENTARI Costruiremo ora gli sviluppi in Serie di Mac Laurin di alcune funzioni elementari. La funzione esponenziale 0 B œ /B

La funzione esponenziale 0 B œ /B è continua e derivabile infinite volte su tutta la retta rea-le, e quindi anche nel punto B œ !.

Avremo: 0 8 B œ / a 8B, , da cui 0 8 ! œ " a 8, .

Preso un intorno Ó  ß Ò$ $ del punto B œ !, si ha: 0 8 B œ /  /B $, a B − Ó  ß Ò$ $ , quindi è soddisfatta la condizione di equilimitatezza, e la funzione 0 B œ /B è sviluppabile in Serie di Mac Laurin.

Dato che 0 8 ! œ " a 8, , otteniamo: / œ "  B  B  B  œ B # x $ x 8 x B # $ 8 8œ! ∞ .... .

Se calcoliamo il raggio di convergenza di questa Serie di potenze, avremo: 3 œ + œ " † 8  " x œ 8  " œ  ∞

+ 8 x

lim lim lim

8Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞

8 8"

º º ” • ,

e quindi la Serie ha per intervallo di convergenza tutta la retta reale.

Sostituendo poi  B al posto di nell'espressione trovata per B 0 B œ /B, otteniamo:

/ œ "  B  B  B  œ  B œ † B # x $ x 8 x 8 x B # $ 8 8œ! 8œ! ∞ 8 ∞ 8 ....  " ,

sviluppo in Serie di Mac Laurin della funzione 0 B œ /B.

Esempio 19 Sviluppiamo in Serie di Mac Laurin la funzione À 0 B œ B /B.

Se eseguiamo il calcolo dei coefficienti, una volta verificato che la funzione è continua e deri-vabile infinite volte su tutta la retta reale, e quindi anche nel punto B œ !, avremo:

0 B œ B /B, da cui 0 ! œ !;

0 B œ /w B B /B, da cui 0 ! œ "w ;

0 B œ  # /ww B B /B, da cui 0 ! œ  #ww ; 0www B œ $ /B B /B, da cui 0www ! œ $;

0 & B œ & /B B /B, da cui 0 & ! œ &; 0 ' B œ  ' /B B /B, da cui 0 ' ! œ  ';

dalle quali, per analogia, possiamo ricavare la legge generale, ovvero: 0 5 B œ  " 5"† 5 /B   " 5† B /B, dalla quale otteniamo: 0 5 ! œ  " 5"† 5, e quindi si ha: B / œ  " † 5 † B  ÞÞÞ œ  " † B  ÞÞÞ 5 x 5  " x B 5 5 5œ" 5œ" ∞ 5" ∞ 5" .

Si può pervenire allo stesso risultato anche in maniera molto più rapida. Essendo / œ "  B  B  B    B  ÞÞÞ œ † B # x $ x 8 x 8 x B # $ 8 8 8 8œ! ∞ ....  " ,

otteniamo, moltiplicando per ambo i membri:B

B / œ † B œ † B

8 x Ð8  "Ñ x

B 8" 8

8œ! 8œ"

∞ _{ "} 8 ∞ _{ "} 8"

, ovvero l'espressione già trovata.

Esempio 20 Mediante lo sviluppo in Serie di Mac Laurin, determiniamo una primitiva per laÀ funzione .0 B œ /B#

Essendo, a B − , / œ "  B  B  B ....œ B , sostituendo con B  B si ha:

# x $ x 8 x ‘ B # $ 8 8œ! ∞ # / œ  B œ † B 8 x 8 x B 8œ! 8œ! ∞ # 8 ∞ #8 8 # .  "

Da questa, usando il Teorema d'integrazione per Serie, otteniamo:

( B ( B ( B ! ! ! B 8œ! 8œ! ∞ ∞ 8 #8 8 #8 / B œ † B B œ † B B œ 8 x 8 x # d  " d  " d œ † B #8  " † 8 x 8œ! ∞ 8 #8"  " ,

Serie di potenze con funzione somma 0 B œ /B#, a B −‘.

Dato che senhB œ /  / e coshB œ /  / , valendo per la funzione somma di una

# #

B B B B

Serie di potenze proprietà analoghe a quelle della Somma delle Serie numeriche, valgono an-che i seguenti sviluppi:

senhB œ " † B  † B œ B , valida a B − , e # – _8œ! 8 x _8œ! 8 x — _8œ! #8  " x ∞ 8 ∞ 8 8 ∞ #8"  " ‘ coshB œ " † B  † B œ B , valida a B − . # – _8œ! 8 x _8œ! 8 x — _8œ! Ð#8Ñ x ∞ 8 ∞ _{ "} 8 8 ∞ #8 ‘ Le funzioni circolari 0 B œsen cos B e 0 B œ B

Per 0 B œsen , funzione continua e derivabile infinite volte su tutta la retta reale, avremo:B 0 B œsen , da cui: B 0 ! œ !,

0 B œw cos , da cui: B 0 ! œ "w , 0 B œ ww sen , da cui: B 0 ! œ !ww , 0www B œ cos , da cui: B 0www ! œ  ", 0 % B œ 0 B , da cui: 0 % ! œ !,

0 & ! œ " 0, ' ! œ ! 0, ( ! œ  " 0, ) ! œ !, e così via.

La funzione e le sue derivate sono equilimitate su , in quanto sen ‘ k B Ÿ "k e cos k B Ÿ "k , per cui otteniamo:

senB œ B  B  ...B  B  B  œ † B . $ x & x ( x * x #8  " x

$ & ( * #8"

8œ!

∞ _{ "} 8

Se calcoliamo il raggio di convergenza di questa Serie di potenze, avremo che:

3 œ + œ " † #8  $ x œ #8  $ #8  # œ  ∞

+ #8  " x

lim lim lim

8Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞

8 8"

,

º º ” • c d

e quindi la Serie ha per intervallo di convergenza tutta la retta reale.

Per 0 B œcos , funzione continua e derivabile infinite volte su tutta la retta reale, avremo:B 0 B œcos , da cui B 0 ! œ ", 0 B œ w sen , da cui B 0 ! œ !w , 0 B œ ww cos , da cui B 0 ! œ  "ww , 0www B œsen , da cui B 0www ! œ !, 0 % B œ 0 B , da cui 0 % ! œ ", e quindi poi:

0 & ! œ ! 0, ' ! œ  " 0, ( ! œ ! 0, ) ! œ ", e così via.

La funzione e le sue derivate sono equilimitate su , in quanto sen‘ k B Ÿ "k e cosk B Ÿ "k , per cui potremo scrivere:

cosB œ "  B  ...B  B  B  œ † B .

# x % x ' x ) x #8 x

# % ' ) #8

8œ!

∞ _{ "} 8

Se calcoliamo il raggio di convergenza di questa Serie di potenze, avremo:

3 œ + œ " † #8  # x œ #8  # † #8  " œ  ∞

+ #8 x

lim lim lim

8Ä∞ 8Ä∞ 8Ä∞

8 8"

º º ” • c d ,

e quindi la Serie ha per intervallo di convergenza tutta la retta reale. La serie binomiale

Sappiamo, dal cosiddetto Binomio di Newton, che +  , œ _{Š ‹}8 + † , , a 8 − . 5

8 8œ!

8

85 5 _

Consideriamo la funzione 0 B œ "  B α, con α−‘.

Essendo l'esponente reale, imponiamo "  B  !, ovvero B   ". Si ha che: 0 B œw α "  B α", da cui 0 ! œw α; 0 B œww α α " "  B α#, da cui 0 ! œww α α " ; 0www B œα α " α # "  B α$, da cui 0www ! œα α " α # ; e proseguendo: 0 8 B œ α α " †...† α 8  " "  B α8, da cui 0 8 ! œα α " †...† α 8  " .

La funzione 0 B œ "  B α è quindi C nel punto ∞ B œ !.

Poniamo, per definizione: _{Š ‹}α α α ... α , che possiamo considerare

8 œ 8 x

 " † †  8  "

come l'estensione dei coefficienti binomiali ai numeri reali solo ad elemento superiore .Ð Ñ Potendosi dimostrare che limR , potremo allora scrivere:

8Ä∞ 8 Bß ! œ ! Š ‹ Š ‹ "  B œ B œ " 8 ! α 8œ! ∞ 8 α α

, avendo posto, per definizione, .

Per determinare l'intervallo di convergenza, calcoliamo 3 œ + , ovvero: + lim 8Ä∞ 8 8" º º

lim lim 8Ä∞º º 8Ä∞º º α α α α α α α α  " † †  8  " 8  " x 8  " 8 x †  " † †  8  "  8 œ  8 œ " ... ... .

Il raggio di convergenza è uguale ad , e la Serie converge almeno in " Ó  "ß "Ò. Per quanto concerne gli estremi, si può dimostrare che:

"Ñ se α −‘Ï, la Serie converge assolutamente in Ò  "ß "Ó; #Ñ se  " α  !, la Serie converge in Ó  "ß "Ó;

$Ñ se α Ÿ  ", la Serie converge in Ó  "ß "Ò;

%Ñ se α −, si ottiene il Binomio di Newton, e la Serie diviene un polinomio. ALTRI SVILUPPI IN SERIE

Vediamo infine come ottenere numerosi sviluppi in Serie utilizzando le Serie geometriche e le loro proprietà. Consideriamo la Serie di potenze, di centro il punto B œ !! : > ÐæÑ.

8œ! ∞

8

Essa, a >, è una Serie geometrica di ragione , e quindi converge per >  "  >  ", con funzione somma W > œ " . "  > Formalmente scriveremo : " , . "  > œ _8œ! > a > − Ó  "ß "Ò ∞ 8

Utilizzando il Teorema di derivazione per Serie si ha: "

Ð"  >Ñ# œ 8 > œ "  # >  $ >  % >  a > − Ó  "ß "Ò 8œ!

∞

8" # $ _{.... ;}

Ponendo nella ÐæÑ À > œ  B, se > − Ó  "ß "Ò anche B − Ó  "ß "Ò e sostituendo avremo: "

"  B œ _8œ!  B œ _8œ! B œ "  B  B  B  B  a B − Ó  "ß "Ò

∞ ∞

8 _{ "} 8 8 # $ % _{... .}

Applicando a quest'ultima il Teorema di derivazione per Serie otteniamo:

 " œ † 8 B œ  "  # B  $ B  % B  a B − Ó  "ß "Ò "  B # _8œ!

∞

8 8" # $

 " ... ,

da cui otteniamo anche, cambiando di segno: "

"  B # œ _8œ! † 8 B a B − Ó  "ß "Ò

∞

8" 8" _.

 "

Applicando invece sulla stessa Serie il Teorema di integrazione per Serie si ha:

( B k k ( B ! ! _{8œ! 8œ!} ∞ ∞ 8 8 8 8" " "  B dB œlog "  B œ  " † B dB œ 8  " B ,  "

sviluppo in Serie di Mac Laurin della funzione 0 B œlogk"  Bk.

Per quanto detto in precedenza, questo sviluppo è valido a B − Ó  "ß "Ò, ma se esaminiamo la Serie negli estremi dell'intervallo, avremo che per essa

8œ!

∞ 8

8"

 "

8  " B B œ  "

diverge a  ∞, mentre per B œ " essa è convergente, ed applicando il Teorema di Abel si ha: log# œ œ , 8  " 8 8œ! 8œ" ∞ 8 ∞ 8"  "  "

cioè si ottiene il valore della Somma ÐW œlog della Serie armonica a segni alterni.#Ñ Ponendo nella ÐæÑ À > œ B#, avremo:

" "  B# œ B œ "  B  B  B  a B − Ó  "ß "Ò 8œ! ∞ #8 # % ' ... .

Applicando il Teorema d'integrazione per Serie, avremo poi: ( ˺ º ( B B ! # ! _{8œ! 8œ!} ∞ ∞ #8 #8" d" log "  B d , B . "  B B œ "  B œ B B œ #8  " a B − Ó  "ß "Ò Ponendo invece nella ÐæÑ À > œ  B#, otteniamo:

" "  B# œ † B œ "  B  B  B  a B − Ó  "ß "Ò 8œ! ∞ 8 #8 # % ' ...  " ,

dalla quale, applicando il Teorema d'integrazione per Serie otterremo:

( B ( B ! # ! _{8œ! 8œ!} ∞ ∞ 8 #8 8 #8" " B "  B dB œarctgB œ  " † B dB œ  " † #8  ",

Serie convergente, oltre che all'interno dell'intervallo Ó  "ß "Ò, anche nei punti B œ  " e B œ " .

Nel punto B œ ", sostituendo, per il Teorema di Abel, si ha:

arctg " œ œ "     .... , da cui ricaviamo: œ % † .

% $ & ( * #8  " " " " " 1 1 8œ! ∞ _{ "} 8