Applicazioni del Teorema di Scomposizione al caso di reazione multipla.

Riassunto

Viene presentata un’estensione del teorema di scomposizione di Pellegrini, dalla quale viene sviluppato un metodo per lo studio delle reti con reazione multipla. Ciò consiste nel trasformare la rete mediante il taglio simultaneo di tutti gli anelli di reazione e nel caratterizzare la rete trasformata mediante funzioni di trasferimento che, opportunamente combinate, forniscono le formule della funzione di trasferimento e delle immittenze viste della rete ad anello chiuso. Le immittenze viste sono calcolate sia come funzioni di trasferimento, sia mediante la formula di Blackman generalizzata. Inoltre, viene studiata la stabilità applicando il criterio di Nyquist generalizzato. Il metodo risulta vantaggioso solo se i tagli degli anelli di reazione sono fatti all’ingresso di circuiti unidirezionali. Nel caso di circuiti bidirezionali, questo vantaggio viene recuperato trasformando un collegamento bidirezionale in due circuiti unidirezionali. Alcuni risultati ottenuti vengono confrontati con le teorie precedenti. Nel caso di reazione singola, il metodo proposto si riconduce a quello di Pellegrini.

Sommario

Introduzione ...5

Capitolo 1 Scomposizione multipla...9

1.1 Richiami sul Teorema di Scomposizione ...9

1.2 Applicazione multipla del Teorema di Scomposizione ...11

Dimostrazione...14

Capitolo 2 Funzione di trasferimento ...18

2.1 Tipi di circuiti di inserzione, simboli e definizioni...18

Caratterizzazione della rete multiscomposta. ...20

Immittenze di taglio...25

2.2 Calcolo dei componenti dei circuiti di inserzione e della funzione di trasferimento. ...26

Calcolo dei generatori indipendenti...26

Funzione di trasferimento...29

Calcolo delle immittenze di taglio...32

Condizioni di validità della scomposizione multipla. ...35

Scelta dei circuiti di inserzione...36

2.3 La scomposizione di ordine 1 a confronto con la teoria di Pellegrini. ...36

Formule della teoria della reazione di Pellegrini...36

2.4 Relazione tra la scomposizione multipla e la teoria di Bode generalizzata. 39 Teoria di Bode generalizzata. ...39

Corrispondenza con la scomposizione multipla. ...43

2.5 Scomposizione di tagli bidirezionali...48

Metodo del doppio buffer...48

Scomposizione dei doppi buffer...50

Semplificazione dei doppi buffer scomposti. ...52

2.6 Relazione con il metodo di Filanovsky-Pellegrini...55

Vantaggi del metodo di Filanovsky-Pellegrini...55

Legame tra i due metodi. ...56

Conclusione ...62

Capitolo 3 Immittenza vista...63

3.1 La formula di Blackman nella teoria di Bode generalizzata...64

3.2 La formula di Blackman nella scomposizione multipla. ...65

Matrice di anello compensata...65

Formula di Blackman generalizzata ...70

Calcolo dell’impedenza vista mediante la formula di Blackman generalizzata. ...72

Sommario 4

Calcolo dell’ammettenza vista mediante la formula di Blackman generalizzata...77

Capitolo 4 Stabilità ...79

4.1 Richiami su poli, zeri e stabilità...79

Poli e zeri di una rete. ...79

Stabilità...82

Poli di una somma o di un prodotto di funzioni di trasferimento...83

4.2 Poli di una rete con reazione multipla. ...84

Formula della funzione di trasferimento ad anello chiuso. ...84

Funzioni di trasferimento W1, W2,…, WN. ...85

Individuazione dei poli ad anello chiuso. ...86

Poli e zeri di W1, W2,…, WN. ...89

Esempio. ...98

Poli della funzione di trasferimento ingresso-uscita ad anello chiuso. ...103

Esempio. ...105

Conclusioni sui poli di Af...107

Richiami sul criterio di Nyquist generalizzato. ...107

Poli di ∆(s)...109

Caso di rete stabile ad anello aperto. ...109

Esempio. ...110

Diagramma di Nyquist nel caso di reazione singola. ...113

Diagramma di Nyquist del guadagno di anello equivalente...114

Utilità del diagramma di Nyquist del guadagno di anello equivalente. ...116

Conclusioni ...119

Ringraziamenti...121

Bibliografia ...122

Introduzione

La tecnica della reazione nei circuiti elettronici lineari consiste nel prelevare il segnale di uscita di un amplificatore, combinarlo linearmente con il segnale proveniente dalla sorgente da amplificare, se questa esiste, e applicare all’ingresso dell’amplificatore il segnale che ne risulta; in questo modo, l’amplificatore è reazionato, cioè risulta inserito in un percorso circuitale chiuso su se stesso, detto anello di reazione.

La reazione, ad una certa frequenza del segnale, è definita positiva o negativa a seconda se il guadagno dell’amplificatore reazionato sia rispettivamente maggiore o minore del guadagno dell’amplificatore non reazionato.

Mentre la reazione positiva può determinare l’instabilità di un amplificatore (e proprio per questo fatto è sfruttata per la realizzazione degli oscillatori), la reazione negativa è usata per migliorare la qualità degli amplificatori, a scapito però di una diminuzione dell’amplificazione1.

La prima applicazione della tecnica della reazione negativa agli amplificatori elettronici, allo scopo di migliorarne le caratteristiche (linearità, sensibilità, immunità ai disturbi), è dovuta a H. S. Black [2] che nel 1934 pubblicò uno studio sugli amplificatori reazionati nel quale elaborò quella che successivamente è stata chiamata teoria classica della reazione, illustrandone i vantaggi e le proprietà. Questa teoria è semplice ed intuitiva, tuttavia è, in generale, approssimata a causa delle semplificazioni circuitali che devono essere assunte nella pratica.

Nel 1945, H. W. Bode [3] elabora una teoria della reazione basata sulla formulazione matriciale delle equazioni della rete, chiamata in seguito teoria generale della reazione (general feedback theory). Essa fornisce risultati esatti, a

Introduzione 6

scapito però della semplicità che si ha nella teoria classica, le cui formule, seppur approssimate, sono molto pratiche in fase di progettazione.

Poco prima del lavoro di Bode, un altro importante contributo è dovuto a R. B. Blackman [4], che nel 1943 elaborò una pratica formula, che porta il suo nome, per il calcolo delle impedenze viste nei circuiti reazionati, valida sia nella teoria classica sia, come dimostrato poi, nella teoria generale.

Una estensione al caso multivariabile del concetto di rapporto di ritorno e differenza di ritorno (rispettivamente return ratio e return difference nella teoria di Bode) è dovuto a Tasny-Tschiassny [5] (1953), con contributi successivi importanti da parte di I. W. Sandberg [6] e S. S. Hakim [7] (1963), tra cui l’estensione della formula di Blackman al caso di reazione multipla. L’argomento è stato poi ripreso ed ampliato da W. K. Chen in vari lavori, di cui si ha una sintesi in [13], e sulla stabilità [14].

Nel 1972, B. Pellegrini formula il Teorema di Scomposizione, sulla cui base elabora una nuova teoria della reazione [8], che poi amplierà, anche col contributo di altri collaboratori [9]-[12]; essa, come la teoria generale, porta a risultati esatti ma ha in più il vantaggio di conservare le nozioni intuitive della teoria classica [8] [11], avvalendosi dei normali metodi di analisi delle reti lineari.

Il metodo di applicazione di questa teoria si basa sulla scomposizione della generica rete in esame, cioè una trasformazione che consiste nell’interrompere l’anello di reazione, mediante il taglio di un ramo, e nell’inserimento di un opportuno circuito di compensazione, calcolato mediante il suddetto teorema, che mantenga invariate le tensioni tra i nodi e le correnti nei rami. Pertanto, la rete originaria e quella scomposta sono equivalenti e lo studio può procedere su quest’ultima in modo più agevole, poiché in essa l’anello di reazione è interrotto. Si prosegue calcolando opportune funzioni di rete definite nella rete scomposta, definite funzioni di taglio, le quali, combinate secondo determinate formule risolutive, forniscono le formule esatte della funzione di trasferimento ad anello chiuso e delle varie impedenze viste; inoltre si possono valutare la stabilità,

l’effetto del rumore e dei disturbi e la sensibilità rispetto alle variazioni dei parametri dei dispositivi.

I circuiti di compensazione proposti fino ad ora nella scomposizione sono principalmente di tre tipi: il primo, costituito da un’impedenza ed un generatore indipendente [8]-[10]; il secondo, da un generatore dipendente ed uno indipendente [11]; il terzo, da due generatori indipendenti, particolarmente adatto nel caso in cui il taglio non venga fatto all’ingresso di un blocco circuitale unidirezionale [12].

Un caso che si presenta frequentemente nei circuiti reazionati è quello della cosiddetta reazione multipla, cioè la presenza di più anelli di reazione in una stessa rete. Laddove lo studio della rete richieda il taglio di tutti gli anelli di reazione, sarebbe necessario eseguire in successione una scomposizione per ciascun anello di reazione. Una tale procedura comporta una complicazione della notazione algebrica ed una complessità nelle formule risolutive, difficoltà che crescono all’aumentare del numero di scomposizioni.

Allo scopo di agevolare lo studio di questo tipo di circuiti, è stato preso in considerazione un nuovo tipo di intervento circuitale, chiamato qui scomposizione multipla, che trasforma con una sola operazione una generica rete in una rete ad essa equivalente avente tutti gli anelli di reazione interrotti. Tale trasformazione è possibile grazie ad un’estensione del Teorema di Scomposizione, che è stata qui dimostrata.

Un primo risultato consiste nella formula della funzione di trasferimento ad anello chiuso, di cui l’immittenza vista ad anello chiuso è un caso particolare. Osservando poi che tale formula ha una forma equivalente a quella elaborata da Sandberg in [6], si è riuscito a dimostrare che la formula di Blackman per il calcolo delle immittenze viste, estesa al caso di reazione multipla da quest’ultimo autore, risulta valida anche nella scomposizione multipla. Tale dimostrazione segue la traccia di quella data da Chen in [13]. Inoltre, è stata studiata la stabilità con il criterio di Nyquist generalizzato.

Introduzione 8

Nel Capitolo 1, dopo un richiamo sul Teorema di Scomposizione di Pellegrini e sul relativo metodo, si presenta il Teorema di Scomposizione in forma multipla

Nel Capitolo 2, si applica il Teorema di Scomposizione in forma multipla per il calcolo della funzione di trasferimento ad anello chiuso e si mostra come si semplifichino i calcoli qualora le scomposizioni siano fatte agli ingressi di circuiti unidirezionali.

Si mostra poi come la scomposizione multipla sia un’estensione del metodo di Pellegrini e coincida con esso nel caso particolare di scomposizione singola.

Successivamente si fa vedere come lo studio di una rete mediante la teoria di Bode generalizzata coincida con un tipo particolare di scomposizione multipla.

Segue l’esposizione di un metodo per trasformare un collegamento bidirezionale in due circuiti unidirezionali. In questo modo, si recupera il vantaggio di scomporre all’ingresso di circuiti unidirezionali anche nel caso di circuiti bidirezionali.

Il Capitolo 3 riguarda il calcolo delle immittenze viste.

Dopo aver mostrato che l’immittenza vista è un caso particolare di funzione di trasferimento, si dimostra che può essere calcolata con la formula di Blackman generalizzata anche nella scomposizione multipla.

Nel Capitolo 4 si studia la stabilità, individuando la relazione tra i poli della rete multiscomposta e quelli della rete ad anello chiuso nel caso generale; successivamente, si considera il caso particolare di rete stabile ad anello aperto.

Si individuano i poli esterni all’anello di reazione, i quali non variano alla chiusura dell’anello, mentre si mostra che i poli dell’anello di reazione chiuso sono dati dagli zeri del determinante della matrice di reazione, calcolata ad anello aperto. Questi ultimi vengono studiati mediante il criterio di Nyquist generalizzato, considerando il diagramma di Nyquist del determinante della matrice di reazione.

Capitolo 1

Scomposizione multipla

Partendo dalla formulazione più generale del Teorema di Scomposizione, data in [11], si considera la sua applicazione in forma multipla.

1.1 Richiami sul Teorema di Scomposizione

Sia data la generica rete lineare RL di Figura 1.1a avente un ingresso e un’uscita. La scelta delle grandezze d’ingresso e di uscita e la loro localizzazione nella rete siano arbitrarie; esse sono indicate con i simboli generali di Tabella 1.1, come in [9] e [11]. All’ingresso è applicato un generico generatore ideale indipendente S, di tensione (S=Vs) o di corrente (S=Is), mentre la grandezza di uscita U può essere

o la corrente Iu che scorre nel ramo della rete di impedenza ZC o la tensione Vu tra

due nodi della rete.

Tabella 1.1 Corrispondenza tra i simboli generali e le grandezze elettriche d’ingresso e d’uscita

della rete in esame.

Tensione Corrente

Generatore

d’ingresso S = Vs S = Is

Grandezza d’uscita U = V_u U = I_u

Capitolo 1 – Scomposizione multipla 10

Si effettua poi una trasformazione della rete, detta scomposizione, che consiste nelle operazioni che seguono.

1. Si mettono in evidenza in RL il nodo q≡q' 1 ed il nodo di riferimento t (da qui in poi nodi di taglio) scelti arbitrariamente; gli n rami connessi a q≡q' si suddividono arbitrariamente in due gruppi: m rami connessi a q e i rimanenti n–m connessi a q'.

2. Si taglia la connessione tra q e q' e si inserisce un tripòlo lineare TL, che da qui in poi sarà chiamato circuito di inserzione2, connesso a q, q' e al nodo di riferimento t.

Figura 1.1 La generica rete lineare con un ingresso e un’uscita è predisposta in (a) per la

scomposizione ai nodi q, q' e t, scelti arbitrariamente; in (b) la stessa rete scomposta.

1 _{Il simbolo “≡” posto tra due nodi ne indica la coincidenza.}

2 _{In linea con la denominazione Cut-Insertion Theorem data in [11] al Teorema di Scomposizione.} 1 2 m q q′ m+1 nn−1 t S VU U I RL C Z RLS q t TL r V V_p r I I_p q′ S Vu ZC u I (a) (b)

In questo modo, si ottiene la rete RLS di Figura 1.1b, detta rete scomposta, in cui

sono definite le nuove grandezze elettriche Vr, Vp, Ir, Ip, chiamate in [9] variabili

di taglio.

Il Teorema di Scomposizione afferma che la rete scomposta RLS è equivalente3

alla rete originaria RL se e solo se vale la seguente condizione:

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = p r p r I I V V (1.1)

1.2 Applicazione multipla del Teorema di Scomposizione

Sia data la generica rete lineare RL0 di Figura 1.2 avente un ingresso e un’uscita. La scelta delle grandezze d’ingresso e di uscita e la loro localizzazione nella rete siano arbitrarie. All’ingresso è applicato un generico generatore ideale indipendente S, di tensione (S=Vs) o di corrente (S=Is), mentre la grandezza di

uscita U può essere o la tensione Vu tra due nodi, o la corrente Iu che scorre in un

ramo della stessa. L’impedenza ZC, facente parte della rete. Non si esclude un

eventuale accoppiamento induttivo tra ZC ed il resto della rete.

Si effettua poi una trasformazione della rete, che consiste nelle seguenti operazioni.

1. Si mettono in evidenza in RL0 i seguenti nodi di taglio, scelti arbitrariamente, con N≥1 anch’esso arbitrario e con i=1,…,N:

N i N i N i t t t q q q q q q , , , , , , , , , , , , 1 1 1 L L L L L L ′ ′ ′ _(1.2)

3 _{Si dicono equivalenti due reti che hanno le stesse correnti e le stesse tensioni rispettivamente nei}

Capitolo 1 – Scomposizione multipla 12

Per ogni i, gli ni rami connessi a qi≡q'i sono suddivisi arbitrariamente in

due gruppi: mi rami connessi a qi e i rimanenti ni–mi connessi a q'i .

Il numero intero N si definisce ordine di scomposizione.

L’arbitrarietà della scelta di N è possibile indipendentemente dal numero di nodi presenti in RL0, per il fatto che nodi di scomposizione con pedice i diverso possono coincidere, senza che la presente trattazione perda di generalità, come mostrato nell’esempio di Figura 1.3 , in cui RL0 ha soltanto due nodi.

Figura 1.2 Rete originaria RL0; sono evidenziati il generatore d’ingresso S, l’uscita (Iu oppure Vu) e i nodi di taglio qi, qi′ e ti, con i=1, …, N.

RL0 i q q′i i t 1 2 1 m 1 2 i m 1 2 N m 1 + N m 1 n 1 + i m i n N n 1 n −1 1 1+ m −1 i n −1 nN S Vu u I N t N q′ N q 1 q q′₁ 1 t C Z 1 1 p r I I ≡ i p i r I I ≡ N p N r I I ≡ 1 1 p r V V ≡ i p i r V V ≡ N p N r V V ≡

Figura 1.3 (a) rete con due nodi; (b) esempio di scelta dei nodi di scomposizione con N

arbitrario.

2. Per ogni i, si taglia la connessione tra i nodi qi e q'i e si inserisce un

circuito di inserzione TLi connesso a qi, q'i e al nodo di riferimento ti.

Quest’ultima operazione viene detta inserzione4.

In tal modo, si ottiene la rete RLN di Figura 1.4, in cui sono definite le variabili di

taglio Vri, Vpi, Iri, Ipi, con i=1,…,N.

La trasformazione appena descritta si definisce scomposizione multipla, o scomposizione di ordine N, o sinteticamente scomposizione; la rete risultante RLN

si dice rete multiscomposta, o semplicemente rete scomposta.

Si dimostra che la seguente condizione è necessaria e sufficiente affinché la rete multiscomposta RLN sia equivalente alla rete originaria RL0:

N i I I V V i p i r i p i r , , 1 L = ∀ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = (1.3) 4 _{Vedi nota 2.} (a) (b) RL0 RL0 u V s V Z_U 1 q q_i q′_i i t 1 t s V Z_U V_u N t 1 q′ q_N q′_N

Capitolo 1 – Scomposizione multipla 14

Figura 1.4 Rete multiscomposta.

Dimostrazione.

Si scomponga la rete RL0 (Figura 1.1a) rispetto ai nodi di taglio q1, q’1 e t1, ottenendo la rete RL1 di Figura 1.5.

Il circuito di inserzione TL1 sia tale che

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = 1 1 1 1 p r p r I I V V (1.4) RLN 1 r V V_p1 i r V V_pi N r V N p V 1 r I I_p1 i r I Ip_i N r I I_pN S Vu u I i q q′_i i t N t N q′ N q 1 q q′₁ 1 t TLN TLi TL1 N t I i t I 1 t I C Z

In questo modo, per il teorema di scomposizione, le reti RL0 e RL1 sono equivalenti.

Se per ogni ulteriore scomposizione vale la (1.5), si ha che le reti RL2 ,…,RLN

che ne risultano sono equivalenti a RL1; inoltre, le tensioni e le correnti nella (1.4), per ogni stesso valore di S, rimangono invariate. Di conseguenza, la (1.4) continua a valere anche in seguito alle scomposizioni successive.

N i I I V V i p i r i p i r , , 2 L = ∀ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = (1.5)

Figura 1.5 Rete con una scomposizione. RL1 2 q q′₂ 2 t 1 2 2 m 1 2 N m 1 + N m 1 2+ m 2 n N nnN−1 S V_u u I N t N q′ N q 1 2− n 1 r V V_p1 1 r I I_p1 1 q q′₁ 1 t TL1 C Z

Capitolo 1 – Scomposizione multipla 16

Per quanto detto, anche le condizioni di equivalenza (1.5) delle scomposizioni da 1 a N, una volta imposte, rimangono inalterate.

Pertanto, la (1.4) e la (1.5) valgono nella rete multiscomposta RLN e insieme

costituiscono la (1.3), la cui necessità per avere l’equivalenza tra RLN e RL0 risulta così dimostrata.

Per dimostrare la sufficienza della (1.3)5, si parte dalla rete RLN di Figura 1.4.

Applicando il primo principio di Kirchhoff a ciascun circuito di inserzione TLi,

considerandolo un macronodo, si ha i p i r i t I I I = − ∀i=_{1 L}, ,N _(1.6)

e per la condizione sulle correnti della (1.3)

0 =

i t

I ∀i=_{1 L}, ,N (1.7)

Pertanto, per il teorema di sostituzione, i collegamenti tra ciascun TLi ed il relativo

nodo ti possono essere sostituiti con generatori di corrente nulla, cioè rami aperti,

senza alterare l’equilibrio della rete, ottenendo la rete RL’ di Figura 1.6, equivalente a RLN.

Da qui, per il secondo principio di Kirchhoff vale

i p i r i t V V V = − ∀i=_{1 L}, ,N _(1.8)

che per la condizione sulle tensioni della (1.3) diventa

5 _{Questa parte della dimostrazione è analoga a quella nel caso N=1, esposta dal professor Bruno}

Pellegrini durante una lezione del corso di Elettronica Analogica da lui tenuto alla Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Pisa nell’A.A. 2005-2006.

0 =

i t

V ∀i=_{1 L}, ,N (1.9)

Per la (1.9) e per il teorema di sostituzione, ciascun circuito di inserzione TLi,

scollegato dal relativo nodo ti, può essere sostituito con un cortocircuito

(generatore di tensione nulla) posto tra ciascuna coppia di nodi qi e qi' ,

mantenendo inalterato l’equilibrio della rete. Ne risulta nuovamente la rete RL0, equivalente al RL’N e, per quanto detto sopra, equivalente a RLN.

Risulta così dimostrata anche la sufficienza della (1.3)

Figura 1.6 Rete RL′ , ottenuta tagliando i rami di RLN in cui non scorre corrente.

RL′ i r V V_pi N r V V_pN i t V N t V 1 r V V_p1 1 t V S Vu u I i q q′_i i t N t N q′ N q 1 q q′₁ 1 t TLN TLi TL1 C Z

Capitolo 2

Funzione di trasferimento

Si sviluppa il calcolo della funzione di trasferimento di una generica rete lineare applicando il Teorema di Scomposizione in forma multipla, dimostrato nel Capitolo 1, procedendo analogamente al caso di scomposizione singola di [8]-[11].

I risultati ottenuti vengono poi messi a confronto con la teoria di Bode generalizzata [5]-[7] e con il metodo di Filanovsky-Pellegrini [12].

2.1 Tipi di circuiti di inserzione, simboli e definizioni

Si considera che ciascun circuito di inserzione TLi della generica rete

multiscomposta di Figura 1.4 sia scelto arbitrariamente tra i circuiti raffigurati in Tabella 2.1. Essi sono già stati utilizzati in [8]-[11] per lo studio delle reti mediante il teorema di scomposizione, con l’unica differenza che qui, per comodità di notazione, i circuiti di tipo (a) e (c) hanno Zp e Yp scambiate tra loro.

Si adotta la seguente simbologia generale, simile in parte a quella usata in [9] e [11], valida per qualunque tipo di grandezze d’ingresso e d’uscita della rete in esame (Tabella 1.1) e per tutti i circuiti di inserzione di Tabella 2.1 impiegati nella scomposizione multipla.

Con Ψ , r Ψ , p Ψ , r Ψ e p Σ si indicano le grandezze elettriche specificate in p

Tabella 2.1 per ciascun tipo di circuito di inserzione. Si noti che Ψ e r Ψ sono p

omogenee, come pure le rispettive duali Ψ e r Ψ , e che p Ψ corrisponde alla p

Tabella 2.1 Tipi di circuiti di inserzione e corrispondenza delle relative grandezze elettriche con

i simboli generali. (a) e (b): circuiti di inserzione in tensione. (c) e (d): circuiti di inserzione in corrente.

Circuiti di inserzione Corrispondenze

tra simboli r r V Ψ = p p V Ψ = r r I Ψ = p p I Ψ = p p Y Σ = r r I Ψ = p p I Ψ = r r V Ψ = p p V Ψ = p p Z Σ =

Un circuito di inserzione si definisce in tensione se il generatore indipendente Ψ p

è di tensione, mentre si definisce in corrente se il generatore indipendente Ψ è di p

corrente.

Secondo la notazione generale di Tabella 2.1, la condizione (1.3) che garantisce l’equivalenza tra la rete originaria e quella scomposta può essere così riscritta:

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∀ = = N i Ψ Ψ Ψ Ψ i p i r i p i r , , 1 L (2.1) (a) p V r V Ir Y_p Ip q t q′ (b) p V p I Ip r V q t q′ r I p Z I_p r V Ir V_p (c) q q′ t p I p V V_p r I (d) q q′ t r V

Capitolo 2 – Funzione di trasferimento 20

Caratterizzazione della rete multiscomposta.

Nella rete multiscomposta si definiscono le seguenti funzioni di trasferimento, che la caratterizzano, a cui ci si riferisce col termine funzioni di taglio, analogamente a [10]; essendo funzioni di trasferimento, in ciascuna di esse agisce soltanto il generatore indipendente al denominatore, mentre tutti gli altri sono disattivati.

S U γ= S Ψ α ri i = S Ψ ρ pi i = i=1 L, ,N (2.2) i p i Ψ U A = j p i r ij Ψ Ψ λ = j p i p ij Ψ Ψ Σ = i,j=1,_L,N (2.3)

Come si può vedere nell’esempio di scomposizione multipla di Figura 2.2 e nel diagramma a blocchi della rete multiscomposta (Figura 2.1), posto S=0, risulta individuata in RLN una rete, con N porte d’ingresso Ψp₁,L,Ψp_N ed N porte di

uscita Ψ_r1,_L,Ψ_rN, che costituisce un anello di reazione multivariabile (da qui in poi anello di reazione). Le uscite e gli ingressi dell’anello di reazione sono legati dalle funzioni di taglio λ_ij definite in (2.3), che si definiscono funzioni di anello.

Figura 2.1 Diagramma a blocchi della generica rete multiscomposta. Sono evidenziati il segnale d’ingresso S e quello di uscita U, le variabili di taglio Ψ_ri e Ψ_ri, le reti di attenuazione d’ingresso α e di amplificazione A, il coefficiente di trasmissione diretta γ e la rete di reazione λ.

α γ A λ 1 r Ψ N r Ψ 1 N U 1 p Ψ N p Ψ S 1 N 1 N 1 N

Le funzioni di trasferimento Σ , invece, caratterizzano le porte d’ingresso _ij dell’anello di reazione e si distinguono in due tipi:

ii j i

ij Σ

Σ ₌ = : immittenza1 vista dal generatore Ψ ; p_i

Figura 2.2 Esempio di scomposizione multipla che utilizza tutti i tipi di circuiti di inserzione in

Tabella 2.1. In Figura 2.3 è riportata la stessa rete scomposta ma con le grandezze dei circuiti di inserzione indicate con i simboli generali di Tabella 1.1 e Tabella 2.1.

1 _{Termine che indica, in generale, un’impedenza o un’ammettenza.} RLN s V Vu 1 p V 1 p Y 1 r V 1 p I 1 r I 1 q q′1 1 t 2 q q′2 2 t 2 p Z Ip₂ Vp₂ 2 r V 2 r I 3 p V 3 p I 3 p I 3 q q′3 3 t 3 r V N p I N p V N q q′_N N t 3 r I N r V N r I C Z N p V

Capitolo 2 – Funzione di trasferimento 22 j i ij Σ ≠ : trasferenza

2 _{mutua che lega l’effetto del solo generatore Ψ}

pj sulla

grandezza Ψ¯pi, ossia coefficiente di reciprocità del taglio i-esimo

rispetto al generatore Ψpj.

Figura 2.3 Stessa rete scomposta di Figura 2.2 ma con le grandezze elettriche indicate con i

simboli universali di Tabella 1.1 e Tabella 2.1.

2 _{Sinonimo di funzione di trasferimento.}

RLN s V Vu 1 p Ψ 1 p Σ 1 r Ψ 1 p Ψ 1 r Ψ 1 q q′1 1 t 2 q 2 t 2 p Σ Ψ_p2 2 p Ψ 2 r Ψ 2 r Ψ 3 p Ψ 3 p Ψ 3 p Ψ 3 q q′3 3 t 3 r Ψ N p Ψ V_pN N q q′_N N t 3 r Ψ N r V N r Ψ C Z N p V 2 q′

Le altre funzioni di taglio (2.2) e (2.3) possono essere chiamate nel modo seguente, analogamente a [8]-[11]:

γ : coefficiente di perdita, ossia coefficiente di trasmissione diretta;

i

α : attenuazione di ingresso del taglio i-esimo;

i

ρ : coefficiente di reciprocità del taglio i-esimo rispetto ad S;

i

A : amplificazione rispetto al generatore Ψ . _pi

Si esprimono le suddette quantità in forma di vettori e matrici:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = N r r r Ψ Ψ Ψ M 2 1 r Ψ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = N p p p Ψ Ψ Ψ M 2 1 p Ψ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = N r r r Ψ Ψ Ψ M 2 1 r Ψ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = N p p p Ψ Ψ Ψ M 2 1 p Ψ (2.4) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = N α α α M 2 1 α ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = N ρ ρ ρ M 2 1 ρ A=[A₁ A_{2 L} A_N] (2.5) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = NN N N N N λ λ λ λ λ λ λ λ λ L M O M M L K 2 1 2 22 21 1 12 11 λ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = N N N N N N Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ L M O M M L K 2 1 2 22 21 1 12 11 Σ (2.6)

La matrice λ si definisce matrice di anello, in quanto caratterizza il suddetto

Capitolo 2 – Funzione di trasferimento 24

In Figura 2.2 è riportato un esempio di scomposizione multipla che utilizza tutti i tipi di circuiti di inserzione di Tabella 2.1. La rete ha in ingresso il generatore Vs,

mentre Vu è la tensione di uscita. Per le definizioni date sopra, i vettori delle

variabili di taglio dei generatori indipendenti sono

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = N r r r r I V I V M 3 2 1 r Ψ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = N p p p p I V I V M 3 2 1 p Ψ (2.7)

mentre i rispettivi vettori delle grandezze duali valgono

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = N r r r r V I V I M 3 2 1 r Ψ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = N p p p p V I V I M 3 2 1 p Ψ (2.8)

Secondo la notazione delle (2.4), la condizione di equivalenza (2.1) diventa

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = p r p r Ψ Ψ Ψ Ψ (2.9)

In Figura 2.3 si riporta la stessa rete di Figura 2.2, indicando le grandezze elettriche con i simboli universali di Tabella 1.1 e Tabella 2.1.

Immittenze di taglio.

Come già detto, se la rete multiscomposta è equivalente a quella originale, i valori dei componenti dei circuiti di inserzione soddisfano la (2.1). In questa condizione, per ciascun circuito di inserzione si definisce immittenza di taglio3 la seguente funzione di rete 0 ) , ( ) , ( RL RL i p i p i p N S Ψ S Ψ Σ ≡ = p p Ψ Ψ (2.10)

che, per la (2.1), equivale a

0 ) , ( ) , ( RL RL i r i r i p N S Ψ S Ψ Σ ≡ = p p Ψ Ψ (2.11)

Proprio per la (2.11), nei circuiti di inserzione (a) e (c) di Tabella 2.1 l’immittenza di taglio corrisponde all’immittenza collegata ai nodi q e t.

Per i circuiti di inserzione di tipo (b) e (d) di Tabella 2.1, i valori dei generatori dipendenti sono determinati dalle immittenze di taglio e si calcolano invertendo la (2.10) (per semplicità si omette di indicare la dipendenza da S e Ψp)

i p i p i p Σ Ψ Ψ = ⋅ (2.12)

Poiché le immittenze di taglio sono definite nella rete RLN nella condizione in cui

è equivalente a RL0, esse risultano definite anche nella rete originale RL0 (Figura 1.2) come impedenze di taglio o ammettenze di taglio, nel modo seguente

Capitolo 2 – Funzione di trasferimento 26 ) , ( ) , ( p p Ψ Ψ S I S V Z i p i p i p = ) , ( ) , ( p p Ψ Ψ S V S I Y i p i p i p = (2.13)

2.2 Calcolo dei componenti dei circuiti di inserzione e della

funzione di trasferimento.

Si vuole calcolare la funzione di trasferimento

S U

A_f = (2.14)

della rete RL0 (Figura 1.2) operando sulla rete multiscomposta RLN (Figura 2.2 e

Figura 2.3). A questo scopo, prima di tutto è necessario calcolare quei valori dei componenti dei circuiti di inserzione che danno l’equivalenza tra le due reti, a partire dalle funzioni di taglio (2.2) e (2.3) definite in RLN.

Quest’ultime, poiché dipendono in generale dai bipòli dei circuiti di inserzione connessi ai nodi qi e ti, sono funzione delle immittenze di taglio, che

verranno calcolate più avanti.

Calcolo dei generatori indipendenti.

Si procede esprimendo le quantità Ψ_ri, della rete multiscomposta in funzione dei generatori indipendenti Ψ_pi, appartenenti ai circuiti di inserzione, e del generatore d’ingresso S. Poiché i generatori sono indipendenti e la rete è lineare, si può procedere applicando il principio di sovrapposizione degli effetti:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = N p NN p N p N N N r N p N p p r N p N p p r Ψ λ Ψ λ Ψ λ S α Ψ Ψ λ Ψ λ Ψ λ S α Ψ Ψ λ Ψ λ Ψ λ S α Ψ L M O M M M M L L 2 2 1 1 2 2 22 1 21 2 2 1 2 12 1 11 1 1 (2.15)

Per le (2.4)-(2.6), la (2.15) può essere espressa in notazione matriciale:

p

r α λΨ

Ψ = ⋅S+ (2.16)

Imponendo la condizione di equivalenza (2.9) e portando al primo membro i termini in Ψp si ha p p α λΨ Ψ = ⋅S+ (2.17) S ⋅ = −λΨ α Ψp p (2.18) Poiché vale p p IΨ Ψ = (2.19)

dove I è la matrice identica4 N×N, si ha che

S ⋅ = −λΨ α Ψ I _{p p} (2.20) e raccogliendo rispetto a Ψ _p S ⋅ = −λ Ψ α I ) p ( (2.21)

Si definisce matrice di reazione la matrice

λ I

F = − (2.22)

4 _{La matrice identica, o matrice identità, è una matrice quadrata i cui elementi valgono 1 sulla}

diagonale principale e 0 altrove; ha la proprietà che moltiplicata a destra o a sinistra per una matrice M dà come risultato M stessa.

Capitolo 2 – Funzione di trasferimento 28

i cui elementi valgono

( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − − − = − − NN N N N N N N N N λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 1 1 1 1 2 1 1 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 L O M M M O L K F (2.23)

Pertanto, la (2.21) può essere espressa in termini di matrice di reazione:

S

⋅ = α

Ψ

F p (2.24)

da cui si ricava l’espressione di _{Ψ p}

S ⋅ = − − _{FΨ F α} F 1 _p 1 S ⋅ =_F− _α Ψ I _p 1 S ⋅ =_F− _α Ψ 1 p (2.25)

Si ricorda che la matrice inversa _F−1 _{è data da}

∆ 1 + − ₌F F (2.26) dove ∆ è il determinante di F ) ( det ∆= F (2.27)

e F+è la matrice aggiunta di F, definita come segue ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + + + + + + + + + + NN N N N N NN N N N N F F F F F F F F F ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 2 1 2 22 12 1 21 11 2 1 2 22 21 1 12 11 L M O M M L L L M O M M L L F (2.28)

Ciascun elemento di F+ vale

ji i j ji ij F+ ₌∆ ₌(₋1) +detF (2.29)

dove la matrice F è il minoreji 5 di F ottenuto eliminando da F la j-esima riga e la

i-esima colonna.

Pertanto, si può esprimere la (2.25) in funzione della matrice aggiunta di F e del

determinante di F: S ⋅ = F+α Ψ_p ∆ (2.30) Funzione di trasferimento.

A questo punto si può calcolare il segnale di uscita U applicando il principio di sovrapposizione degli effetti:

N p N p p A Ψ A Ψ Ψ A S U =γ ⋅ + ₁⋅ ₁+ ₂⋅ ₂+_L+ ⋅ _(2.31)

5 _{Il minore di una matrice A, è una sottomatrice quadrata ottenuta eliminando da A una o più righe}

Capitolo 2 – Funzione di trasferimento 30

che per le (2.4) e (2.5) può così riscriversi

p Ψ A + ⋅ = S U γ (2.32)

Le formule (2.16) e (2.32) descrivono la rete ad anello aperto, a cui corrisponde il diagramma a blocchi di Figura 2.4.

Sostituendo l’espressione di Ψp della (2.25) nella (2.32) e raccogliendo rispetto ad

S, si ha

S S

γ

U = ⋅ +_AF−1_α⋅ _(2.33)

Dividendo ambo i membri per S si ottiene infine la formula della funzione di trasferimento (2.14) della rete ad anello chiuso, espressa in funzione delle quantità calcolate nella rete multiscomposta:

α F A −1 + = γ A_f (2.34)

Figura 2.4 Diagramma a blocchi della generica rete multiscomposta con anello di reazione

aperto, corrispondente alle formule (2.16) e (2.32), riportate in figura. Sono evidenziati il segnale d’ingresso S e quello di uscita U, le variabili di taglio Ψri e Ψ_pi, le reti di attenuazione d’ingresso α e di amplificazione A, il coefficiente di trasmissione diretta γ e la rete di reazione λ.

α γ A λ 1 r Ψ N r Ψ 1 N U 1 p Ψ N p Ψ S 1 N 1 N 1 N p Ψ A + ⋅ = S U γ p r α λΨ Ψ = ⋅S+

ossia per la (2.22)

(

I λ

)

α A − −1 + = γ A_f (2.35)

Nella (2.34), esplicitando F-1 _{secondo la (2.26) si ottiene}

α F A ∆ + + = γ A_f (2.36)

Il diagramma a blocchi della rete ad anello chiuso è riportato in Figura 2.5.

I diagrammi a blocchi traducono graficamente le formule matematiche che caratterizzano una rete, che viene così schematizzata con un certo numero di blocchi distinti, aventi ingressi ed uscite, collegati tra loro tramite linee orientate e blocchi sommatori.

Tuttavia, va tenuto presente che a questa distinzione tra i vari blocchi non corrisponde necessariamente una separazione a livello circuitale, per cui è possibile che alcuni o tutti i blocchi abbiano in comune alcune parti della rete o addirittura l’intera rete.

Figura 2.5 Come in Figura 2.4 ma con l’anello di reazione chiuso. Al diagramma a blocchi

corrisponde la (2.34), riportata in figura.

α γ A 1 1 p r Ψ Ψ ≡ N p N r Ψ Ψ ≡ 1 N U λ S 1 N 1 N 1 N

(

I λ

)

α A ₋ −1 + = = γ S U A_f

Capitolo 2 – Funzione di trasferimento 32

Ciò è da tenere ben presente nello studio della stabilità, che sarà argomento del Capitolo 4.

Calcolo delle immittenze di taglio

Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, per le definizioni (2.2) e (2.3), la variabile di taglio Ψ del circuito di inserzione i-esimo è data da pi

N p iN j p ii p i i i p ρ S Σ Ψ Σ Ψ Σ Ψ Ψ = ⋅ + ₁⋅ ₁+ _L + ⋅ + _L + ⋅ (2.37)

e per la seconda delle (2.4)

[

i ii iN

]

Ψp

i i

p ρ S Σ Σ Σ

Ψ = ⋅ + 1 L L (2.38)

Sostituendo Ψpi nella (2.38) con la sua espressione in funzione dell’immittenza di

taglio secondo la (2.12), si ottiene

[

i ii iN

]

Ψp i i p i p Ψ ρ S Σ Σ Σ Σ ⋅ = ⋅ + 1 _{L L} (2.39)

La generica variabile di taglio Ψ_pi, per la (2.30), è data da

S F F F Ψ i ii iN i p = ⋅ + + + α ∆ ] [ 1 L L _(2.40)

Sostituendo nella (2.39) l’espressione di Ψ_pi calcolata nella (2.40) ed esprimendo

Ψp secondo la (2.30), si ottiene

[

Σ Σ Σ

]

S ρ S F F F Σ i ii iN _{i i ii iN} i p ⋅ ⋅ = + ⋅ + + + + α F α ∆ ∆ ] [ 1 1 L L L L _(2.41)

Dividendo ambo i membri per S, con S≠0, e invertendo la formula, si ottiene l’espressione dell’immittenza di taglio:

[

]

F α α ∆ ∆ ] [ 1 1 + + + + + = ⋅ i ii iN _{i i ii iN} i p ρ Σ Σ Σ F F F Σ L L _{L L} (2.42)

[

]

α α F ] [ ∆ ∆ ∆ 1 1 + + + + ⋅ + ⋅ = iN ii i iN ii i i i p _{F F F} Σ Σ Σ ρ Σ L L L L _(2.43)

e semplificando il determinante ∆ al secondo termine del numeratore, con ∆≠0, si ottiene

[

]

α α F ] [ ∆ 1 1 + + + + + ⋅ = iN ii i iN ii i i i p F F F Σ Σ Σ ρ Σ L L L L _(2.44)

Le quantità al secondo membro della (2.44), essendo calcolate nella rete multiscomposta, dipendono in generale da tutte le immittenze di taglio Σp1 ,…,Σpi ,…,ΣpN.

Pertanto, per calcolare le immittenze di taglio occorre risolvere il sistema, generalmente non lineare, di N equazioni implicite del tipo della (2.44) nelle N incognite Σp1 ,…,Σpi ,…,ΣpN.

Nel caso particolare in cui sia verificata la condizione

i j N j Σ ρ j i j i i ≠ = ∀ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ≠ ; , , 1 0 0 L (2.45)

il calcolo dell’immittenza di taglio si semplifica notevolmente perché la (2.44) diventa

Capitolo 2 – Funzione di trasferimento 34

[

]

ii iN ii i iN ii i ii iN ii i ii i p Σ F F F F F F Σ F F F Σ Σ = ⋅ = + ⋅ = + + + + + + + + + + α α α α F ] [ ] [ ] [ 0 0 0 0 0 ∆ 1 1 1 L L L L L L L L (2.46)

e per la terza delle (2.3)

i p i p i p _Ψ Ψ Σ = _(2.47)

Ciò significa che l’immittenza di taglio Σpi , che in generale è una funzione di rete

definita nella rete multiscomposta in condizioni di equivalenza, in questo caso particolare corrisponde all’immittenza Σii vista dal corrispondente generatore Ψpi

ed è pertanto calcolabile con i normali metodi.

Per le definizioni di ρi e di Σij date nelle (2.2) e (2.3), la condizione (2.45), che

semplifica il calcolo dell’immittenza di taglio Σ_pi, sta a significare che la grandezza Ψ¯_pi non dipende né dal generatore d’ingresso S, né da alcun generatore indipendente Ψ_pj con indice j≠i, cioè appartenente ad un altro circuito di inserzione, bensì dipende solamente dal generatore Ψ_pi.

Questa condizione è sicuramente verificata laddove i nodi q′ e i ti siano scelti

all'ingresso di un blocco circuitale unidirezionale, per il fatto che in un tale circuito la corrente e la tensione alla porta d’ingresso dipendono solamente dal generatore ivi applicato.

Si definisce taglio ogni terna di nodi di taglio con lo stesso indice i, cioè qi , q'i e

I tagli per cui nei relativi circuiti di inserzione è verificata la (2.45) saranno detti tagli unidirezionali; in caso contrario, tagli bidirezionali, in quanto il segnale scorre in entrambe le direzioni.

Condizioni di validità della scomposizione multipla.

A prescindere dalle semplificazioni, affinché l’immittenza di taglio i-esima sia definita e quindi la scomposizione sia valida, deve essere diverso da zero sia il determinate della matrice di reazione (∆≠0), sia il denominatore della (2.43), vale a dire 0 ] [ ₁+ + + _α≠ iN ii i F F F _{L L} ∀i=_{1 L}, ,N (2.48)

Ciò corrisponde, per la (2.40), ad avere i valori dei generatori indipendenti di tutti i circuiti di inserzione diversi da zero per S≠0 , cioè

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≠ 0 0 M p Ψ per S≠0 (2.49)

Per la condizione di equivalenza (2.9) deve valere anche

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≠ 0 0 M r Ψ per S≠0 (2.50)

Capitolo 2 – Funzione di trasferimento 36

Scelta dei circuiti di inserzione.

Nello scomporre la rete, si deve porre attenzione affinché nessun generatore di tensione Vp≠0 risulti cortocircuitato, né alcun generatore di corrente Ip≠0 risulti

inserito in un circuito aperto. In caso contrario basterà usare un circuito di inserzione in corrente al posto di uno in tensione o viceversa.

2.3 La scomposizione di ordine 1 a confronto con la teoria di

Pellegrini.

Scomponendo la generica rete con N=1, sia le matrici λ e Σ, sia i vettori Ψp , Ψr , Ψ¯p , Ψ¯r , α, ρ e A delle (2.4)-(2.6) si riducono rispettivamente agli scalari λ, Σ, Ψp,

Ψr, Ψ¯p, Ψ¯r, α, ρ e A (si omettono gli altri pedici, in quanto tutti unitari).

La funzione di trasferimento ad anello chiuso per N=1 vale

λ α A γ A_f − ⋅ + = 1 (2.51)

a cui corrisponde il diagramma a blocchi di Figura 2.6a.

Formule della teoria della reazione di Pellegrini

Le funzioni definite nella scomposizione con N=1 corrispondono esattamente, secondo la Tabella 2.2, a quelle definite nella teoria di Pellegrini in [9] e [11].

Tale corrispondenza, ovviamente, vale a parità di condizioni, cioè se la rete, i nodi di scomposizione, il circuito di inserzione, l’ingresso e l’uscita sono gli stessi.

La funzione di trasferimento calcolata in [8]-[11] è la seguente A β α A γ A_f − ⋅ + = 1 (2.52)

Tabella 2.2 Corrispondenza tra i simboli qui adottati e quelli usati in [9] e [11].

Scomposizione

di ordine N=1 Teoria di Pellegrini

S S U U Af Af Ψp Wp Ψr Wr Ψ¯p W¯p Ψ¯r W¯r γ γ α α ρ ρ A A λ βA oppure −T 6 F F 7 Σ 1/Xi Σp 1/Xp 6 _{Solo in [11].} 7 _{Vedi sopra.}

Capitolo 2 – Funzione di trasferimento 38

La (2.52) corrisponde al diagramma a blocchi di Figura 2.6b.

Le quantità β e A della (2.52) sono così definite (la condizione S=0 indica che è attivo solamente il generatore indipendente Wp):

0 = = S r U W β _(2.53) 0 = = S p W U A (2.54)

La quantità β è una funzione di rete, in quanto nella formula non compare l’unico generatore attivo Wp. A invece è una funzione di trasferimento.

Il prodotto βA, ché vale

0 0 0 _{= =} = = ⋅ = S p r S p S r W W W U U W A β (2.55)

è una funzione di trasferimento definita guadagno di anello.

Vista la corrispondenza di Wr e Wp in Tabella 2.2, la definizione di βA coincide

con la definizione di λ in (2.3), che per N=1 vale p r Ψ Ψ λ= _(2.56)

In base alla corrispondenza appena vista, la scomposizione multipla può essere vista come una estensione, al caso di reazione multipla, della scomposizione di Pellegrini.

Figura 2.6 Diagrammi a blocchi di una rete reazionata: (a) secondo la scomposizione multipla

con N=1; (b) secondo la scomposizione di Pellegrini. I due diagrammi corrispondono, in quanto λ=βA, Ψr=Wr, Ψp=Wp.

2.4 Relazione tra la scomposizione multipla e la teoria di

Bode generalizzata.

L’analisi della rete mediante scomposizione multipla viene messa in relazione con l’estensione della teoria di Bode al caso di anello di reazione multivariabile, a cui ci riferiremo col termine teoria di Bode generalizzata.

Teoria di Bode generalizzata.

I concetti della teoria generale della reazione, formulata da Bode [3], sono stati estesi al caso multivariabile da parte di vari autori in [5]-[7] e [13]. In particolare, Sandberg [6] considera una generica rete a due porte (Figura 2.7) con ingresso S

(a) (b) γ A β U p r Ψ Ψ ≡ S α γ A λ U p r Ψ Ψ ≡ S α

Capitolo 2 – Funzione di trasferimento 40

ed uscita U, indipendentemente tensioni o correnti, in cui sono messe in evidenza M variabili controllate (generatori dipendenti) Θ1 ,…, Θj ,…, ΘM linearmente

dipendenti dalle N variabili di controllo Φ1 ,…, Φi ,…, ΦN.

Figura 2.7 Esempio di rete in cui sono messi in evidenza i generatori controllati Θ1 ,…,Θj ,…,ΘM e le variabili di controllo Φ1 ,…,Φi ,…,ΦN . RLN S Vu u I 1 q 1 p Φ i p Φ 1 t i t N q N t 1 q′ i q′ i q N q′ N p Φ 1 Θ 2 p Φ 2 t 2 q′ 2 q j Θ C Z M Θ

Tali variabili, indipendentemente tensioni o correnti, sono legate dall’equazione di vincolo

Θ=XΦ (2.57)

dove X è una matrice di coefficienti.

Si considera, per ora, che le variabili Θj siano relative a generatori indipendenti.

Pertanto, l’uscita U e il vettore Φ delle variabili di controllo possono essere

espressi come sovrapposizione degli effetti dell’ingresso S e del vettore Θ:

Θ B + ⋅ =d S U (2.58) Θ C E Φ= S+ (2.59)

con d scalare e B, A e Cmatrici.

I vettori e le matrici delle (2.57)-(2.59) sono mostrati di seguito

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = M Θ Θ Θ M 2 1 Θ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = MN M M N N X X X X X X X X X L M M M M L L 1 1 2 22 21 1 12 11 X ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = N Φ Φ Φ M 2 1 Φ (2.60)

[

B1 B2 L BM

]

= B ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = N E E E M 2 1 E ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = NM N N M M C C C C C C C C C L M M M M L L 1 1 2 22 21 1 12 11 C (2.61)

Capitolo 2 – Funzione di trasferimento 42

Figura 2.8 Grafo di flusso della rete di Figura 2.7 ed equazioni corrispondenti.

Per le formule (2.57)-(2.59), Sandberg fa corrispondere alla rete di Figura 2.7 il grafo di flusso8 in Figura 2.8.

Per calcolare la funzione di trasferimento Af =U/S della rete in esame, si cerca

dapprima l’espressione di Θ in funzione dell’ingresso S, per poi sostituirla nella (2.58).

Per far questo, si moltiplicano a sinistra per X ambo i membri della (2.59) e si ha Θ C X E X Φ X = S+ (2.62)

Per l’equazione di vincolo (2.57), il primo membro della formula sopra corrisponde a Θ, pertanto vale

Θ C X E X Θ= S+ Θ C X E X Θ I_M = S+

[

I_M −XC

]

Θ=XES

[

I_M −XC

] [

−1I_M −XC

]

Θ=

[

I_M −XC

]

−1XES

[

_M

]

S MΘ I XC XE I = − −1

[

I_M XC

]

XES Θ= − −1 (2.63)

8 _{Per i grafi di flusso, vedere [16], oppure l’Appendice C.9 di [1], o i complementi al Capitolo 1 di}

[20]. Per come sono definiti, oltre che per gli scalari, i grafi di flusso sono validi anche per matrici e vettori se si rispettano le delle regole del prodotto e della somma tra matrici.

S Φ Θ U C X E B d Φ X Θ= Θ C E Φ= S+ Θ B + ⋅ =d S U

in cui IM è la matrice identica di ordine M, mentre il prodotto XC dà luogo ad una

matrice quadrata, anch’essa di ordine M.

Da qui in poi, si procede diversamente rispetto a [6], applicando la seguente identità

[

_{I X C}

]

1_{X X}

[

_{I C X}

]

−1 × × × × − × × = − − _{M N N M M N M N N N M M N} M (2.64)

dimostrata in [15]9 _{e valida per [I}

M –XC] non singolare10 e per X, C matrici

generalmente rettangolari.

Tale identità permette di riscrivere la (2.63) nella forma

[

I_N CX

]

ES X

Θ= − −1 (2.65)

Sostituendo quest’ultima espressione di Θ nella (2.58) e dividendo ambo i membri

per S, si ottiene la funzione di trasferimento ingresso-uscita Af =U/S

[

]

S S d U = ⋅ +BX I_N −XC−1E (2.66)

[

I XC

]

E X B − −1 + = _N f d A (2.67)

Corrispondenza con la scomposizione multipla.

Come già detto, la scomposizione multipla di una rete dipende dalla scelta dei tagli, che è arbitraria. Pertanto, volendo trovare una corrispondenza tra le equazioni della teoria di Bode generalizzata e la scomposizione multipla, quest’ultima andrà opportunamente scelta tra tutte quelle possibili.

9 _{Pag. 57, formula (20).}

Capitolo 2 – Funzione di trasferimento 44

Comparando il grafo di flusso della rete relativo alle (2.57)-(2.59) in Figura 2.8 (riportato per praticità in Figura 2.9a) con quello di una generica rete multiscomposta, in Figura 2.9b (equivalente al diagramma a blocchi di Figura 2.4), si vede che una scomposizione adatta è quella corrispondente al taglio del ramo X del grafo di flusso di Figura 2.9a.

Figura 2.9 Grafi di flusso e relative equazioni: (a) della rete originaria di Figura 2.7; (b) della

generica scomposizione multipla; (c) della rete multiscomposta di Figura 2.10; (d) trasformazione di (c). S Ψr _U λ α A γ p Ψ A + ⋅ =γ S U p r α λΨ Ψ = ⋅S+ S Ψr≡Φr U Θ C X E B d p p Φ Ψ ≡ Θ B + ⋅ =d S U Θ C E Ψr = S+ p Ψ X Θ= (b) (c) p Ψ S Φ Θ U C X E B d Φ X Θ= Θ C E Φ= S+ Θ B + ⋅ =d S U (a) S Ψ_r≡Φ_r U X C E BX d p p Φ Ψ ≡ (d) p r E CXΨ Ψ = S+ p Ψ X B + ⋅ =d S U

Rimane da scegliere se fare il taglio a monte o a valle di X, cioè in corrispondenza rispettivamente delle variabili di controllo Φ o delle variabili controllate Θ

(generatori dipendenti).

Si sceglie il taglio a monte di X, perché ha il vantaggio che tutti i tagli della rete,

indicati in Figura 2.7 e scomposti in Figura 2.10, sono unidirezionali.

Figura 2.10 Scomposizione della rete di Figura 2.7, corrispondente al grafo di flusso di Figura 2.9c.

RLN S Vu u I 1 q 1 p Φ i p Φ 1 t i t 0 1= p Ψ 1 p Ψ i p Ψ N p Ψ N q N t 1 q′ 0 = i p Ψ 0 = N p Ψ i r Ψ N r Ψ 1 r Ψ i q′ i q N q′ N p Φ 1 Θ 2 p Φ 2 t 2 p Ψ Ψp₂=0 2 r Ψ 2 q′ 2 q j Θ C Z M Θ 0 1= p Ψ 0 2= p Ψ 0 = N r Ψ 0 = i r Ψ

Capitolo 2 – Funzione di trasferimento 46

Pertanto le immittenze di taglio sono immediatamente calcolabili con la (2.47) e valgono Σ_pi =Ψ_pi Ψ_pi =0, cioè Z_pi =V_pi I_pi =0 se Φpi≡Ψpi è una corrente, e

0 = = _{pi pi} i p I V Y se Φpi≡Ψpi è una tensione.

Le funzioni d, E, X, B e C rimangono invariate perché, come si vede dalla comparazione tra la Figura 2.7 e la Figura 2.10, la parte di circuito collegata ai nodi qi e ti è la stessa sia prima sia dopo la scomposizione.

In questo modo, le variabili Φ1 ,…,Φi ,…,ΦN vengono sdoppiate:

Φr1 ,…,Φri ,…,ΦrN corrispondono alle variabili di taglio Ψr1 ,…,Ψri ,…,ΨrN ;

Φp1 ,…,Φpi ,…,ΦpN sono le variabili di controllo dei generatori dipendenti e

coincidono necessariamente con i generatori dei circuiti di inserzione Ψp1 ,…,Ψpi ,…,ΨpN.

Infatti, se la generica Φi è una tensione (corrente), il relativo generatore Ψpi è

necessariamente di tensione (corrente), poiché si trova in un circuito aperto (corto circuito).

Pertanto si ha

Ψp ≡ Φp Ψr ≡ Φr (2.68)

e il grafo di flusso risultante, relativo alla rete multiscomposta di Figura 2.10, è quello di Figura 2.9c, da cui appare chiaro che l’equazione di vincolo Θ=XΦ

della rete originaria si traduce nella relazione tra i generatori controllati ed i generatori indipendenti dei circuiti di inserzione, che vale

Nella rete RLN, ciascuna variabile Ψri è localizzata in corrispondenza di Φi nella

rete RL0, quindi nella rete multiscomposta vale ancora la (2.59) con Ψr in luogo di Φ, cioè Θ C E Ψ_r = S + (2.70) Θ B + ⋅ =d S U (2.71)

Alle formule (2.69)-(2.71) corrisponde il grafo di flusso di Figura 2.9c.

Per la (2.69), le (2.70) e (2.71) si possono esprimere in funzione di Ψp :

p r E CXΨ Ψ = S + (2.72) p Ψ X B + ⋅ =d S U _(2.73)

da cui il grafo di flusso di Figura 2.9d.

Confrontando quest’ultime con le formule (2.16) e (2.32) relative alla generica rete multiscomposta p r α λΨ Ψ = ⋅S+ p Ψ A + ⋅ = γ S U si ha la seguente corrispondenza

verificabile anche dal confronto tra i due grafi di Figura 2.9b e Figura 2.9d.

X C