Modellistica per sistemi meccanici

Modellistica di sistemi meccanici

» Leggi fondamentali per la meccanica longitudinale

> Il punto fondamentale per ricavare un modello di un sistema meccanico

in moto longitudinale è la legge di Newton:

dt dv m F =

dove F (N) è la risultate delle forze agenti sulla massa m (kg), v (m/s) è la velocità della massa e dv/dt è l’accelerazione.

> Un’automobile di massa 1500 kg accelera da 0 a 100 km/h in 6 s. Determinare la forza media applicata all’automobile.

> Un’automobile necessita di una forza media di 8000N per accelerare da 0 a 100 km/h in 6 s. Determinare la massa dell’automobile.

Forza di attrito e resistenza meccanica

> Anche detta attrito, si definisce come la forza necessaria a causare un aumento

della velocità di 1 m/s m / s N , v F b R_m ⋅ ∆ ∆ = =

> La resistenza meccanica che produce una forza proporzionale (o dipendente)

dalla velocità si dice attrito viscoso. Altrimenti si parla di attrito Coulombiano a

F

v

Attrito di Coulomb Attrito viscoso

bv

F

F

_a

=

_c

+

Attrito viscoso a

F

v

Attrito di Coulomb 2 c a F bv F = +

> In base ai dati riportati ed assumendo un attrito viscoso lineare, determinare la

forza di attrito

s

/

m

5

.

10

v

,

N

1

.

7

F

₁

=

₁

=

Forza elastica e capacità meccanica

> Anche detta (inverso della) costante elastica, si definisce come lo spostamento

necessario ad incrementare di una unità la forza elastica N / m , F x k 1 C_m ∆ ∆ = =

> Determinare la costante elastica di una molla che a seguito di una forza applicata di 100N si deforma di 30 cm.

> Un possibile andamento nonlineare della forza elastica è del tipo 3 2 1 d e F k x k x F = + +

Modellistica di sistemi meccanici

» Modello di un sistema massa-molla

)

t

(

y

m

)

t

(

y

b

)

t

(

ky

)

t

(

u

−

−

&

=

&

&

> La somma delle forze agenti sulla massa è pari alla massa per l’accelerazione:

> La funzione di trasferimento:

k

bs

ms

1

)

s

(

U

)

s

(

Y

)

s

(

P

₂

+

+

=

=

y(t) F=u(t) ky(t)

)

t

(

y

b&

y(t) 1 ms2_+bs+k u(t) y(t) 1 s 1 ms b + − + − u(t) k

)

t

(

y&

Modellistica di sistemi meccanici

» Modello di un sistema massa-molla con caratteristica nonlineare della molla ) t ( y m ) t ( y b ) t ( y k ) t ( y k ) t (

u − ₁ − ₂ 3 − & = && > Punto di equilibrio:

> Dimensionamento dei parametri: m=1 kg, y=-3:.1:3 m, essendo mg=10 N possiamo assumere k₁y_max=3 N e quindi k₁=1 N/m, k₂=0.1 N/m.

{

u(t) = u, y&(t) = 0, &y&(t) = 0

}

⇒ y(k₁ + k₂y2) = u

> Possiamo risolvere l’equazione nonlineare per via grafica

> Il modello linearizzato diventa

) t ( yˆ m ) t ( yˆ b ) t ( yˆ ) y k 3 k ( ) t (

uˆ − ₁ + ₂ 2 − & = &&

2 2 1 2

y

k

3

k

bs

ms

1

)

s

(

P

+

+

+

=

Modellistica di sistemi meccanici

» Sistema massa-molla con molla nonlineare

> Il modello linearizzato può essere impiegato per progettare un controllore

con le tecniche utilizzate per i sistemi lineari

> La simulazione va poi verificata col modello nonlineare di partenza: P(s) C(s) + – r(t) e(t) uˆ(t) yˆ(t) 2 2 1 2 y k 3 k bs ms 1 ) s ( P + + + = y(t) 1 s 1 ms b + − + − k₁ k₂(·)2 − u ) t ( uˆ ₊ + _u(t) C(s) + −

)

t

(

y&

) t ( r y + ) t ( e

Modellistica di sistemi meccanici

» Leggi fondamentali per la meccanica rotazionale

> Il punto fondamentale per ricavare un modello di un sistema meccanico

in moto rotazionale è ancora la legge di Newton da utilizzarsi nella forma: ω

= J& T

dove T (Torque, Nm) è la risultate delle coppie agenti sull’inerzia [J]=kg m2

Modellistica di sistemi meccanici

» Modello di un pendolo

> Il modello è nonlineare e va quindi linearizzato nell’intorno di un punto di equilibrio (si ricordi che per un sistema nonlineare il punto di

equilibrio può non essere unico) mg l θ T









=

θ

⇒

=

θ

−

mgl

T

sin

0

)

t

(

1

&

&

{

θ(t) = θ + θˆ(t), T(t) = T + Tˆ (t)

}

⇒ J&θˆ&(t) = Tˆ(t) − (mgl cos θ) θˆ(t) )) t ( ( sin mgl ) t ( T ) t ( Jθ&& = − θ 1 2 cos mgl Js 1 ) s ( Tˆ ) s ( ˆ ) s ( P θ + = θ

= > Dimensionamento dei parametri

Modellistica di sistemi meccanici

» Modello di un pendolo 1 2 cos mgl Js 1 ) s ( Tˆ ) s ( ˆ ) s ( P θ + = θ = 1 Is2 ) ( sin ⋅ + − ) t ( Tˆ

θ

(

t

)

T + mgl T(t) C(s) + −

)

t

(

r

+

θ

e(t) + 1 Js2

θ

cos

mgl

+ − ) t ( Tˆ ) t ( ˆ θ C(s) + −

)

t

(

r

e(t)

Modellistica di sistemi meccanici: altri esempi

» Modello della sospensione

x m ) r x ( k ) x y ( k ) x y (

b & − & + ₂ − − ₁ − = ₁&&

> La somma delle forze agenti su ciascuna massa è nulla:

> Scelte come variabili di stato la posizione e la velocità delle masse, si

ricavi la corrispondente rappresentazione nello spazio di stato, gli schemi a blocchi e la funzione di trasferimento complessiva.

k₁ 1 m 2

m

k_{2 b} x y r

y

m

)

x

y

(

k

)

x

y

(

b

&

−

&

−

₂

−

=

₂

&

&

−

> Le forze di gravità sono state trascurate in

quanto operano in maniera uguale ed opposta su ciascuna molla

Modellistica di sistemi meccanici : altri esempi

» Modello di una piattaforma oscillante

2 1 2 2 2 L mx 12 M J , x Lsin h 2 y , x sin 2 L h = = = = +

> La massa m può scivolare sulla piattaforma di massa M

> L’uscita è la differenza delle altezze degli estremi della piattaforma

> Il controllo agisce applicando una forza u alla massa m, in direzione parallela alla piattaforma

2 1

1

u

B

x

mg

sin

x

x

m

&

&

=

−

&

+

m k_{1 b} 1 M k_{2 b} 2 L/2 L/2 u m mg x2 h x₁ h b 2 L 2 bh 2 L 2 x cos mg x x

Modellistica di sistemi meccanici : altri esempi

» Modello della frizione automobilistica

> Scelte come variabili di stato la velocità del motore e la differenza tra la velocità del motore e quella del disco di frizione, ricavare la corrispondente rappresentazione nello spazio di stato e gli schemi a blocchi

> Ricavare le funzioni di trasferimento del sistema

Ie Iv ω_e ωv T_e T_cl T_cl T_l c e e e e e T b T J ω& = − ω − L v v c v v

T

b

T

J

ω

&

=

−

ω

−

engine speed

clutch disk speed

(representative of the vehicle speed) load torque clutch torque: engine torque

(

e v

)

n cl kF sign T = ω −ω

Dynamic models of the driveline

• 6

th

-order model (detailed)

)

,

)

i

i

/(

,

,

,

,

(

z

T

=

ω

_e

ω

_c

θ

_c

−

θ

_m

ω

_m

θ

_{m g d}

−

θ

_w

ω

_w

Model used for the controller design Model used for validation and

simulations of the closed loop system

)

,

(

z

T

=

ω

_e

ω

_c

• With the assumption

ω

_c

=

ω

_m

= i

_g

i

_d

ω

_w

a simplified 2

nd

-order

model can be obtained

6

th

order hybrid model of the driveline

GRACE c e e e

T

T

J

ω

&

=

−

“Forcing” torque

“Load” torque

Engine

Wheels

T : 1/(i

_g

i

_d

)

ω

: (i

_g

i

_d

)

J : 1/ (i

i

)

2

6

th

order slipping model of the driveline

GRACE c e e e

T

T

J

ω

&

=

−

)

(

)

(

k

T

J

_c

ω

&

_c

=

_c

−

_cm

θ

_c

−

θ

_m

−

β

_cm

ω

_c

−

ω

_m

)

(

)

(

k

)

i

,

i

(

J

_{eq g d}

ω

&

_m

=

_cm

θ

_c

−

θ

_m

+

β

_cm

ω

_c

−

ω

_m

[

k

(

/(

i

i

)

)

(

/(

i

i

)

)

]

i

i

1

w d g m tw w d g m tw d g

ω

−

ω

β

+

θ

−

θ

−

)

(

T

)

)

i

i

/(

(

)

)

i

i

/(

(

k

J

ω

&

=

θ

−

θ

+

β

ω

−

ω

−

ω

“Forcing” torque

“Load” torque

Reduced order model: rigid mainshaft

GRACE c e e e

T

T

J

ω

&

=

−

ω

_c

=

ω

_m

θ

_c

=

θ

_m

+

θ

₀

[

k

(

/(

i

i

)

)

]

i

i

1

T

))

i

,

i

(

J

J

(

_{tw cw tw c g d w} d g c c d g eq c

+

ω

&

=

−

∆

θ

+

β

ω

−

ω

)

(

T

)

)

i

i

/(

(

k

J

_w

ω

&

_w

=

_tw

∆

θ

_cw

+

β

_tw

ω

_{c g d}

−

ω

_w

−

_load

ω

_w

Reduced order model: rigid driveshaft

GRACE c e e e

T

T

J

ω

&

=

−

By assuming

ω

_c

=

ω

_m

= i

_g

i

_d

ω

_w

, from the previous reduced

order model it is possible to obtain

with

)

,

i

,

i

(

T

T

)

i

,

i

(

J

_{v g d}

ω

&

_c

=

_c

−

_{L g d}

ω

_c w J ) i , i ( J J ) i , i ( J = + + β_v(i_g,i_d) = βw T_L(i_g,i_d) = Tload

Load torque model

GRACE

)

v

f

v

f

f

(

i

i

r

i

i

)

(

T

)

i

,

i

(

T

_{0 1 2} 2 d g d g w load d g L

=

+

+

ω

=

2 c 3 d g 3 2 2 c 1 2 d g 2 0 d g d g L

)

i

i

(

r

)

6

.

3

(

f

f

)

i

i

(

r

6

.

3

f

i

i

r

)

i

,

i

(

T

=

+

ω

+

ω

)

,

i

,

i

(

T

~

)

i

,

i

(

)

i

,

i

(

T

_{L g d}

=

β

_{v g d}

ω

_c

+

_{L g d}

ω

_c2 c e e e

T

T

J

ω

&

=

−

)

,

i

,

i

(

T

~

)

i

,

i

(

T

)

i

,

i

(

J

_{v g d}

ω

&

_c

=

_c

−

β

_{v g d}

ω

_c

−

_{L g d}

ω

2_c

Dry clutch hybrid model

GRACE c e e e

T

T

J

ω

&

=

−

L c v c c v

T

T

J

ω

&

=

−

β

ω

−

L e v e e v e

J

)

T

T

J

(

+

ω

&

=

−

β

ω

−

Slipping phase

c e

≠

ω

ω

1

d

=

Engaged phase

c e

=

ω

ω

0

d

=

c e

=

ω

ω

gear shift

L eng sl eng sl

d

A

(

1

d

)]

z

[

B

d

B

(

1

d

)]

u

T

A

[

z

&

=

+

−

+

+

−

+

Γ

[

]

T c e

z

=

ω

ω













β

−

=

v v sl

J

/

0

0

0

A

_











+

β

−

+

β

−

=

)

J

J

/(

0

0

)

J

J

/(

A

v e v v e v eng









−

=

1

/

J

e

1

/

J

v

B

B

=

_



1

/(

J

e

+

J

v

)

0

_



Modellistica di sistemi meccanici: altri esempi

» Modello di un veicolo con due unità

> Le coordinate dei punti P₀ e P₁ sono esprimibili in funzione degli angoli e delle lunghezze degli alberi:

0 0 1 1 1 0

x

L

cos

L

cos

x

=

+

θ

+

θ

0 0 1 1 1 0

y

L

sin

L

sin

y

=

−

θ

+

θ

P₁ 0 θ 1 θ P₀ L₁ L₀ x y

> Si può ipotizzare un moto rettilineo uniforme per entrambi i carrelli: i i i i i i

v

cos

,

y

v

sin

x

&

=

θ

&

=

θ

) ( sin L ) cos( v v₁ = ₀ θ₀ + θ₁ + ₀θ&₀ θ₀ + θ₁ ) ( L ) ( sin v_{1 0 1 0 0 1} 1 _{+ θ + θ} θ + θ − θ + θ =