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testo dell'appello scritto del 26 gennaio 2016

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Universit`a degli Studi di Udine Anno Accademico 2015/2016

Dipartimento di Matematica e Informatica Corso di Laurea in Matematica

Equazioni Differenziali

Appello del 26 gennaio 2016

N.B.: scrivere nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio consegnato. `E ammesso l’utilizzo degli appunti del corso. Tempo a disposizione: 3 ore

1 Data l’equazione differenziale

y0 = ( 3 √ y p3 y2− t2 ln(ty2) se y 6= 0 0 se y = 0,

a) studiare l’esistenza locale per i relativi problemi di Cauchy. Discutere l’unicit`a delle soluzioni dei problemi di Cauchy, in particolare dire per quali dati iniziali `e possibile applicare il Teorema di Cauchy-Lipschitz. Valgono le ipotesi dei teoremi di esistenza globale?

b) Trovare le eventuali soluzioni costanti, le regioni dove le soluzioni sono crescenti/decrescenti e rappresentarle nel piano t − y;

c) detta y : ]α, β[→ R la generica soluzione massimale, discutere l’esistenza globale in futuro di y(t) e studiarne il comportamento in un intorno di β, calcolando eventualmente il limt→β−y(t);

d) discutere l’esistenza globale in passato di y(t) e studiare il limt→α+y(t). Tale limite pu`o, a

priori, essere infinito? E finito? Verificare analiticamente le proprie affermazioni;

e) dimostrare che u(t) = (t2− a2)3/2 verifica u0(t) < f (t, u(t)) in un intorno destro di a. Utilizzarla

per provare che esistono problemi di Cauchy senza unicit`a delle soluzioni massimali. Quali? f) Dimostrare che esistono soluzioni che in futuro tendono all’infinito.

2 Data l’equazione differenziale lineare

a(t)y00+ b(t)y0+ c(t)y = 0,

con a(t) 6= 0, si assuma di conoscerne una soluzione y1(t) non nulla.

a) Verificare che `e possibile trovare un’altra soluzione della forma y2(t) = z(t)y1(t), dove z `e

un’opportuna funzione non nulla e non costante. Pi`u precisamente si trovi l’equazione differen-ziale che deve essere soddisfatta da z; si calcoli infine una formula (integrale) esplicita per z in dipendenza da a, b, c e y1;

b) provare che y1 e y2 sono linearmente indipendenti; trovare la soluzione generale del problema

(

4t2y00+ 4t3y0+ (2t2− 3)y = 0

y(1) = 0, y0(1) = 1, t > 0,

dopo aver verificato che y1(t) = 1/

t `e effettivamente una soluzione dell’equazione.

3 Utilizzando esclusivamente i risultati sull’esistenza e unicit`a per le soluzioni delle equazioni differen-ziali e le propriet`a di sen x e cos x legate alle derivate, dimostrare la formula di addizione:

cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y, per ogni x, y ∈ R.

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