Problema di Cauchy

Problema di Cauchy

Problema di Cauchy

 





 

0 0

) (

) , (

y x

y

y x f y

Sia

f : R

 D  R , con D aperto , ( x

, y

)  D

y = y(x) è detta soluzione (locale) del Problema di Cauchy se è definita ed è derivabile in un intorno del punto x₀, tale che in tale intorno

)) ( , ( )

( x f x y x

y  

 







 

4 ) 0 (

1 y

y y

 1



  y

y  

     

 ^e   ^e

^{dx c}

y

( 1 )

 ^{e dx c}  ^e  ^{e c} 

e

y 



 ⁽  ^{1 )}  



Problema di Cauchy

e

c y  1  

4 ) 0 (  y

1

4   c  e

 3

c

è soluzione



 





 

0 ) 0 (

23

y y

y y  0

dx y

dy 

23

 ^  ^dx

y dy

23 3

3 



 



   x c

y 27

x

y 

Se

y  0 :

altra soluzione

Problema di Cauchy

 0

y

TEOREMA di PEANO

Se 𝑓(𝑥, 𝑦) è continua in un aperto 𝐷 ⊆ 𝑅² e (𝑥₀, 𝑦₀) ∈ 𝐷, allora esiste almeno una soluzione del problema di CAUCHY

 





 

0 0

) (

) , (

y x

y

y x f y

Problema di Cauchy

Teorema di CAUCHY (di esistenza e unicità locale)

1. 𝑓 è continua in D

2. 𝑓 è localmente LIPSCHITZIANA in D rispetto a 𝑦 e uniformemente in 𝑥, allora

∀ (𝑥₀, 𝑦₀) ∈ 𝐷,  𝐼_𝛿 = [𝑥₀ − 𝛿, 𝑥₀+ 𝛿] nel quale è

definita la soluzione 𝑦(x) del Problema di Cauchy e tale soluzione è unica.

Sia 𝑓: 𝐷 ⊆ 𝑅² → 𝑅, con D aperto. Se:

Definizione:

Si dice che 𝑓(𝑥, 𝑦) è localmente LIPSCHITZIANA in D rispetto a 𝑦 e uniformemente in 𝑥, se ogni punto di D ha un intorno K in cui vale:

| f(x,y₁)-f(x,y₂) | ≤ L_K |y₁-y₂|

la costante L_K può dipendere dall’intorno

Problema di Cauchy

Corollario: Sia f(x,y) una funzione definita in un intorno del punto (x_o,y_o). Se f(x,y) e la sua derivata parziale f_y(x,y) sono continue nell’intorno del punto, allora f è localmente Lipschitziana rispetto a y, uniformemente in x.

(cioè esiste un'unica funzione y= y(x) continua e derivabile nell’intorno del punto (x_o, y_o), soluzione del problema di Cauchy.)