16 - Teoremi fondamentali sulle derivate

Teorema di ROLLE

• Ipotesi: sia y=f(x) continua in [a,b] e derivabile in

(a,b) con f(a)=f(b).

• Tesi:

Dimostrazione (facoltativa).

Se la funzione è costante f(x)=k il teorema è banalmente vero essendo:

( , ) con

'( ) 0

c

a b

f c

! "

=

'( ) 0

( , )

Se la funzione non è costante, per il teorema di

Weierstrass ammette minimo e massimo assoluto in

[a,b] di cui almeno uno in (a,b). Poiché la f(x) è

derivabile in (a,b) allora avremo almeno un punto in cui f’=0.

• Graficamente: sotto queste ipotesi, esiste almeno un punto del grafico con tangente orizzontale.

Graficamente

1

c

Esempio

• Sia nell’intervallo [-1,1]. La

f(x) è continua in [-1,1] e derivabile in (-1,1). Inoltre si

ha f(-1)=f(1)=0  soddisfatte le ipotesi. 3

( )

y

=

f x

= !

x

x

( 1,1) con

'( ) 0

1

3

'( ) 3

1

c

f c

f c

c

c

c

! " # $

=

=

$ !

= ! = ±

Teorema di CAUCHY

• Ipotesi: Siano y=f(x) e y=g(x) continue in [a,b] e derivabili in (a,b) con

• Tesi:

'( ) 0

( , )

g x

! " #

x

a b

( )

( )

'( )

( , ) con

( )

( )

'( )

f b

f a

f c

c

a b

g b

g a

g c

!

" #

=

!

Teorema di LAGRANGE (o del valor medio)

• Ipotesi: sia y=f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b)

• Tesi:

• Geometricamente: esiste almeno un punto del grafico per il quale la tangente è parallela alla retta congiungente (a;f(a)) e

( )

( )

( , ) con

'( )

f b

f a

c

a b

f c

b a

!

" #

=

!

Graficamente

Esempio

log ,

[1, ]

y

=

x x

!

e

f (e)

! f (1)

e

! 1

=

log e

! log1

e

! 1

=

1

e

! 1

= f '(c) =

1

c

c

= e ! 1"(1,e)

Esempio

Data la funzione , verificare se esiste

almeno un punto interno a [-1,2] nel quale la derivata eguaglia il rapporto incrementale.

La funzione è continua in [-1,2] e derivabile in (-1,2) quindi per il teorema di Lagrange, posto

Si ha che: 4

y

=

x

1,

2,

a

= !

b

=

c x

=

3 3 ₃

( )

( )

( , ) con

'( )

(2)

( 1)

4

2 ( 1)

15

5

4

3

4

f b

f a

c

a b

f c

b a

f

f

c

c

c

!

" #

=

!

! !

$

=

! !

$

=

$ =

Teorema di DE L’HOSPITAL

• Si applica alla risoluzione di limiti che si presentano nelle forme indeterminate seguenti:

lim

f (x)

g(x)

=

0

0

,

±"

±"

lim

f (x)

g(x)

=

0

0

,

±"

±"

Siano f(x) e g(x) derivabili in un intorno di c (o infinito), con nell’ intorno di (o infinito), e

supponiamo

g x

'( ) 0

!

lim

f (x)

g(x)

=

0

0

,

"

"

Se esiste lim

f '(x)

g '(x)

allora esiste anche

lim

f (x)

g(x)

x

Esempio

• Calcolare il limite:

• Calcoliamo il limite del quoziente delle derivate:

• Di conseguenza esiste anche il primo limite e vale 1

lim

ln(1

+ x)

x

=

0

0

lim

1

1

+ x

= 1

Esempio

• Calcolare il limite:

• Quindi il limite cercato vale 1

lim

e

" 1

x

=

0

0

lim

f '(x)

g '(x)

= lim

e

1

= 1

Esempio

• Calcolare il limite:

• Quindi il limite cercato vale a 0

(1

)

1 0

lim

0

x

x

+

_{" =}

'( )

(1

)

lim

lim

'( )

1

f x

a

x

a

g x

# +

=

=

Osservazioni

• La condizione del teorema è solo sufficiente, ma non necessaria.

• La regola può essere applicata ripetutamente alle derivate successive se il limite del quoziente delle derivate presenta ancora una forma indeterminata.

'( )

''( )

lim

lim

....

'( )

''( )

f x

f x

g x

g x

=

=

Osservazioni

• Una forma indeterminata

Si può ricondurre alla forme precedenti osservando che:

lim ( )

( ) 0

f x g x

"

= " #

Esempio

(

)

0 0

log

lim

log

lim

1

x

x

x

x

"

#

=

=

"

1

'( )

lim

lim

lim (

) 0

1

'( )

f x

_x

x

g x

x

=

"

=

" =

Esempio

lim

lim

x

e

=

(

)

lim

log

0

lim

1

Esempio

lim (

1)

lim

x

e

+

=

1

log(

1)

lim

log(

1)

lim

3

lim

0

1

x

x

x

x

x

x

+

"

#

+ =

=

=

"

=

=

+

$

+

=

=

Le forme indeterminate

sono dunque riconducibili a forme del tipo:

e quindi risolvibili con de l’Hospital

0

,

0

!

!

0 ! ", 0

,

"

,1