Esercizi sulle funzioni - 5
aE Liceo Scientifico 04/11/2013
Esercizio 1. Si consideri la funzione
f(x) = 1 e1x− 1 2 se x 6= 0 1 se x = 0 .
e si verifichi che non `e continua in x = 0. Che tipo di discontinuit`a presenta in tale punto? `E continua a sinistra?
(Maturit`a 2011 PNI suppletiva - modif.)
Esercizio 2. Si consideri la funzione f (x) = (3 −x)√x+ 3. Determinare la derivata di f . Determinare l’equazione
della retta t tangente al suo grafico nel punto di intersezione con l’asse delle ordinate e si calcoli l’area del triangolo che essa forma con gli assi cartesiani. Calcolare lim
x→−3+f
′(x). Determinare infine il punto di massimo assoluto della
funzione. (Maturit`a 2011 PNI suppletiva - modif.)
Esercizio 3. Si determinino a e b in modo che il grafico della funzione y = ax+b
passi dai punti (1, 4) e (3, 8).
(Maturit`a 2010 suppletiva)
Esercizio 4. Si consideri la funzione f (x) = x
2+ 1
x2+ 2 x . Determinare i punti di massimo e minimo relativi. Si
calcolino a, b, c in modo che risulti x
2+ 1
x2+ 2 x= a +
b
x+
c
x+ 2.(Maturit`a 2010 PNI suppletiva - modif.)
Esercizio 5. Si dimostri che per gli zeri x1 e x2di una funzione f (x) = a x2+ b x + c risulta f′(x1) + f′(x2) = 0
e si dia una interpretazione geometrica della affermazione dimostrata. (Maturit`a 2010 PNI suppletiva)
Esercizio 6. Si determini il punto P della parabola 4 y = x2 pi`
u vicino al punto di coordinate (6, −3).
(Maturit`a 2010 PNI suppletiva)
Esercizio 7. Trovare i punti di massimo e minimo relativi della funzione f (x) = tan x + cot x .
(Maturit`a 2011 PNI suppletiva - modif.)
Esercizio 8. Dimostrare che la funzione f (x) = arcsin x + arccos x `e costante sull’intervallo [−1, 1]. Trovare C in modo che risulti arcsin x + arccos x = C per ogni x ∈ [−1, 1].
Esercizio 9. Dimostrare che la funzione f (x) = arctan x + arctan1
x `e costante a tratti e si dia un’espressione pi`u
semplice per f .
Esercizio 10. Trovare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f (x) = sin x cos3x nell’intervallo [0,π
2] .
(Maturit`a 1987)
Esercizio 11. Determinare a e b in modo che il grafico della funzione f (x) = a x eb x2
abbia un massimo assoluto nel punto (1, 2).
Esercizio 12. Trovare i punti di massimo e minimo relativi della funzione f (x) = x − arctan x − 2 ln(x2
+ 1) .
Esercizio 13. Assegnata la funzione f (x) = xx
, trovare il suo punto di minimo assoluto.
Esercizio 14. Dimostrare che la funzione f (x) = √ x
1 + x2 `e crescente su R. Determinare i suoi asintoti.
(Maturit`a 2011 suppletiva - modif.)
Esercizio 15. Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da f (x) = (a x + b) e−x3 + 3 dove a e b
sono due reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette un massimo assoluto nel punto d’ascissa 4 e
che f (0) = 2. (Maturit`a 2011)
Esercizio 16. Trovare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f (x) = x√1 − x2.
(Maturit`a 2010 suppletiva - modif.)
sin ist ro ey =1 co me asi nto to ori zzo nta le des tro . 15 . a =1 ,b =− 1. 16 . Min im oi nm − √ 2 2 ,− 1 2 ,m ass im oi nM √ 2 2 , 1 2 . m (4 , 4− arc ta n4 −ln (2 89 )). 13 . m e −1 ,e −e −1 14 . f ′ (x )= 1 (1 +x 2 ) 3/2 > 0 ∀x ∈R ;f ha la ret ta y =− 1c om ea sin to to ori zzo nta le m 1 (0 , 0) em 2 π 2 , 0 ed il ma ssi mo si tro va in M π 6 , 3 √ 3 16 . 11 . a =2 √ e ,b =− 1 2 . 12 . Ma ssi mo in M (0 , 0), min im oi n ma ssi mi in M = 3 4 π +k π, −2 . 8. C = π 2 . 9. f (x )= ( − π 2 se x< 0 π 2 se x> 0. 10 . Su ll’ in ter val lo [0 , π 2 ]i min im is it ro van oi n 4. Ma ssi mo in M 1− √ 5 2 ,− 1+ √ 5 2 em in im oi nm 1+ √ 5 2 , √ 5− 1 2 ;a =1 ,b = 1 2 ,c =− 5 2 . 6. P (2 , 1). 7. Min im ii nm = π 4 +k π, 2 , t :y =− √ 3 2 x +3 √ 3; are a= 9 √ 3; lim →− x 3 + f ′ (x )= +∞ ;i lg ra fico di f ha un ma ssi mo in M (− 1,4 √ 2). 3. a = √ 2, b =3 . So lu zio ni. 1. Dis co nti nu it`a di pri ma sp eci ec on sa lto =1 ;f ` ec on tin ua as in ist ra in qu an to lim x →0 − f (x )= f (0 ). 2. f ′ (x )= − 3x +3 2 √ x +3 ;
