Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Automation
Robotics and System CONTROL
Corso di laurea in Ingegneria
Meccatronica
ANALISI ARMONICA
CA – 06 - AnalisiArmonica
CA – 06 - AnalisiArmonica
Cesare Fantuzzi (
[email protected]
)
Analisi armonica di sistemi
dinamici
סּ Analisi nel dominio del tempo. Studio
del comportamento dinamico di un sistema (soluzione delle equazioni differenziali lineari, p.e. basata sulla trasformazione di Laplace).
סּ Deduzione della risposta dei sistemi
lineari ad eccitazioni tipiche. Tale procedura di analisi viene
0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tempo (t) y (t )
procedura di analisi viene
comunemente detta analisi nel dominio
del tempo.
סּ Analisi armonica. Un altro metodo per
lo studio dei sistemi di controllo lineari è
l'analisi nel dominio della frequenza o analisi armonica.
סּ Diverso modello matematico dei sistemi
lineari: la funzione di risposta armonica.
-80 -60 -40 -20 0 20 M a g n it u d e ( d B ) 10-2 10-1 100 101 102 -180 -135 -90 -45 0 P h a s e ( d e g ) Diagrammi di Bode Frequency (rad/sec)
Funzione di risposta
armonica
סּ Se si applica a un sistema lineare stazionario asintoticamente
stabile il segnale di ingresso x(t) = X sin(ωωωω t) esaurito il transitorio (in condizione di regime stazionario periodico) l'uscita varia pure con
legge sinusoidale caratterizzata dalla stessa pulsazione ω e può
pertanto essere espressa con la relazione
y(t) = Y(ωωωω) sin(ωωωω t + φφφφ(ωωωω))
Funzione di risposta
armonica
סּ L'ampiezza di y(t) lo sfasamento rispetto all'ingresso sono funzioni di ω.
0 5 x (t ), y (t ), ωωωω= 1 0 5 10 15 20 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Tempo (sec) x (t ), y (t ), ωωωω= 5 x(t) y(t) 0 5 10 15 20 -5 x (t ), y (t ), transitorio regime
Funzione di risposta
armonica
סּ
Si definisce funzione di risposta armonica la funzione F(
ω
),
di variabile reale e a valori complessi:
Essa descrive completamente il comportamento del sistema
in condizione di regime periodico alle varie frequenze ed è
definita nel dominio 0 <
ω
< 1.
Funzione di risposta
armonica
סּ
Teorema (regime sinusoidale dei sistemi lineari stazionari)
Un sistema lineare stazionario con funzione di trasferimento
razionale fratta avente i poli a parte reale negativa
soggetto ad eccitazione sinusoidale presenta, a regime, una
0
}
{
<
ℜ
p
isoggetto ad eccitazione sinusoidale presenta, a regime, una
risposta sinusoidale avente la stessa frequenza dell'eccitazione.
La funzione di risposta armonica F(
ω
) è legata alla funzione di
trasferimento G(s) dalla relazione
)
(
)
(
)
(
ω
G
s
ωG
j
ω
F
j s=
=
=Funzione di risposta armonica
סּ Dimostrazione: Avendo i poli a parte reale negativa, il sistema è asintoticamente
stabile. La trasformata di Laplace del segnale d’ingresso x(t) = X sen(ω t) è
mentre quella del segnale di uscita, a partire da una condizione iniziale di quiete, è data dalla relazione
סּ I poli della funzione a secondo membro sono gli stessi della funzione di trasferimento
G(s), più quelli corrispondenti al segnale di ingresso:
p1 = j ω e p2 = -jω.
Nell'antitrasformata i primi corrispondono a un termine transitorio y0(t) e gli altri a un
Funzione di risposta
armonica
in cui K1 e K2 sono i residui corrispondenti ai poli p1 e p2:
Poichè vale la relazione F(s¤) = F¤(s), si può scrivere
in cui è φ(ω) = arg G(jω).
Data l'ipotesi di stabilità asintotica, per t sufficientemente elevato si può trascurare il termine transitorio y0(t).
Funzione di risposta armonica
סּ Da
סּ Si ottiene infine
da cui la definizione (già vista) di funzione di risposta armonica
Funzione complessa di variabile reale ω: • il modulo rappresenta il fattore di
amplificazione/attenuazione a regime dell’ampiezza di ingressi sinusoidali alla frequenza ω;
• l’argomento lo sfasamento tra ingresso e uscita
Funzione di risposta armonica
סּ Si hanno le seguenti due fondamentali proprietà:
1) Dato che la risposta all'impulso e la funzione di trasferimento si
corrispondono biunivocamente attraverso le operazioni di
trasformazione e antitrasformazione secondo Laplace, si ha che:
La risposta all'impulso di un sistema lineare asintoticamente stabile La risposta all'impulso di un sistema lineare asintoticamente stabile determina univocamente la sua risposta armonica.
Funzione di risposta armonica
??
lineare stazionario asint. stabile • 0 2 4 6 8 10 12 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 10 12 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0 2 4 6 8 10 12 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 10 12 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1??
• • 0 2 4 6 8 10 12 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 10 12 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1•
•
•
•
0 2 4 6 8 10 12 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 10 12 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Valore del modulo e argomento di alla frequenza
