Funzione di Trasferimento Armonica

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Misure Meccaniche e Termiche Caratteristiche Metrologiche degli Strumenti pag. 1

Metodi Matematici per la descrizione di Sistemi Dinamici

Funzione di Trasferimento Armonica

Come abbiamo illustrato precedentemente risulta importante descrivere il comportamento dinamico degli strumenti quando l’ingresso (misurando) risulta un segnale tempovariante.

Metodi Matematici

q_i(t) q_o(t)

STRUMENTO DI MISURA

input output Lettura

L(t) Misura

M(t)

In questa sede verranno presentati dei metodi matematici utili per descrivere in modo sintetico il comportamento di sistemi dinamici. Il caso degli strumenti di misura è un caso particolare. Il metodo resta valido in generale per qualsiasi sistema dinamico.

Riferimento:

Bertolaccini, Bussolati, Manfredi, Elettronica per Misure Industriali, Clup - Cap. 3

Misure Meccaniche e Termiche Caratteristiche Metrologiche degli Strumenti

In generale un sistema dinamico (sistema di misura), sotto ipotesi di sistema lineare e stazionario può essere descritto da una equazione differenziale del tipo:

dove q_i(t)eq_o(t)sono rispettivamente ingresso e uscita del sistema di misura.

Caratteristiche Dinamiche

𝑎 𝑑 𝑞

𝑑𝑡 + 𝑎 𝑑 𝑞

𝑑𝑡 +. . +𝑎 𝑑𝑞

𝑑𝑡+ 𝑎 𝑞 = 𝑏 𝑑 𝑞

𝑑𝑡 + 𝑏 𝑑 𝑞

𝑑𝑡 +. . +𝑏 𝑑𝑞 𝑑𝑡+ 𝑏 𝑞

Il modello presentato è di carattere generale, tuttavia è possibile caratterizzare dinamicamente gli strumenti di misura raggruppandoli in 3 diverse classi:

• Strumenti di ordine zero

• Strumenti del primo ordine

• Strumenti del secondo ordine

Caratteristiche Dinamiche

𝑎 𝑞 = 𝑏 𝑞

𝑎 𝑑𝑞

𝑑𝑡+ 𝑎 𝑞 = 𝑏 𝑞

𝑎 𝑑 𝑞 𝑑𝑡 + 𝑎 𝑑𝑞

𝑑𝑡+ 𝑎 𝑞 = 𝑏 𝑞

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Strumenti di ordine zero

Se l’ingresso q_i(t) varia nel tempo lo strumento ideale dovrebbe fornire una uscita q_o(t) proporzionale all’ingresso per ogni istante:

𝑞 𝑡 = 𝑘 ⋅ 𝑞 𝑡

STRUMENTO DI ORDINE ZERO

Caratteristiche Dinamiche

t q_i(t)

q_o(t)

Qualunque segnale periodico f(t) può essere visto come la somma di segnali armonici semplici (sinusoidi) .

Risposta in frequenza

Se lo strumento è lineare allora vale la sovrapposizione degli effetti.

Risposta in frequenza

STRUMENTO DI MISURA

input output Lettura

L(t)=L₁(t)+L₂(t) Misura

M(t)=M₁(t)+M₂(t)

DoveL₁(t)è la risposta dello strumento aM₁(t)mentreL₂(t)è la risposta dello strumento aM₂(t).

Risulta dunque interessante capire come ogni singolo segnale sinusoidale viene trasformato dallo strumento

Misure Meccaniche e Termiche Caratteristiche Metrologiche degli Strumenti pag. 8 t qo(t)

q_i(t)

Per un sistema lineare, se l’ingresso è di tipo armonico (sinusoide), allora l’uscita sarà una sinusoide alla medesima frequenza ma di modulo amplificato di un fattoreMe sfasato di un angoloj.

Risposta in frequenza

E’ dunque importante comprendere come ogni segnale armonico viene trasformato in funzione della sua frequenza.

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Attraverso lo strumento della Trasformata di Laplace è possibile ricondurre la risoluzione delle equazioni differenziali che descrivono il sistema dinamico in equazioni algebriche (in campo complesso).

In particolare è possibile utilizzare il metodo della trasformata di Laplace per calcolare la funzione di trasferimento armonica di un sistema.

NB In questa sede non si affronta una trattazione della trasformata di Laplace ma solamente il suo utilizzo per il calcolo delle funzioni di trasferimento armoniche

Trasformata di Laplace

I segnali in ingresso e uscitaq_i(t)eq_o(t)vengono descritti (nel campo della variabile complessa s) dalle loro trasformateQ_i(s) eQ_o(s).

L’operatore Derivata d/dt viene sostituito dalla moltiplicazione della funzione (trasformata) per la variabile s, cioè:

Questo consente di trasformare dal dominio del tempo equazioni differenziali in equazioni ordinarie nel dominio della variabile di Laplace s

Trasformata di Laplace

𝑑𝑞

𝑑𝑡 𝑄 𝑠

𝑞 𝑡 𝑄 𝑠

Esempio: consideriamo un sistema del secondo ordine che può essere descritto attraverso la sua trasformata di Laplace da un’equazione del tipo:

e raccogliendo:

Trasformata di Laplace

𝑎 𝑑 𝑞 𝑑𝑡 + 𝑎 𝑑𝑞

𝑑𝑡 + 𝑎 𝑞 = 𝑏 𝑞

𝑎 𝑠 𝑄 𝑠 + 𝑎 𝑠 𝑄 𝑠 + 𝑎 𝑄 𝑠 = 𝑏 𝑄 𝑠

𝑎 𝑠 + 𝑎 𝑠 + 𝑎 𝑄 𝑠 = 𝑏 𝑄 𝑠

Quindi l’uscita Q_o(s) può essere calcolata direttamente da:

Se l’ingresso che si considera è un ingresso sinusoidale con pulsazione pari adwallora si ha che la variabile (complessa) di Laplace diventa il numero immaginario

con unità immaginaria.

Tale tipo di trattazione vale anche per sistemi di ordine n qualsiasi

Trasformata di Laplace

𝑄 𝑠 = 𝑏

𝑎 𝑠 + 𝑎 𝑠 + 𝑎 𝑄 𝑠

𝑠 = 𝑗 𝜔

𝑗 = −1

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Excel consente di eseguire calcoli anche con valori numerici complessi del tipo a+j∙b con 𝑗 = −1 unità immaginaria.

La funzione di Excel che consente di definire numeri complessi si chiama COMPLESSOed ha due argomenti: parte reale e coefficiente complesso. E’

possibile inserire numeri complessi attraverso la finestra di interfaccia o direttamente nella cella scrivendo il comando

=COMPLESSO(5;3)

Algebra complessa in Excel

Un numero complesso Z può essere rappresentato sia in forma algebrica che vettoriale.

z=a+jb

Con moduloM = 𝑎 + 𝑏 e faseφ = 𝑎𝑡𝑎𝑛2(𝑎, 𝑏)

Mentre:

parte reale =a parte immaginaria =b

Algebra complessa in Excel

Re Im

a b

j M

Esistono altre funzioni che consentono di eseguire operazioni su numeri complessi come somma, differenza prodotto e quoziente. Ci sono poi operatori che estraggono da un numero complesso parte reale, coefficiente immaginario, modulo e fase.

Algebra complessa in Excel

FUNZIONE DESCRIZIONE

=COMP.SOMMA(cella1;cella2) Esegue la somma fra due celle (numeri complessi/reali)

=COMP.DIFF(cella1;cella2) Esegue la differenza fra due celle (numeri complessi/reali)

=COMP.PRODOTTO(cella1;cella2) Esegue il prodotto fra due celle (numeri complessi/reali)

=COMP.DIV(cella1;cella2) Esegue il quoziente fra due celle (numeri complessi/reali)

Per esempio:

Algebra complessa in Excel

OPERATORE DESCRIZIONE

=COMP.MODULO(cella) Ritorna il modulo di un numero complesso

=COMP.ARGOMENTO(cella) Ritorna la fase di un numero complesso

=COMP.PARTE.REALE(cella) Ritorna la parte reale di un numero complesso

=COMP.IMAGINARIO(cella) Ritorna il coefficiente immaginario di un numero complesso

=COMP.CONIUGATO(cella) Ritorna complesso coniugato di un numero complesso

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Con il metodo della trasformata di Laplace è possibile calcolare la funzione di trasferimento armonica di un sistema del secondo ordine.

Ricordiamo che la variabile s per ingresso sinusoidale con pulsazione pari adwvale𝑠=𝑗∙𝜔

E dunque:

Funzione di trasferimento – 2° ordine

𝐻 𝑠 =𝑄 𝑠

𝑄 𝑠 = 𝑏

𝑎 𝑠 + 𝑎 𝑠 + 𝑎

𝐻 𝜔 =𝑄 𝜔

𝑄 𝜔 = 𝑏

𝑎 − 𝜔 𝑎 + 𝑎 𝜔 𝑗

E’ possibile calcolare dunque la funzione di trasferimento armonica di un sistema del secondo ordine utilizzando Excel

Funzione di trasferimento – 2° ordine

a2 m 0.01 Ks 9.09091E-08

a1 c 9 wn 3316.62 rad/s

a0 k 110000 fn 527.86 Hz

csi 0.14

f [Hz] w [rad/s] num den H(f) modulo fase

0 0 0.01 110000 9.09090909090909E-089.09E-08 0.000 10 62.83185 0.01 109960.521582396+565.486677646163i9.09393243710037E-08-4.67667628944554E-10i9.09E-08 -0.005 20 125.6637 0.01 109842.086329583+1130.97335529233i9.10301351402239E-08-9.37278786414728E-10i9.10E-08 -0.010 30 188.4956 0.01 109644.694241561+1696.46003293849i9.11818552546856E-08-1.41079670328564E-09i9.12E-08 -0.015 40 251.3274 0.01 109368.34531833+2261.94671058465i9.13950410796787E-08-1.89022437828984E-09i9.14E-08 -0.021 50 314.1593 0.01 109013.039559891+2827.43338823081i9.16704777975192E-08-2.37762538028654E-09i9.17E-08 -0.026 60 376.9911 0.01 108578.776966243+3392.92006587698i9.20091857664705E-08-2.87514578221043E-09i9.21E-08 -0.031 70 439.823 0.01 108065.557537386+3958.40674352314i9.24124288228071E-08-3.38503765467549E-09i9.25E-08 -0.037 80 502.6548 0.01 107473.381273321+4523.8934211693i9.28817246216775E-08-3.909684593381E-09i9.30E-08 -0.042 90 565.4867 0.01 106802.248174047+5089.38009881547i9.34188571344441E-08-4.45162981568827E-09i9.35E-08 -0.048 100 628.3185 0.01 106052.158239564+5654.86677646163i9.40258914422898E-08-5.01360744062476E-09i9.42E-08 -0.053

La funzione di trasferimento armonica indica come variano, per ciascuna tipologia di strumento, il modulo di amplificazioneMe lo sfasamentoj.

Risposta in frequenza – secondo ordine

Modulo M fase j