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Modelling agli elementi spettrali per analisi e diagnosi di onde superficiali

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Academic year: 2021

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CAPITOLI Introduzione    …...2 1 Onde di Rayleigh  …...3 2 Metodo agli Elementi Spettrali  …...6 2.1 Introduzione  …...6 2.2 Equazioni del moto  …...6 2.3 Definizione della mesh  …...8 2.4 Rappresentazione delle funzioni  …...10 2.5 Stabilità e dispersione numerica  …...11 2.6 SPECFEM2D  …...13 3 Risultati delle misurazioni  …...15 3.1 Modello test  …...15 3.2 Modello con zona a bassa velocità (LVZ)  …...20 3.3 Modello con topografia non uniforme  …...21 3.4 Modello con attenuazione  …...24 4 Curve di Dispersione  …...31 4.1 Curve di dispersione teorica  …...31 4.2 Trasformata di Radon  …...32 5 Inversione  …...36 5.1 Algoritmo Neighbourhood  …...37 5.2 Applicazione del metodo alle curve di dispersione  …...39 5.3 GEOPSY  …...40 5.3.1 DINVER …...40 6 Risultati  …...43 6.1 Modello test  …...44 6.2 Modello con zona a bassa velocità (LVZ)  …...47 6.3 Modello con topografia non uniforme  …...48 6.4 Modello con attenuazione  …...52 7 Modello realistico  …...55 7.1 Simulazione con sorgente a 10 Hz  …...57 7.1.2 Acquisizione Roll Along  …...59 7.2 Confronto simulazioni con sorgenti a 20Hz­10Hz­6Hz  …...61 7.2.1 Sismogrammi  …...61 7.2.2 Curve di dispersione  …...63 8 Conclusioni  …...65 9 Bibliografia  …...67

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INTRODUZIONE Le onde Rayleigh sono onde superficiali che si muovono lungo una superficie "libera".  La loro formazione è il risultato di interferenze tra onde P e onde SV. Il ground­roll, ad esempio, è un particolare tipo di onda Rayleigh che viaggia lungo o vicino alla superficie del suolo e di solito è caratterizzato da elevata ampiezza, bassa frequenza e bassa velocità (Sheriff, 1991).  Un'altra caratteristica importante delle onde Rayleigh sono le loro curve di dispersione, utilizzate efficacemente per ottenere la velocità dell'onda di taglio per sottosuoli poco profondi (Park et al., Xia et al, 1999; Beaty et al., 2002), diventando una tecnica di routine nei progetti di ingegneria e di geofisica. 

Nella   geofisica   di   esplorazione,   la   velocità   dell'onda   S   può   essere   derivata dall'inversione della curva di dispersione delle onde superficiali  (Aki e Richards, 2002).

In questo elaborato di tesi verranno prodotti dei sismogrammi sintetici tramite il software   di   modellazione   SPECFEM2D,   per   poi   testare   il   software   d'inversione GEOPSY, che utilizza l'inversione Neighbourhood per ricavare modelli 1D di velocità. Partendo da un modello test molto semplice, verranno prodotti altri tre modelli, in cui saranno inserite: la presenza di una topografia non uniforme, strati fortemente anelastici, e una zona a bassa velocità, simulando un'inversione di velocità lungo la profondità. Da questi modelli 1D e 2D, calcolerò le curve di dispersione delle onde di Rayleigh tramite il calcolo della curva di dispersione teorica e l'applicazione della trasformata lineare di Radon e conseguente trasformata di Fourier. La natura dispersiva delle onde superficiali registrate verrà usata per ottenere il profilo verticale (1D) della velocità di taglio Vs mediante la procedura di inversione.

Infine,   verrà   prodotto   un   modello   2D   del   sottosuolo   semi­reale:   attingendo informazioni dai log di pozzo effettuati in due zone della Toscana, sarà realizzato un modello complesso, con l'inserimento di una topografia non uniforme, ed una forte variazione dei valori di velocità e densità lungo la profondità, ma anche lateralmente. Proverò diversi tipi di acquisizione sismica, simulando tecniche di sismica superficiale e di riflessione. Concluderò analizzando i sismogrammi ottenuti utilizzando delle sorgenti con diversa frequenza fondamentale e le curve di dispersione da essi derivanti. La comunità scientifica è molto impegnata nello studio delle onde superficiali. Questi modelli potrebbero essere inseriti all'interno di ricerche sull'applicazione della Full Waveform Inversion (FWI) alle onde superficiali. Per maggiori chiarimenti, si prega di consultare i seguenti articoli:

1)  http://www.earthdoc.org/public   ation/publicationdetails/?publ   ication=86521 2)  http://www.earthdoc.org/public   ation/publicationdetails/?publ   ication=89128

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Capitolo 1 ONDE DI RAYLEIGH Le tecniche sismiche si basano sullo studio della propagazione delle onde sismiche: diversi tipi di onde e diversi fenomeni fisici sono coinvolti e vengono utilizzati per ottenere informazioni sulle caratteristiche del sottosuolo. Le onde di volume, che si propagano all'interno della Terra, sono costituite da onde compressive (onde P / onde primarie) e onde di taglio (onde S / onde secondarie).  Il movimento delle particelle associato alle onde compressive è parallelo alla direzione di   propagazione   dell'onda   stessa,   provocando   lo   stretching   e   la   compressione   delle particelle che compongono il mezzo attraversato, modificandone quindi le dimensioni, come mostrato nella Figura 1 sinistra (Evrett, 2013).

Nelle onde di taglio, invece, il movimento delle particelle è perpendicolare alla direzione di   propagazione   delle   onde,   e   quindi   possiede   sia   una   componente   verticale   che orizzontale.   Il   movimento   trasversale   delle   particelle   determina   la   deformazione   di taglio, modificando quindi la forma delle particelle, come mostrato nella Figura 1.1 destra (Aki & Richards, 2002; Evrett, 2013). Fig. 1.1: sinistra: moto delle particelle associato ad onde P; destra: moto delle particelle associato ad onde S (Bolt, 1976). Quando il mezzo è limitato da una superficie libera, si verifica anche un altro tipo di fenomeno: vengono generate le onde superficiali, che si propagano in prossimità della superficie. Le onde di superficie attraversano l'interfaccia tra due mezzi differenti, ad esempio in prossimità della superficie della Terra, e sono i risultati delle interferenze delle onde P e/o delle onde S (Xia et al., 2002). Ci sono due tipi principali di onde superficiali: onde di Rayleigh e onde di Love (Evrett, 2013).

Le   onde   Rayleigh   inducono   alle   particelle   un   movimento   nel   piano   verticale,   che contiene la direzione di propagazione; mentre le onde di Love sono onde superficiali esistenti solo in speciali condizioni stratigrafiche: quando la velocità di taglio nello strato superiore è inferiore a quella del substrato. Il movimento delle particelle, in questo caso, è trasversale alla direzione di propagazione e parallela alla superficie libera (fig. 1.2).

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Fig. 1.2: sinistra: moto delle particelle associato ad onde di Rayleigh; destra: moto delle particelle associato ad onde di Love (Bolt, 1976). Le onde Rayleigh sono le più importanti tra le onde superficiali (Aki & Richards, 2002) e sono di grande interesse per la geofisica, in quanto forniscono informazioni relative alle proprietà della superficie terrestre (Evrett, 2013). Le onde Rayleigh causano alle particelle superficiali del mezzo un movimento ellittico nel   piano   verticale   coerente   con   la   direzione   della   propagazione   delle   onde.   Il movimento   della   particella   è   ellittico   retrogrado   vicino   alla   superficie,   diventando progrado con profondità crescente (Aki & Richards, 2002; Evrett, 2013), vedi Figura 1.3. L'ampiezza delle onde Rayleigh decade in modo esponenziale con la profondità. Fig.1.3: Moto delle particelle in funzione della profondità (Gedge & Hill, 2012). Le onde di Rayleigh si muovono, quindi, lungo l’interfaccia terra­aria e sono generate dalla rifrazione e riflessione multipla di onde di compressione (P) e onde di taglio che si propagano in direzione verticale (SV). In un spazio omogeneo, la velocità dell'onda di Rayleigh è indipendente dalla frequenza, vale a dire le onde non si disperdono: nel caso di un mezzo omogeneo, l'onda di Rayleigh non è dispersiva (Xia et al,1992) e viaggia con una velocità di circa 0,9194v, dove v è la velocità dell'onda S nel half space, se il rapporto di Poisson è pari a 0,25 (Sheriff e Geldart, 1982). In questo caso, le onde di Rayleigh hanno velocità inferiori alle onde S, 

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Al contrario, le onde Rayleigh sono dispersive in un mezzo stratificato: i componenti dell'onda   con   diversa   lunghezza   d'onda   (e   quindi   frequenza   diversa)   hanno   diverse profondità di penetrazione e si propagano a diverse velocità (Evrett, 2013). 

La   velocità   con   cui   si   propaga   un’onda   di   superficie   ad   una   data   frequenza  f  (o lunghezza d’onda λ) viene detta velocità di fase dell'onda.

Nei metodi sismici che utilizzano la propagazione delle onde superficiali, il fenomeno analizzato   è   la   dispersione   geometrica   delle   onde   Rayleigh   in   mezzi   eterogenei.   Il principio è che diverse frequenze producono movimenti e deformazioni di particelle, che sono significative e non trascurabili in una profondità limitata, a seconda della lunghezza d'onda,   e   quindi   la   propagazione   delle   diverse   frequenze   si   verifica   fino   a   diverse profondità dalla superficie. 

La relazione tra la velocità di fase e la frequenza viene definita come curva di dispersione:   ciò  consente   quindi   di  vincolare  ogni   frequenza   a  una  velocità   di  fase precisa.

Tipicamente,   molteplici   velocità   di   fase   esistono   per   una   determinata   frequenza, rendendo la curva di dispersione multi­modale. La modalità con la velocità di fase più bassa (ad ogni frequenza) viene definita la modalità fondamentale (M0). Le modalità più elevate (M1,M2,...) hanno velocità di fase più elevate e sono presenti solo al di sopra di una certa frequenza (Evrett, 2013).

I modi superiori, matematicamente, non sono altro che soluzioni multiple per una stessa frequenza,   cioè   per   una   singola   f   possono   esistere   numerose  c  (diverse   velocità). Fisicamente significa che una stessa frequenza può propagarsi con velocità distinte.  Il modo fondamentale è, quindi, identificato dalle velocità di propagazione minore.

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Capitolo 2

METODO GLI ELEMENTI SPETTRALI 2.1 Introduzione

Negli ultimi decenni la qualità e la quantità di dati sismici sono notevolmente aumentati grazie ad uno sviluppo tecnologico che ha introdotto strumenti come i sismometri a banda larga che possono rilevare il moto su campi molto ampi di frequenze e ampiezze. Gli scienziati possono utilizzare questi dati per studiare la struttura interna del nostro pianeta e migliorare le conoscenze sulla propagazione delle onde sismiche in mezzi eterogenei complessi, ma sono necessari metodi numerici per sfruttare completamente tutte le informazioni fornite da questi dati.

La simulazione della propagazione delle onde sismiche implica l'uso di cluster di computer, quindi, prima della loro diffusione nella comunità scientifica, gli scienziati sono stati costretti ad utilizzare metodi numerici con bassi costi di calcolo.

Oggi sono state sviluppate numerose tecniche numeriche per studiare i fenomeni di propagazione delle onde tenendo conto delle equazioni che governano il moto.

In questo elaborato di tesi verrà utilizzato il metodo agli elementi spettrali (SEM), in cui le funzioni analitiche verranno rappresentate per mezzo di funzioni polinomiali, allo scopo di risolvere l'equazione dell'elastodinamica.

Nel prossimo capitolo verranno spiegate le principali caratteristiche matematiche e le proprietà del SEM e le implicazioni che hanno sulla costruzione della griglia (o mesh), cioè l'insieme di poligoni utilizzati per discreditare il dominio; non verrà trattato il problema in maniera esaustiva, per una descrizione più dettagliata si prega di vedere (Komatitsch & Tromp, 1999).

2.2 Equazione del moto

Consideriamo un modello terrestre di volume   e con superficie libera  Ω ∂  (Fig. 2.1).Ω L'equazione di propagazione di un'onda sismica può essere espressa nella sua forma differenziale

ρ∂t2s=∇⋅T +f (2.1)

dove  s(x,t)   rappresenta   lo   spostamento   alla   posizione  x  e   tempo   t,   (ρ x)   denota   la distribuzione di densità,   T è il tensore di stress, il quale è relazionato al gradiente di spostamento tramite la legge di Hooke:  T  =  c  : Ñs, dove  c  è il tensore elastico che descrive le proprietà elastiche o anelastiche del modello di sottosuolo considerato.

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Fig 2.1: modello di terra finito, con volume   e superficie libera Ω ∂ . Sono presenti i bordi assorbentiΩ artificiali   , e Γ n^ denota il vettore normale a queste superfici. Il modello può essere completamente eterogeneo o composto da un numero qualsiasi di strati. La sorgente  xs può essere disposta ovunque

all'interno o lungo i bordi del volume    (Komatitsch e Tromp, 1999).Ω

L'equazione del moto precedentemente descritta è spesso associata alla condizione di superficie libera ∂  e all'assorbimento dell'onda lungo i bordi del modello  Ω Γ; condizioni

che possono essere scritte in accordo con (Komatitsch e Tromp, 1999):

T⋅^n=0   (2.2)

T⋅^n=ρ[ vn( ^n⋅∂ts) ^n+v1( ^t1⋅∂ts) ^t1+v2( ^t2⋅∂ts) ^t2]     (2.3)

dove:   ^n rappresenta il versore uscente normale a ∂  e ai bordi del modello;  Ω ^t1 e ^t2 sono versori ortogonali   tangenti ai bordi assorbenti;   vn è la velocità dell'onda

quasi­P   che   viaggia   lungo   la   ^n direzione;   v1 è   la   velocità   dell'onda   quasi­S

polarizzata nella direzione  ^t1 e  v2 quella polarizzata nella direzione  ^t2

Lungo i bordi artificiali del modello   Γ , l'onda uscente dal volume     deve essereΩ assorbita: quando il dominio di modellazione non è tutta la Terra, l'energia sismica deve esaurirsi sui confini fittizi del nostro modello. Per fare questo nella mia tesi verrà usata l'opzione Stacey (Clayton & Enquist, 1977; Quarteroni et. al. 1998), che sfrutta equazioni parassiali per assorbire il campo d'onda perpendicolare ai bordi del modello (Komatitsch e Tromp, 1999). Negli ultimi anni, è stata sviluppata una nuova tecnica, chiamata Perfectly Matched Layer,   o   semplicemente   PML(Berenger,   1994),   ora   utilizzata   in   numerose   simulazioni matematiche (Komatitsch e Tromp, 2007).

Nella mia tesi ignorerò largamente le complicanze matematiche e numeriche associate all'utilizzo dei bordi assorbenti.

In aggiunta alle condizioni al contorno (2.2), l'equazione dell'onda sismica (2.1) deve essere soggetta alle condizioni iniziali: 

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s(x ,0)=0,ts(x ,0)=0.         (2.4)

Infine il termine f presente nell'equazione (2.1) rappresenta il termine sorgente, che nel caso   di   sorgente   puntiforme   può   essere   scritto   in   termini   di  tensore   momento  M (Komatitsch e Tromp, 2007):

f =−M⋅δ(x−xs)S(t )    (2.5)

dove la  posizione della  sorgente puntiforme  è  data da   xs ;   δ(x−xs) denota la

distribuzione della delta di Dirak posta in   xs ed S(t) la funzione temporale della sorgente. Una formulazione alternativa a questo tipo di problema è la sua formulazione debole, o  weak formulation, la quale può essere derivata considerando un vettore test arbitrario  w, moltiplicando entrambi i lati dell'equazione (2.1) con esso, usando un integrazione per parti su tutto il volume   e infine imponendo le condizioni (2.2) e (2.3).Ω Il risultato finale è (Komatitsch e Tromp, 1999):

Ω ρw ∂t2s d3x=−

Ω ∇w :T d3x+M : ∇ w( x s)S (t)+... ...+

Γ ρ[vn( ^n⋅∂ts) ^n+v1( ^t1⋅∂ts) ^t1+v2( ^t2⋅∂ts) ^t2]⋅w d2x            (2.6) Le due formulazioni del problema elastodinamico sono matematicamente equivalenti, ma   utilizzando   la  weak   formulation,   la   condizione   di   superficie   libera   (2.2)   è automaticamente soddisfatta. In questo modo la topografia può essere inclusa evitando problemi matematici e le simulazioni legate alle onde di superficie risultano molto più precise (Komatitsch e Vilotte, 1998).   2.3 Definizione della mesh Per risolvere la weak formulation del problema elastodinamico, ovvero l'equazione che governa la propagazione delle onde sismiche nel sottosuolo, il modello terrestre deve essere   suddiviso   in   diverse   parti,   ciascuna   delle   quali   non   deve   sovrapporre   l'altra, rispettando la geologia degli strati e la topografia (fig. 2.2).

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Fig. 2.2: Mesh globale in cui il modello terrestre 

Ω

è stato suddiviso in sei sub­domini  Ωe

L'intero volume è stato così suddiviso in un numero di elementi non sovrapposti  Ωe

dove   e=1,. .., ne (fig. 2.2). Questi elementi possono essere costruiti di varia forma:

quadrilatera, tetraedrica, esaedrica, piramidale, triangolare, etc. Nella mia tesi tratterò elementi con la forma di un quadrilatero distorto. Ciascuno di essi è, quindi, isomorfo ad un quadrato. Ogni elemento  Ωe potrà avere una diversa dimensione, con lati di diversa lunghezza. C'è bisogno quindi di mappare ogni elemento in una lunghezza standard. Il quadrato di riferimento nelle due dimensioni è definito in termini di coordinate greche (ξ, η),−1⩽ξ⩽1 ,−1⩽η⩽1 .  

Ogni   elemento   è   definito   da   un   set   di   na nodi   di   controllo  o  ancore xa=x(ξa, ηa), a=1, ... , na ed un set di   na funzioni forma  Na(ξ). I suoi quattro

angoli sono sempre usati come ancore, ma anche i punti al centro di ogni lato e lo stesso punto centrale all'elemento posso essere usati addizionalmente (Fig. 2.3). Per superfici semplici con bordi dritti, quattro punti controllo sono sufficienti, ma nel caso di superfici curve,   nove   punti   controllo   possono   essere   utilizzati   per   descrivere   in   maniera   più accurata la forma dell'elemento (Komatitsch e Tromp 1999).

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Per ogni elemento, la relazione tra il punto x all'interno dell'elemento e il punto  (ξ) nel quadrato di riferimento può essere scritto nella forma (Komatitsch e Tromp 1999): x(ξ)=

a=1 na Na( ξ)xa.           (2.7) 2.4 Rappresentazione delle funzioni  Il numero totale di punti controllo presenti in ciascun elemento dipenderà dal grado del polinomio di Lagrange  utilizzato: gli  interpolanti di Lagrange  sono infatti  usati per esprimere le funzioni all'interno del singolo elemento.

Gli interpolanti di Lagrange di grado  nl sono definiti in termini di  nl+1 polinomi di

Lagrange   con   l'utilizzo   di nl+1   punti   controllo ξα tramite   la   relazione

(Tromp,Komatitsch e Liu 2007): hα(ξ)= ((ξ−ξ0)... (ξ−ξα −1)( ξ− ξα +1)...(ξ−ξα−nl)) ((ξα− ξ0)...( ξα−ξα −1)( ξα−ξα +1)...( ξα− ξα −nl))                (2.8) dove  −1⩽ξα⩽1 , α=0,... , nl. Le funzioni forma   Na( ξ), che ricordiamo definiscono la geometria degli elementi, sono prodotti di polinomi di Lagrange di grado 1 o 2: i due polinomi di  grado 1 con due punti controllo  ξ=−1 e  ξ=1 sono (Tromp,Komatitsch e Liu 2007):

h0( ξ)= 1 2(1−ξ) e  h1= 1 2(1+ξ), mentre i tre polinomi di Lagrange di grado 2  con tre punti controllo  ξ=−1 ξ=0 e ξ=1 sono: h0(ξ)=12ξ(1−ξ) h1(ξ)=1−ξ 2 e  h2(ξ)=12ξ(1+ξ).

In   generale,   però,   nel   metodo   agli   elementi   spettrali   (SEM)   sono   usati interpolanti di Lagrange di alto grado.

I  punti   controllo   ξα con α=0,. .., nl, definiti   dall'equazione   (2.8)  sono  scelti   per

essere   gli   nl+1 punti   Gauss­Lobatto­Legendre   (GLL).   Essi   sono   definiti   come   le

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(1−ξ2 )P 'nl(ξ)=0 ,      (2.9) dove  P'nl rappresenta la derivata del polinomio di Lagrange di grado  nl. Bisogna notare che il primo e l'ultimo punto Gauss­Lobatto­Legendre (GLL) di ogni elemento sono esattamente i valori ­1 e 1; per questo nella costruzione della mesh globale ci sono i punti, sui bordi o agli angoli, in condivisione tra gli elementi, che mai però andranno a sovrapporsi. Su ogni punto GLL il polinomio di Lagrange, per definizione, avrà sempre un valore uguale a zero o ad uno (Tromp,Komatitsch e Liu 2007) (Fig.2.4 sinistra).

Quando polinomi di Lagrange di grado  nl sono utilizzati per discretizzare le funzioni all'interno di un elemento, ogni elemento spettrale 2D sarà formato da  (nl+1)2 punti GLL (Fig.2.4 destra). Fig. 2.4: (sinistra): cinque interpolanti di Lagrange di grado 4. Gli   nl+1=5 punti Gauss­Lobatto­ Legendre (GLL) possono essere distinti lungo l'asse orizzontale. (destra): griglia di   (nl+1) 2 =25 punti GLL. Da notare come i punti non siano equi­spaziati (Tromp,Komatitsch e Liu 2007). 2.5 Stabilità e dispersione numerica Nel Metodo agli Elementi Spettrali, la scelta della dimensione dell'elemento ∆h e del passo   di   campionamento   temporale   ∆t   è   di   fondamentale   importanza   in   fase   di discretizzazione. Infatti, se non vengono rispettate particolari condizioni, esiste il rischio di generazione di errori nei sismogrammi, come instabilità o dispersione da griglia, che portano   rispettivamente   interruzioni   delle   simulazioni   e   rumore   numerico   di   alta frequenza nei sismogrammi.

L’instabilità è causata da un' inopportuna scelta di ∆t.

Data una mesh realizzata in base ad un modello di terra reale, esiste un limite massimo oltre il quale i calcoli sono instabili.

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Viene definito il numero di stabilità di Courant (C ) tramite la relazione (Dimitri Komatitsch, Seiji Tsuboi and J. Tromp. 2005):

C=Δ tVmax

Hmin    (2.10)

dove  Vmax  è la massima velocità presente nel modello e  Hmin  è invece la distanza minima tra due punti GLL.

La condizione di stabilità di Courant (Courant et al., 1928) afferma che il numero di Courant non dovrebbe essere scelto oltre un certo limite massimo:

C⩽Cmax

il   quale   determina,   quindi,   quanto   grande   può   essere   il   campionamento   temporale mantenendo stabile la simulazione.

Komatitsch nel suo articolo propone di utilizzare un valore di   Cmax=0.5 per mesh

regolari, mentre un valore ridotto compreso tra 0.3 e 0.4 nel caso di mesh irregolari con elementi molto distorti e/o in presenza di un sottosuolo estremamente eterogeneo (Dimitri Komatitsch, Seiji Tsuboi and J. Tromp. 2005). Il valore di ∆t così ottenuto è: Δt=Cmax Hmin Vmax    (2.11) Il secondo fattore è la scelta nella spaziatura della griglia.

Nel   SEM   la   risoluzione   spaziale   è   controllata   da   due   parametri:   la   grandezza dell'elemento ∆h, e il grado dei polinomi di Lagrange utilizzati   nl (Komatitsch e Tromp 1999).  Infatti ogni elemento conterrà per ogni lato, lungo ∆h, un numero di punti pari a nl+1 per un totale di  (nl+1)2 punti GLL non equi­spaziati. La scelta corretta di ∆h è al centro di tutto il metodo agli Elementi Spettrali. Da essa dipenderà anche il valore di Hmin, menzionato nell'equazione (2.10). Per molte applicazioni riguardanti la propagazione delle onde sismiche, dovrebbe essere usato un grado dei polinomi di Lagrange compreso tra 4 e 10. Un grado maggiore di 10 infatti,   diminuirebbe   troppo   la   distanza   tra   i   punti   GLL   di   integrazione   numerica, rendendo i costi numerici proibitivi  (Dimitri Komatitsch, Seiji Tsuboi and J. Tromp. 2005).

Il   campionamento   spaziale   ∆h   dipende,   inoltre,   dalle   velocità   presenti   nel   nostro modello. 

Una regola presa dalla letteratura afferma che un numero di punti pari e mai inferiore a 5 per lunghezza d'onda minima sia sufficiente per campionare in maniera corretta.

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fondamentale in simulazioni dove sono presenti strati curvi o forti eterogeneità, al fine proprio di evitare fenomeni come dispersione da griglia.

Rumore numerico relazionato alla spaziatura delle griglia viene definito dispersione (De Basabe   e   Sen,2007). Questo errore, che aggiunge del rumore soprattutto a grandi offset, inserisce riflessioni fittizie e rende i  sismogrammi inutilizzabili, ed è dipendente dalla spaziatura della griglia.

La dispersione è minore se il nostro ∆t rispetta la condizione di stabilità; e un minimo di 10 nodi per  λmin  è raccomandato per raggiungere risultati accurati (De Basabe e Sen,2007).

Fichtner ci ricorda anche che questa dispersione numerica è cumulativa, il che vuol dire che il  rumore  numerico  cresce costantemente  con l'aumentare della  lunghezza  della simulazione, quindi del tempo di registrazione (Fichtner 2011).

Definendo G = numeri di punti per  λmin possiamo definire ∆h come (Dimitri Komatitsch, Seiji Tsuboi and J. Tromp. 2005):

Δh=λmin

G (nl+1)    (2.12)

dove  λmin=

Vmin

Fmax e  nl il grado dei polinomi di Lagrange.

La Vmin rappresenta la velocità minore presente nell'intero modello, mentre Fmax è la frequeza massima presente nel nostro campo d'onda.

L'accuratezza delle soluzioni, quindi, è controllata dalla grandezza dell'elemento insieme al grado del polinomio di Lagrange utilizzato. Diminuendo la grandezza e aumentando il grado dei polinomi aumenterà l'accuratezza dei risultati, tenendo sempre presente che il massimo   grado   è   limitato   dalla   condizione   di   stabilità   di   Courant   e   dalle   risorse computazionali disponibili.

La distanza, infatti, tra i primi due punti GLL decresce quadraticamente con l'aumento del grado del polinomio utilizzato (Fichtner 2011).

Una   corretta   quantificazione   tra   costi   computazionali   e   accuratezza   dei   risultati   va sempre effettuata. 2.6 SPECFEM2D Il Metodo agli Elementi Spettrali (SEM), descritto in questo capitolo, è ben sviluppato  nel pacchetto sorgente open source SPECFEM: gli sviluppatori principali di questo  codice sono il professor Jeroen Tromp (Princeton University), il professor Dimitri  Komatitsch (Università di Pau) ,e i loro colleghi. Ho scelto di utilizzare lo SPECFEM2D per eseguire le mie simulazioni.

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Il   software   è   completamente   scritto   in   Fortran   90,     ed   è   capace   di   includere   nelle simulazioni effetti dovuti alla topografia, alle variazioni laterali di velocità e densità, così come è possibile simulare mezzi anisotropi ed anelastici.

La  simulazione  della  propagazione   delle   onde  sismiche,   spesso  richiede   un  numero enorme di elementi, a seconda della scala della simulazione e del grado di complessità del modello.

La necessità di un approccio computazionale parallelo è spesso richiesta: il software permette una parallelizzazione, utilizzando il pacchetto SCOTCH e il Message Passing Interface , detto anche MPI.

Il pacchetto SPECFEM2D è composto da due parti principali, ovvero il  mesher  e il solver:  essi   ricevono   i   parametri   di   input   da   tre   file   differenti:   dal  Par_file,   dall' interfaces.dat e dal file SOURCE, attraverso i quali tutte le informazioni necessarie per la simulazione devono essere memorizzate. È importante notare che il mesher e il solver possono essere eseguiti separatamente: questa caratteristica è di fondamentale importanza poiché consente l'utilizzo di mesh create con un software esterno, come CUBIT. Gli elementi, all'interno della mesh, possono assumere qualsiasi forma, pur rimanendo dei quadrilateri distorti , e i punti della griglia possono essere condivisi da un elevato numero di elementi, con il risultato di garantire una maggiore flessibilità al metodo. Questa tipologia di mesh, che utilizza elementi molto distorti per consentire un miglior fitting col modello di terra reale, risulta molto più complicata da generare ed è per questo che SPECFEM2D non può implementarla da solo. E' possibile utilizzare particolari software (come CUBIT (Casarotti et al., 2008)), con la funzione di  mesher, ma non verranno presi in considerazione in questo lavoro di tesi. Il mesher, presente come porzione del codice, è in grado di creare una maglia all'interno del mio dominio da utilizzare nelle simulazioni di propagazione delle onde sismiche.  Nel Par_file l'utente ha la possibilità di definire la dimensione della maglia e il numero degli elementi da utilizzare per la sua creazione, in base al numero di strati e alle velocità presenti all'interno del modello. Oltre a ciò, bisogna definire il file con le interfacce, potendo inserire un eventuale topografia o presenza  di strati curvi.

Altri   parametri   importanti   da   definire   nel   Par_file   sono   il   valore   del   passo   di campionamento e il numero di campioni totali, i quali dipenderanno dalla lunghezza totale del record.

Per la lista completa dei parametri, si prega di visualizzare il Manuale del software all'indirizzo:https://github.com/geodynamics/specfem2d/blob/master/doc/USER_MANU AL/manual_SPECFEM2D.pdf.

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Capitolo 3

RISULTATI DELLE SIMULAZIONI 

Lo   scopo   è   quello   di   creare   modelli   sintetici   di   sottosuolo   per   poi   calcolarne   i sismogrammi. In questo capitolo saranno presenti i risultati ottenuti grazie all'utilizzo del software di modellazione SPECFEM2D. Le simulazioni sono state condotte su diversi tipi di modelli 2D, al fine di studiare il comportamento delle onde sismiche, in particolare le onde di Rayleigh, nei primi metri di profondità. In un mezzo omogeneo le onde di Rayleigh non sono dispersive, quindi verranno sempre considerati strati verticalmente eterogenei.

Partendo da un modello  test  semplice a strati piano­paralleli, verranno effettuate delle simulazioni   in   cui   saranno   presenti   una   topografia,   un'inversione   di   velocità   con   la profondità e l' inserimento di parametri anelastici al fine di simulare un modello con la presenza di attenuazione. In tutte le simulazioni, la propagazione delle onde sismiche avviene del piano x­z, con la conseguente formazione delle onde di Rayleigh. 3.1 MODELLO TEST Il primo passo della modellizzazione  è la scelta delle misure e della grandezza del modello. Per questo, come per i modelli che seguiranno, esse sono: • offset = 32 metri; • profondità massima = 22 metri. • le interfacce saranno posizionate a 7.5 metri e a 20 metri  I valori di velocità e densità, invece, saranno inseriti per ogni modello. Nel modello  test, formato da 3 strati omogenei ed isotropi, si sono impostati velocità (m/s) e densità (kg/m^3) che aumentano con la profondità. vp =600      vs  =200     ρ =1500 vp =700      vs  =300     ρ =1550 vp =800      vs  =400     ρ =1600 Fig. 3.1: modello terrestre stratificato usato come test 32 m 0 m 22m

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Segue una lista di parametri usati per la simulazione, che lascerò invariati anche nelle simulazioni successive, che quindi non verranno ripetuti:

• come sorgente, è stata utilizzata una forza elastica verticale, che simula l'uso di una massa battente o di una piastra vibrante;

• la   funzione   temporale   della   sorgente   è   un'ondina   di   Ricker   (Fig.   3.2),   con frequenza di picco uguale a 20Hz, e frequenza massima quasi uguale  50Hz (lo SPECFEM2D calcola automaticamente la frequenza massima moltiplicando la frequenza centrale per circa 2.5);

La   discretizzazione   temporale   è   effettuata   attraverso   l'uso   del   metodo   Newmark (Komatitsch, 1997; Komatitsch et. al., 1999a); mentre per la discretizzazione spaziale sono stati utilizzati polinomi di Lagrange di grado 4: ogni elemento della mesh sarà formato da (4+1)^2=25 punti GLL. Il massimo numero di Courant, da cui dipende il campionamento temporale, è sempre impostato <0.5, in modo da rispettare la condizione di stabilità. Il numero di punti per lunghezza d'onda minima è stato scelto uguale a 20. La grandezza spaziale degli elementi lungo una dimensione è dell'ordine di 0.8 m. Ricordiamo che la taglia di ogni elemento dipende dalle velocità presenti nel modello. In questi  modelli  le  velocità  saranno le  stesse,  quindi  anche  il  numero  totale  degli elementi rimarrà invariato. Il modello è stato discretizzato spazialmente usando 40x26=1040 elementi spettrali, con un grado di polinomi di Lagrange uguale a 4. La griglia globale, quindi, contiene 16905 punti GLL. Verrà usato uno schema temporale di secondo ordine come time­marching della weak form dell'equazione del moto dell'onda. Il passo di campionamento temporale utilizzato  è pari 0.8ms, per un totale di 6350 campioni. Il massimo numero di Courant è pari a 0.47.

I   bordi   assorbenti   sono   implementati   col   metodo   Stacey   (Clayton   e   Enquist,   1977; Quarteroni, 1998) e sono presenti lungo i lati e al fondo del modello. Il bordo superiore è impostato come superficie libera, simulando quindi il contatto terra­aria.

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Fig. 3.2: in alto: funzione temporale di una Ricker a 20Hz di frequenza dominante; in basso: spettro di ampiezza della Ricker di cui sopra; Per tutte le simulazioni è stato utilizzato un tempo di registrazione di 0.508s. Sia la sorgente che i ricevitori sono disposti lungo la superficie libera. La sorgente è locata nella posizione 0,0 m (Fig. 3.1), mentre i ricevitori vanno da 0.5 a 32 m con spaziatura costante uguale a 0.25 m. In tutti i sismogrammi sintetici (shot gather) verrà mostrata la componente verticale del moto del suolo. Ogni traccia contiene un numero di campioni pari a 5080.

Un   numero   di   127   canali   è   stato   utilizzato   per   registrare   l'evento   sismico   simulato tramite sorgente elastica verticale. I ricevitori registrano i tre componenti dello spostamento del suolo. Il modello 1D, con un aumento delle velocità con la profondità, rappresenta il modello più semplice di raffigurazione di un sottosuolo terrestre, e sarà utilizzato come test di prova ma anche di comparazione con i prossimi modelli. L'approssimazione utilizzata come bordi assorbenti non attenuerà completamente l'arrivo dell'onda sul bordo, inserendo all'interno dei sismogrammi queste riflessioni fittizie che in un modello reale ovviamente non esisterebbero. Fortunatamente, queste riflessioni non oscurano il dato, permettendo comunque una sua lettura corretta. 

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Fig.3.3: simogramma sintetico per il modello stratificato presente in fig. 3.1 in raw data.

Fig 3.4: sismogramma sisntetico per il modello stratificato presente in fig. 3.1 normalizzato single trace

Nel   sismogramma   è   ben   visibile   come   la   maggior   parte   dell'energia   sismica   sia concentrata nelle onde di Rayleigh, che presentano un'ampiezza molto maggiore rispetto alle onde P ed S.

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Fig. 3.5: zoom del sismogramma presente in fig. 3.4, in cui si può notare l'ampiezza delle onde di Rayleigh.

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Fig. 3.7: sinistra: spettro ampiezza – tracce per il modello test; destra: spettro offset variante per il modello test. In figura 3.3 si può notare la presenza dei first break così come delle onde superficiali.  Nei sismogrammi presenti in figura 3.4 e 3.6 è stata effettuata una normalizzazione traccia­traccia che grazie anche alla visualizzazione della componente verticale del moto permette di evidenziare la presenza delle onde superficiali, più lente e con ampiezza maggiore rispetto alle onde di volume . L'analisi spettrale del dato (fig. 3.7) mostra una frequenza dominante delle onde di Rayleigh pari a 20Hz lungo una banda di frequenza che supera di poco i 50Hz. 3.2 MODELLO CON ZONA A BASSA VELOCITA' (LVZ)

In   quest'ultima   simulazione   ho   realizzato   un   modello   a   tre   strati   in   cui   è   presente un'inversione di velocità. Le misure del modello, la disposizione della sorgente e dei ricevitori e le profondità degli strati sono uguali a quelli del modello test. Le proprietà fisiche all'interno del modello sono presentate nella figura 3.8. SPESSORE (m) Vp (m/s) Vs (m/s)  DENSITA' (gk/m^3) 7.5 700 300 1550 12.5 600 200 1500 2 800 400 1600 Figura 3.8: proprietà del modello LVZ Nonostante i valori di velocità all'interno del modello siano gli stessi visti nel modello test, l'inversione di velocità ha aumentato la complessità della modellazione.

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Il numero di punti per lunghezza d'onda minima è uguale a 20. Il massimo numero di Courant è di 0.47. Fig. 3.9.1: sismogramma sintetico per il modello di terra riportato in figura 3.8. In figura 3.9.1 è mostrato lo shot gather riferito al modello con inversione di velocità. I tempi di arrivo delle onde  di Rayleigh sono visibilmente diversi rispetto al modello test: segno che l'onda sta attraversando un mezzo con caratteristiche elastiche differenti. È inoltre possibile notare una differenza nella fase dell'onda, soprattutto a grandi offset. Lo spettro medio di ampiezza (Fig. 3.9.2) mostra il cambiamento della forma d'onda durante il passaggio in questo modello. Fig: 3.9.2: spettro di ampiezza medio riferito al modello LVZ 3.3 MODELLO CON TOPOGRAFIA NON UNIFORME Al modello test è stata aggiunta una topografia non uniforme.

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In   questo   modello,   è   stato   investigato   l'effetto   della   topografia   su   un   modello   2D, utilizzando il metodo agli elementi spettrali per la costruzione della mesh. La geometria della topografia è ben visibile nella figura 3.10. Fig. 3.10: modello con topografia, in cui sono ben visibili gli strati a diversa velocità (le regioni più scure sono interessate da velocità maggiori). L'offset è pari a 32 m, mentre le interfacce sono presenti a 7.5 m, 20 m e 22 m. Oltre alla litologia, la presenza di irregolarità morfologiche (pendenze,gradini ,canyon, strati curvi,etc..) può modificare il movimento sismico del suolo al passaggio di onde sismiche.

L'effetto   di   sito   della   topografia   dipende   fortemente   dalla   sua   geometria,   e   quindi esperimenti sismici e geologici diventano importanti per recuperare informazioni sulla struttura delle velocità locali presenti nel sottosuolo. Numerose osservazioni macrosismiche, studi analitici, numerici e sperimentali indicano che il moto sismico alla cresta di rilievi isolati è amplificato rispetto al piede (Pagliaroli et al., 2011). Dal punto di vista quantitativo, la reale entità degli effetti topografici è spesso "nascosta" dalla coesistenza con gli effetti stratigrafici (amplificazione del moto sismico dovuta al contrasto di impedenza dei materiali) (Pagliaroli, 2012).

In   prima   approssimazione,   l'amplificazione   aumenta   con   l'aumento   medio   della pendenza del pendio (Paolucci,2002).

Lo  SPECFEM2D facilmente  implementa  internamente  la  presenza  di  topografia  nei modelli,   ma   è   fortemente   sconsigliato   in   caso   di   simulazioni   con   superfici   molto complesse, in cui la distorsione dell'elemento è troppo accentuata e il mesher interno al

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software non è in grado di eseguire. 

In questa simulazione, onde evitare fenomeni di instabilità, è stato impostato un numero massimo di Courant CFLmax = 0.44, in quanto la presenza della topografia modifica la forma degli elementi all'interno della mesh, rendendoli di minori dimensioni.

Per alcuni elementi il passo di campionamento risultava troppo piccolo, quindi si  è provveduto   a   diminuirlo:   è   così   passato   a   4.875x10^­5   s,   per   un   numero   totale   di campioni di 10421.

Il numero di 20 punti per lunghezza d'onda minima, invece, continua a permettere buone simulazioni senza dispersione da griglia.

Sono   state   realizzate   due   simulazioni,   in   cui   la   sorgente   sismica   verticale   è   stata posizionata ai lati opposti della topografia.

Fig. 3.11: sismogramma sintetico relativo al modello della fig. 5: la sorgente è posta in superficie nella posizione 0,0m.

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Fig. 3.12: sismogramma sintetico relativo al modello della fig. 5: la sorgente è posta in superficie nella posizione 0,0m. Nei sismogrammi è ben visibile l'effetto della topografia: la presenza di un avvallamento disturba il viaggio dell'onda sismica, rendendo più complicata la distinzione degli eventi sismici. Fig. 3.13 : sinistra: snapshot dopo 0.16 s per il modello test; destra: snapshot dopo 0.146 s per il modello

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topografia non uniforme, oltre alle riflessioni causate dalle diverse proprietà elastiche degli strati. Nella figura 3.13 è possibile notare la differenza nella propagazione del fronte d'onda all'interno dei due esempi grazie a due snapshot che mostrano le componenti del vettore spostamento del campo d'onda.  3.4 MODELLO CON ATTENUAZIONE La perdita di energia durante la propagazione dell'onda sismica può essere dovuta a tre fattori: 1. geometrical spreading: l'energia del fronte d'onda sferico, ad esempio, emanato da   una   sorgente   puntiforme,   è   distribuito   su   tutta   la   superficie   sferica,   e diminuisce al crescere del fronte;

2. attenuazione   intrinseca:   la   propagazione   dell'onda   elastica   consiste   in   uno scambio  permanente  tra  energia  potenziale  (spostamento)  ed  energia  cinetica (velocità). Questo processo non è del tutto reversibile, e la perdita di energia è causata da una parziale trasformazione di essa in calore, ad esempio al contatto coi granuli presenti nel sottosuolo;

3. attenuazione   dovuta   a   scattering:   ogni   qual   volta   ci   sono   cambiamenti   di materiale,   l'energia   del   campo   d'onda   viene   'scatterata'   in   differenti   fasi. Dipendendo   dalle   proprietà   del   materiale,   assisteremo   ad   un   decadimento dell'ampiezza ed ad effetti dispersivi.

Il moto dell'onda in mezzi reali è, in molti aspetti, differente da moto in un solido idealmente elastico.

Effetti come attenuazione dell'onda e dispersione modificano largamente l'ampiezza e il viaggio del campo d'onda.

L'assorbimento   di   energia,   dovuto   a   meccanismi   intrinsechi,   è   un   aspetto fondamentale associato alla propagazione dell'onda sismica in tutti i materiali reali, e porta come primo risultato, ad un'evoluzione della forma d'onda man mano che aumenta la distanza di propagazione o il tempo di percorrenza (Kjartansson, 1979).

Capire   la  relazione   tra  attenuazione   e  proprietà  delle  rocce   è  importante  in  fase   di acquisizione, processing e interpretazione dei dati sismici. 

I  materiali   si   definiscono   linearmente   elastici   quando   lo   stress   è   proporzionale   allo strain.

Al contrario, in un materiale linearmente viscoelastico, il tensore degli stress può essere espresso attraverso derivate temporali del tensore di strain (Carcione, 1993).

Lo stress di taglio, ad esempio, può essere relazionato allo strain di taglio tramite uno di questi modelli (Mavko,Mukerji e Dvorkin, 2009):

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˙ εij= σ˙ij (2μ)+ σij (2 η) solido di Maxwell; σij=2 η ˙εij+2μεij solido di Voigt ; η ˙σij+(E1+E2)σij=E2( η ˙εij+Eij) standard linear solid.

Dove:   εij e   σij sono stress e strain,   μ è il modulo di taglio,   E1E2 sono due

moduli elastici addizionali ed  η è una costante del materiale simile alla viscosità. La   misura   più   comune   di   attenuazione   di   un   onda   sismica   è   il   fattore   di   qualità adimensionale Q o il suo inverso 1/Q (fattore di dissipazione).

Come   proprietà   intrinseca   della   roccia,   Q   rappresenta   il   rapporto   tra   energia immagazzinata su energia dissipata (Johnston e Toksöz, 1981).

Q è la misura di quanto un materiale sia dissipativo.  L'attenuazione è inversamente proporzionale a Q: minore è il valore di Q e maggiore sarà l'attenuazione dell'onda. In   termini   di   energia,   Q   può   essere   espresso   tramite   la   formula  (Mavko,Mukerji   e Dvorkin, 2009): 1 Q= (ΔW ) (2 πW )   che rappresenta il rapporto tra energia dissipata per ciclo di oscillazione ed energia di picco durante il ciclo.

In   termini   di   attenuazione   spaziale   α il   fattore   Q   è   espresso   nella   formula (Mavko,Mukerji e Dvorkin, 2009): 1 Q≈ (αV )f ) dove V è la velocità ed f la frequenza. L'energia di un'onda elastica, che viaggia in profondità, viene parzialmente convertita in calore. Questa perdita di energia  è dipendente dalla frequenza: le frequenze maggiori sono assorbite più rapidamente rispetto a quelle minori. Essendo 1/Q la misura della perdita di energia per ciclo di oscillazione, dopo una certa distanza  dalla  sorgente  c'è  una tendenza  per  le  lunghezze  d'onda  minori  (frequenze maggiori)   ad   essere   attenuate   molto   più   rapidamente   rispetto   alle   lunghezze   d'onda maggiori (frequenze minori).

L'attenuazione dell'ondina attraversando un mezzo anelastico prende due forme: per primo perde energia: maggiore è la sua frequenza e maggiore sarà la perdita; secondo, la

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componente  di  fase  dell'ondina  subisce  un  ritardo  in  relazione  alla  frequenza  (Jain, 1986).

L'attenuazione e la conseguente dispersione porta un'implicazione nell'interpretazione dei   dati   sismici:   ci   si   aspetta   una   distorsione   dell'ondina   lungo   il   suo   percorso   in profondità (Jain, 1986).

Per questo, il fattore di qualità Q come funzione della profondità, è di notevole interesse per lo studio delle acque sotterranee, per studi ingegneristici e ambientali, nonché per l'esplorazione petrolifera e  in generale nella sismologia. 

Le ampiezze delle onde sismiche si riducono quando le onde si propagano attraverso un mezzo   anelastico.   Le   caratteristiche   di   attenuazione   possono   rivelare   informazioni uniche su litologia, stato fisico, e grado di saturazione roccia (Toksöz e Johnston, 1981). La stima e l'influenza del fattore di qualità per i materiali poco profondi vicini alla superficie è diventato importante in molte applicazioni. 

La   relazione   tra   il   coefficiente   di   attenuazione   delle   onde   di   Rayleigh   αR   ,   in

funzione della frequenza  f, e il fattore qualità per le onde P e le onde S è espressa dall'equazione (Anderson, 1965): αR(f )=f ) (CR2 (f ))[

i=1 n Pi(f )Q−1Pi+

i=1 n Si(f )Q−1Si ] dove Pi(f )=VPi ( ∂CR(f )) (∂VPi) Si(f )=VSi(∂CR(f )) (∂VSi) e QPie QSi sono i fattori qualità per le onde compressionali e di taglio nello strato i­ esimo.   VPie VSi sono le velocità delle onde P ed S;  CR è la velocità di fase delle onde di Rayleigh ed n è il numero di strati per un modello di terra stratificato. La relazione, invece, tra l'ampiezza A e il coefficiente di attenuazione    αR è data da (Kudo e Shima,1970): A ∝exp[−αR(f ) x ] dove x rappresenta la distanza tra sorgente e ricevitori. Anche in questo caso, il software SPECFEM2D, che implementa il metodo agli elementi   spettrali  (SEM),   è  usato   per  la  simulazione  della  propagazione   di  un'onda

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sismica   all'interno   di   un   mezzo   eterogeneo   e   anelastico.   Possono   essere   prodotte simulazioni attraverso mezzi solo elastici, accoppiando mezzi elastici e viscoelastici, o solo mezzi anelastici. Nel mio forward modelling ho utilizzato un modello di sottosuolo stratificato eterogeneo viscoelastico. Le caratteristiche spaziali e temporali del modello sono le stesse del modello test visto all'inizio del capitolo. Verrà utilizzata la stessa sorgente con la stessa banda di frequenza. Le frequenze all'interno del modello, inizialmente settate uguali a quelle del modello test, subiranno un certo decadimento al fine di testare un modello terrestre viscoelastico. Per ogni strato, i parametri di attenuazione che il software ti permette di modificare sono Qμe Qk dove   Qμ è sempre uguale al fattore di attenuazione per le onde S   QS

mentre   Qk non  è,   in  generale,  uguale  a   QP (Carcione,  1993),  ma   attraverso  la

formula (Dahlen e Tromp, 1998): QP= 1 (( (1−4 3( Vs Vp) 2 ) Qk )+( (4 3( Vs Vp) 2 ) Qμ )) è possibile convertire l'uno con l'altro. Nel mio modello 1D tratterò  QPQk e ci aspettiamo un'attenuazione maggiore delle onde di taglio rispetto alle onde compressionali (Carcione et. al. 1988). Il modello di riferimento è il modello test descritto inizialmente. Per un'arenaria asciutta,  QP/QS è più o meno uguale a 1 (Johnson, 1981), quindi ho impostato  Qk=Qμ  = 3.75, 7.5 e 9 rispettivamente dallo strato più superficiale a quello più profondo (Xia et al, 2001). Fig. 3.14: sismogramma sintetico per un modello di terra identico al modello test, con la presenza di attenuazione viscoelastica in tutti gli strati.

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All'interno di questo shot gather possiamo notare l'effetto dell'attenuazione: le onde di Rayleigh sono state attenuate, effetto visibile a larghi offset dovuto ad uno sgranamento dell'ondina, che diventa più larga a causa della riduzione delle alte frequenze. Inoltre, anche le riflessioni dai bordi sono state attenuate, segno che l'onda incidente abbia raggiunto il bordo con minor energia. Si può notare un aspetto dispersivo delle onde superficiali a offset maggiori; e una presenza più marcata dei primi arrivi.  Fig. 3.15 : sinistra: snapshot dopo 0.16 s per il modello test; destra: snapshot dopo 0.16 s per il modello con attenuazione. Notare come dopo lo stesso tempo, il fronte d'onda sia stata modificata al passaggio in un mezzo viscoelastico.  

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Fig. 3.16: sinistra: spettro di ampiezza vs offset per il modello test; destra: spettro di ampiezza vs offset per il modello con attenuazione. Notare come il massimo dell'energia si sia spostato verso frequenze minori. Fig. 3.17: sinistra: spettro di ampiezza medio di tutte le tracce per il modello test; destra: spettro di ampiezza medio per il modello con attenuazione. Notare l'attenuazione subita dalle alte frequenze in un mezzo viscoelastico. L'analisi spettrale, presente nelle figure precedenti, indica una riduzione dell'ampiezza delle onde sismiche durante il passaggio in un mezzo anelastico. L'attenuazione è frequenza dipendente: attraverso gli spettri è ben visibile l'attenuazione subita dalle alte frequenze. Ed anche la forma dell'ondina attraverso un mezzo anelastico è stata modificata. La simulazione della propagazione dell'onda in un mezzo estremamente anelastico (bassi valori   di   Q)   mostra   importanti   differenze   nelle   ampiezze   del   campo   d'onda   e   nel contenuto in frequenze.

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Capitolo 4 CURVE DI DISPERSIONE Le onde di Rayleigh attraversano l'interfaccia terra­aria e sono un risultato delle onde P combinate con le onde  S verticalmente polarizzate, che interagiscono con il limite della superficie libera.  Le onde di Rayleigh sono dispersive al di sopra di una geologia stratificata: proprietà, questa, molto studiata, che può essere sfruttata nell'indagine geofisica.

La   curva   di   dispersione   mostra   la   velocità   dell'onda   ad   ogni   lunghezza   d'onda   o frequenza: diverse lunghezze d'onda penetrano a profondità diverse: le onde di Rayleigh viaggiano a diverse velocità di fase a seconda delle proprietà meccaniche del mezzo.  La velocità di un'onda superficiale non è unica ma, piuttosto, è caratterizzata da valori diversi che dipendono dalle diverse frequenze che compongono l'onda. Particolari ed uniche coppie di frequenza e velocità di fase identificano la curva di dispersione, che è composta da modo fondamentale e modi superiori (Aki e Richards, 2002). I modi superiori, matematicamente, non sono altro che soluzioni multiple per una stessa frequenza.

Fisicamente   questo   significa   che   una   stessa   frequenza   può   propagarsi   con   velocità distinte. Il modo fondamentale è identificato dalle velocità di propagazione minore; le velocità maggiori vengono invece identificate come modi superiori.

La caratteristica dispersiva di queste onde è, quindi, visibile nella curva di dispersione nella sua natura modale.

Molto   spesso   è   la   modalità   fondamentale   con   la   sua   curva   ad   essere   usata   per   la modellazione e l'inversione dei dati.

In   strutture   stratificate,   le   curve   di   dispersione   delle   onde   di     Rayleigh   sono generalmente multimodali.  Le modalità delle onde di Rayleigh più alte possono fornire informazioni a profondità maggiori rispetto alla modalità fondamentale, e possono migliorare l'accuratezza di un profilo invertito di velocità dell'onda S (Xia et al., 2000). 4.1 Curva di dispersione teorica In questo capitolo verrà trattato in maniera molto veloce il problema delle curve di dispersione teoriche delle onde di Rayleigh. Per una maggiore conoscenza si prega di consultare Aki and Richards (2002) e Dunkin (1965). Le curve di dispersione teoriche sono calcolate per modelli in cui le proprietà variano esclusivamente con la profondità. Sono quindi modelli esclusivamente 1D in cui gli strati hanno proprietà costanti al loro interno (Fig. 4.1).

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I parametri del modello sono: le velocità delle onde compressionali (Vp), le velocità delle onde di taglio (Vs) e le densità ( ) in ogni strato.ρ La teoria di questo metodo per il calcolo delle curve di dispersione teoriche  è stata proposta per la prima volta da Thomson (1950) e Haskell (1953), e successivamente modificata da numerosi altri autori. In questo elaborato di tesi verrà utilizzato una parte del pacchetto GEOPSY (Wathelet, 2005), GPDC, per la costruzione delle curve teoriche, che utilizza le notazioni proposte da Dunkin (1965).  Fig. 4.1: modello monodimensionale schematico definito da n strati. Nel caso di una stratificazione orizzontale, le onde di Rayleigh sono dispersive, e il problema   della  costruzione  della  curva   di  dispersione   teorica  può  essere  risolto   dal metodo della 'propagator matrix' (Aki and Richards, 2002).

Il   software   GPDC   prevede   in   input   una   matrice   contenente   il   numero   di   strati,   i parametri del modello (Vp, Vs,   e gli spessori di ogni strato) e il range di frequenze cheρ si vuole analizzare. Restituirà in output l'andamento delle velocità di fase delle onde di Rayleigh lungo l'asse delle frequenze scelto.

Sarà presente in modo fondamentale e un numero di modi superiori scelti a priori.

4.2 Trasformata di Radon

Siccome  differenti  modi  delle  onde  di  Rayleigh  interferiscono tra  loro nel  dominio spazio­tempo,   è   necessario   attuare   un   metodo   di   separazione   e   ricostruzione,   per determinare con accuratezza la mappatura delle velocità di fase in un immagine 1D di

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dispersione. 

La Trasformata di Radon (Radon,1917) è stata applicata solo recentemente negli studi di sismologia regionale e globale (Ma et al. 2007; An et al. 2007; Gu et al. 2009).

Questo   metodo,   nella   sua   forma   discretizzata,   è   conosciuto   in   differenti   variazioni (linerare, parabolica, hyperbolica, generalizzata) e con diversi nomi (slant stack, beam­ forming, fan filtration, tau­pi transform).

Obiettivi  chiave  del  metodo   sono  l'isolamento  del   segnale  e   il  miglioramento   dello stesso, la riduzione del rumore e la ricostruzione dei dati. La Trasformata di Radon Lineare (LRT) è utilizzata per separare e ricostruire l'energia delle onde di Rayleigh, che ricordiamo essere dispersive e multimodali. Generare un'immagine dispersiva affidabile nel dominio velocità­frequenza è la chiave per il successivo processo di inversione. La risoluzione dell'immagine dispersiva è fondamentale per la raccolta dell'energia della modalità fondamentale, ben separata dalle modalità superiori di queste onde superficiali. A questo scopo, nella letteratura possiamo trovare l'utilizzo di vari metodi: la trasformata F­K   (Yilmaz   1987),   la   trasformata   Tau­pi   (McMechan   &   Yedlin   1981),   lo   shift phase(Park et al. 1998) e l'algoritmo di slant stacking (Xia et al., 2007). Questi quattro algoritmi sono forme diverse della LRT (Luo et al.,2009). Nella mia tesi ho utilizzato la trasformata Tau­pi. Essa è definita tramite l'equazione (Turner,1990): ^F( τ , p)=

i=1 n F(xi, τ+ pxi),      (4.1) dove n = numero di tracce sismiche usate nella trasformata, tau  τ = intercetta a zero offset, p = lentezza apparente (parametro del raggio), x = coordinate spaziali orizzontali (o la posizione delle tracce sismiche), F(x , t) = ampiezze nel dominio x­t, F( τ , p) = ampiezze nel dominio tau­pi.

Ogni   traccia   nel   dominio   tau­pi   rappresenta   la   somma   delle   tracce   sismiche   lungo differenti pendenze.

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Fig. 4.2. Diagramma semplificato che mostra la procedura utilizzata nella Trasformata di Radon (Gu, Sacchi,2009). La somma lungo il parametro del raggio (pendenze) mappata nel dominio x­t, esprime il punto ad energia maggiore nel dominio radon (dominio tau­pi). La massima energia corrisponde alla massima pendenza. Per ottenere la curva di dispersione desiderata, si esegue una trasformata di Fourier per passare dal dominio tau­pi al dominio frequenze­velocità (o frequenze­lentezze). Fig. 4.3. Curve di dispersione, con scala di energia, per i super­imposti modo fondamentale e primo modo superiore (Luo et al.,2009).

Poiché   l'accuratezza   nell'individuazione   delle   velocità   di   fase   è   fondamentale   per l'inversione   delle   onde   superficiali   e   l'energia   del   modo   fondamentale   è   spesso contaminata   dai   modi   superiori   o   dall'energia   delle   onde   di   volume,   è   diventata   di estrema importanza un'efficiente ed accurata separazione dei modi.

Le curve di dispersione sperimentali sono generalmente ristrette ad una specifica banda di   frequenza,   al   contrario   di   quelle   teoriche   che   possono   essere   calcolate   per   ogni intervallo di frequenze.

Il modo fondamentale è selezionato manualmente, mentre il resto viene tagliato, creando una curva di dispersione che contiene solamente le coppie frequenze­lentezze riferite esclusivamente a questo modo.

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I modi superiori delle onde superficiali sono noti per essere dominanti in siti in cui esistono grandi contrasti di rigidità e/o inversioni di velocità (O'Neil & Toshifumi).

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Capitolo 5 INVERSIONE

Quando  si parla  di “inversione” si intende un’insieme  di tecniche  matematiche che consentono   di   ricavare   i   parametri   del   modello   a   partire   dai   dati   misurati sperimentalmente.  Questo procedimento si contrappone, anche nel nome, ai problemi diretti, nei quali, al contrario, ci si pone il problema di predire i dati misurati a partire da un sistema dalle caratteristiche note, ovvero di cui se ne conoscono i parametri e le leggi fisiche che lo descrivono (Fig. 5.1). Fig. 5.1. Definizione semplificata di un problema inverso. Esistono varie tecniche di inversione, che  si differenziano nel particolare approccio con il quale viene effettuata la ricerca della soluzione all’interno dello spazio dei parametri. In sismica, l'obiettivo del problema inverso è quello di stimare le proprietà elastiche del modello di sottosuolo a partire da dati sismici registrati. Il campo d'onda registrato è il dato (d) conosciuto, mentre le proprietà fisiche del mezzo (m), attraverso il quale si propaga l'onda elastica, sono incognite. Così il campo d'onda sarà funzione delle proprietà del mezzo. Se sono conosciute le leggi fisiche che mettono in relazione i parametri del modello m ai dati osservati d è possibile definire un operatore G tale che: d=G(m).  (5.1) Un problema inverso si definisce non lineare, quando l'equazione (5.1) costituisce un sistema di equazioni non lineari che ha come incognite i parametri del modello. Il problema di inversione consiste, quindi, nel trovare un set di parametri del modello m che predicono i dati sismici osservati  dobs (Pratt et al.,1998).

Un   forward   modelling   calcola   un   set   di   dati   predetti  dpre  basati   su   una   stima   dei parametri del modello.

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Il residuo e tra i dati dobs e dpre deve essere il più piccolo possibile ed i parametri del modello possono essere aggiornati, nei processi iterativi, per ridurre il misfit.  Il vettore degli scarti e viene definito, tramite la norma L2, dall'equazione: e = ||dobs – G(m)||2 = ||  dobs ­  dpre||2.  (5.2) Se il Problema Inveso è fortemente non lineare, possono essere usati i metodi globali per trovare un modello che spieghi il dato osservato. Queste metodologie di inversione consistono nel risolvere iterativamente il problema diretto dpre = G(m), al fine di trovare il modello che minimizzi la norma L2 dei residui tra dati osservati e dati predetti (5.2).  I Metodi Montecarlo, per esempio, sono basati su un campionamento dei parametri dello spazio   uniforme   pseudo­random   (Mosegaard   e   Tarantola,   2005;   Mosegaard   e Sambridge, 2002). Questi parametri sono ristretti ad un volume definito da un range di parametri scelti a priori. Tutti i modelli generati sono sempre confinati in questo volume. Il   problema   principale   del   metodo   random   risiede   nel   fatto   che,   all’aumentare   del numero  di   parametri,  la  generazione   dei  modelli   diviene   sempre  più   inefficiente.  Il campionamento uniforme nello spazio dei parametri genera indifferentemente modelli caratterizzati da valori di misfit bassi ed elevati e non consente di concentrare la ricerca della soluzione nell’intorno di zone particolarmente interessanti. Nel 1999 Sambridge propose un metodo basato sulla suddivisione dei parametri dello spazio in celle di Voronoi (Neighbourhood Algorithm). Esso è un algoritmo auto­adattivo nella ricerca dei parametri dello spazio: in ottime situazioni, vengono campionate tutte le regioni dove sono stati trovati i modelli con accettabile data­fit. 5.1 NEIGHBOURHOOD ALGORITHM Sambridge, attraverso questo algoritmo, cercava la risposta a questa domanda :”Come può una ricerca di nuovi modelli essere guidata al meglio da tutti i modelli precedenti per   i   quali   è   stato   risolto   il   forward   model   (e   quindi   valutato   il   valore   misfit   dei dati)?”(Sambridge, 1999). Il suo algoritmo ideale prevedeva l'iterazione di 3 passaggi: 1) costruzione di una 'superficie di misfit approssimata' dati Np modelli per i quali il problema diretto è stato risolto; 2) usare questa approssimazione per generare nuovi Ns campioni; 3) aggiungere Ns agli Np modelli e ripetere il primo passaggio.

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Dato un set di Np campioni nello spazio dei modelli, per i quali la funzione di misfit è stata determinata, l'algoritmo utilizza una costruzione geometrica chiamata diagramma di Voronoi (Voronoi, 1908). In questa maniera, lo spazio n­dimensionale  dei modelli viene diviso in Np regioni (di forma poliedrica), chiamate celle di Voronoi. Ogni cella è semplicemente la regione più vicina ad uno degli Np campioni precedenti, in base ad una particolare distanza (Fig. 5.2).

La   decomposizione   dello   spazio   dei   parametri   in   celle   di   Voronoi   è   alla   base   del Neighbourhood Algorithm (NA). La funzione di misfit è progressivamente definita durante il processo di inversione, ed il suo valore, calcolato al centro di ogni cella, rimane costante.  Fig. 5.2. a) 10 punti random e le loro celle di Voronoi; b) generazione di 100 campioni utilizzando l'approssimazione 'Neighbourhood'; c) 1000 campioni; d) contours della funzione test (Sambridge,1999).    Per ogni distribuzione e densità di campioni, le celle di Voronoi sono sempre uniche, ed hanno   dimensioni   inversamente   proporzionali   alla   densità   di   campionamento   (vedi Figura 5.2). Ciò significa che la superficie NA contiene grandi variazioni nel misfit solo laddove il campionamento è stato molto rado (Sambridge, 1999).

L'algoritmo Neighbourhood ha bisogno di 4 parametri di tuning: 1) Itmax = numero di iterazioni da eseguire;

2) Ns0 = numero di modelli scelti random per iniziare l'inversione; 3) Ns = numero di modelli da generare per ogni inversione;

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