Onde progressive Onde progressive

(1)

Le onde Le onde

Onde longitudinali ↔ trasversali

(2)

Onde progressive Onde progressive

( , ) ( )

y x t = f x vt−

( , ) ( )

y x t = f x + vt

Lungo +x Lungo -x

( , ) ( ) ( )

y x t = f x + vt + f x vt−

Interferenza Es.

0 2

0

( )

1 f x y

x x

= ⎛ ⎞

⎜ ⎟ +

⎝ ⎠

x → −x vt

(3)

Riflessione e trasmissione

(4)

Onde armoniche Onde armoniche

sin 2

y ym

π

x

λ

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ x → −x vt

sin 2 ( ) y ym

π

x vt

λ

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠

T v

=

λ

2

k

π

=

λ

2

T

ω

=

π

(5)

Equazione delle onde Equazione delle onde

( , ) sin( ) y x t = A kx −

ω

t

[

^sin( ⁾

]

^cos( ⁾

y A kx t A kx t

t t

ω ω ω

∂ ∂

= − = − −

∂ ∂

[ ]

2

2y y cos( ) sin( )

A kx t A kx t

t t t t

ω ω ω ω

∂ ∂ ∂ ∂

= = − − = − −

∂ ∂ ∂ ∂

2

2 2 2 2

2y sin( ) ( , )

v k A kx t v k y x t

t

ω

∂ = − − = −

∂

(6)

Equazione delle onde Equazione delle onde

[

^sin( ⁾

]

^cos( ⁾

y A kx t kA kx t

x x

ω ω

∂ = ∂ − = −

∂ ∂

[ ]

2

2 cos( ) sin( )

y y

kA kx t k A kx t

x x x x

ω ω

∂ = ∂ ∂ = ∂ − = − −

∂ ∂ ∂ ∂

2

2 ( , )

y k y x t x

∂ = −

∂

2

2 2

2y ( , )

v k y x t t

∂ = −

∂

2 2

2 2 2

1

y y

x v t

∂ ∂

∂ = ∂ Eq. delle onde (lineare)

1 soluzione y

2 soluzione

y ¹ ²

soluzione y + y

(7)

Onde su una corda tesa Onde su una corda tesa

1 = 2 = F

F F

1 2 sin 1 sin 2 (sin 1 sin 2)

y y y

F = F +F = −F

θ

+ F

θ

= F

θ

−

θ

∑

piccolo sin tan

θ

→

θ

≈

θ

tan y

θ

= ^∂x

∂

2 1

y

y y

F F

x x

⎡⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎤

= ⎢⎣⎜⎝ ∂ ⎟⎠ −⎜⎝ ∂ ⎟⎠ ⎥⎦

∑

(8)

2 2

2 1

y

y y y x x y x y x

x x x x x x x

Δ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ −⎛ ⎞ = Δ = ∂ Δ = ⎛ ⎞Δ = Δ

⎜ ∂ ⎟ ⎜ ∂ ⎟ ∂ Δ ∂ ∂⎜ ⎟ ∂

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Onde su una corda tesa Onde su una corda tesa

2 y 2

F F y x

x

= ∂ Δ

∑

∂

μ

= M L/ densita' lineare m = Δ

μ

x

∑

^F_y ⁼ ^ma_y ^a^y ⁼ ^∂_∂²_t²^y

2 2

y y

F x x

x

μ

t

∂ ∂

Δ = Δ

∂ ∂

2 2

y y

x F t

μ

∂ ∂

∂ = ∂

2 2

2 2 2

1

y y

x v t

∂ ∂

∂ = ∂

v F

=

μ

forza di richiamo massa inerziale v =

(9)

Le onde stazionarie Le onde stazionarie

( )

1 sin

y = A kx −

ω

t

( )

2 sin

y = A kx +

ω

t

( ) ( )

1 2 sin sin

y = y + y = A kx −

ω

t + A kx +

ω

t

sin sin 2sin cos

2 2

α β α β

α

+

β

= ⎢^⎡⎣ ⁺ ^⎤⎥⎦ ^⎡⎢⎣ ⁻ ^⎤⎥⎦

( ) ( )

( , ) 2 cos sin

y x t = A

ω

t kx (0, ) 0 ( , ) 0

y t = y L t =

2

n

L

λ

= n

/

n 2

n F

L

ν

_{= ⎜}^⎛_⎜

μ

^⎞_⎟_⎟

⎝ ⎠

(10)

Onde in 2 e 3 dimensioni Onde in 2 e 3 dimensioni

x = ⋅u r

( , ) sin( ( ) ) y r t = A k u r⋅ −

ω

t

( , ) sin( )

y r t = A k r⋅ −

ω

t

P E

t

= Δ Δ

P E

I S t S

= = Δ

Δ Δ Δ

0

4 2

I P

π

r

=