Elementi di Matematica e Logica (I modulo) Esame - 11 gennaio 2010
- Dare adeguate spiegazioni a ogni quesito, senza spiegazioni le risposte non verranno considerate. - Scrivere i primi 2 esercizi su un protocollo e gli altri su un altro protocollo.
- Ricordarsi di mettere nome e cognome su tutti i fogli che si consegnano ( si pu`o tenere il testo).
Es. 1 . Sia f : Z → Z24 definita da f (a) = 5a
a) Dire se f `e iniettiva e/o surgettiva.
b) Dire se f `e un omomorfismo di gruppi additivi.
Es. 2 . Provare per induzione che per ogni intero n ≥ 4 si ha: n! ≥ 2n.
Es. 3 . Dire se l’equazione 490x+125y = 15 ha soluzioni intere e in caso affermativo determinarle tutte.
Es. 4 . In Z8 poniamo a ∼ b ⇐⇒ a3 = b 3
. a) Provare che ∼ `e una relazione di equivalenza.
b) Determinare quanti e quali sono gli elementi equivalenti a 2 . c) Determinare l’insieme quoziente Z8/ ∼ .
Es. 5 . Determinare in Z49 un elemento a non nullo che abbia una potenza nulla; dire poi se
per ogni elemento b invertibile di Z49 `e vero che b + a `e invertibile.
Es. 6 . Sia S = {A ∈ Mn(K) | det(A) = 1} , dove K `e un campo. Dire se S `e un sottogruppo
del gruppo moltiplicativo delle matrici invertibili Gln(K) .
Es. 7 . Discutere al variare di a ∈ R le soluzioni del sistema lineare x + 2ay + 3z = 4 y + 2z = 3 ax + y + az = 1 e calcolarle nel caso a = 1 .
Es. 8 . Dati i numeri complessi z = −
√ 2 2 + i√2 2 e w = cos π 60+ isen π 60.
a) Dire se esiste n ∈ N tale che wn= z .
