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Compito 17 novembre 2014

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Academic year: 2021

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(1)

Università  dell'Aquila  –  CDL  in  Ingegneria  Civile  e  Ambientale  

Compito  di  Fisica  Generale  II  del  17/11/2014  

 

Nome  e  Cognome:  _________________________  Matricola:______________________________________   PROBLEMA   1   Una   densità   di   carica   volumetrica   uniforme   !   è   racchiusa   in   uno   strato   piano   infinito   di   larghezza  d.  Al  centro  dello  strato  carico  c’è  un  piano  anch’esso  infinito  con  densità  

di   carica   superficiale   !.   1)   Calcolare   l'espressione   del   campo   elettrico   in   tutto   lo   spazio   in   funzione   della   distanza   dal   piano   (3   punti).   2)   Calcolare   il   valore   della   distribuzione  di  carica  !  affinchè  il  valore  della  differenza  di  potenziale  tra  il  bordo   dello   strato   piano   (! = !/2)   ed   il   piano   carico   (! = 0)   sia   Δ!   (3   punti).   3)   Una   carica  q  di  massa  m  è  posta  a  distanza  ! = 4!  dal  piano  carico.  Calcolare  quanto   deve  essere  il  valore  minimo  della  velocità  di  una  particella  di  carica  q  e  massa  m  

affinché  possa  arrivare  a  toccare  il  piano  carico,  nell'ipotesi  in  cui  essa  non  subisca  urti  nell'  attraversare  la   distribuzione  di  carica  (4  punti).  

Dati  del  problema:    !  =  10!C/!!,  Δ!  =  10kV,    d  =  10cm,  q  =  1nC,  m  =  10!!kg.  

PROBLEMA   2   I   due   condensatori   in   figura   sono   a   facce   piane   e   parallele   con   area   S   e   distanza   d.   Il   condensatore   di   destra   è   riempito   per   metà   con   dielettrico  di  costante  !!  e  per  l’altra  metà  con  dielettrico  

di  costante  !!.  All’istante  ! = 0  essi  sono  scarichi  e  viene  

chiuso   l’interruttore.   Si   calcoli:   1)   la   capacità   dei   due   condensatori   (1   punto);   2)   il   circuito   equivalente   di   Thevenin  visto  dai  morsetti  A  e  B  (3  punti);  3)  la  carica  che  a  regime  si  trova  su  ciascuno  dei  condensatori  (2   punti);  4)  le  cariche  di  polarizzazione  (a  regime)  su  ciascuno  dei  due  dielettrici,  specificandone  il  segno  (2   punti);    5)  la  corrente  che  scorre  in  !!  non  appena  viene  chiuso  l’interruttore  (2  punti).    

Dati   del   problema:   !!= 10Ω,   !!= 5Ω,   !! = 2Ω,   !!= 2Ω,   !!= 10V,   !!= 1V,   !! = 3,   !! = 4,   ! =

10mm!,  ! = 0.1mm.  

PROBLEMA  3  Due  fili  rettilinei  indefiniti,  tra  loro  paralleli  e  posti  a  distanza  d  l’uno  dall’altro,  sono  percorsi   da  due  correnti  concordi  !!  e  !!.  Una  particella  dotata  di  carica  q  e  massa  m  si  trova  tra  i  due  fili  a  distanza  !  

da   uno   di   essi,   come   mostrato   in   figura.   Ad   un   certo   istante   la   particella  inizia  a  muoversi  con  velocità  v  parallela  ai  due  fili.  1)  Si   trovi  per  quale  valore  di  !!  la  traiettoria  percorsa  dalla  particella  è  

rettilinea  e  parallela  ai  due  fili  (4  punti).  2)   Nel   caso   in   cui   sia   !!= !!/5  ,  si  calcoli  direzione  modulo  e  verso  di  un  campo  elettrico  

uniforme  nello  spazio  da  applicare  affinché  la  traiettoria  della  particella  sia  parallela  ai  due  fili  (4  punti).  3)   Si  calcoli  modulo,  direzione  e  verso  dell’accelerazione  con  cui  inizia  a  muoversi  la  particella  nel  punto  2)  se   non  viene  applicato  nessun  campo  elettrico.  

Dati:    !!  =  0.5A,  d  =  1m,  !  =  0.75m,  v  =  200  m/s,  ! = 10!C,  ! = 10!!kg  

     

(2)

PROBLEMA  1  

 

PROBLEMA  2  

a)  Il  secondo  condensatore  è  equivalente  al  parallelo  di  due  condensatori  con  capacità  !! = !!!!!/2!  e  

!! = !!!!!/2!,  ovvero  !!= !!+ !! = 3.1pF,  mentre  per  il  primo  si  calcola  !! = !!!/! = 0.88pF.    

b)  Con  i  versi  indicati  per  le  correnti,  si  possono  scrivere  le  seguenti  equazioni:  

 

!!= !!!!+ !!!!

!! = !!!!− (!!+ !!)!! !!= !!+ !!  

 

Risolvendo  il  sistema  si  ottiene  !!= 0.77A,  !!= 0.45A,  !! = 0.32A.  Il  

generatore  equivalente  di  Thevenin  genera  la  forza  elettromotrice   !!! = !!− !!= !!+ !!!!= 1.63V.  La  resistenza  equivalente  di  Thevenin  è  invece  data  dal  parallelo  di  !!  

ed  !!"# = !!+ !!",  dove  !!"= !!!!/(!!+ !!)  è  il  parallelo  di  !!  ed    !!.  Si  trova  dunque  !!! =

!!!!"#/(!!+ !!"#) = 1.45Ω.    

c)La  tensione  che  a  regime  si  trova  sui  due  condensatori  è  pari  !!!  e  le  cariche  sono  date  da  !!= !!!!!=

1.45pC  e  !!= !!!!!= 5pC.    

SOLUZIONI Problema 1

a) Il campo elettrico ´e la somma del contributo dovuto alla densit´a di carica volumetrica ρ e di quella superficiale σ. Data la simmetria del problema il campo e’ ovunque diretto come l’asse delle x. In un punto generico−d/2 < x < d/2 ´e:

E(x) = σ

2�0 + (ρx

�0 )

In punti x esterni alla distribuzione di carica (|x| > d/2) avremo: Eext(x) = σ 2�0 + (ρd 2�0 )

b) La differenza di potenziale tra il bordo esterno della distribuzione di carica totale ed il suo centro ´e data da:

∆V = V (0)− V (d/2) = � d/2 0 Edx = 1 �0 � d/2 0 (σ 2 + ρx)dx = 1 4�0 (σd +ρd 2 2 ). Poiche’ ∆V ´e nota, avremo:

σ = 4�0∆V

d − ρd/2 = 3.0µC/m

2

c) La velocit´a della carica q pu´o essere calcolata dalla conservazione dell’energia: q(V (4d)− V (0)) = 1 2mv 2, v = � 2q∆V� m ∆V�= ∆V + � 4d d/2 Eextdx = 1 2�0 � 4d d/2 (σ + ρd)dx = ∆V + 7d 4�0 (σ + ρd) = 90kV da cui v = 13.7m/s 2

(3)

d)  Le  cariche  di  polarizzazione  sono  negative  sulla  faccia  superiore  dei  due  dielettrici.  Le  densità  di  tali   cariche  sono  !! = !! !!− 1 !!  e  !! = !! !!− 1 !!,  dove  !! = !! = !!!/!.  Si  trova  dunque  !! =

!!!/2 = 1.45pC  e  !! = !!!/2 = 2.17pC.  

e)  Non  appena  chiuso  l’interruttore  sul  condensatore  non  c’è  caduta  di  tensione,  dunque  si  può  scrivere   0 = !!+ !!!!(0),  da  cui  !!(0) = !!/!!= −0.5A  (il  segno  negativo  indica  che  la  corrente  scorre  verso  

l’alto).     PROBLEMA  3  

Assumendo  come  positivo  il  verso  del  campo  magnetico  uscente  dal  piano  del  foglio,  il  campo  generato  dai   due  fili  è  pari  a:  

! = !! 2! !! !− !! ! − !

1)  La  traiettoria  è  rettilinea  se  il  campo  di  induzione  magnetica  è  nullo.  Pertanto:  !!=!!!

! !!= 0.17!. 2)  Il  campo  elettrico  deve  uguagliare  la  forza  di  Lorenz  per  unità  di  carica,  che  è  pari  a  !".  Inoltre,  poiché  il   campo  magnetico  per  !!= !!/5  è  positivo,  il  campo  elettrico  deve  essere  perpendicolare  ai  due  fili,  diretto  

dal  filo  percorso  da  i1  a  quello  percorso  da  i2  e  di  modulo  pari  a:  

! = !" = !!! 2! !! !− !!/5 ! − ! = 10!!  V/m

3)  In  assenza  di  campo  elettrico  la  particella  è  soggetta  ad  una  forza  di  modulo  pari  a  !"#  e  quindi  la  sua   accelerazione  è  pari  ad  ! = !"#/! = 0.1m/s!.  

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