Compito 17 novembre 2014

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Università dell'Aquila – CDL in Ingegneria Civile e Ambientale

Compito di Fisica Generale II del 17/11/2014

Nome e Cognome: _________________________ Matricola:______________________________________ PROBLEMA 1 Una densità di carica volumetrica uniforme ! è racchiusa in uno strato piano infinito di larghezza d. Al centro dello strato carico c’è un piano anch’esso infinito con densità

di carica superficiale !. 1) Calcolare l'espressione del campo elettrico in tutto lo spazio in funzione della distanza dal piano (3 punti). 2) Calcolare il valore della distribuzione di carica ! affinchè il valore della differenza di potenziale tra il bordo dello strato piano (! = !/2) ed il piano carico (! = 0) sia Δ! (3 punti). 3) Una carica q di massa m è posta a distanza ! = 4! dal piano carico. Calcolare quanto deve essere il valore minimo della velocità di una particella di carica q e massa m

affinché possa arrivare a toccare il piano carico, nell'ipotesi in cui essa non subisca urti nell' attraversare la distribuzione di carica (4 punti).

Dati del problema: ! = 10!C/!!_{,
Δ!
=
10kV,

d
=
10cm,
q
=
1nC,
m
=
10}!!_kg.

PROBLEMA 2 I due condensatori in figura sono a facce piane e parallele con area S e distanza d. Il condensatore di destra è riempito per metà con dielettrico di costante !! e per l’altra metà con dielettrico

di costante !!. All’istante ! = 0 essi sono scarichi e viene

chiuso l’interruttore. Si calcoli: 1) la capacità dei due condensatori (1 punto); 2) il circuito equivalente di Thevenin visto dai morsetti A e B (3 punti); 3) la carica che a regime si trova su ciascuno dei condensatori (2 punti); 4) le cariche di polarizzazione (a regime) su ciascuno dei due dielettrici, specificandone il segno (2 punti); 5) la corrente che scorre in !! non appena viene chiuso l’interruttore (2 punti).

Dati del problema: !!= 10Ω, !!= 5Ω, !! = 2Ω, !!= 2Ω, !!= 10V, !!= 1V, !! = 3, !! = 4, ! =

10mm!_{,
! = 0.1mm.}

PROBLEMA 3 Due fili rettilinei indefiniti, tra loro paralleli e posti a distanza d l’uno dall’altro, sono percorsi da due correnti concordi !! e !!. Una particella dotata di carica q e massa m si trova tra i due fili a distanza !

da uno di essi, come mostrato in figura. Ad un certo istante la particella inizia a muoversi con velocità v parallela ai due fili. 1) Si trovi per quale valore di !! la traiettoria percorsa dalla particella è

rettilinea e parallela ai due fili (4 punti). 2) Nel caso in cui sia !!= !!/5 , si calcoli direzione modulo e verso di un campo elettrico

uniforme nello spazio da applicare affinché la traiettoria della particella sia parallela ai due fili (4 punti). 3) Si calcoli modulo, direzione e verso dell’accelerazione con cui inizia a muoversi la particella nel punto 2) se non viene applicato nessun campo elettrico.

Dati: !! = 0.5A, d = 1m, ! = 0.75m, v = 200 m/s, ! = 10!C, ! = 10!!kg

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PROBLEMA 1

PROBLEMA 2

a) Il secondo condensatore è equivalente al parallelo di due condensatori con capacità !! = !!!!!/2! e

!_! = !_!!_!!/2!, ovvero !!= !!+ !! = 3.1pF, mentre per il primo si calcola !! = !!!/! = 0.88pF.

b) Con i versi indicati per le correnti, si possono scrivere le seguenti equazioni:

!_!= !_!!_!+ !_!!_!

!_! = !_!!_!− (!_!+ !_!)!_! !!= !!+ !!

Risolvendo il sistema si ottiene !!= 0.77A, !!= 0.45A, !! = 0.32A. Il

generatore equivalente di Thevenin genera la forza elettromotrice !!! = !!− !!= !!+ !!!!= 1.63V. La resistenza equivalente di Thevenin è invece data dal parallelo di !!

ed !!"# = !!+ !!", dove !!"= !!!!/(!!+ !!) è il parallelo di !! ed !!. Si trova dunque !!! =

!_!!_!"#/(!_!+ !_!"#) = 1.45Ω.

c)La tensione che a regime si trova sui due condensatori è pari !!! e le cariche sono date da !!= !!!!!=

1.45pC e !!= !!!!!= 5pC.

SOLUZIONI Problema 1

a) Il campo elettrico é la somma del contributo dovuto alla densitá di carica volumetrica ρ e di quella superficiale σ. Data la simmetria del problema il campo e’ ovunque diretto come l’asse delle x. In un punto generico_{−d/2 < x < d/2 é:}

E(x) = σ

2�0 + (ρx

�0 )

In punti x esterni alla distribuzione di carica (|x| > d/2) avremo: Eext(x) = σ 2�0 + (ρd 2�0 )

b) La diﬀerenza di potenziale tra il bordo esterno della distribuzione di carica totale ed il suo centro ´e data da:

∆V = V (0)− V (d/2) = � d/2 0 Edx = 1 �0 � d/2 0 (σ 2 + ρx)dx = 1 4�0 (σd +ρd 2 2 ). Poiche’ ∆V ´e nota, avremo:

σ = 4�0∆V

d − ρd/2 = 3.0µC/m

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c) La velocit´a della carica q pu´o essere calcolata dalla conservazione dell’energia: q(V (4d)− V (0)) = 1 2mv 2_{, v =} � 2q∆V� m ∆V�= ∆V + � 4d d/2 Eextdx = 1 2�0 � 4d d/2 (σ + ρd)dx = ∆V + 7d 4�0 (σ + ρd) = 90kV da cui v = 13.7m/s 2

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d) Le cariche di polarizzazione sono negative sulla faccia superiore dei due dielettrici. Le densità di tali cariche sono !! = !! !!− 1 !! e !! = !! !!− 1 !!, dove !! = !! = !!!/!. Si trova dunque !! =

!!!/2 = 1.45pC e !! = !!!/2 = 2.17pC.

e) Non appena chiuso l’interruttore sul condensatore non c’è caduta di tensione, dunque si può scrivere 0 = !_!+ !_!!_!(0), da cui !!(0) = !!/!!= −0.5A (il segno negativo indica che la corrente scorre verso

l’alto). PROBLEMA 3

Assumendo come positivo il verso del campo magnetico uscente dal piano del foglio, il campo generato dai due fili è pari a:

! = !! 2! !! !− !! ! − !

1) La traiettoria è rettilinea se il campo di induzione magnetica è nullo. Pertanto: !_!=!!!

! !!= 0.17!. 2) Il campo elettrico deve uguagliare la forza di Lorenz per unità di carica, che è pari a !". Inoltre, poiché il campo magnetico per !!= !!/5 è positivo, il campo elettrico deve essere perpendicolare ai due fili, diretto

dal filo percorso da i1 a quello percorso da i2 e di modulo pari a:

! = !" = !!! 2! !! !− !!/5 ! − ! = 10!! V/m

3) In assenza di campo elettrico la particella è soggetta ad una forza di modulo pari a !"# e quindi la sua accelerazione è pari ad ! = !"#/! = 0.1m/s!_.