Analisi Matematica II
Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 15/2/2017
A.A. 2015/2016
Problema 1: Dato il campo scalare
f (x, y) = y p
y + x
2− 2
determinare e disegnare il dominio di f ; discutere se il dominio risulta aperto, chiu- so, limitato, compatto; dire perch´ e f risulta differenziabile nel punto P = (1, 5) e determinare il piano tangente nel punto P .
Problema 2: Determinare i punti critici del seguente campo scalare e discuterne la natura f (x, y) = −x
3+ 3xy
2+ 3x
2y
f ammette punti di massimo o minimo assoluti?
Problema 3: Calcolare
Z Z
D
ydxdy dove D = {(x, y) ∈ R
2: |y| ≤ x, y ≥ x
2− 1}.
Problema 4: Studiare qualitativamente il seguente problema di Cauchy ( y
0= t
2y(y − 2)
y(0) = 1 .
Problema 5: Calcolare il seguente integrale Z
R
cos x x
2+ 4 dx . Problema 6: Sia
f (x) = π − |x|
2 , x ∈ [−π, π[
si denoti con f
]il suo prolungamento periodico su R. Calcolare la serie di Fourier associata a f
], studiarne la convergenza, scrivere l’identit` a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma della seguente serie numerica:
∞
X
n=1
