Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: [email protected] http://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi
CONTROLLI DIGITALI
Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica
SPECIFICHE DI PROGETTO
DI SISTEMI DI CONTROLLO
•
precisione a regime: capacità di un sistema di seguire alcuni segnali di riferimento con il minimo errore.
•
risposta nel transitorio: andamento per tempi finiti dell’uscita del sistema in retroazione in risposta a tipici segnali in ingresso.
Specifiche per un Sistema di Controllo
Nel progetto di un sistema di controllo, il progettista cerca di far sì che il sistema in retroazione complessivo abbia alcune caratteristiche statiche e/ o dinamiche desiderate. Queste caratteristiche vengono usualmente assegnate come specifiche che il sistema deve soddisfare in condizioni
statiche (o di regime) e durante i transitori. Tali specifiche possono essere definite sia nel dominio temporale che nel dominio frequenziale e
CD -- 3
•
sensitività parametrica: si desidera che le prestazioni del sistema non vengano alterate da variazioni dei parametri rispetto ai valori nominali.
•
reiezione di disturbi: capacità del sistema controllato di ridurre al minimo l’influenza sull’uscita di eventuali disturbi che entrano nell’anello di controllo, quali errori di misura, variazioni di carico, rumore sulle variabili acquisite, ecc.;
•
azione di controllo: vincoli sull’ampiezza massima della variabile manipolabile v(t).
Specifiche per un Sistema di Controllo
Cristian Secchi Controlli Digitali
Errori a Regime
G(s) E(s) C(s) Y(s) R(s) - +Dato un sistema tempo-continuo chiuso in retroazione:
)
1
(
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
1
)(
1
(
)
(
)
(
)
(
2 1 2 1s
p
s
p
s
p
s
s
q
s
q
s
q
K
s
G
s
C
s
L
n N m+
+
+
+
+
+
=
=
Il tipo di un sistema è definito come il numero N di poli nell’origine del guadagno d’anello
CD -- 5
Errori a regime
Cristian Secchi Controlli Digitali
G(s) E(z) C(z) Y(z) R(z) - + Hold HP(z)
Se il periodo di campionamento è scelto in modo opportuno l’andamento dell’uscita continua e di quella campionata hanno lo stesso
comportamento dinamico e quindi non c’è differenza al fine del progetto del controllore nel controllare l’uscita tempo continua oppure l’uscita campionata.
Si consideri il seguente sistema di controllo digitale a retroazione unitaria:
Errori a regime
La funzione d’anello del sistema di controllo digitale è data da
)
(
)
(
)
(
z
C
z
HP
z
L
=
dove, nel caso del ricostruttore di ordine 0,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−s
s
G
Z
z
z
HP
(
)
(
1
1)
(
)
Il tipo di un sistemadiscreto è definito come il numero di poli in z=1 del guadagno d’anello
CD -- 7
Errori a Regime
Cristian Secchi Controlli Digitali
) ( ) ( ) ( ) (z R z L z E z E = − ) ( ) ( 1 1 ) ( R z z L z E + =
Assumendo che il sistema sia stabile, è possibile calcolare l’errore a regime mediante il teorema del valore finale
[
]
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − = = → − → − → ∞ → 1 ( ) ) ( 1 lim ) ( 1 ) ( ) 1 ( lim ) ( ) 1 ( lim ) ( lim 1 1 1 1 1 z L z R z z z L z R z z E z k e ereg k z z zErrore di posizione
Si consideri come riferimento il gradino di ampiezza unitaria di ampiezza r0 1 0 1 ) ( − − = z r z R L’errore a regime vale
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = − → − → 1 ( )1 lim 1 ( ) 1 ) 1 ( lim 0 1 1 0 1 1 z L r z r z L z ep z z
Definendo la costante di posizione come
) ( lim 1G z
kp = z→
L’errore a regime ep diventa
p p k r e + = 1 0
Per valori finiti di kp l’errore a regime è sempre non nullo, mentre si ha ep=0 solo nel caso in cui kp=∞. La condizione kp=∞ è verificata per sistemi di tipo 1, 2, …
CD -- 9
Errore di velocità
Cristian Secchi Controlli Digitali Si consideri come riferimento la rampa di pendenza r0
2 1 0 1 ) 1 ( ) ( −− − = z r Tz z R L’errore a regime vale
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = − → − − − → 1 ( )(1 ) lim (1 ) ( ) 1 ) 1 ( lim 10 1 2 1 0 1 1 1 z L z Tr z r Tz z L z ev z z
Definendo la costante di velocità come
T z L z kv z ) ( ) 1 ( lim 1 1 − → − =
L’errore a regime ev diventa
v v k r e 0 =
Per valori finiti di kv l’errore a regime in risposta alla rampa assume valori finiti ma non nulli. Si ha ev=0 solo per kv=∞. Questa condizione è verificata persistemi di tipo 2,3, . . . , mentre non lo è per sistemi di tipo 0 e 1. Si noti infine che per sistemi di tipo 0, si ha kv = 0 e quindi l’errore diverge.
Errore di accelerazione
Si consideri come riferimento un segnale parabolico: 3 1 0 1 1 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) ( − − − − + = z r z z T z R L’errore a regime vale
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + − = − → − − − − → 2(1 ) lim (1 ) ( ) ) 1 ( ) ( 1 1 ) 1 ( lim 1 20 2 1 3 1 0 1 1 2 1 1 z L z r T z r z z T z L z ea z z
Definendo la costante di accelerazione come
2 2 1 1 ) ( ) 1 ( lim T z G z ka= z→ − −
L’errore a regime ea diventa
a a k r e 0 =
Per valori finiti di ka risulta ea≠0, mentre ea=0 solo per ka=∞, condizione verificata per sistemi di tipo 3, 4, . . . . Per sistemi di tipo 0 e 1 si ha ka=0 e quindi l’errore diverge.
CD -- 11
Esempio: Sistema di Tipo 0
Cristian Secchi Controlli Digitali
1 1
5
.
0
1
)
(
− −−
=
z
z
z
G
E(z) G(z) Y(z) R(z) - + 25 . 0 = TLe costanti di posizione, velocità e accelerazione sono date da:
0
)
(
)
1
(
lim
0
)
(
)
1
(
lim
2
)
(
lim
2 2 1 1 1 1 1=
−
=
=
−
=
=
=
− → − → →T
z
G
z
k
T
z
G
z
k
z
G
k
z a z v z pe quindi gli errori di posizione, velocità e accelerazione sono dati da (r0=1):
∞
=
=
∞
=
=
=
+
=
0
1
0
1
333
.
0
2
1
1
a v pe
e
e
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Esempio: Sistema di Tipo 1
Cristian Secchi Controlli Digitali
)
2
.
0
1
)(
1
(
3
.
0
)
(
1 1 2 − − −−
−
=
z
z
z
z
G
R(z) E(z) G(z) Y(z) - + 5 . 0 = TLe costanti di posizione, velocità e accelerazione sono date da:
0
)
(
)
1
(
lim
75
.
0
)
(
)
1
(
lim
)
(
lim
2 2 1 1 1 1 1=
−
=
=
−
=
∞
=
=
− → − → →T
z
G
z
k
T
z
G
z
k
z
G
k
z a z v z pe quindi gli errori di posizione, velocità e accelerazione sono dati da (r0=1):
∞
=
=
=
v a pe
e
e
0
1
.
33
CD -- 15
•
Il comportamento di un sistema dinamico stabile a partire da certe condizioni iniziali (tipicamente di quiete) in risposta a sollecitazioni esterne può essere distinto in una fase di evoluzione transitoria, di durata limitata, ed una fase a regime, che viene raggiunta in pratica per t sufficientemente grande. Le caratteristiche del transitorio sono di particolare interesse per il progetto del sistema di controllo.
•
Solitamente, le specifiche che il sistema in retroazione deve soddisfare nel transitorio sono riferite alla risposta del sistema al segnale a gradino.
Specifiche sul transitorio
Cristian Secchi Controlli Digitali
•
tempo di salita Ts: tempo impiegato dall’uscita per passare dal 10% al
•
90% (o anche dal 5% al 95%) del valore finale;
•
tempo di assestamento Ta: tempo oltre il quale l’uscita si discosta meno del 5% rispetto al valore finale (si può considerare, con specifiche più restrittive, anche lo scostamento del 2%);
•
tempo di ritardo Tr: tempo richiesto perché l’uscita raggiunga il 50% del valore finale;
•
istante di massima sovraelongazione Tm: istante di tempo in cui si ha la massima sovraelongazione;
•
massimo sorpasso o massima sovraelongazione S: valore del massimo scostamento dell’uscita rispetto al valore di regime c(∞). Solitamente S è definito in valore percentuale rispetto al valore di regime:
Specifiche sul transitorio
Nel caso tempo-continuo, si definiscono le seguenti caratteristiche temporali della risposta a gradino:
100 ) ( ) ( ) ( ∞ ∞ − = y y T y S m
CD -- 17
Specifiche sul transitorio
Cesare Fantuzzi - Cristian Secchi 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tempo (t) y(t )
• Massima sovraelongazione (o massimo
sorpasso) S: differenza fra il valore massimo
raggiunto dall'uscita e il valore finale; normalmente si esprime in % del valore finale.
• Tempo di ritardo Tr: tempo per raggiungere
il 50% del valore finale.
• Tempo di salita Ts: tempo occorrente perchè
l'uscita passi dal 10 al 90% del valore finale.
• Tempo di assestamento Ta: tempo
occorrente perché l'uscita rimanga entro il § 5% del valore finale.
• Istante di massima sovraelongazione Tm:
istante al quale si presenta la massima sovraelongazione. S Tr Ts Ta Tm 17 Controlli Automatici -
CA-05-Sistemi Elementari
•
Queste grandezze sono quantificate in rapporto a sistemi del secondo ordine, e sono direttamente collegate alla posizione nel piano s della coppia di poli del sistema.
•
Nel caso di sistemi di ordine superiore, nella quasi totalità dei casi di interesse pratico, è presente una coppia di poli dominanti, cioè di una coppia di poli a parte reale (negativa) in modulo molto minore della parte reale di altri poli eventualmente presenti nel sistema. In tal caso, le stesse formule valide per i sistemi del secondo ordine continuano ad essere adottate in modo approssimato.
CD -- 19
•
Si consideri un sistema del secondo ordine
Specifiche sul transitorio
Cristian Secchi Controlli Digitali
2 2 2
2
)
(
n n ns
s
s
G
ω
δω
ω
+
+
=
dove δ è il coefficiente di smorzamento e ωn è la pulsazione naturale 2 2 2 2 2 , 1
ω
σ
σ
δ
ω
σ
ω
ω
σ
±
−
=
±
=
±
=
nj
p
X X ωn•
Tempo di salita
•
Istante di Massimo Sorpasso
•
massima sovraelongazione percentuale
•
Tempo di assestamento
Specifiche sul transitorio per un sistema
del secondo ordine
(al 5%) (al 2%) 2 1
100
%
δ πδ − −=
e
S
CD -- 21
•
La massima sovraelongazione percentuale dipende unicamente dal parametro δ.
•
Data una specifica sulla sovraelongazione percentuale S%<S1, è possibile trovare un δ = δ1 tale per cui
•
É possibile costruire sul piano s un luogo di punti a δ costante (δ = δ1) entro cui devono stare i poli del sistema affinchè la specifica sulla massima sovraelongazione percentuale sia soddisfatta
Specifiche sul transitorio per un sistema
del secondo ordine
Cristian Secchi Controlli Digitali
2 1 1 1 1
100
δ πδ − −=
e
S
•
Il tempo di assestamento dipende dal parametro δωn=−σ=−Re(pi).
•
Data una specifica sul tempo di assestamento Ta<T1, è possibile trovare un valore δωn = δ1ωn1 tale per cui
•
É possibile costruire sul piano s un luogo di punti a δωn costante (δωn = δ1ωn1) a sinistra del quale devono stare i poli del sistema
affinchè la specifica sul massimo tempo di assestamento sia soddisfatta.
Specifiche sul transitorio per un sistema
del secondo ordine
1 1
1 n
CD -- 23
•
Tutte queste specifiche hanno ovviamente la loro corrispondenza nel caso discreto. Le definizioni rimangono le stesse, anche considerando il fatto che solitamente il sistema controllato (da un controllore digitale) è un sistema continuo, la cui uscita è quindi qualitativamente simile a quella di un sistema del 2° ordine.
•
Considerando la Z-trasformata della funzione G(s), si possono fare alcune interessanti considerazioni sull’andamento della risposta in funzione della posizione dei poli sul piano z, giungendo, come nel caso tempo-continuo, alla definizione di luoghi a δ costante e a δωn costante sul piano z.
•
Sfruttando la relazione tra il piano s e il piano z, è possibile trovare sul piano z i luoghi entro i quali devono stare i poli affinché Ta<T1 e S %<S1
Specifiche sul transitorio per un sistema
del secondo ordine
Cristian Secchi Controlli Digitali
•
Nella figura a sinistra è evidenziata la regione entro la quale devono stare i poli di un sistema del secondo ordine per soddisfare le specifiche su tempo di assestamento, massima sovraelongazione percentuale. Nella figura a destra è evidenziata la regione corrispondente sul piano z.
Specifiche sul transitorio per un sistema
del secondo ordine
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