22 Il calcolo dei limiti - La forma indeterminata ra..>

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5. La forma indeterminata ∞/∞

Come si è detto il teorema del rapporto non si applica nel caso ��

��, qualunque sia la combinazione dei

segni. A conferma del fatto che la semplificazione ingenua del simbolo di infinito a numeratore ed a denominatore non vale, (perché � non è un numero e quindi non siamo autorizzati ad applicare le regole dell’algebra), consideriamo due funzioni, ( )f x e ( )g x , per le quali risulti:

lim ( )

x��f x � �� x��lim g x( )� ��

Primo esempio: prendiamo il caso:

3 ( ) 8 f x � x g x( )�2x2 risulta evidentemente: ( ) lim ( ) x f x g x ��

Nel caso particolare però, è possibile una semplificazione che elimina l’indeterminazione:

3 2

( ) 8

lim lim lim 4

( ) 2 x x x f x x x g x x ��

tuttavia non si può certo concludere che ��

�� , come si evince dal successivo esempio.

Secondo esempio: prendiamo il caso:

4 ( ) 6 f x � x g x( )�10x6 risulta evidentemente: ( ) lim ( ) x f x g x ��

Nel caso particolare però, è possibile una semplificazione che elimina l’indeterminazione:

4

6 2

( ) 6 3

lim lim lim 0

( ) 10 5 x x x f x x g x x x � ��

ma non è nemmeno vero in generale che �� 0�

�� . Infatti vediamo ancora un altro caso.

Terzo esempio: prendiamo il caso:

3

( ) 5

f x � x g x( )�3x3 risulta evidentemente:

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( ) lim ( ) x f x g x �� semplifichiamo: 3 ( ) 5 lim lim ( ) x x f x x g x �� _{3 x}3 5 3 �

Ne concludiamo che la forma ��

�� è in grado di dare luogo a qualsiasi risultato, e ch nulla è possibile

concludere a priori senza rielaborare l’espressione in modo da eliminare l’indeterminazione.

Rapporto fra polinomi di grado differente quando x � �

Strategia risolutiva: bisogna raccogliere il termine di grado massimo a numeratore e denominatore.

Esempio 1 Calcolare: 3 2 3 4 3 2 lim 6 5 x x x x x �� il limite risulta indeterminato:

3 2 3 4 3 2 lim 6 5 x x x x x ��

Raccogliamo i termini di grado massimo a numeratore e denominatore:

3 3 2 3 4 4 3 2 lim lim 6 5 x x x x x x x �� 2 3 3 3 3 2 1 4 4 6 x x x x � _�� _� _� _� � _� � � �� 3 3 3 2 3 3 1 2 1 2 4 2 lim 5 1 5 3 1 3 1 4 4 4 4 x x x x x x x x �� _�� _� � �_� � � � � � � � � � � � � � � � � � � Esempio 2 Calcolare: 3 5 2 6 2 lim 5 3 x x x x x ��

il limite risulta indeterminato:

3 5 2 6 2 lim 5 3 x x x x x �� _��

raccogliamo i termini di massimo grado:

3 3 5 2 6 6 2 lim lim 5 3 x x x x x x x �� _� � � 3 5 2 1 6 5 x x x � _�� 2 2 2 2 ₂ 5 3 5 5 1 6 1 6 6 3 lim lim 0 1 3 5 3 ₅ ₁ 1 ₅ 5 5 5 x x x x x _x x x x x � �� _�� _� � �_� �� _� �� 0 0 0 0 0 0 0

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Esempio 3 Calcolare: 3 2 2 4 1 lim 3 x x x x x �� il limite risulta indeterminato:

3 2 2 4 1 lim 3 x x x x x ��

Raccogliamo i termini di grado massimo:

3 3 2 2 2 4 1 lim lim 3 x x x x x x x �� 3 3 2 4 1 1 2 2 x x x x � _�� 2 lim 2 3 1 x x x x �� _�� Caso generale

Abbiamo già visto che l’andamento di un polinomio di grado n, quando x � � , è sempre governato dal termine di grado massimo. L’andamento di un rapporto fra polinomi di grado differente, quando x � � , sarà di conseguenza regolato solo dai termini di grado massimo al numeratore ed al denominatore. Calcoliamo infatti il limite all’infinito di un generico rapporto fra polinomi:

1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 1 0 ... lim ... n n n n n n m m m x _m _m _m a x a x a x a x a b x b x b x b x b � � � � � � �� _� _� � � � � � � � � � �

qualunque sia la forma, determinata od indeterminata, il polinomio al numeratore avrà all’infinito lo stesso andamento del suo termine di grado massimo a x , mentre il polinomio al denominatore avrà l’andamento n n del suo termine di grado massimo b x . Ne segue: _m m

1 2

1 2 1 0

1 2

1 2 1 0

...

lim lim lim

... n n n n n m n n n n n m m m m x _m _m _m x _m x _m a x a x a x a x a a x a x b x b b x b x b x b x b � � � � � � � �� _� _� �� _� _� � � � � �

Il risultato dipende evidentemente dalla relazione fra il grado dei due polinomi:

se se se lim 0 n m n n x _m _m n m a a x n m b b n m � �� _�� Esempio 4 Calcolare: 3 2 5 4 2 5 1 lim 4 9 x x x x x �� 3 2 3 5 5 4 2 2 5 1 2 1 1

lim lim lim 0

4 4 9 2 x x x x x x x x x x � �� _� _� � �_� � � �_�_�� _�� _�_�� _�_�� _��

(4)

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Esempio 5 Calcolare: 6 3 5 6 3 2 9 lim 2 4 x x x x x x �� 6 3 6 5 6 3 2 9 3 lim lim 2 4 x x x x x x x x �� _� � � _�_{4 x}6 3 4 � _�� _� � _{� � �} � � � � � � �� Esempio 6 Calcolare: 2 5 4 2 4 lim 6 2 2 x x x x x �� 2 5 5 4 2 4 4 lim lim 6 2 2 x x x x x x x �� _{6 x}4

� �

2 2 lim 3 3 x x �� _� _� _� _� _� � _� _�_{� �} _� _� � _{� �} _� _�_{� �}_� _� _{�� } � � � � � � � � �_� �_� �_� �_� � � � � Ref es p331 da 156 a 164

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