Universit`a dell’Aquila - Elettromagnetismo e Fisica 2
Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CFU ... ... ... ... ....
Prova scritta - 14/06/2016 Tempo a disposizione due ore e mezza.
Problema 1
Una sbarretta di lunghezza l = 10 cm ha una carica distribuita in maniera dipolare: λ = 2λ0
x
` − `/2 ≤ x ≤ `/2
con λ0 = 1 · 10−6 C/m. Scegliere come asse cartesiano x la direzione della sbarretta, con
l’origine nel centro.
Determinare a) il dipolo equivalente della distribuzione; b) il campo elettrico generato nel punto P1 = (4`, 0) sull’asse della distribuzione in maniera esatta e in maniera approssimata
(conoscendo il valore del dipolo equivalente); c) il campo elettrico nel punto P2 = (0, `).
si ricorda che: Z xdx/(x − a)2 = a/(a − x) + ln(a − x) Z x2dx/(x2+ a2)3/2 = −√ x x2+ a2 + ln x +√x2+ a2 Problema 2
Il circuito in figura `e inizialmente aperto per un lungo tempo. Al tempo t = 0 viene chiuso l’interruttore. A regime la potenza fornita dal generatore (interruttore chiuso per molto tempo) vale P2. Mentre la massima
potenza dissipata nella resistenza R2 `e P1.
Determi-nare a) il valore della resistenza R2; b) il valore della
resistenza R1; c) la costante di tempo del circuito; d)
dopo quanto tempo dalla chiusura dell’interruttore la corrente che scorre nella resistenza R2 `e divenuta IA.
(Dati del problema f = 9 V , P1 = 800 W , P2 = 0.1 W , C = 5 mF , IA = 10 A)
Problema 3
Due fili indefiniti paralleli all’asse delle x e di-stanti 2a sono percorsi dalla stessa corrente I ma con verso opposto (come in figura). Calco-lare il campo magnetico: a) lungo l’asse z, e in particolare al centro; b) nel punto a distanza 2a (sull’asse delle z). c) sull’asse delle y a distanza 2a dal centro a destra.
Soluzioni: Problema 1
a)
Il dipolo infinitesimo ha valore:
dp = λdx2x Quindi: p = 4λ0 ` Z l/2 0 x2dx = λ0` 2 6 = 1.7 · 10 −9 Cm b)
Il campo elettrico generato dall’elemento infinitesimo, nel punto a distanza a > l/2, sul suo asse vale: dEx = λdx 4πεo(x − a)2 Quindi: Ex(a) = λ0 2πεo` Z `/2 −`/2 xdx (x − a)2 = λ0 2πεo` a a − x + ln(x − a) `/2 −`/2 Ex(a) = λ0 2πεo` " a` a2− `2/4+ ln a − `/2 a + `/2 # Ex(a = 4`) = 477 V /m
Mentre il campo del dipolo equivalente nello stesso punto vale: Ex,d = p 2πεox31 = p 2πεo(4`)3 = 468 V /m quindi praticamente lo stesso valore.
c)
Mentre lungo l’asse delle y:
|dE| = λdx 4πεo(x2+ y2)
Che ha componente lungo l’asse delle y: dEy =
yλdx 4πεo(x2+ y2)3/2
= λ0xydx 2π`εo(x2+ y2)3/2
Il cui integrale tra −`/ e `/2 `e nullo, come si verifica facilmente o si ricava integrandolo. Mentre dEx = − λ0x2dx 2πεo`(x2+ y2)3/2 Quindi Ex,e(0, y) = − λ0 2πεo` Z `/2 −`/2 x2dx (x2+ y2)3/2 Ex,e(0, y) = − λ0 2πεo` " −√ x x2+ y2 + ln x + q x2+ y2 #`/2 −`/2
Ex,e(0, y) = − λ0 2πεo` − ` q `2/4 + y2 + ln `/2 +q`2/4 + y2 −`/2 +q`2/4 + y2 Ex,e(0, `) = −1.22 · 104 V /m
Mentre il campo del dipolo equivalente nello stesso punto vale: Ex,d(0, `) = −
p 4πεo(`)3
= −1.5 · 104 V /m
quindi vi `e una differenza apprezzabile tra il valore esatto e quello approssimato.
Problema 2 a)
Appena chiuso l’interruttore, il condensatore ha una tensione ai capi pari ad f . Quindi la massima potenza viene dissipata nella scarica del condensatore carico, quindi imponendo che: P1 = f2 R2 R2 = f2 P1 = 0.101 Ω b)
Mentre, a regime, la corrente scorre sulla sola maglia esterna e vale: I2 = f R1+ R2 Ma dovendo essere: P2 = f I2 R1 = f2 P2 − R2 = 810 Ω
Quindi la resistenza R1 `e molto maggiore di R2.
c)
Nel processo di scarica del condensatore la costante di tempo vale τ = CRp
Dove Rp `e il parallelo delle due resistenze:
Rp = R1R2 R1+ R2 ≈ R2 τ = 0.5 ms d)
La carica iniziale in R2 vale
Qo = Cf = 45 mC
Mentre la corrente iniziale vale:
I20 =
f R2
Quindi approssimativamente, trascurando la corrente I2 rispetto ad IA, nella resistenza R2
scorre una corrente:
I(t) = I20e−t/τ Imponendo che: IA = I20e−tx/τ tx = −τ ln IA I20 = 1.1 ms Se invece si vuole usare il teorema di Thevenin:
fth =
f R2
R1+ R2
= 0.001 V Rth = Rp = R2
L’equazione della maglia `e:
fth = Q C + RthI fth = Q C + R2 dQ dt −R2C dQ dt = Q − fthC Z Q Qo dQ Q − fthC = − Z t o dt τ Q(t) = Cfth+ (Cf − Cfth)e−t/τ
essendo nel circuito di partenza:
Q C = I2R2 IA= fth R2 +(f − fth) R2 e−t/τ IAR2− fth = (f − fth)e−t/τ) t = −τ lnIAR2− fth f − fth = 1.1 ms Problema 3
Il campo generato a distanza r da un filo vale: |B| = µoI
2πr Dove r = √a2+ z2. Quindi la componente B
z lungo l’asse delle z (le componenti By si
annullano vicendevolmente) vale:
Bz = µoI 2πr cos θ dove cos θ = √ a a2+ z2
Bz =
µoI
2πr cos θ a)
Quindi al centro il campo vale:
Bz = µoI πa = 4 · 10 −4 T b) Quindi se z = 2a: Bz(2a) = µoI 5πa = 8 · 10 −5 T c)
Sull’asse delle y il campo `e diretto lungo l’asse delle x. Il filo pi`u vicino genera un campo: Bx1= −
µoI
2πa Mentre il filo pi`u lontano:
Bx2= µoI 2π3a In totale: Bx= µoI 2πa −1 + 1 3 = −1.33 · 10−4 T
