F(x) Risp.: A : vale −3 B : vale 32C : vale +∞ D : vale 0 E : vale 2 F : non esiste

Analisi Matematica B 18 settembre 2006 Compito 1

1. Sia F : [0, +∞[→ R la primitiva di f (x) = x ²

√ x + 1 tale che F(0) = 0. Allora il limite lim x→+∞ 5 x

F(x) Risp.: A : vale −3 B : vale ³ ₂ C : vale +∞ D : vale 0 E : vale 2 F : non esiste

2. Sia ˜ y la soluzione del problema di Cauchy y ⁰ = 1

2 y ² x y(0) = 1

4 . Allora ˜ y(2)

Risp.: A : vale ¹ ₃ B : vale ³ ₂ C : vale −4 D : vale − ⁵ ₂ E : vale 1 F : vale 0

3. Un vettore perpendicolare alle curve di livello della funzione f (x, y) = 2x + 3y `e Risp.: A : (2, 3) B : (2, −2) C : (−1, 2) D : (0, 3) E : (3, 0) F : ( ^√ ₂ ² , ^√ ₂ ² )

4. Sia f : R ² → R la funzione definita da f (x, y) = x ² y(x + y − 1). Allora delle seguenti affermazioni

(a) f ammette infiniti punti stazionari sull’asse delle y (b) f ammette infiniti punti stazionari sull’asse delle x (c) f ammette infiniti punti di minimo sull’asse delle x (d) f ammette infiniti punti di massimo sull’asse delle y (e) f ammette (0, 1) come punto di sella (f) f ammette (1, 0) come punto di sella

le uniche corrette sono

Risp.: A : a c d f B : b c f C : a c d e D : a d e f E : b c d F : a b f

5. Sia α ∈ R ⁺ . Si consideri la funzione g(x, y) = (y + x ² ) ³ nel quadrato Q = [−α, α] × [−α, α]. Determinare α ∈ R ⁺ affinch´e min

(x,y)∈Q g(x, y) = (−2) ³ e, in corrispondenza di tale valore, stabilire quanti sono i punti di massimo assoluto per f su Q.

Risp.: A : α = 2 e i punti di massimo assoluto sono infiniti B : α = 1 e i punti di massimo assoluto sono 2 C : α = 1 e i punti di massimo assoluto sono infiniti D : α = 4 e i punti di massimo assoluto sono 2 E : α = 4 e i punti di massimo assoluto sono infiniti F : α = 2 e i punti di massimo assoluto sono 2

6. Calcolare la lunghezza L della curva di rappresentazione parametrica − → r (t) = 3 cos t − → i 1 + 14t ^3/2 − → i 2 + 3 sin t − → i 3 , t ∈ [0, ₄₉ ¹ ].

Risp.: A : L = 3 B : L = √

3 C : L = 7 D : L = ^√ ₄₉ ² E : L = ₄₉ ¹ [4 √

2 − 2] F : 2 √ 2

7. Sia β ∈ R. Sia T ⊂ R ² il triangolo chiuso di vertici A = (1, 0), B = (2, 0), C = (1, 1) e sia f : R ² → R la funzione definita da

f (x, y) =

n 2 se (x, y) ∈ T 1 altrimenti .

Sia Γ β il segmento congiungente P = (β, −1) e Q = (β, 2) e sia I β l’integrale curvilineo Z

Γ

f ds. Determinare, al variare di β ∈ R, il minimo ed il massimo di I β .

Risp.: A : minI β = 0, maxI β non esiste B : minI _β = 3, maxI β = 4 C : minI _β = 1, maxI β = 4 D : minI _β = 0, maxI β = 4 E : minI _β = 3, maxI β non esiste F : minI _β = 1, maxI β non esiste

8. Sia − → F : R ² → R ² il campo vettoriale definito da − → F (x, y) = 2xy cos(x ² y) − → i 1 + [x ² cos(x ² y) + 7] − → i 2 . Allora il potenziale ϕ di − →

F che vale 0 in (0, 0) `e

Risp.: A : ϕ(x, y) = cos(xy ² ) + 7x B : ϕ(x, y) = sin(x ² y) + 7y C : ϕ(x, y) = − cos(x ² y) + 7y D : ϕ(x, y) =

sin(xy ² ) + 7y E : ϕ(x, y) = sin(x ² y) + 7x F : ϕ(x, y) = − cos(x ² y) + 7x

9. Sia f : R ² → R, definita da

f (x, y) =

½ 7 se x ≥ y ² o x ≤ 0 0 se 0 < x < y ² . Allora delle seguenti affermazioni

(a) f `e continua in (2, 0) (b) f `e continua in (0, 2) (c) f `e continua in (0, 0) (d) f ammette entrambe le derivate parziali in (0, 0) (e) f `e continua in (0, 0) (f) f ammette tutte le derivate direzionali in (0, 0)

le uniche corrette sono

Risp.: A : a c d B : a b d e C : b c d e D : a d f E : b c d F : a e f

10. L’integrale doppio RR

T 4xy cos y ² dxdy, dove T `e il quarto di cerchio di centro l’origine e raggio p _π

2 contenuto nel primo quadrante, vale

Risp.: A : 1 B : 7 C : − ³ ₂ D : −3π E : ² ₃ F : 0

. . . .

Cognome e nome Firma

Corso di Laurea: ♦ per l’ambiente e il territorio ; ♦ dell’automazione industriale; ♦ civile; ♦ gestionale;

♦ dell’informazione; ♦ dei materiali; ♦ meccanica.

Analisi Matematica B 18 settembre 2006 Compito 1

Istruzioni. 1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata e segnare il corso di laurea.

2. SEGNARE nelle due tabelle riportate in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande riportate nel foglio allegato; in caso di correzione, apporre un

“SI” vicino alla risposta scelta.

3. PUNTEGGI: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = −0.5; risposta non data = 0.

4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori.

5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.

6. TEMPO a disposizione: 150 min.

Risposte relative ai fogli allegati.

1. 2. 3. 4. 5.

A A A A A

B B B B B

C C C C C

D D D D D

E E E E E

F F F F F

6. 7. 8. 9. 10.

A A A A A

B B B B B

C C C C C

D D D D D

E E E E E

F F F F F

LE PROVE ORALI SI SVOLGERANNO IL GIORNO 19 SETTEMBRE. EVENTUALI ESIGENZE (DOVUTE ALLA

SOVRAPPOSIZIONE CON ALTRI ESAMI) VANNO SEGNALATE E MOTIVATE QUI: