LA TRASFORMATA DI FOURIER,
PROPRIETA’ ED ESEMPI (2)
X(f)H(f)
TDF
Proprieta’ della TDF (5)
Moltiplicazione nelle frequenze: la TDF inversa del prodotto delle TDF di due segnali e’ uguale all’integrale di convoluzione dei segnali nei tempi. L’integrale di convoluzione e’ un operatore utilizzato, per esempio, per descrivere come
vengono modificati i segnali quando passano attraverso sistemi lineari tempo-invarianti.
Moltiplicazione nei tempi: la TDF del prodotto di due segnali e’ uguale
all’integrale di convoluzione delle due TDF (nelle frequenze).
x(t )y(t)
TDF
∞ ∞ −−
=
∗
h
t
x
τ
h
t
τ
d
τ
t
x
(
)
(
)
(
)
(
)
∞ ∞ −−
ξ
ξ
ξ
Y
f
d
X
(
)
(
)
integrata su tutto l’asse delle frequenze fornisce l’energia del segnale.
df
rappresenta l’energia del segnale in ogni intervallo di frequenzeinfinitesimo
df
.viene detta DENSITA’ SPETTRALE DI ENERGIA
2
)
( f
X
2)
( f
X
2)
( f
X
Proprieta’ della TDF (6)
Relazione di Parseval: l’energia di un segnale e’ uguale all’integrale del modulo quadrato della sua TDF
=
∞ ∞ −dt
t
x
(
)
2 ∞ ∞ −df
f
X
(
)
2La trasformata di Fourier dell’impulso
Un impulso di area unitaria ha come TDF una costante unitaria nei tempi:
{
−
2
}
=
1
∞ ∞ −dt
ft
j
exp
)
t
(
π
δ
Quindi, per dualità, la TDF di una costante unitaria é un impulso nelle frequenze.
Inoltre, per le proprietà legate alla traslazione nei tempi e nelle frequenze:
1
TDF
δ
(f )
δ
(t - t
0)
TDF
e
-j2
π
f t
0e
j2
π
f
0t
δ
(f - f
0)
TDF
δ
(t )
TDF
1
Esempi di trasformata di Fourier (il sinc)
( )
fT rect AT ) f ( X T t sinc A ) t ( x = ⇔ =A
-T
T
t
TDF
x(t)
-1/2T
1/2T
AT
f
X(f)
(
)
( )
a
( )
at
( )
t
a
f
rect
at
a
t
at
a aδ
π
π
+∞ → +∞ →→
→
⇔
=
1
2
sinc
2
2
2
sinc
2
2
sin
Calcolata la trasformata di Fourier X(f) del segnale x(t)
Trasformata inversa di Fourier (traccia di dimostrazione)
∞ ∞ − ∞ ∞ −
−
=
−
=
x
t
j
π
ft
dt
x
τ
j
π
f
τ
d
τ
f
X
(
)
(
)
exp(
2
)
(
)
exp(
2
)
(dove si preferisce la variabile d’integrazione per non confonderla poi con t) si antitrasformi integrando nell’intervallo (–a,+a), che si fara’ poi tendere all’infinito:
τ
)
(
2
sin
)
(
)
(
)
(
2
sin
)
(
))
(
2
exp(
)
(
))
(
2
exp(
)
(
)
2
exp(
)
(
t
x
t
at
t
x
d
t
t
a
x
df
t
f
j
d
x
d
t
f
j
x
df
df
ft
j
f
X
a a a a a a a +∞ → ∞ ∞ − ∞ ∞ − − ∞ ∞ − − −→
∗
=
=
−
−
=
−
=
=
−
=
π
π
τ
τ
π
τ
π
τ
τ
π
τ
τ
τ
τ
π
τ
π
in quanto( )
t
t
at
aδ
π
π
+∞ →→
2
sin
La trasformata di Fourier del seno e del coseno
La trasformata di Fourier del seno si ricava da quella della costante utilizzando le proprieta’ di traslazione nelle frequenze e di linearita’:
{
j f t}
j exp{
j f t}
exp j ) t f sin( ) t ( x π o π o 2π o 2 2 2 2 = − − = TDF(
o)
(
f fo)
j f f j ) f ( X =δ
+ −δ
− 2 2La trasformata di Fourier del coseno di conseguenza:
{
j f t}
exp{
j f t}
exp ) t f cos( ) t ( x π o π o 2π o 2 1 2 2 1 2 = + − = TDF(
f fo)
(
f fo)
f X =δ
− +δ
+ 2 1 2 1 ) ( Im[X(f)] f0 f -f0 -1/2 1/2 Re[X(f)] f -f0 1/2 -f0 1/2Esempi di trasformata di Fourier (il triangolo)
( )
(
T
sinc
fT
)
AT
sinc
( )
fT
T
A
)
f
(
X
T
t
rect
T
t
rect
T
A
T
t
tri
A
)
t
(
x
2 2=
=
⇔
⇔
∗
=
=
-T T A AT -1/T 1/T fF
x(t)
X(f)
Esempi di trasformata di Fourier (la gaussiana)
(
2)
(
2)
f exp ) f ( X t exp ) t ( x = −π
⇔ == −π
f
t
F
x(t)
2 2 1/ πσ1
X(f)
{
2 2 2}
2 2 2 2 2 2 1 f exp t expπ
σ
σ
πσ
⋅ − ⇔ −Gaussiana di area normalizzata:
σ2 cioè la varianza della Gaussiana, ne gestisce la “larghezza”: all’aumentare di
σ2 si allarga
x( t )
(σ2 a denominatore dell’esponente) e si stringeX( f )
( σ2 aBanda di un segnale
Viene definita banda (B) del segnale x(t) l’intervallo di frequenze (misurato sul semiasse positivo) all’interno del quale X(f) assume valori diversi da 0.
Operativamente, nella definizione di banda, si considerano due classi di segnali:
f
|X(f)|
B
Segnali di tipo passa-basso
X(f) concentrata intorno a f=0
f
|X(f)|
Segnali di tipo passa-banda
X(f) concentrata intorno a f=
±
f0-f
0-f
0B
Molto spesso X(f) è a rigore diversa da 0 da - ∞ a + ∞. In questo caso la banda corrisponde all’intervallo di frequenza in cui X(f) è “significativamente” diversa da 0,
2 2 2 2
Risposta in frequenza del filtro passa-basso ideale
La risposta all’impulso e’ un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di
1/ 2
f
TLa risposta all’impulso e’ un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di
1/ 2
f
Tf
H(f)f
T- f
T1
(
)
⇔
( )
=
=
T T Tf
f
rect
f
H
t
f
f
t
h
2
2
sinc
2
)
(
Risposta in frequenza del filtro passa-alto ideale
La risposta all’impulso e’ data da un impulso di area unitaria
δ
(t)
meno un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di1/ 2
f
TLa risposta all’impulso e’ data da un impulso di area unitaria
δ
(t)
meno un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di1/ 2
f
Tf
H(f)f
T- f
T1
( )
−
(
)
⇔
( )
=
−
=
T T Tf
f
rect
f
H
t
f
f
t
t
h
2
1
2
sinc
2
)
(
δ
La risposta all’impulso e’ quindi data da un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di
1/ 2
f
T moltiplicato per .La risposta all’impulso e’ quindi data da un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di
1/ 2
f
T moltiplicato per .Risposta in frequenza del filtro passa-banda ideale
f
H(f)1
f
o+ f
Tf
o- f
Tf
o- f
o+ f
T- f
o- f
T- f
o ) 2 cos( 2π
f0t(
) (
)
⇔
( )
=
−
+
+
=
T T T Tf
f
f
rect
f
f
f
rect
f
H
t
f
t
f
f
t
h
2
2
2
sinc
2
cos
4
)
(
π
0 0 0Esercizi su TDF e LTI (1)
1. Sapendo che
e sfruttando le proprietà della TDF, calcolare le TDF dei seguenti segnali e disegnarne i grafici:
2.Siano
Esiste un sistema LTI che a ingresso
s
1(t)
risponde con uscitas
2(t)
? Esiste un sistema LTI che a ingressos
2(t)
risponde con uscitas
1(t)
? Per entrambi i casi, se esiste, fornire un esempio diH(f)
eh(t)
.3. Calcolare l’uscita y(t) di un sistema LTI con risposta all’impulso h(t) e ingresso
x(t) pari a:
calcolare prima l’integrale di convoluzione tra x e h, e verificare poi il risultato tramite la risposta in frequenza del sistema.
( )
t
sinc
( )
f
rect
⇔
( )
3
( )
2
2( )
5
( )
4
1t
rect
t
/
x
t
sinc
t
/
x
=
=
( )
t
(
t
)
s
( )
t
(
t
)
(
t
)
s
1=
2
sin
10
π
,
2=
cos
10
π
+
sin
20
π
( ) ( ) (
t t t 2T)
x( )
t sin(
t/(2T))
Esercizi su TDF e LTI (2)
5. Determinare l’uscita y(t) di un sistema LTI con risposta in frequenza H(f) e ingresso x(t):
6. Un sistema LTI ha risposta all’impulso h(t) e ingresso x(t) pari a:
calcolare l’uscita y(t) la sua densità spettrale di energia, l’energia e l’energia di x(t).
7. Disegnare le TDF di
8. E’ dato un sistema LTI con risposta all’impulso
e ingresso x(t) pari a . Si può scrivere x(t) come somma di segnali
sinusoidali? Determinare l’uscita y(t) e la sua potenza Py.
