09 Funzioni composte, funzioni pari e dispari

11. Le funzioni composte

Definizione: Date le due funzioni :f A→B e :g D→C , dove f A

[ ]

la funzione:

: h A→C

che ad ogni elemento a∈A fa corrispondere l’elemento ( ( ))g f a ∈Ce si scrive g
f cioè (g
f a)( )=g f a( ( ))

1) Notare che fare g
f non è lo stesso che fare f
g

2) Se il codominio di f non è un sottoinsieme del dominio di g , non è possibile calcolare g
f .

Esempio 25 Date le funzioni: f x( )=x2+ 1 ( ) g x = x si calcolino g
f ed f
g. Abbiamo: : f ℝ→ℝ+ g:ℝ+ →ℝ+

Calcoliamo g
f . L’operazione si può eseguire dato che il codominio di f , ℝ+, è un sottoinsieme del dominio di g , anzi in questo caso coincide esattamente con esso:

2

(g
f x)( )=g f x( ( ))= f x( )= x +1 (daℝ inℝ+)

Calcoliamo f
g. Anche questa operazione si può eseguire dato che il codominio di g è un sottoinsieme del dominio di f (ℝ+ ⊂ℝ), quindi:

(

)

(f
g x)( )=f g x( ( ))= x + =1 x+1 (da ℝ+ inℝ+)

Esempio 26

Siano date le due funzioni f e g di cui si sa che: (2) 1 (4) 3 (6) 3 ( 2) 7 f = f = f = − f − = (6) 5 ( 3) 4 (7) 3 (3) 2 g = g− = g = g = Calcolare: (g
f)( 2)− ; (g
f−1)( 3)− ;(g−1
f)(4);(g−1
f−1)(3) Risposta: (g
f)( 2)− =g f( ( 2))− =g(7)=3 1 1 (g
f− )( 3)− =g f( − ( 3))− =g(6)=5 1 1 1 (g−
f)(4)=(g− ( (4))f =(g− (3))=7

Esempio 27

Date le funzioni: f :ℝ→ℝ| ( )f x =x3+1

: | ( )

g ℝ+ →ℝ g x = x si calcolino g
f ed f
g.

Calcoliamo g
f . L’operazione non si può eseguire dato che il codominio di f , ℝ , non è un sottoinsieme del dominio di g , ℝ+. Pertanto non esiste g
f . Se volessimo calcolarla dovremmo restringerci alla regione

3 _{1 0} x + > , cioè:

[

)

[

)

Calcoliamo f
g. Questa operazione si può eseguire in quanto il codominio di g è un sottoinsieme del dominio di f , anzi vi coincide, quindi:

3 3

(f
g x)( )=f g x( ( ))=( x) + =1 x +1 (da ℝ+ a ℝ ) Tomo A1 p.418 n. 81 , p.419 n. 83(composte)

12. Le funzioni pari e dispari

Definizione: una funzione :f A→B si dice dispari se (f −x)= −f x( ), si dice pari se (f −x)=f x( ). Una funzione che non sia né pari né dispari si dice che non ha parità definita

1) Attenzione quindi a non dire che le funzioni si dividono in pari o dispari.

2) Le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all’origine, cioè comunque preso un punto P appartenente al grafico di ( )f x , se ne può trovare un altro P ′ , sempre appartenente al grafico, tale che l’origine degli assi è il punto medio del segmento PP ′ .

x

(- )

( )

si dice

se f x

= −

f x

dispari

( )

f x

x

−

(

)

f

−

x

x

(

)

( )

si dice

se f

−

x

=

f x

pari

( )

f x

=

x

−

(

)

f

−

x

3) Le funzioni pari sono simmetriche rispetto all’asse delle ordinate, cioè comunque preso un punto P appartenente al grafico di ( )f x , se ne può trovare un altro P ′ , sempre appartenente al grafico, tale che la retta x =0 è asse del segmento PP′.

4) Delle funzioni trigonometriche y=cosx è pari, mentre y=sinx ed tan

y= x sono dispari. Fra le trigonometriche inverse hanno parità definita solo y=arcsinx ed y =arctanx e sono entrambe dispari. 5) Per la parità delle funzioni vale un’algebra simile a quella dei numeri

relativi. Il prodotto di due funzioni pari è ancora una funzione pari, il prodotto di una funzione pari per una funzione dispari è una funzione dispari, ed il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari.

Esempio 28

Trovare la parità delle funzione:

sin x

y x

=

Calcoliamo f(−x):

sin( ) sin sin

( ) x x x ( ) f x f x x x x − − − = = = = − −

avendo utilizzato il fatto che il seno è dispari, cioè sin(−x)= −sinx. Poiché f(−x)=f x( ), si tratta di una funzione pari. La risposta poteva essere data osservando anche che f x( ) è il prodotto di due funzioni dispari:   1 ( ) sin dispari dispari f x x x = ⋅ Esempio 29

Trovare la parità delle funzione:

2 4

2

4

cos

x

x

y

x

x

−

+

=

2

4

2

4

(

)

( )

cos

cos

x

x

x

x

f

x

f x

x

x

x

x

− −

+

−

−

+

−

=

=

= −

−

−

−

avendo utilizzato la parità del coseno, cioè cos(−x)=cosx. Poiché (f −x)= −f x( ), si tratta di una funzione dispari. La risposta poteva essere data osservando anche che ( )f x è il prodotto di una funzione pari per una dispari:

P P′

P



1

2

4

( )

cos

x

x

f x

x

x

−

+

=

⋅



Trovare la parità delle funzione:

3

5

3

y

= −

x

(

)

5

3(

)

5

3

f

−

x

= − −

x

= +

x

Poiché il risultato ottenuto non è né uguale ad ( )f x né uguale a −f x( ), la funzione non ha parità definita.

Esempio 31

Trovare la parità delle funzione:

3

4 sin

3

2

x

y

x

x

=

−

4 sin(

)

4 sin

4 sin

( )

( )

3(

)

2(

)

3

2

3

2

x

x

x

f x

f x

x

x

x

x

x

x

−

−

=

=

=

=

−

− −

−

+

−

avendo utilizzato il fatto che il seno è dispari, cioè sin(−x)= −sinx. Poiché (f −x)=f x( ), si tratta di una funzione pari. La risposta poteva essere data osservando anche che ( )f x è il prodotto di due funzioni dispari: 3

1

( )

4 sin

3

2

f x

x

x

x

=

⋅

−





Trovare la parità delle funzione:

2 cos sin

y = x x

Calcoliamo (f −x):

2 2 2

( ) cos( ) sin ( ) cos ( sin ) cos sin ( ) f −x = −x −x = x − x = x x=f x

La funzione è pari, come si vede anche da: ( )  cos sin2 pari pari f x = x⋅ x

Esempio 33

Trovare la parità delle funzione:

4 2 sin x x y x + = Calcoliamo (f −x): ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 ( ) ( ) sin sin x x x x f x f x x x − + − + − = = = − − −

è dispari, infatti è il prodotto di una funzione pari per una dispari:

 4 2 1 ( ) sin pari dispari f x x x x =_+ ⋅