Istituto Superiore “XXV aprile” Pontedera - Prof. Francesco Daddi
Verifica di Matematica
5
aE Liceo Scientifico - 12/12/2013
Nome e cognome
Punteggio di partenza: 1, 5/10. Lo studente deve svolgere il problema e quattro quesiti tra quelli proposti. Il problema vale 3, 0 punti, mentre ogni quesito vale 1, 4 punti.
Problema. Si studi in modo dettagliato la funzione f(x) = x
2
− 3 x + 2 √
x2+ 1
tracciandone un grafico accurato.
Quesito 1. Data la parabola di equazione y = x2
+ 2 x + 1, si scriva l’equazione della retta che, nella regione finita di piano limitata dalla stessa parabola e dagli assi cartesiani, sia tangente alla curva e formi con gli assi stessi il triangolo di area massima.
Quesito 2. Tra i cilindri inscritti in una sfera di raggio R, determinare quello avente superficie laterale massima.
Quesito 3. Si calcoli il seguente limite:
lim
x→0
cos(3 x) − 1 x · ln(2 x + 1). Quesito 4. Data la curva γ : y = x3
− 3 x2
+ 2 x − 1 si dimostri che essa ha un unico punto di flesso F , di cui si chiedono le coordinate. Si scriva poi l’equazione della curva γ′ simmetrica di γ rispetto alla retta r passante per il punto F e parallela
all’asse delle x.
Quesito 5. Si consideri la parabola di equazione cartesiana y = −x2
+ 2 x. Si determini il punto P del suo arco contenuto nel primo quadrante in modo che il cono generato dalla rotazione attorno all’asse x del segmento OP abbia volume massimo.
Quesito 6. Si determinino i coefficienti λ e µ in modo che si possa applicare il teorema di Rolle alla funzione f(x) = ( x2 + λ x se x < 0 µ x3 + 2 x se x ≥ 0 sull’intervallo [−1, 1] . Si determini infine il punto (o i punti) la cui esistenza `e assicurata dal teorema suddetto.
Quesito 7. Dopo aver scritto l’equazione del fascio di parabole con asse parallelo all’asse y e passanti per i punti A(1, 1) e B(−1, −1), si determini l’equazione del luogo geometrico descritto dai loro vertici, individuandone gli asintoti.
Punteggio esercizi:
(la seguente tabella deve essere riempita dal docente)
