Analisi non Parametrica della Produttività

Nel presente capitolo, alla luce di alcuni richiami di base della teoria della produzione, verrà dapprima illustrata l’idea di base dei metodi di programmazione lineare mediante i quali è possibile effettuare analisi quantitative della produzione (misurazione dell’efficienza tecnica, ecc.). Questa idea è che sia un insieme di produzione sia la sua frontiera possono essere rappresentati senza ipotizzare l’esistenza di una relazione funzionale che leghi tra di loro input e output. Per questa ragione questi metodi sono spesso definiti non-parametrici. Si passerà quindi a esaminare le tre procedure maggiormente utilizzate in letteratura (FDH, DEA a rendimenti variabili e DEA a rendimenti costanti). Verrà quindi illustrata la nozione di efficienza di scala. Saranno infine illustrati i principali risultati in materia di test di ipotesi e trattamento di osservazioni anomale nell’ambito di procedure DEA.

3.1) L’idea di base dei metodi di programmazione lineare

Per meglio comprendere l’idea alla base dei metodi di programmazione lineare applicati all’analisi quantitativa della produzione, è opportuno effettuare una richiamo alla base della teoria della produzione. Secondo questa teoria un insieme di produzione

con un output (Y) e un input (X) può essere rappresentato nel modo seguente:

Y

A

X

APPROFONDIMENTO

In modo analogo possiamo rappresentare un INSIEME DI FABBISOGNO DI INPUT (CON DUE INPUT) facendo variare gli input per output dati:

x

A

L(y)

oppure un INSIEME DEGLI OUTPUT PRODUCIBILI (CON DUE OUTPUT) facendo variare gli output per input dati:

y

A

P(x)

y

Elemento fondamentale di questi insiemi di produzione sono i loro bordi – le loro frontiere -, standard ottimali rispetto ai quali può essere definita l’efficienza tecnica. Più formalmente, secondo Koopmans, un processo produttivo è situato sulla frontiera dell’insieme di produzione, e quindi è tecnicamente efficiente, se

- un aumento in qualsiasi output implica o una riduzione in almeno un altro output o un aumento in almeno un input;

- una riduzione in qualsiasi input implica o un aumento in almeno un altro input o una riduzione in almeno un output.

Praticamente, per misurare l’efficienza tecnica si fa spessissimo ricorso alla misura di Debreu-Farrell, già considerata nei capp. precedenti e che ha degli strettissimi legami con la funzione di distanza di Shepard. In generale per una tecnologia input multi-output, vi saranno dei casi nei quali la misura di Debreu-Farrell non misura perfettamente l’efficienza tecnica così come definita da Koopmans. Tuttavia, questi casi non si presenteranno nel nostro corso, in cui consideriamo l’efficienza tecnica unicamente dal lato dell’output per una tecnologia a un solo output.

In realtà dal punto di vista pratico, il problema della misurazione dell’efficienza tecnica si pone nel modo seguente. Si consideri il seguente insieme di produzione:

Y

X

(

)

{

y

,

x

,

i

1

,...

n

}

Y

₌

₌

Ora, dove si trova la frontiera di questo insieme? Nell’idea parametrica (applicata mediante l’analisi di regressione), la frontiera dell’insieme è una funzione a parametri costanti, scelta in modo tale da “circondare” le osservazioni il più strettamente possibile.

L’IDEA NON PARAMETRICA:

bisogna costruire un INSIEME DI RIFERIMENTO,

( )

Y

Y

mantenendo l’intendimento di circondare le osservazioni il più strettamente

possibile,

abbandonando il postulato che la frontiera in questione sia una funzione a parametri costanti,

tralasciando contestualmente la possibilità di tenere conto della componente stocastica delle osservazioni.

L’insieme di riferimento si potrà quindi denotare come:

( )

Y

=

Y

∪

Y

_{altri processi produttivi}

Ma quali sono questi

altri processi produttivi

osservazioni

La risposta dipenderà dai postulati utilizzati per costruire

Y

( )

Y

A seconda dei postulati utilizzati, avremo i metodi FDH, DEA a rendimenti

APPROFONDIMENTO

In modo analogo, è possibile riproporre il problema dell’individuazione della frontiera dell’insieme per i seguenti insiemi di fabbisogno degli input, e degli output producibili.

x

x

( )

y

{

x

(

x

y

)

Y

y

y

i

}

L

₌

:

,

_∈

,

₌

_∀

( )

[

y

L

y

]

L

,

₀

( )

{

y

L

y

}

=

L

( )

y

∪

y

y

( )

x

{

y

(

x

y

)

Y

x

x

i

}

P

₌

:

,

_∈

,

₌

_∀

( )

[

x

P

x

]

P

,

( )

{

x

P

x

}

=

P

( )

x

∪

P

,

_{altri processi produttivi}

3.2) I metodi non-parametrici

FDH:

POSTULATI su cui si basa l’insieme di riferimento (IdR):

1. DETERMINISMO: l’IdR contiene tutte le osservazioni

2. ELIMINAZIONE SENZA COSTO DI INPUT E OUTPUT: l’IdR è basato sull’ipotesi di eliminazione senza costo di input e output (strong input and output free disposal).

(

x

i

,

y

i

)

∈

Y

0

,

(

x

i

+

,

y

i

−

)

∈

Y

FDH

( )

Y

0

∀

α

β

Per ogni osservazione, è possibile definire un IdR che contiene tutte le osservazioni che utilizzano più input e producono meno output di essa.

IMPLICAZIONI

( )

(

,

)

{

(

) (

,

)

,

,

0

}

0

=

+

−

≥

∈

=

x

y

Y

i

α

i

β

α

β

i

FDH

Y

U

x

y

Y

L’IdR FDH di tutto l’insieme di produzione è dato dall’unione degli IdR FDH di tutte le osservazioni.

Le osservazioni che NON si trovano nell’IdR di altre osservazioni sono dette osservazioni efficienti e costituiscono la frontiera dell’insieme di produzione.

Analoghe implicazioni conseguono per

( )

(

y

L

y

)

L

,

e

( )

(

X

P

X

)

P

,

LE IMPLICAZIONI

y B

o

A

_o

0 x

x

β

O

A

O O

C

O

B

0

x

y

O

φ

0 y

β

φ

(MISURA DI DEBREU-FARRELL)

Utilizzando la misura di Debreu-Farrell, e impostando il problema dal lato degli output, avremo il seguente problema di programmazione lineare. La soluzione di questo problema, svolto per ogni osservazione i, determinerà il punteggio di efficienza tecnica (φ) e il peso attribuito alle osservazioni (λ):

max

φ

condizionato a

φ

y

≤ Yλ

x

≥ Xλ

I’ λ = 1 λ

∈

{ }

0

,

1

I primi due vincoli (comuni a tutte le procedure non-parametriche) implicano che l’osservazione i sia compresa nell’IdR di almeno un’osservazione (compresa sé stessa).

Gli altri vincoli (caratteristici dell’FDH) implicano invece che i pesi attribuiti alle osservazioni possano assumere solo due valori (0 o 1).

Si noti che

1 ≤

φ

< ∞

1

/

φ

Il problema di PL per l’osservazione b può essere scritto come:

max

_φ

condizionato a

φ

2 ≤ λa 1 + λb 2 + λc 3 + λd 4 + λe 5

4 ≥ λa 2 + λb 4 + λc 3 + λd 5 + λe 6

I’ λ = 1 λ

∈

{ }

0

,

1

La soluzione è

λc = 1

φ

= 1,5

y

x

DEA a rendimenti variabili (DEA-V):

POSTULATI su cui si basa l’insieme di riferimento (IdR):

1. DETERMINISMO: …

2. ELIMINAZIONE SENZA COSTO DI INPUT E OUTPUT: …

3. CONVESSITÀ: l’IdR contiene tutti i processi produttivi che sono una combinazione convessa delle osservazioni.

Per ogni osservazione, è possibile definire un IdR che contiene tutte le osservazioni che utilizzano più input e producono meno output di essa, nonché

le combinazioni convesse delle altre osservazioni, ottenute (prendendo una

qualsiasi coppia di osservazioni a e b) come:

( )

y

x

y

x

(

)

( )

Y

Y

1

y

x

y

x

y

x

∈

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

λ

−

+

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

λ

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Anche qui, l’IdR DEA-V di tutto l’insieme di produzione è dato dall’unione

degli IdR DEA-V di tutte le osservazioni.

Le osservazioni che NON si trovano nell’IdR di altre osservazioni sono dette osservazioni efficienti e costituiscono la frontiera dell’insieme di produzione.

LE IMPLICAZIONI

y

x

x

x

y

y

(MISURA DI DEBREU-FARRELL)

Utilizzando la misura di Debreu-Farrell, e impostando il problema dal lato degli output, avremo per ogni osservazione i il seguente problema di

programmazione lineare:

max

φ

condizionato a

φ

y

≤ Yλ

x

≥ Xλ

I’λ = 1 λ ≥ 0

I primi due vincoli sono gli stessi visti per il problema di PL dell’FDH. Gli altri vincoli (caratteristici della DEA-V) implicano invece che i pesi attribuiti alle osservazioni possano variare tra 0 e 1, creando combinazioni convesse delle osservazioni stesse.

Il problema di PL per l’osservazione b può ora essere scritto come:

max

_φ

condizionato a

φ

2 ≤ λa 1 + λb 2 + λc 3 + λd 4 + λe 5

4 ≥ λa 2 + λb 4 + λc 3 + λd 5 + λe 6

I’ λ = 1

λ

≥

0

La soluzione è λc = 0,67

λe = 0,33

φ

= 1,83

y

0

x

DEA a rendimenti costanti (DEA-C):

POSTULATI su cui si basa l’insieme di riferimento (IdR):

1. DETERMINISMO: …

2. ELIMINAZIONE SENZA COSTO DI INPUT E OUTPUT: …

3. PROPORZIONALITÀ: l’IdR contiene tutti i processi produttivi che sono repliche proporzionali delle osservazioni.

Per ogni osservazione, è possibile definire un IdR che contiene tutte le osservazioni che utilizzano più input e producono meno output di essa, nonché

le repliche proporzionali delle altre osservazioni, ottenute (prendendo una

qualsiasi osservazione a) come:

∀

y

x

_∈

y (y

)

∀

γ

≥

y

x

∈

y (y

)

4. ADDITIVITÀ: l’IdR contiene tutti i processi produttivi che sono somme dei processi produttivi ammissibili sotto le ipp. 1-3.

Anche l’IdR DEA-C di tutto l’insieme di produzione è dato dall’unione degli IdR DEA-V di tutte le osservazioni. Le osservazioni che NON si trovano nell’IdR di altre osservazioni sono dette osservazioni efficienti e costituiscono la frontiera

dell’insieme di produzione. Nel caso di 1 input e 1 output, basta la sola

proporzionalità ad assicurare la convessità dell’insieme di produzione. Nel caso di più di 1 input od output, per avere questa proprietà, dobbiamo invece considerare congiuntamente proporzionalità e additività.

y

o

o

x

x

x

y

o

o

y

(MISURA DI DEBREU-FARRELL)

Utilizzando la misura di Debreu-Farrell, e impostando il problema dal lato degli output, avremo per ogni osservazione i il seguente problema di

programmazione lineare:

max

φ

condizionato a

φ

y

≤ Yλ

x

≥ Xλ

λ ≥ 0

I primi due vincoli sono gli stessi visti per il problema di PL dell’FDH. Il rimanente vincolo (caratteristico della DEA-C) implica invece che le osservazioni possano essere confrontate con somme delle osservazioni stesse e di loro repliche proporzionali.

Il problema di PL per l’osservazione b può ora essere scritto come:

max

_φ

condizionato a

φ

2 ≤ λa 1 + λb 2 + λc 3 + λd 4 + λe 5

4 ≥ λa 2 + λb 4 + λc 3 + λd 5 + λe 6

λ

≥

0

La soluzione è λc = 1,33

φ

= 2,00

Nella DEA-C, a causa dell’ipotesi di proporzionalità, la frontiera dell’insieme di produzione ha rendimenti scalari costanti e quindi:

TE

TE

∀

y

e

d

c

b

a

x

Nell’ambito dei metodi non-parametrici, risulta estremamente semplice ottenere misure dell’efficienza di scala. Soffermandoci per comodità sul solo caso della DEA (la generalizzazione all’FDH non posa alcun problemi), potremo applicare in maniera diretta la definizione di efficienza di scala. Otterremo quindi quest’ultima come

rapporto tra le efficienze tecniche calcolate rispettivamente con la DEA-C e la DEA-V.

Tuttavia, questa misura non ci dice se abbiamo rendimenti crescenti o

decrescenti. Per determinare ciò, si può applicare una procedura DEA NIRS , vale a dire

una DEA a rendimenti scalari non crescenti, nella quale i vincoli caratteristici della

DEA-V diventano:

I’ λ ≤ 1

λ

≥

0

y

O

O

TE

TE

SE

=

O

x

DEA

Nella DEA-NIRS scompare il tratto della frontiera dell’insieme di produzione che presenta rendimenti scalari crescenti, e viene sostituito da un tratto a rendimenti scalari

costanti.

Qualora il punteggio di efficienza sia lo stesso con DEA-V e DEA-NIRS, avremo dei rendimenti di scala decrescenti; se invece il punteggio di efficienza differisce tra DEA-V e DEA-NIRS, allora avremo rendimenti di scala crescenti. Naturalmente, se i punteggi DEA-V e DEA-C sono uguali, allora i rendimenti scalari saranno costanti.

y

O

TE

= TE

: DRS

O

TE

≠ TE

: IRS

O

O

N.B.

TE

= TE

: CRS

x