ANALISI ESPLORATIVA DI SERIE DI OSSERVAZIONI

ANALISI ESPLORATIVA

DI SERIE DI OSSERVAZIONI

P Claps

Rappresentazione tabellare della serie storica

2

Sequenza ordinata Sequenza

cronologica

Osservazioni di massimo annuo di pioggia in un giorno

Rappresentazione grafica della serie storica (Sequenza cronologica)

0 100 200 300 400 500

1921 1926 1931 1936 1941 1946 1951 1956 1961 1966 1971 1976 1981 1986

h(mm)

anno

massimo annuo di pioggia in un giorno

P Claps 4

Altro esempio: regione Lombardia. Consumi energetici annui

Non stazionarietà (Civile, industria) Bassa variabilità (Agricolt.)

Diagramma a punti

Ampiezza del campione

Distribuzione del campione (Caratteristiche di variabilità)

P Claps 6

n= numero totale di dati campionari k= numero di classi

Numero di dati campionari che ricadono nella classe(0-75) divisi per il numero totale di dati

•  Rappresentazione ad istogramma delle frequenze di classe, sia

•  Assolute (n°elementi per classe), che

•  Relative: (n° elementi per classe divisi per N=numero totale dati) frequenza relativa

Per evitare arbitrarietà nella determinazione del numero di classi, si può utilizzare la relazione suggerita da Sturges che lega il

numero delle classi, k, alla dimensione del campione, N, secondo la relazione :

(logaritmo in base 10)

Distribuzione del campione (Caratteristiche di variabilità)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

frequenza cumulata

X(mm)

Curva di Frequenza cumulata

Frequenza cumulata campionaria:

Distribuzione del campione (Caratteristiche di variabilità)

P Claps

Media campionaria Varianza

Coefficiente di

asimmetria (skewness)

Coefficiente di

appiattimento (kurtosi)

8

MOMENTI CAMPIONARI

singolo dato campionario Media campionaria

QUARTILI del Campione

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

X(mm)

frequenza cumulata

0,25

I II III 0,50

0,75

P Claps

Rappresentazione Box-Plot della serie  

Limiti del box:

Si definisce range interquartile (IQR) la differenza:

IQR = X( Φ =0.75) - X( Φ ^=0.25)

10

Inferiore: I quartile del campione x(Φ=0.25)

Superiore: III quartile del campione x(Φ=0.75)

Linea mediana: II quartile del campione x(Φ=0.50)

Limiti dei whiskers:

Inferiore

Valor minimo della serie delle osservazioni (X

) oppure

I quartile - 1.5 volte IQR ! X( Φ =0.25) - 1.5 IQR

Se negativo può essere posto pari a zero quando le osservazioni sono definite positive

Superiore

Valor massimo della serie delle osservazioni (X

) oppure

III quartile + 1.5 volte IQR ! X( Φ =0.75) + 1.5 IQR

P Claps

Nella rappresentazione con i whiskers si possono indicare tutte le osservazioni di valore inferiore al whisker minimo e superiore al whisker massimo

12

P Claps 14

Spazio campionario o popolazione.

Esempi:

Esperimento Popolazione Tipo

Numero di giorni piovosi in un anno

{

}

{

}

{

}

• Evento aleatorio semplice A ,,B C: ciascun elemento della popolazione (punto).

• Evento aleatorio composto A ,,B C: insieme di due o più punti.

• Complemento dell’elemento A: A: insieme dei punti che non appartengono ad A.

• Evento certo !: insieme di tutti i punti della popolazione.

• Evento nullo ! : insieme vuoto.

• Unione di eventi A e B :A!B: insieme dei punti dei due eventi.

• Intersezione di A!C: insieme dei punti comuni ad A e a B

1. ^0!P

[ ]

2. ^P

[ ]

3. Se B = A₁ ! A₂ ! A₃.... ^{e se}A₁,A₂,A₃... sono mutuamente escludentisi:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

P

Esempi:

[ ]

^{[ ]}

P = 1!

[ ]

[ ]

P

PROBABILITA’ DELLE UNIONI DI EVENTI.

Esempio: In un istituto universitario vi sono 10 docenti (3 donne e 7 uomini) e 30 non docenti (10 donne e 20 uomini).

Qual è la probabilità che un membro dell’istituto scelto a caso sia un docente e/o una donna?

[

]

[ ]

[ ] [

]

P " = + ! !

Eventi mutuamente escludentisi: ^P

[

]

[ ] ^{[ ]}

[ ]

P F D F P

D

P !

=

Eventi statisticamente indipendenti: ^P

[

]

[ ] [ ]

Eventi mutuamente escludentisi: ^P

[ ]

TEOREMA DELLA PROBABILITA’ TOTALE.

A evento qualsiasi.

!"

#

$

n =

n B B B

si escludenti mutuamente

eventi B

B B

B ! !...!

.... . ,

2 1 3

2 1

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[ ]

[

]

[ ]

P P

[

]

[ ]

[

]

[ ]

Il valore assunto da una variabile aleatoria associata con un esperimento dipende dal risultato dell’esperimento.

Ad ogni punto dello spazio campionario si associa un valore della variabile.

Esempio:

“Testa e Croce”: due monete (argento e oro) lanciate simultaneamente.

Variabile aleatoria (v.a.): X numero di teste ottenute.

Evento Semplice Descrizione

Valore di X Dorata Argentata

A Croce Croce x = 0

B Testa Croce x =1

C Croce Testa x =1

D Testa Testa x = 2

Funzione massa di probabilità (f.m.p.) associa una probabilità ad ogni valore della variabile.

[

]

P = = _X

Esempio:

[ ] [ ]

4 0 1

) 0

( =P X = = P A =

p_X

[ ] [ ] [ ] [ ]

2 1 1

) 1

( = P X = = P B C = P B +P C =

p_x !

[ ] [ ]

4 2 1

) 2

( = P X = = P D = p_X

• 0! p_X(x)!1

•

!

•

[ ] !

"

"

=

"

"

b x a

i x

i

x p b

X a

P ( )

!

Esempio:

[ ] !

"

=

"

=

x x

i X X

i

x p x

X P x

F ( ) ( )

1 ) ( =2 FX

4 ) 3 ( =1 FX

4 ) 1 ( =0

FX FX(!1)=0

Funzione di distribuzione cumulata:

[

]

P x

F_X

!

+"

"

#

=

$

= ( )

) (

! ( ) ( )

x dx f

x dF

x

X = solo per variabili assolutamente continue.

! F_X(!)=1; F_X(!") =0

! F_X(x+")! F_x(x) per qualsiasi ! >0^; F_X(x2)"F_X(x1) =P

[

]

Per ogni tipo di variabile definita nell’intervallo

[ ]

! 0!F_X(x)!1; F_X( =a) 0; F_X( =b) 1

x

Funzione di densità di probabilità.

x x x x X

x P x

fX x

!

"

#

% $

&

' !

+ (

! ( )

= ! *

2 lim 2

)

( 0

! f_X( !x) 0

!

+"

"

#

dx x

f_X ^P

[

]

b

a

!

=

"

" ( )

[ ]

!

xi

i x iP x x X

E ^{( )} µ

di una variabile aleatoria continua.

[ ]

!

+"

"

#

dx x xf X

E _x( )

di una funzione g(x) di una v.a. continua o discreta:

[ ]

!

xi

i x

i P x

x g x

g

E ( ) ( ) ( )

[

]

E

!

+"

"

#

= ( ) ( )

) (

r-esimo momento di X _:

[ ]

[ ]

^{[ ]}

E

x P x X

E

x r r

r

x

i x r i r

r

i

=

=

!!

"

!!#

$

=

=

=

=

%

&

' +

' (

µ µ µ

µ

1

) (

) (

[ ]

^{[ ]}

[ ]

^{[ ]}

' '

var

; 0 )

( ) (

) (

µ µ

! µ

µ µ

µ µ

"

=

"

=

=

=

=

##

$

##%

"

=

"

=

'

) +

)

"

X E X

E X

dx x f x

X

E ^{r r} _x

r

x_i

MISURA DI LOCAZIONE.

Moda: x~

max

~) (x = f_x

50 . 0 ) (x = F_x

Media: µx = ^E

[ ]

Media geometrica: _i

k i

g x k

M ⁼

!

[

]

E M_g log

log =

Scarto quadratico medio: ^{! = var}

[ ]

Coefficiente di variazione: ! µ

"

= Cv =

MISURA DI ASIMMETRIA.

Coefficiente di asimmetria: ₃

' 1 3

!

" = Ca= µ

MISURA DI APPIATTIMENTO O CURTOSI.

Curtosi: ₄

' 4

!

= µ k

Coefficiente di eccesso o di Curtosi: 3 ₄ 3

' 4

2 = ! = !

"

# ^k µ