1
Università degli Studi dell’Aquila -‐ Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Industriale Fisica Generale 2 -‐ Prova scritta d’esame del 1° febbraio 2016
Problema 1 (10 punti)
Una sfera di raggio R è uniformemente carica con densità di carica positiva ρ e contiene al suo interno due cavità sferiche di raggio R1 centrate sull’asse y a y=±d
(si veda la figura). Sapendo che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa che racchiude tutta la sfera vale Φ(!), si chiede di calcolare: 1. il valore della densità di carica ρ; (2 punti)
2. il campo elettrico per z=0.6R in modulo direzione e verso; (3 punti) 3. il campo elettrico per z=2R in modulo direzione e verso; (2 punti)
4. il valore del potenziale rispetto all’infinito sull’asse z nel punto z=R. (3 punti)
Dati: R=6.0cm, R1=1.0cm, d=2.0cm, Φ(!)=2·104Vm.
Soluzione
Essendo il valore del flusso ottenuto utilizzando una superfice chiusa che contiene l’intero sistema di carica, dalla sua definizione si ottiene la carica elettrica totale Q in esso contenuta e la densità di carica:
Φ ! = ! ℰ! → ! = ! ! = 3Φ ! ℰ! 4! !!− 2! !! = 1.98×10!!C/m!.
dove τ è il volume totale occupato dalla carica elettrica positiva. Per il calcolo del campo elettrico si deve considerare la sfera di raggio R completamente carica con densità ρ e le due cavità sferiche contenenti una densità di carica negativa –ρ concentrata nei loro centri di coordinate y=±d. Allora per z<R si ha:
! ! < ! = ! 3!! ! − 2!!!! !!+ !! !/! → ! ! = 0.6! = 2.6×10!Vm!!.
Per z=2R, anche la carica positiva può essere considerata concentrata nel centro O della sfera di raggio R, ottenendo: ! ! ≥ ! = ! !3! !! !!− 2!!!! !!+ !! !/! → ! ! = 2! = 1.1×10!Vm!!.
In entrambi i casi, la direzione e il verso del campo elettrico sono quelli dell’asse z.
Il potenziale per z=R si calcola applicando la sua definizione o, più semplicemente, come somma dei potenziali della sfera di raggio R e delle due cavità sferiche di raggio R1:
! ! = ! = ! ! > ! !" ! ! = ! 3!! ! !− 2!!! !!+ !! !/! = 2.65×10!V.
d !" -d y z
2
Problema 2 (10 punti)
Si consideri il circuito in figura nel quale è incognito il valore della costante dielettrica relativa εr del mezzo interposto tra le armature del condensatore piano C di superficie S poste a una distanza d. Per ottenere il valore di εr si chiude l’interruttore T al tempo t=0 e si misura il tempo t* necessario affinché la d.d.p. ai capi del condensatore non è la metà di quella del generatore V0. Si chiede di determinare:
1. la corrente massima e minima erogata dal generatore specificando le situazioni temporali in cui esse possono essere misurate; (3 punti) 2. il valore della costante di tempo del circuito; (3 punti)
3. il valore della costante dielettrica relativa del mezzo interposto tra le armature del condensatore; (2 punti) 4. l’energia immagazzinata a regime nel condensatore. (2 punti)
Dati: V0=300V, R1=10kΩ, R2=20kΩ, R3=20kΩ, t*=180µs, S=100cm2, d=0.1mm.
Soluzione
La corrente massima erogata dal generatore è quella al tempo t=0 in cui avviene la chiusura dell’interruttore. Infatti, in questa situazione si ha:
!!"# ! = 0 = !! !!"!(! = 0)= 15mA dove !!"! ! = 0 = !!!!+ !!!!+ !!!! !!+!! .
La corrente è, invece, minima quando il condensatore è a regime, cioè per un tempo molto maggiore della costante di tempo del circuito:
!!"# ! → ∞ = !!
!!"!(! → ∞)= 10mA dove !!"! ! → ∞ = !!+!!.
Per trovare la costante di tempo del circuito si può utilizzare il teorema di Thevenin ai capi della serie tra il condensatore e la resistenza R3. La d.d.p. equivalente Veq e la resistenza equivalente Req valgono rispettivamente: !!"= !!− !!!= !! !! !!+ !! ; !!"= !!!! !!+ !!.
Pertanto, la resistenza totale e la costante di tempo del circuito sono:
!!"! = !!"+ !!=
!!!!+ !!!!+ !!!!
!!+ !! = 26.7kΩ ; ! = !!"!!.
L’equazione della carica del condensatore risulta essere: ! ! = !!" 1 − !!!/! = ! ! !! !!+ !! 1 − !!!/! . Per t=t* si ha V(t*)=0.5V0 e, quindi:
! = ! ∗ !" 2!! !!− !! = 130µμs.
Dall’equazione della costante di tempo si ottiene il valore di C=4.9nF dal quale si calcola la costante dielettrica del mezzo interposto tra le armature del condensatore piano:
!!= !" !!!= 5.5.
L’energia immagazzinata a regime nel condensatore è: ! =1 2!!!"! = 490nJ. R1 T V0 C R2 R 3
3
Problema 3 (10 punti)
Un solenoide rettilineo di lunghezza d, raggio R1 con N spire è attraversato da una
corrente ! ! = !!!!!". Una spira quadrata di lato L, resistenza R e coefficiente di autoinduzione trascurabile, è posta coassialmente al solenoide. Si chiede di determinare:
1. la costante I0 se al tempo t0 la corrente che scorre nella spira è pari al valore Is.
(3 punti)
2. l'energia dissipata nella spira tra t=0 e t=
∞
. (3 punti)3. la carica totale che ha attraversato la spira tra t=0 e t=
∞
. (2 punti) 4. il coefficiente di mutua induzione del sistema. (2 punti)
Dati: R1=5cm, L=30cm, R=1Ω, k=103s-‐1, t0=1ms, Is=4mA, N=100 spire, d=1m.
Soluzione
La forza elettromotrice indotta nella spira rettangolare è calcolabile dalla variazione di flusso del campo di induzione B concatenato dalla spira rettangolare:
! = −!Φ ! !" = −!!!!!!! !" ! !" = !!!!!! ! !!!!!!!".
Pertanto, la corrente indotta nella spira al tempo t0 vale:
!!=!(! = !!) ! = !!!!!!!"!! !" !!!!! → !!= !!!"!!!! !!!!! !!" 11A. L'energia totale dissipata nella spira è:
! = ! ! !" = !! !(!) !!" = ! ! ! !!!!!!!!! !!! !!! !!!!"= !!!!!!!!! !! 2!!! ! ! = 59.1nJ.
La carica che attraversa la spira vale: ! = ! ! !" =!!! !! !!!! !" ! !!!"!" = !!!!! !!!! !" = ! ! ! ! 10.9µμC.
Il coefficiente di mutua induzione si calcola utilizzando la sua definizione: ! =Φ(!) ! = !!!!! !! ! = 1µμH, con i una generica corrente.
4
Problema 4 (10 punti)
Un recipiente cilindrico adiabatico di volume V è diviso in due parti uguali da una parete di sezione S di volume trascurabile che può scorrere in assenza di attriti meccanici. In una delle due parti in cui è diviso il recipiente è contenuta inizialmente una mole di gas ideale monoatomico, mentre l'altra parte è vuota. In queste condizioni, la parete mobile è mantenuta in equilibrio da una molla di costante elastica k e di volume e capacità termica trascurabile, compressa del tratto Δx rispetto alla sua posizione di riposo. Ad un certo istante, una valvola contenuta nella parete viene aperta permettendo al gas di espandersi anche nella parte del recipiente inizialmente vuota. Si chiede di calcolare:
1. la pressione e la temperatura iniziali del gas quando esso è contenuto in una sola delle due parti del recipiente; (2 punti)
2. la variazione della energia interna del gas; (3 punti)
3. la pressione e la temperatura finali del gas quando esso è contenuto in tutto il recipiente; (2 punti) 4. la variazione di entropia del gas. (3 punti)
Dati: V=30dm3, S=100cm2, k=104N/m, Δx=15cm.
Soluzione
Prima di tutto è bene osservare che l’espansione del gas non è un’espansione libera dato che si contrappone alla forza elastica. All’inizio, con il gas in una sola parte del recipiente di volume V/2, la pressione esercitata dal gas è bilanciata da quella derivante dalla forza elastica Fe. Da qui è quindi possibile calcolare la pressione pi e la temperatura iniziale Ti del gas:
!!= !! ! = !Δ! ! = 1.5x10!Pa ; !!= !!! 2!"= 270.8K.
Essendo il sistema adiabatico, risulta nulla la variazione dell’energia interna di tutto il sistema:
Δ! = Δ!!"#+ Δ!!"##$= !!! !!− !! +1
2!Δ!!= 0.
Nella situazione finale, quando il gas si è espanso in tutto l’intero volume del recipiente, la pressione finale è la stessa in tutto il recipiente e la molla, conseguentemente, torna nella sua posizione di riposo per la quale Δx=0. La variazione dell’energia meccanica dovuta alla forza elastica vale:
Δ!!"##$= 1 2! 0 − Δ!! = − 1 2!Δ!!.
Da questa relazione si possono trovare la variazione di energia interna del gas e la sua temperatura e pressione finali: Δ!!"#= −Δ!!"##$=1 2!Δ!!= 112.5J Δ!!"#= !!! !!− !! → !!=Δ!!"# !!! + !!= 279.8K ; !!=!"!! ! = 0.775x10!Pa.
La variazione di entropia del gas è:
Δ!!"#= ! !!!" !! !!+ !"# ! !/2 = 6.17J/K.
