Analisi Matematica 1 4 Febbraio 2016 COMPITO 1 1. Il luogo dei punti z 2 C tali che |z(2 + i)|

Analisi Matematica 1 4 Febbraio 2016 COMPITO 1

1. Il luogo dei punti z2 C tali che

|z(2 + i)|²+ 2(Imz)² = (z²+ z²) + 3

`e dato da

Risp.: A : una circonferenza B : due punti C : un’ ellisse D : due rette

2. Il limite

n!+1lim

nⁿ⁺³ 1 + e ^n! ⇣

2

n sin(_n+1² )⌘2

(n + 1)^{n 1}+ cos(nⁿ) vale

Risp.: A : 2²e B : ²_e² C : 2² D : 0

3. Il limite

xlim!1⁺

⇥log³x (x 1)³⇤ x^{x 12} [e^x e] sinh³(x 1) vale

Risp.: A : ³₂e B : e C : ³₂e² D : e²

4. Sia ↵ 0. L’integrale improprio Z ₊₁

0

1 + x^↵

(1 e ^x)^↵(x³+ 1)dx converge se e solo se

Risp.: A : ↵ < 2 B : 1 < ↵ < 2 C : ↵ > 2 D : ↵ < 1

5. Sia f :]0, 2[! R data da

f (x) =

((x 1) log (| sin(x 1)|) +p³

x 1 se x6= 1

0 se x = 1.

Il punto x = 1 `e

Risp.: A : un punto di salto B : un punto di non derivabilit`a a tangente verticale C : una cuspide D : un punto in cui f `e derivabile

6. L’integrale Z ₁

2

px + 3 x + 3 +p

x + 3dx vale

Risp.: A : p

2+log(p²

2+1) B : p

2 1+log(p²

2+1) C : 2⇣p

2 1 + log(p² 2+1)⌘

D : 2 log(^p₂₊₁² )

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy 8>

<

>:

y⁰⁰ 4y⁰+ 4y = 2e^x y(0) = 2

y⁰(0) = 4 Allora ˜y(¹₂) vale

Risp.: A : e + 2p

e B : 2p

e C : e +p

e D : p e

8. Sia data la funzione

f (x) = 2xe^{2 arctan(1x)} Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =R \ {0}. V F (b) lim_x!0f (x) = 1 V F

(c) y = 2(x + 2) `e asintoto obliquo per x! +1. V F (d) lim_x!0 f⁰(x) = 2e^⇡ e lim_x!0+f⁰(x) = 2e ^⇡ V F

(e) x = 1 `e punto di flesso a tangente orizzontale. V F (f) f `e concava per x > 1. V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.