RISOLUZIONE DI EQUAZIONI DI SECONDO GRADO 𝒂𝒙
𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Le soluzioni sono date dalla formula risolutiva generale: 𝒙𝟏,𝟐=−𝒃±√∆𝟐𝒂 con ∆ = 𝒃𝟐− 𝟒𝒂𝒄
Casi speciali: 𝒂𝒙𝟐+ 𝒄 = 𝟎 Equazione pura
→ 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐳𝐢𝐨𝐧𝐢: 𝒙
𝟏,𝟐= ±√
−𝒄 𝒂 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 = 𝟎 Equazione spuria → 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0ESERCIZI
Risolvi l’equazione: 𝟐𝒙𝟐− 𝟕𝒙 + 𝟑 = 𝟎 2𝑥2− 7𝑥 +3= 0 → ∆ =𝑏2− 4𝑎𝑐 = ( -7 )2 - 4 ∙ 2 ∙ 3 = 49-24 = 25 a = 2 , b = -7, c = 3 Soluzioni: 𝑥1,2=
−𝑏±√∆ 2𝑎=
-(-7)±√25 2∙2=
7±5 4𝐒𝐨𝐥𝐮𝐳𝐢𝐨𝐧𝐢
𝑥 = 0 → 𝒙𝟏 = 𝟎 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 → 𝒙𝟐 = − 𝒃 𝒂 𝑥1=7-5 4 = 2 4 = 1 2 𝑥2= 7 + 5 4 = 12 4 = 3 → 𝑥2= − 𝑏 𝑎Risolvi l’equazione: (𝟐𝒙 + 𝟑)𝟐= (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟐) + 𝟐𝟓 (2𝑥 + 3)2=(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)+ 25 → (2𝑥)2+ 2 ∙ 2𝑥 ∙ 3 + 32 = 𝑥 ∙ 𝑥 − 𝑥 ∙ 2 − 1 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 2 + 25 4𝑥2+ 12𝑥 + 9 = 𝑥 2− 2𝑥 − 𝑥 + 2 + 25 → 4𝑥2+ 12𝑥 + 9 - 𝑥 2+ 2𝑥 + 𝑥-2 -25 = 0 4𝑥2+ 12𝑥 + 9- 𝑥 2+ 2𝑥 + 𝑥 -2 - 25 = 0 → 3𝑥2+ 15𝑥 - 18 = 0 3𝑥2+15𝑥 -18 3
=
0 3→
𝑥 2+ 5𝑥 -6 = 0 1𝑥2+5𝑥 − 6 = 0 → ∆ =𝑏2− 4𝑎𝑐 = ( 5 )2 - 4 ∙ 1 ∙ (-6 )= 25 + 24 = 49 𝑎 = 1, 𝑏 = 5, 𝑐 = −6 Soluzioni: 𝑥1,2=
−𝑏±√∆ 2𝑎=
-5±√49 2∙1=
-5±7 2Svolgiamo i calcoli. Il quadrato di un binomio è dato dalla formula: (𝑎 + 𝑏)2= 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Dopo aver svolto i calcoli trasportiamo tutti i termini dal secondo al primo membro cambiandogli il segno
Sommiamo i termini simili
Dividiamo tutto per 3 per ridurre i coefficienti dell’equazione 𝑥1= -5-7 2 = -12 2 = -6 𝑥2= -5 + 7 2 = 2 2 = 1 → 𝑥2= −𝑏 𝑎
Risolvi l’equazione
:
𝟖−𝒙 𝟐 𝟒+
𝒙(𝒙−𝟏) 𝟑− 𝟏 = 𝟎
8−𝑥2 4+
𝑥(𝑥−1) 3− 1 = 0 →
8−𝑥2 4+
𝑥2−𝑥 3− 1 = 0
8−𝑥2 4 + 𝑥2−𝑥 3 − 1 = 0 → 12( 8−𝑥2 4 + 𝑥2−𝑥 3 − 1) =12∙012
8−𝑥2 4+
12
𝑥2−𝑥 3− 12 ∙ 1 = 0 →
3
8−𝑥2 1+
4
𝑥2−𝑥 1− 12 = 0
3(8 − 𝑥2)+4(𝑥2− 𝑥)− 12 = 0 → 24 − 3𝑥2 +4𝑥2− 4𝑥− 12 = 0 24− 3𝑥2 + 4𝑥2− 4𝑥− 12= 0 → 𝑥2 − 4𝑥+ 12= 0 1𝑥2 -4𝑥 + 12= 0 → ∆ =𝑏2− 4𝑎𝑐 = ( -4 )2 - 4 ∙ 1 ∙ (12 )= 16-48 = -32 𝑎 = 1, 𝑏 = -4, 𝑐 = 12 Soluzioni: Nessuna 𝑥1,2=
−𝑏±√∆ 2𝑎=
-(-4)±√-32 2∙1Moltiplichiamo tutto per 12 il m.c.m. di 4 e
3 per eliminare le frazioni dall’equazione
Non si può estrarre √-32 pertanto l’equazione non ha soluzioni
