Esercizi di Analisi Complessa in Pi`
u Variabili - 1
14/12/2011
Samuele Mongodi
s.mongodi@sns.it oppure samuele.mongodi@gmail.com
Esercizio 1 Sia Tn
il prodotto di n copie di S1. Calcolare l’intergale
1 (2πi)n Z Tn ζµ ζν+1dζ per µ, ν ∈ Nn , dove, se z ∈ Cn e a ∈ Nn, za= za1 1 · · · znan.
Un dominio D ⊂ Cn si dice dominio di Reinhardt se ogni volta che (z
1, . . . , zn) ∈ D, allora
(λ1z1, . . . , λnzn) ∈ D per ogni (λ1, . . . , λn) ∈ S1× . . . × S1.
Esercizio 2 Sia D un dominio di Reinhardt che contiene 0 e sia u ∈ O(D). Vogliamo dimostrare che la serie di potenze di u centrata in 0 converge in D uniformemente sui compatti.
1. Sia D0= {z ∈ D | d(z, Dc) > |z|} e sia D
la componente connessa di questo che contiene 0; allora
D`e un dominio di Reinhardt. 2. Si definisca U(z) = 1 (2πi)n Z Z |ti|=1− u(t1z1, . . . , tnzn) (t1− 1) · · · (tn− 1) dt1. . . dtn
e si dimostri che U `e analitica su D.
3. Sviluppando U, si noti che coincide con u su D e si concluda.
Esercizio 3 Sia Ω ⊂ Cn
un aperto connesso e sia f : Ω×Ω → C olomorfa nelle 2n variabili (z, w) ∈ Ω×Ω. Si dimostri che, se esiste p ∈ Ω tale che ¯p ∈ Ω e f (z, ¯z) = 0 per ogni z in un intorno di p, allora f (z, w) = 0 su Ω × Ω.
Esercizio 4 Sia f : C2
→ C olomorfa; supponiamo che, per ogni z ∈ C, vi sia un numero finito e uniformemente limitato di soluzioni a all’equazione f (z, a) = 0 e siano a1(z), . . . , ak(z) tali soluzioni, con
molteplicit`a. Dimostrare che
σm(z) = k X j=1 amj (z) `
e una funzione olomorfa di z per ogni m ∈ N. Esercizio 5 Siano z, w coordinate in C2 con z = x
1+ iy1 e w = x2+ iy2; sia f ∈ O(C2).
1. Sia C1= {x21+ y21= 1, x2= y2= 0}; si determini l’insieme {g ∈ O(C2) | g|C1= f |C1}.
2. Sia C2= {x21+ x 2
2= 1, y1= y2= 0}; si determini l’insieme {g ∈ O(C2) | g|C2 = f |C2}.
Esercizio 6 Sia P (0, 1) ⊂ C2 il policilindro unitario e sia f ∈ O(P ). Allora
f (0) = 1 m2(T2) Z T2 f (ζ)dm2(ζ) = 1 m3(bP ) Z bP f (ζ)dm3(ζ) .
mj rappresenta l’appopriata area o volume, T2= S1× S1.
Esercizio 7 Sia B(0, 1) la palla unitaria in C2e sia f ∈ O(B). Si dimostri che
1. il bordo bB della palla `e unione di copie di T2; 2. f (0) = 1 m3(bB) Z bB f (ζ)dm3(ζ) . 1
Esercizio 8 Si costruisca un esempio di funzione olomorfa f : C2→ C2, con componenti non costanti,
che non sia aperta.
Esercizio 9 Sia Ω un dominio limitato di Cn e sia f : Ω → Ω una mappa olomorfa; supponiamo che
f (p) = p per un qualche p ∈ Ω e Df (p) = I.
1. Si determini lo sviluppo attorno a p dell’iterata m−esima di f per m ∈ N.
2. Si dimostri, tramite opportune stime, che le componenti di grado ≥ 2 devono essere limitate. 3. Si concluda che f (z) = z per ogni z.
Un dominio D ⊂ Cn si dice circolare se z ∈ D implica λz ∈ D per ogni λ ∈ C con |λ| = 1.
Esercizio 10 Siano Ω1, Ω2 domini circolari contenenti l’origine e sia f : Ω1 → Ω2 un biolomorfismo
che fissa l’orgine. Supponiamo inoltre che Ω1 sia limitato, allora f `e lineare. (Hint: si consideri φθ(z) =
f−1(e−iθf (eiθz)).)
Esercizio 11 Sia KBM(ζ, z) il nucleo di Bochner-Martinelli; si costruisca una forma K0(ζ, z, w), che
dipende olomorficamente da (z, w), in modo che KBM(ζ, z) = K0(ζ, z, ¯z). Sia ora Ω un dominio di Cn a
bordo connesso e C1e sia f ∈ C1(Ω) ∩ O(Ω); si definisca
H(z, w) = Z
bΩ
f (ζ)K0(ζ, z, w)
e si dimostri che H(z, w) ≡ f (z) su Ω × Ω.
Esercizio 12 Si dimostri che KBM(ζ, z) `e armonico in z per z 6= ζ.
Esercizio 13 In C2, consideriamo
M = {−y2+ |z1|2= 0}
e sia T0,1M il coniugato del tangente olomorfo (J −invariante) di M .
1. Si determini un frame globale per T0,1M (una base di Tx0,1M che dipenda in maniera regolare da
x).
2. Si determini una parametrizzazione bigettiva φ : R3 → M e si determini un frame globale per il
fibrato (φ−1)∗T0,1M .
3. Si determini per quali valori α ∈ C la funzione gα(z1, z2) = ez1(Rez2+ αz1z1), ristretta a M , `e una
CR−funzione.
